Nel dettaglio

Symmetry, Anti-Symmetry e Symmetry Breaking V


Pertanto, un vettore può rappresentare un fenomeno naturale e le operazioni tra vettori continuano a rappresentare fenomeni naturali. È inevitabile, quindi, chiedersi: quali altre operazioni tra vettori rappresentano i fenomeni della natura? Quali algebre vettoriali sono in grado di svelare il comportamento della natura? Quanto lontano può arrivare l'Homo sapiens sapiens in questa indagine sulla natura?

Symmetry, Anti-Symmetry e Symmetry Breaking IV

Le funzioni seno f(q) = Il sen (wq + q0) sono modelli matematici per segnali o onde elettromagnetiche, ad esempio dove il è l'ampiezza, w è la frequenza del segnale e q0 È la fase iniziale. Questi modelli matematici sono molto adatti per descrivere le tensioni fornite da generatori di corrente alternata in circuiti a stato stazionario.

Dato un segnale periodico ben educato, possiamo descriverlo come una somma infinita di funzioni sinusoidali (ricordate che anche le funzioni del coseno sono un tipo di sinusoidale) come scoperto da Joseph Fourier (1768-1830), un matematico francese molto vicino a Napoleone, e il primo a intraprendere uno studio sistematico delle approssimazioni di funzioni mediante serie trigonometriche. Nel 1822 pubblicò la sua famosa opera Theorie Analytique de la Chaleur. Daniel Bernoulli (1700-1782) aveva già studiato questo tipo di approccio per risolvere vibranti problemi di stringa (1747). Nel 1824 Fourier ottenne la somma infinita che descrive il movimento di un'ondata di calore attraverso un corpo.

L'analisi di Fourier, un ramo importante della matematica contemporanea sviluppato a seguito della scoperta di Fourier, non è uno studio banale. In particolare, trattare matematicamente circuiti elettrici semplici è un compito non banale. Tuttavia, gli ingegneri hanno scoperto che numeri complessi, anche se considerati da molti come numeri "immaginari", potrebbero semplificare notevolmente il trattamento matematico dei circuiti elettrici.

Un circuito RLC, cioè con resistenza, bobina e condensatore, nel caso in cui la forza elettromotrice (f.e.m.) e(t) è una sinusoide (o co-sinusoide), un caso importante di corrente alternata, ammette una soluzione elegante e semplice alla carica che vi circola, mediante un trattamento algebrico che utilizza i vettori piani subordinati alla complessa moltiplicazione. .

È il trattamento degli elementi di un circuito elettrico da parte di fasori. Tuttavia, ricordiamoci prima delle leggi di Kirchhoff.

Il fisico tedesco Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) enunciò nel 1845 le leggi che consentono di equiparare correnti, tensioni e resistenze dei circuiti elettrici. Cioè, nella resistenza al tasso di variazione della tensione dVR/dt è proporzionale alla corrente io = dQ/dt nell'istante tda dove abbiamo scritto:

dVR/dt = R io = R dQ/dt;

sul condensatore, la velocità di variazione della tensione dVC/dt è inversamente proporzionale al carico Q(t) al momento tda dove abbiamo scritto:

dVC/dt = Q/C;

e, nella bobina, la velocità di variazione della tensione dVL/dt è proporzionale al tasso di variazione della corrente di/dt nell'istante tda dove abbiamo scritto:

dVL/dt = L di/dt = L d2Q/dt2.

Stiamo usando la famosa notazione dy/dx del filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) per il tasso istantaneo di cambiamento di una quantità y a causa di un altro x. Abbiamo osservato che il secondo tasso istantaneo di cambiamento d2Q/dt2 della carica elettrica Q è il primo tasso istantaneo di cambiamento di/dt della corrente elettrica io rispetto al tempo t.

Si consideri l'equazione differenziale ordinaria lineare di secondo ordine (EDOL) data dall'idea che la somma delle cadute di tensione è uguale a f.e.m. fornito al circuito:

L d2Q1/dt2 + R dQ1/dt + Q1/ C = V cos (w t)

dove V è il valore massimo di f.e.m. fornito.

Per utilizzare la famosa e bellissima formula di Leonhard Euler (ejx = cos x + j sen x) dove j è l'unità complessa tale che j2 = -1, immaginiamo una simmetria nascosta per l'equazione elettrica sopra, che non è altro che lo stesso circuito che riceve un f.e.m. dato da V sen (w t), che risponderà quindi con a Q2 e una corrente io2.

Completiamo quindi la complessa simmetria di questo EDOL aggiungendo ad esso il suo immaginario complemento simmetrico, cioè l'equazione:

L d2Q2/dt2 + R dQ2/dt + Q2/ C = V sen (w t).

La carica immaginaria Q2 simmetricamente collegato al carico Q1 forma una carica complessa Q solo così possiamo usare la formula di Eulero. Questa formula mostra che risolvere una di queste equazioni significa automaticamente risolverne una simmetrica. Ciò è dovuto alla notazione vettoriale piatta e alla complessa notazione di Eulero che consente di unire le due equazioni in una sola. Utilizzo delle virgolette per la notazione dy/dx da Leibniz, abbiamo:

L(Q1´´ + jQ2´´) + R(Q1´ + jQ2´) + (Q1 + jQ2)/ C = V cos (w t) + jV sin (w t),

cioè complessiamo le cariche elettriche e quelle del f.e.m. Quindi abbiamo:

LQ´´ + RQ´ + C-1Q = V ejin peso.

con Q = Q1 + jQ2, Q´ = Q1´ + jQ2´, Q´´ = Q1´´ + jQ2´´ e ejin peso = V (cos (w t) + j sen (w t)).

