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Generalizzare è limitarsi all'essenziale ...


Quanto costa il potere "n elevato a zero"? Abbiamo già visto che 2 sono aumentati a m non è altro che la quantità di parti del set m. Ora, nel caso del potere 2 elevato a zero, il nostro m È l'insieme vuoto. Quindi la nostra domanda è: quante parti ha l'insieme vuoto. Ovviamente l'unica parte dell'insieme vuoto è la parte vuota. Ne deduciamo facilmente che 2 elevato a zero può essere solo 1, ovvero il numero di parti (o sottoinsiemi) dell'insieme vuoto.

Il processo di generalizzazione in matematica è un processo fondamentale. Potremmo dire che ciò che il matematico fa continuamente cerca di generalizzare una verità che gli è già nota, o semplicemente per curiosità, anche se non sa se un'affermazione è vera, il matematico può chiedere se consente una "generalizzazione". È molto facile fornire esempi di generalizzazioni interessanti e importanti. Proprio qui, proprio ora, stiamo affrontando un esempio interessante e importante: poiché scopriamo che i poteri di 2 sono semplicemente il risultato del conteggio delle parti dei set di esponenti. m, è irresistibile chiedere se i poteri, diciamo, n elevato a m, inoltre, non sarebbe il risultato del conteggio degli oggetti in determinate situazioni. Ricorda che i numeri naturali stessi possono essere considerati rappresentazioni dei risultati del conteggio: zero (o insieme vuoto) è il risultato del conteggio degli insiemi appartenenti all'insieme vuoto, 1 è il risultato del conteggio degli insiemi appartenenti all'insieme. {Æ} e così via. Potresti dire: "i numeri naturali sono il processo di conteggio stesso". Siamo pienamente d'accordo con questa opinione che, tra l'altro, è molto elegante.

Ma tornando al tema di oggi, potremmo "generalizzare" l'idea che un potere di 2 conti le parti del suo esponente m e quindi chiedere se un potere di base n ed esponente m Non sarebbe un conteggio interessante? In tal caso, dobbiamo sapere "cosa" conta? L'area della matematica che affronta questo tipo di problema, vale a dire il problema del conteggio degli oggetti in determinate situazioni, è la combinatoria. È un'area affascinante, proprio come qualsiasi altra area della matematica. Si è sviluppato notevolmente negli ultimi decenni, così come tutta la matematica. Stiamo vivendo un momento di grandi progressi in matematica. Per darti un'idea, puoi già trovare in buone librerie, come l'eccellente Livraria Cultura de São Paulo, libri sul Combinatoria del genoma umano, un'area molto importante che sicuramente farà grandi progressi nei prossimi mesi.

Ma non perdiamo il filo: come viene generalizzata l'idea di contare dietro i poteri di 2? Generalizzare è limitarsi all'essenziale. Quindi quello che dobbiamo fare è vedere ciò che è essenziale nel conteggio dietro un potere di 2. Ricorda che le trasformazioni dell'insieme m nel set {0, 1} = 2 ci ha dato l'idea di separazione del set m in due pacchetti. Un pacchetto era quello dei set di m che erano associati a 0 e il pacchetto rimanente era il pacchetto dei set rimanenti. L'essenza, quindi, di una funzione o trasformazione dell'insieme m nel set 2 è l'idea di "color wrapping", ovvero per ogni set y (a colori y) del set n Abbiamo formato il "pacchetto colore y"di set x di m. quando n è 2 questo ci dà semplicemente il conteggio delle parti di m.

Quindi questa era l'ipotesi che i poteri di base n ed esponente m sono anche risultati di conteggi interessanti che sono più generali del conteggio delle parti del set. m. I poteri n elevati a m contano semplicemente in quanti modi possiamo formare pacchetti di n colori con le serie di m. Provalo tu stesso: assicurati che questa interpretazione combinatoria dei poteri naturali dei numeri naturali funzioni anche nei casi di 2 cubi e 3 cubi. Ricorda che è consentito formare pacchetti vuoti per rispettare la quantità di colore richiesta. Ovviamente ora puoi rispondere senza esitazione: ogni potere naturale dell'esponente 0 è 1!

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