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5.2: Introduzione ai decimali - Matematica


Ricordiamo che i numeri interi si costruiscono usando cifre.

Le cifre

Il set

[ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} on numero on numero ]

è chiamato l'insieme di cifre.

Ad esempio, il numero intero 55.555 ("cinquantacinquemilacinquecentocinquantacinque") è costruito utilizzando una sola cifra. Tuttavia, la posizione della cifra 5 determina il suo valore nel numero 55,555. La prima occorrenza di

Tabella 5.1: Valore posizionale.

la cifra 5 si trova al posto delle decine di migliaia, quindi il suo valore è 5 decine di migliaia o 50.000. La successiva occorrenza della cifra 5 è tra le migliaia, quindi il suo valore è 5 migliaia o 5.000. Infatti, il numero intero 55.555 in forma espansa è

50000 + 5000 + 500 + 50 + 5,

che riflette il valore della cifra 5 in ogni luogo.

Notazione decimale

Nella Tabella 5.1, ogni volta che si sposta una colonna a sinistra, il valore posizionale è 10 volte maggiore del valore posizionale della colonna precedente. Viceversa, ogni volta che si sposta una colonna a destra, il valore posizionale è 1/10 del valore posizionale della colonna precedente.

Ora, considera il numero decimale 12.3456, che consiste di tre parti: la parte intera, il punto decimale e la parte frazionaria.

La parte intera del numero decimale è la parte che si trova strettamente a sinistra del punto decimale e il valore posizionale di ciascuna cifra nella parte intera è dato dalle colonne mostrate nella Tabella 5.1.

La parte frazionaria del numero decimale è la parte che si trova strettamente a destra della virgola. Come abbiamo visto nella Tabella 5.1, ogni colonna ha un valore pari a 1/10 del valore della colonna che si trova alla sua immediata sinistra. Pertanto, non dovrebbe sorprendere che:

  • La prima colonna a destra del punto decimale ha il valore posizionale 1/10 (decimi).
  • La seconda colonna a destra del punto decimale ha il valore posizionale 1/100 (centesimi).
  • La terza colonna a destra del punto decimale ha il valore posizionale 1/1000 (millesimi).
  • La quarta colonna a destra del punto decimale ha il valore posizionale 1/10000 (decimillesimi).

Questi risultati sono riassunti per il numero decimale 12,3456 nella Tabella 5.2.

Tabella 5.2: Valore posizionale.

Pronunciare i numeri decimali

Il numero decimale 12.3456 è composto da 1 decimo, 2 un, 3 decimi, 4 centesimi, 5 millesimi e 6 decimillesimi (vedi Tabella 5.2), e può essere scritto in forma estesa come

[12.3456 = 10 + 2 + frac{3}{10} + frac{4}{100} + frac{5}{1000} + frac{6}{10000}. onumber ]

Nota che i numeri interi possono essere combinati e le frazioni possono essere scritte con un denominatore comune e sommate.

[ egin{aligned} 12.3456 & = 12 + frac{3 cdot extcolor{red}{1000}}{10 cdot extcolor{red}{1000}} + frac{4 cdot extcolor{ red}{100}}{100 cdot extcolor{red}{100}} + frac{5 cdot extcolor{red}{10}}{1000 cdot extcolor{10}} + frac{6 }{10000} & = 12 + frac{3000}{10000} + frac{400}{10000} + frac{50}{10000} + frac{6}{10000} & = 12 + frac{3456}{10000} end{aligned} onumber ]

Il risultato ci dice come pronunciare il numero 12.3456. Si pronuncia "dodicitremilaquattrocentocinquantasei decimillesimi".

Esempio 1

Posiziona il numero decimale 1.234,56 in forma espansa, quindi combina la parte intera e somma la parte frazionaria su un denominatore comune. Usa il risultato per aiutare a pronunciare il numero decimale.

Soluzione

In forma espansa,

[1, 234,56 = 1, 000 + 200 + 30 + 4 + frac{5}{10} + frac{6}{100} onumber ]

Somma le parti intere. Esprimi le parti frazionarie come frazioni equivalenti e combinale su un denominatore comune.

[ egin{allineato} = 1,234 + frac{5 cdot extcolor{10}}{10 cdot extcolor{red}{10}} + frac{6}{100} = 1,234 + frac{50}{100} + frac{6}{100} = 1, 234 + frac{56}{100} end{aligned} onumber ]

Quindi, 1.234,56 è pronunciato "milleduecentotrentaquattrocinquantasei centesimi".

Esercizio

Posiziona il numero decimale 3.502,23 in forma espansa, quindi combina la parte intera e somma la parte frazionaria su un denominatore comune.

Risposta

(3.502 + frac{23}{100})

Esempio 2

Posiziona il numero decimale 56,128 in forma espansa, quindi combina la parte intera e somma la parte frazionaria su un denominatore comune. Usa il risultato per aiutare a pronunciare il numero decimale.

