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Parti e poteri


Quanto costa il potere "n elevato a zero"? Questa domanda ha posto fine alla colonna precedente. Oggi cercheremo di chiarire il problema di poteri dei numeri naturali. Non avrai difficoltà a concepire numeri naturali come set Æ = 0, {Æ} = 1, {Æ, {Æ}} = 2, {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}} = 3 , ..., {0, 1, 2, 3, ..., n -1} = nAssicurati di annotare i numeri naturali fino a 10 come esercizio per assicurarti di capire davvero quali sono i numeri naturali. Il conteggio delle parti di un assieme che ha n set ha a che fare con il potere . Dobbiamo davvero chiederci cosa significhi un potere . Un modo semplice per concepirlo è pensare che significhi m*m*… *m, n volte. Ma cosa significa "moltiplicare" il numero m così tante volte per se stesso?

Moltiplica un numero m d'altra parte, diciamo psignifica "aggiungi" m con se stesso p volte. Ma cosa significa aggiungere un numero m "p volte "? Abbiamo scoperto che non sappiamo ancora cosa significhi aggiungere due numeri naturali. Ma è facile. Innanzitutto, vediamo come possiamo aggiungere m + 1. Abbiamo semplicemente scritto m + 1 = m È {m}. Questo è il motivo per cui possiamo dire che 0 + 1 = 1, 2 + 1 = 3, ecc. Ad esempio, si noti che 2 + 1 = 2 è {2} = {0, 1} è {2} = {0, 1 } È {{0, 1}} = {0, 1, {0, 1}} = {0, 1, 2} = 3. Per essere sicuro di comprendere veramente la definizione di "aggiunta di m con 1 ", dimostra tu stesso che: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 3 + 1 = 4 e alcune altre verità che vuoi dimostrare. Siamo in un momento affascinante della nostra avventura matematica: quindi abbiamo appena Per fare ciò, ci rendiamo immediatamente conto che ci sono infinite verità in matematica: immagina solo le verità 0 + 2 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5, ..., ecc ...

Potresti chiedere, ma cosa significa? m + 2? Puoi rispondere a questa domanda da solo: significa (m + 1) + 1. Dato che sai già cosa significa m + 1, così facilmente sai anche cosa significa m + 2. Se continui a pensare in questo modo per analogia, saprai facilmente cosa significa. m + n.

Tornando al nostro problema di come moltiplicare m da psiamo semplicemente d'accordo m*p = m + m +… + m, p volte. Ora siamo pronti a spiegare cosa significa potere . Significa semplicemente m*m*… *m, n volte. Ancora una volta, non vale la pena perseguire se non sei sicuro di capire cos'è un potere naturale. Facciamo un semplice esempio: .

Se non capisci questo esempio, leggi di nuovo questo testo dall'inizio. Calcola da solo adesso: , ,e altri poteri molto semplici per verificare la tua comprensione.

Il nostro problema è, infine, spiegare molto chiaramente e semplicemente come puoi da interpretare un potere . Per questo, immaginiamo a impostare la trasformazione. Questa idea non è altro che la corrispondenza di set da un set, altri set da un secondo set. Esempio: da {1, 2} a {2, 4}. La trasformazione qui è quella che "raddoppia" i numeri. Una trasformazione impostata può avere la regola di join più arbitraria. Ad esempio: prendi un set, considera una parte di te stesso e forma un "pacchetto"; con la parte rimanente forma "un altro pacchetto", il pacchetto rimanente. In altre parole, pensa all'insieme {0, 1, 2, 3}. Considera la tua parte {0, 1, 2} e la parte rimanente {3}. Quindi diciamo che {0, 1, 2} è un pacchetto e {3} è il pacchetto rimanente. Quindi trasformiamo la parte {0, 1, 2} nel set 0 (formando un pacchetto) e la parte {3} nel set 1 (formando il pacchetto rimanente). Cioè, i numeri 0, 1 e 2 sono diventati 0 e 3 sono diventati 1. Quindi quando chiediamo quante parti hanno un set {0, 1, ..., n - 1}, ci stiamo chiedendo quante volte possiamo formare pacchetti. In altre parole, ci stiamo chiedendo quante trasformazioni ci sono dell'insieme {0, 1, ..., n - 1} nel set {0, 1}. Ad esempio, quanti "bundle" di {0, 1, 2} ci sono? Cioè, quante trasformazioni ci sono da {0, 1, 2} a {0, 1}? Mostra che ci sono 8. Non dimenticare di formare il pacchetto vuoto. Quindi rispondi "per i pacchetti": quanto costa "n elevato a zero"?

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