Questa simmetrizzazione è ugualmente valida per il famoso ed importante EDOL noto come il sistema a molla di massa, vecchio noto agli ingegneri, in cui la forza esterna applicata al sistema, che svolge il ruolo di f.e.m. applicato al circuito elettrico, è periodico nel modo V cos (w t) o V sin (w t).

La complessa soluzione elettrica di EDOL è un fasore, cioè una carica elettrica complessa che fornisce una corrente elettrica complessa io(t) = K ejin peso. Pertanto, un sistema analogo complesso a molla di massa può anche essere risolto dai fasori se la forza esterna applicata al sistema è periodica come segue. V cos (w t) o V sen (w t).

Qual è il nostro guadagno pratico con questa complessa immaginazione vettoriale di un fasore, cioè di una corrente elettrica complessa io(t) = K ejin peso? Grazie alla proprietà che il tasso istantaneo di cambiamento della funzione esponenziale è esso stesso, il guadagno pratico è enorme.

Supponiamo che la soluzione EDOL elettrica vettoriale complessa sia un fasore, cioè una carica elettrica vettoriale complessa che può essere rappresentata da un'espressione complessa. allora:

Q'(t) = K ejin peso = io(t) Þ Q(t) = ò K ein pesoj dt = - jw-1 K ein pesoj.

Calcolando il primo tasso istantaneo di variazione della corrente abbiamo:

io(t) = K ein pesoj Þ io´(t) = w j K ein pesoj.

Quindi, sostituendo queste espressioni in EDOL vettoriali complessi, otteniamo:

L (w j K ein pesoj) + R K ein pesoj - C-1 (jw-1 K ein pesoj) = V ein pesoj.

Dividendo i due membri dell'equazione per ein pesojarriva che:

L (w j K) + RK - C-1 jw-1 K = V.

Cioè, la costante complessa K è dato da:

K = V / R + (lw - C-1w-1) j Û K = V R - (lw - C-1w-1) j / R2 + (lw - C-1w-1)2.

Quindi possiamo scrivere: io(t) = io1(t) + j io2(t) = K ein pesoj Þ

io(t) = io1(t) + j io2(t) = V R + (C-1w-1 - lw) j cos(w t) + j sen(w t) / R2 + (lw - C-1w-1)2,

da cui concludiamo contemporaneamente che:

io1(t) = V R cos (w t) - (C-1w-1 - lw) sen (w t) / R2 + (lw - C-1w-1)2,

io2(t) = V (C-1w-1 - lw) cos (w t) + R sen (w t)/R2 + (lw - C-1w-1)2.

Per ottenere i carichi effettivi richiesti, integriamo semplicemente le correnti effettive:

Q1(t) = vw-1 R sen(w t) + (C-1w-1 - lw) cos(w t)/ R2 + (lw - C-1w-1,

Q2(t) = vw-1 (C-1w-1 - lw) sen(w t) - R cos(w t)/R2 + (lw - C-1w-1.

Gli ingegneri hanno scoperto che ci sono vantaggi ancora più interessanti dalla definizione di un'impedenza complessa. Definiamo l'impedenza complessa del circuito RLC di essere il quoziente

Z = V/io = V ejin peso / K ejin peso = V ejin peso / {V ejin peso / R + (lw - C-1w-1) j} = R + (lw - C-1w-1) j.

Pertanto, l'impedenza complessa Z = R + (lw - C-1w-1) j contiene nella sua parte reale la resistenza R del circuito e nella sua parte immaginaria la costante L di induttanza della bobina, la costante C condensatore e frequenza w da f.e.m. fornito al circuito.

Da lì gli ingegneri hanno semplificato notevolmente il loro trattamento dei circuiti elettrici e sono riusciti a sviluppare sviluppi matematici ancora più completi ed efficaci nell'analisi dei circuiti e delle reti elettriche.

Siamo interessati qui a riflettere sull'abilità intrigante di vettori piatti o numeri complessi, di descrivere il comportamento della natura in modo chiaro, semplice ed efficiente, ad esempio, come abbiamo visto sopra, nel caso di semplici circuiti elettrici o di determinati sistemi a molla di massa. . Pertanto, torniamo alla nostra osservazione che un vettore può rappresentare un fenomeno della natura e le operazioni tra vettori continuano a rappresentare i fenomeni della natura. Anche, come abbiamo visto sopra, i loro tassi di variazione istantanea possono ancora rappresentare fenomeni naturali. Pertanto, i fasori possono rappresentare una tensione elettrica, una carica elettrica, una corrente elettrica o un'impedenza elettrica e le operazioni algebriche tra loro continuano a significare comportamenti della natura. È inevitabile, quindi, continuare a chiedersi: quali altre operazioni tra vettori rappresentano i fenomeni della natura? Quali algebre vettoriali sono in grado di svelare il comportamento della natura?

Quanto lontano può arrivare l'Homo sapiens sapiens in questa linea di ricerca sulla natura?

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Video: This Particle Breaks Time Symmetry (Settembre 2020).