Nel dettaglio

Simmetria in matematica IV


Non è paradossale dirlo nei nostri momenti
più teorico
potremmo essere più vicini
le nostre applicazioni più pratiche.

A. N. Whitehead

... Possiamo sostenere che, poiché solo due simboli, il 0 e il 1, persone, per ora, il nostro universo, è fondamentale decidere se 1 + 1 Sarebbe una nuova entità. Inoltre, la stessa domanda si applica ai casi 0 + 1, 0 '1, 1' 1, 0 '0 e 0 + 0: ne verranno generati anche di nuovi qui? ...

... Abbiamo già discusso nelle colonne precedenti i casi in cui 1 +… + 1 può essere 0. Sono le strutture finite dei numeri. Iniziamo ora la discussione del caso in cui 1 +… + 1 non lo è mai 0, qualunque sia il numero di trame in questa somma, cioè il caso del corpo reale ...

Immagina una struttura numerica in cui il generatore 1 non genera mai 0 in aggiunta è un atteggiamento non banale. Questa immaginazione solleva immediatamente il problema di inventare i simboli giusti per rappresentare un numero "infinito" di numeri. Cioè, abbiamo bisogno di un simbolo per 1 + 1, per 1 + 1 + 1, ecc. Ci troviamo immediatamente di fronte all'idea più importante della matematica: l'idea di infinito. Come abituarsi a questa idea? Non c'è nulla nella nostra vita quotidiana che ci ispiri e che accolga il nostro spirito a questa idea. Al contrario, è questa idea che sembra far luce sui molti enigmi della nostra vita pratica. Ma il primo problema che dobbiamo affrontare, se ci piace l'ordine delle idee, è il problema di rappresentare un numero infinito di numeri. Questo problema è tutt'altro che facile, tanto che l'umanità ha trovato una soluzione soddisfacente solo intorno all'anno 1000 d.C.

È stato in India e in Arabia che questo problema sembra essere stato risolto. La soluzione è il sistema posizionale in cui il simbolo 0 ha un ruolo di fondamentale importanza. Questa invenzione è paragonabile in termini di scatenare potenti forze di progresso alla rivoluzione informatica degli anni 80. Il calcolo di base non è più un ostacolo all'immaginazione matematica. Il sistema posizionale potrebbe fornire un metodo efficiente per generare e rappresentare un numero illimitato di numeri da una manciata di dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il seguente numero non ci sono più problemi di rappresentazione: è 10, dove 0 occupa una posizione costringendo 1 ad occupare una nuova posizione, permettendo così sempre gli stessi simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, indicano un numero "dieci volte maggiore" del generatore 1 o qualsiasi altro numero del modulo 1 + 1 + 1 + ... +1, qualunque sia il numero di rate pari a 1.

Tuttavia, questo progresso è stato solo nel campo del calcolo numerico, ma non meno importante. L'avanzata più spettacolare doveva arrivare nel campo della concettualizzazione. Il sistema posizionale ha suggerito che una rappresentazione a cifre infinite (0.111…) potrebbe corrispondere a un numero allo stesso modo di una rappresentazione finita come 2.3045. A questo punto ci troviamo di fronte a tre idee di importanza colossale: oltre all'idea che ci sono numeri infiniti, che abbiamo menzionato in precedenza, ci imbattiamo nell'idea che ci sono numeri che richiedono una rappresentazione decimale infinita e l'idea che ci siano numeri infinitamente piccoli. . Ecco un pilastro dell'idea di simmetria che permea la scienza contemporanea. Simmetricamente all'idea di numeri infiniti, quindi all'idea di numeri infinitamente grandi, ci imbattiamo nell'idea di numeri infinitamente piccoli che è inseparabile dall'idea di numeri con infinita rappresentazione decimale.

Non sorprende che una tale struttura abbia anche una ricchezza infinita. Contiene, ad esempio, una rappresentazione per un ciclo infinito. È facile trovare cicli finiti in natura come giorno e notte, stagioni, cicli biologici, ecc., Ma nel mondo reale non sembrano esistere cicli infiniti. Paradossalmente, l'idea del ciclo infinito, associata ai numeri 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... ci sembra naturale e ci provoca un'attrazione irresistibile. Ciò che sorprende è che una tale struttura può essere utile per risolvere i nostri problemi pratici e teorici, anche di fronte alla nostra incapacità di rilevare cicli infiniti in natura. Il mondo finito trova fantastiche applicazioni dell'idea di infinito.

Seguendo un certo ordine di idee, dobbiamo risolvere un problema: perché il ciclo infinito 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... ha un inizio e una fine? Nella nostra immaginazione questo non sembra essere un difetto mortale, ma è senza dubbio una caratteristica intrigante: è quindi asimmetrico. Se creiamo "il tuo lato sinistro" eliminiamo questa asimmetria. Pertanto, incorporiamo i numeri simmetrici negativi generati da 1 e abbiamo:

… , -(1+1+1), -(1+1), -1, 1, 1+1, 1+1+1,…

Ma tra negativi e positivi è apparso un "vuoto" che poteva essere colmato da un numero che era "neutro", cioè né positivo né negativo. Questa piccola asimmetria può essere eliminata di 0. Ci viene quindi lasciato un ciclo infinito più simmetrico che non ha né inizio né fine, ed è infinito:

… , -(1+1+1), -(1+1), -1, 0, 1, 1+1, 1+1+1,…

Ora la nostra mente sembra aver raggiunto uno stato di equilibrio. La rappresentazione numerica sopra sembra aver racchiuso quanta più immaginazione possibile per rappresentare cicli infiniti. Fino a quando un nuovo problema ci sfiderà potremmo essere soddisfatti di questa rappresentazione dei possibili numeri. Almeno per i numeri generati da 1. Questa sembra essere la struttura massima generata da 1 quando la nostra immaginazione richiede che mai 1 + 1 + 1 + ... +1 sia 0.

Avevamo menzionato sopra l'idea di numeri infinitamente piccoli. Da dove viene questa immaginazione? Ancora una volta, deriva dalla soluzione di un'altra osservazione intrigante: perché dovrebbero esserci solo numeri infinitamente grandi come quelli che otteniamo nella sequenza sopra? Cioè, 1 genera numeri infiniti per addizione e quindi genera numeri infinitamente grandi. Non possiamo immaginare anche numeri infinitamente piccoli? Di chi sarebbe generato da chi?

Dopo alcuni momenti di rigorosa introspezione, possiamo vedere che stiamo davvero affrontando una nuova sfida, una nuova asimmetria. Abbiamo scoperto che non è soddisfacente accettare una struttura numerica che include numeri che possono solo crescere. Abbiamo rilevato una mancanza di numeri che può anche diminuire. Questa asimmetria deve essere corretta, altrimenti dovremo vivere con irrequietezza che diventerà senza dubbio insoddisfazione. Ma come risolvere ulteriormente questo problema?

Ancora una volta il Sistema Posizionale mostrerà il suo immenso potere. Argomenti molto semplici possono essere scatenati per svelare questa simmetria nascosta dell'infinitamente piccolo facendo un contrappunto all'infinitamente grande. Dopo tutto, non è questa l'intuizione che suggerisce l'esperienza di vivere con la natura fisica?

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Video: IV. Sul ruolo delle simmetrie in fisica - Matteo D'Achille (Ottobre 2021).