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Symmetry, Anti-Symmetry e Symmetry Breaking III


Un nuovo numero indicato dalla lettera io con la proprietà che io2 = -1. Questo numero non si adatta alla linea euclidea in cui i numeri reali si sono sistemati senza lasciare spazio ad altri numeri. I matematici hanno realizzato il desiderio di rappresentare geometricamente i multipli di io scegliendo un piano euclideo, con una linea retta per rappresentare la linea reale e perpendicolare che passa attraverso lo zero per rappresentare il puro immaginario. Hanno chiamato il nuovo asse "asse immaginario" e il numero io è diventato il generatore di questo asse, così come il vero 1 è il generatore dell'asse reale.

Quindi qualsiasi numero reale del modulo il.1 ora ha un analogo immaginario della forma il.io. Immediatamente sorge una domanda inevitabile: che universo è questo in cui abitano i numeri reali? il e numeri immaginari B.io dove B è reale?

È chiaro che per la natura stessa dell'invenzione dell'asse immaginario, questo universo è il piano euclideo. Cioè, ogni punto sul piano rappresenta un nuovo numero che chiameremo un "numero complesso". La rappresentazione geometrica di questi numeri nel piano euclideo può essere fatta da frecce, originate dal punto di intersezione degli assi scelti che possono essere rappresentate da coordinate (0, 0) o dall'espressione 0 = 0 + 0io.

Abbiamo già notato che vogliamo preservare tutte le proprietà del corpo dei numeri reali. La prossima domanda inevitabile è: i numeri complessi hanno anche una struttura corporea algebrica? La risposta è nota ai lettori ed è affermativa. Possiamo dire che AC, +, 0, ×, 1, distributivañ è un corpo in cui C = {il + Bio: il, B Î R} è l'insieme di numeri complessi. La prima grande differenza è che abbiamo perso l'ordine compatibile con le operazioni di addizione e moltiplicazione. Cioè, non possiamo lavorare con l'idea che "un numero complesso è più piccolo di un altro" in un modo compatibile con addizione e moltiplicazione. Ricorda che se per due numeri reali abbiamo la relazione il < B, e se c è un numero reale positivo quindi ac < bc. Se applichiamo questo ragionamento al numero io, supponendo che sia positivo, otteniamo: 0 < io implica 0.io < io.io, cioè 0 <-1, che è assurdo. Allo stesso modo, non funzionerà per supporre che io È negativo. come io Non è zero, vediamo che le proprietà dell'ordine dei numeri reali non possono essere estese a numeri complessi.

È una perdita intrigante. Rappresenta una limitazione ai fenomeni della natura o, al contrario, consente una maggiore diversità dei suoi comportamenti? Questa è la domanda più grande e difficile che ci motiva a scrivere queste note.

Non dobbiamo dimenticare che l'invenzione di io2 = -1 era anche "intrigante". In effetti, è meglio cambiare questo aggettivo in "stimolante". Eravamo bloccati nel desiderio di estendere l'ordine dei reali ai complessi, ma d'altra parte, abbiamo guadagnato molto nella capacità di risolvere equazioni polinomiali. In realtà, non solo l'equazione x2 = -1 ora ha soluzioni nell'universo dei complessi, così come qualsiasi polinomio della forma xn + iln-1xn-1 +… + il1x + il0 = 0, dove i coefficienti sono reali o complessi, hanno "n soluzioni ". Il grande matematico C. F. Gauss ci ha dato questa conoscenza rigorosamente. Siamo quindi di fronte a una grande espansione dell'universo numerico. In esso possiamo estrarre n radici n - molto z = il + Bio. Tranne, ovviamente, nel caso di 0 che ha solo una radice n - Esatto, se stesso. Tutti gli altri numeri complessi z hanno n radici n - ennesimo distribuito simmetricamente in una circonferenza centrata 0 raggio uguale alla radice n - con la distanza da z a 0 indicato

di |z|.

Le simmetrie presenti nella struttura algebrica di numeri complessi sono notevoli. Non possiamo presentarli qui, ma dobbiamo presentare la loro struttura vettoriale. Per aggiungere due numeri complessi, z = il + Bio e w = c + diopossiamo immaginare due forze applicate nel punto (0, 0) e il loro risultato z + w = (il + c) + (B + d)io. Il nostro lettore conosce questa interpretazione come "regola del parallelogramma". Questa interpretazione è una grande applicazione dei vettori alla fisica della natura. È inevitabile, quindi, chiedersi: quali altre interpretazioni dei fenomeni fisici sono possibili con i vettori?

