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Numeri primi nella progressione aritmetica


Sappiamo che un numero intero positivo è primo se è divisibile solo per se stesso oltre 1. I numeri primi svolgono un ruolo fondamentale nell'aritmetica, analogo al ruolo degli atomi nella struttura della materia, cioè numeri interi che non sono numeri. i numeri primi possono essere espressi come il prodotto di numeri primi. Pertanto, qualsiasi numero intero maggiore di 1 è un numero primo o è espresso come un prodotto di numeri primi.

Sebbene la nozione di numero primo in questo senso sembri ovvia, in generale, non è facile rispondere alle domande riguardanti i numeri primi nella fase attuale della matematica. Ad esempio, ogni numero dispari è espresso nella forma 4.x + 1 o 4x + 3; quindi chiediamo quali sono i cugini della forma 4x + 1 e quali sono i cugini della forma 4x + 3. Se generiamo le sequenze numeriche del modulo sopra, sostituendo x con numeri interi positivi, le sequenze risultanti avranno un numero infinito di numeri primi.?

Euclide di Alessandria (circa 300 a.C.) diede una geniale dimostrazione che esiste un numero infinito di numeri primi. Lo stesso argomento fornito da Euclide può essere usato per dimostrare l'infinito di cugini di forma 4.x + 3. Dato che 2 è l'unico numero primo pari, l'insieme dei numeri primi dispari è diviso in due famiglie:

i) 5, 13,17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173…;

ii) 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131 139, 151, ...

dove la prima sequenza di numeri si riferisce ai cugini della forma 4x + 1 e secondo per formare 4 cuginix + 3. Dimostriamo che ci sono infiniti cugini di tipo 4x + 3 usando il metodo di Euclide che dimostra l'esistenza di infiniti cugini.

In effetti, supponiamo che ci fosse un numero finito di numeri primi della forma 4x + 3; chiamiamoli q1, q2, q3,… , qn. Considera il numero intero positivo:

N = 4 q1.q2.q3qn - 1 = 4 q1.q2.q3qn - 4 + 3 = 4 ( q1.q2.q3qn- 1) + 3

e lascia N = r1.r2.r3rM la sua scomposizione in numeri primi. Poiché N è un numero intero dispari, ne consegue rk è diverso da 2 per tutti ke ciascuno rk è quindi della forma 4x +1 o 4x + 3. Tuttavia, il prodotto di due o più numeri interi del modulo 4x +1 produce anche un numero intero come questo, ovvero

(4m + 1).(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4(mn + m + n) + 1 = 4z + 1.

Pertanto, ne consegue che N ha almeno un fattore primo di forma 4x + 3, diciamo rio = 4x + 3.

Ora lo rivendichiamo rio non è un elemento del nostro elenco finito originale di numeri primi: q1, q2, q3,… , qn. In effetti, altrimenti avremmo rio = qjper qualche cugino qj dal nostro elenco originale di cugini e poi rio dividerebbe il prodotto q1.q2.q3qn. D'altra parte, essere rio un fattore di N, rio dividere N - 4 q1.q2.q3qn = -1. presto, rio dividere -1. Pertanto, concludiamo che esiste un numero infinito di cugini di forma 4x + 3 quindi presuppone che esista un numero finito di primi del modulo 4x + 3 ci porta a una contraddizione.

La prossima domanda sarebbe: c'è un numero infinito di cugini della forma 4x + 1? La risposta è sì, ma dobbiamo usare un altro argomento. Una situazione simile si presenta rispetto alle sequenze numeriche della forma 6.x +1 e 6x + 5.

Nota che se generiamo la sequenza numerica del modulo 4x + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87,… ,

La differenza tra un termine nella sequenza e il suo predecessore è sempre uguale a 4.

Lo stesso vale per le sequenze di forma 4x + 1, 6x + 1 o 6x + 5. In effetti, abbiamo la seguente definizione: “a Progressione aritmetica è una sequenza di numeri interi in cui la differenza tra un termine (da 2il.) e il termine antecedente è sempre lo stesso ”.

Potrebbe essere generalizzato il fatto che ci siano infiniti cugini in alcune progressioni aritmetiche, come quelle sopra menzionate?

Si noti che le progressioni sopra citate sono le seguenti. B + ascia dove il e B sono fissi e x = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, cioè sono della forma

B, B + il, B + 2il, B + 3il, B + 4il,…

se il e B hanno un fattore comune, quindi la progressione aritmetica non contiene numeri primi, perché ogni elemento della progressione ha quel fattore. Ad esempio, considera la progressione aritmetica data da 6 + 2xcioè

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…

Si noti che 2 è un fattore comune di 2 e 6 e ogni termine di progressione ha il numero 2 come fattore. Questo fatto suggerisce che dovremmo considerare le progressioni B + ascia cosa il e B essere primi tra loro per ottenere un numero infinito di primi come specificato B + ascia. Sembra che il matematico Legendre sia stato il primo a rendersi conto dell'importanza di questa domanda e nel 1808 pubblicò la seguente congettura:Se un ≥ 2 e b 0 sono numeri interi positivi e primi tra loro, quindi c'è una pletora di numeri primi nella progressione aritmetica

B, B + a, B + 2a, B + 3il,… ”

Questa congettura divenne un grande teorema e fu dimostrata da Dirichlet nel 1837. Questo risultato fu monumentale per una serie di ragioni. Dirichlet fece affidamento sull'idea originale di Eulero per dimostrare l'infinito dei cugini. Sono stati usati metodi analitici rivoluzionari come serie infinite, convergenza di serie, confini, logaritmi, ecc. E molti altri concetti finora estranei alla teoria dei numeri interi. La dimostrazione di Dirichlet è considerata una delle prime importanti applicazioni dei metodi analitici nella teoria dei numeri e ha fornito nuove linee di sviluppo. Le idee alla base degli argomenti di Dirichlet hanno un carattere molto generale e sono state fondamentali nello sviluppo del lavoro successivo di applicazione dei metodi analitici nella teoria dei numeri.

Nel 1949 il matematico Atle Selberg diede una dimostrazione elementare del teorema di Dirichlet, analogo alla sua precedente dimostrazione del teorema dei numeri primi.

Dirichlet ha anche dimostrato che qualsiasi forma quadratica in due variabili, cioè qualsiasi forma del tipo ascia2 + BXY + cy2 dove il, B, c, sono cugini l'un l'altro, generano un'infinità di cugini. Non si sa molto su altri modi che generano infiniti numeri primi.

D'altra parte, possiamo dimostrare che non esiste una progressione aritmetica in cui tutti i termini sono numeri primi. Fino al secolo scorso, un vecchio problema aperto era determinare una progressione aritmetica arbitrariamente lunga ma finita in cui tutti i termini erano numeri primi.

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