Esistono innumerevoli applicazioni di numeri complessi ai fenomeni della natura. Innanzitutto, le applicazioni di numeri complessi alla geometria e ad altre aree della matematica sono fantastiche. Non possiamo presentarli qui, nemmeno dare un'idea. Tuttavia, avremo bisogno dell'idea della "moltiplicazione vettoriale". Imponendo che numeri complessi mantengano il maggior numero possibile di numeri reali, siamo costretti ad ammetterlo z.w = (il + Bio).(c + dio) = (ac - bd) + (annuncio + bc)io.

Ma geometricamente, è importante "vedere" l'effetto della moltiplicazione. Quindi, usando la scoperta del grande matematico Leonhard Euler z = |z| eioq e w = |w| eiofdove e è il numero di Eulero e q e f rappresentano gli angoli tra i vettori z e w con l'asse reale chiamato "argomenti" di numeri complessi. Quindi se z = il + Bioquindi |z| = (il2 + B2)1/2, dal teorema di Pitagora, |z| cos q = il, |z| sen q = Be la scoperta di Eulero è scritta come eioq = cos q + io sen q .

C'è, nella formula di Eulero, una nozione implicita di poteri complessi che non possiamo discutere qui, ma ricorda che la regola dei poteri moltiplicatori della stessa base viene mantenuta tenendo la base e aggiungendo gli esponenti. Con questa regola possiamo scrivere z.w = |z| eioq . |w| eiof = |z|.|w| eio(q +f). Questo risultato mostra chiaramente che nella moltiplicazione dei complessi, le loro distanze dall'origine vengono moltiplicate e i loro argomenti sommati. Questa interpretazione geometrica della moltiplicazione complessa è di grande importanza e si applica allo studio dei fenomeni naturali.

Poiché siamo interessati alle applicazioni più elementari dei fenomeni della natura, siamo interessati a menzionare la possibilità di moltiplicare vettori piani complessi in altri due modi. Il primo è quello di rappresentare il lavoro svolto dalla forza z = il + Bio supponendo che sostituisca un corpo di il a B. I punti il e B può anche essere rappresentato da numeri complessi e così possiamo scrivere B - il = w = c + dio. La teoria fisica ci dice che solo la componente di z verso w produce l'offset w. È una fortuna avere una semplice formula algebrica per calcolare il lavoro svolto su questo turno. Si chiama prodotto scalare: z · w = (il + Bio) · (c + dio) = ac + bd! La semplicità di questa formula è ancora più impressionante quando ricordiamo che i fisici hanno definito il lavoro svolto con la forza. z con dislocamento w attraverso la formula z · w = |z|.|w| Cosadove il è l'angolo che la forza z provoca lo spostamento w. Questo perché |z|.Cosa è l'intensità della forza che muove il corpo nel cambiamento di intensità |w|.

Possiamo dimostrarlo z · w = |z|.|w| cos il = ac + bd! È un'ottima formula che ci porta immediatamente alla domanda: quali altre formule semplici e interessanti esistono che coinvolgono la moltiplicazione di vettori che misurano i fenomeni della natura? Sorprendentemente, troviamo che esiste ancora un'altra moltiplicazione ammissibile per vettori piani complessi di importante significato fisico. I vettori z = il + Bio e w = c + dio può essere interpretato geometricamente come generare lati di un parallelogramma con lunghezze |z| e |w|. Non sorprende per il lettore quale area del parallelogramma = |z|.|w| sen il. Ciò che ci interessa qui è la straordinaria formula “parallelogram area = |z ´ w |"Dove z ´ w È il cosiddetto prodotto vettoriale noto anche dal nostro lettore.

Questo prodotto misura, ad esempio, la coppia prodotta dalla forza w applicato in un punto che determina il braccio di leva z. Più precisamente, ciò che vogliamo esplorare è il fatto che le quantità fisiche, come la coppia, sono semplicemente rappresentate da una moltiplicazione vettoriale che è una delle possibilità della moltiplicazione vettoriale. È inevitabile chiedersi: ci sono ancora altre possibili moltiplicazioni per vettori di rilevante significato fisico?

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