Soluzione

In forma espansa,

[56.128 = 50 + 6 + frac{1}{10} + frac{2}{100} + frac{8}{1000} onumber ]

Somma le parti intere. Esprimi le parti frazionarie come frazioni equivalenti e combinale su un denominatore comune.

[ egin{aligned} = 56 + frac{1 cdot extcolor{red}{100}}{10 cdot extcolor{red}{100}} + frac{2 cdot extcolor{red} {10}}{100 cdot extcolor{red}{10}} + frac{8}{1000} = 56 + frac{100}{1000} + frac{20}{1000} + frac{8}{1000} = 56 + frac{128}{1000} end{allineato} onumber ]

Quindi, 56.128 è pronunciato "cinquantasei e centoventotto millesimi".

Esercizio

Posiziona il numero decimale 235.568 in forma espansa, quindi combina la parte intera e somma la parte frazionaria su un denominatore comune.

Risposta

(235 + frac{568}{1000})

La discussione e l'esempio portano al seguente risultato.

Come leggere un numero decimale

  1. Pronuncia la parte intera del numero a sinistra del decimale come faresti con qualsiasi numero intero.
  2. Pronuncia la parola "e" per la virgola.
  3. Indica la parte frazionaria a destra del decimale come faresti con qualsiasi numero intero, seguita dal valore posizionale della cifra nella colonna più a destra.

Esempio 3

Pronuncia il numero decimale 34.12.

Soluzione

La cifra più a destra nella parte frazionaria di 34.12 è nella colonna dei centesimi. Pertanto, 34.12 è pronunciato "trentaquattro e dodici centesimi".

Esercizio

Pronuncia 28.73

Risposta

“Ventotto e settantatre centesimi”

Punto importante

Nel pronunciare i numeri decimali, il punto decimale viene letto come "e". Nessun'altra istanza della parola "e" dovrebbe apparire nella pronuncia.

Esempio 4

Spiega perché "quattrocentotrentaquattro e due decimi" è una pronuncia errata del numero decimale 434,2.

Soluzione

Il punto decimale viene letto come "e". Nessun'altra occorrenza della parola "e" è consentita nella pronuncia. La pronuncia corretta dovrebbe essere "quattrocentotrentaquattro e due decimi".

Esercizio

Pronuncia 286.9.

Risposta

"Quattrocentotrentaquattro e due decimi"

Esempio 5

Pronuncia il numero decimale 5.678.123.

Soluzione

La cifra più a destra nella parte frazionaria di 5.678,123 è nella colonna dei millesimi. Quindi, 5.678.123 è pronunciato "5milaseicentosettantotto e centoventitre millesimi".

Esercizio

Pronuncia 7, 002.207

Risposta

Risposta: "Settemiladuecentosette millesimi".

Esempio 6

Pronuncia il numero decimale 995.4325.

Soluzione

La cifra più a destra nella parte frazionaria di 995.4325 è nella colonna dei decimillesimi. Quindi, 995.4325 è pronunciato "novecentonovantacinque e quattromilatrecentoventicinque decimillesimi".

Esercizio

Pronuncia 500.1205.

Risposta

Risposta: "Cinquecento e milleduecentocinque decimillesimi".

Decimali a Frazioni

Poiché ora abbiamo la capacità di pronunciare i numeri decimali, è un semplice esercizio trasformare un decimale in una frazione.1 Ad esempio, 134.12 si pronuncia "centotrentaquattro e dodici centesimi", quindi può essere facilmente scritto come una frazione mista.

[134.12 = 134 frac{12}{100} onumber ]

Ma questa frazione mista può essere modificata in una frazione impropria.

[ egin{allineato} 134 frac{12}{100} & = frac{100 cdot 134 + 12}{100} & = frac{13400 + 12}{100} * = frac{13412}{100} end{aligned} onumber ]

Nota che il numeratore è il nostro numero originale senza la virgola. Ci sono due posizioni decimali nel numero originale e il denominatore della frazione impropria finale contiene due zeri.

Questa discussione porta al seguente risultato.

1La modifica delle frazioni in decimali sarà trattata nella Sezione 5.5.

Modifica dei decimali in frazioni improprie

Per modificare un numero decimale in una frazione impropria, procedere come segue:

  1. Crea una frazione.
  2. Metti il ​​numero decimale al numeratore senza la virgola.
  3. Conta il numero di cifre decimali. Metti un uguale numero di zeri al denominatore.

Esempio 7

Modificare i seguenti numeri decimali in frazioni improprie: (a) 1.2345 e (b) 27.198.

Soluzione

In ogni caso, inserisci il numero al numeratore senza la virgola. Al denominatore, aggiungi un numero di zeri pari al numero di posizioni decimali.

a) Il numero decimale 1.2345 ha quattro cifre decimali. Quindi,

[1.2345 = frac{12345}{10000} onnumero ]

b) Il numero decimale 27.198 ha tre cifre decimali. Quindi,

[27.198 = frac{27198}{1000} onnumero ]

Esercizio

Sostituisci 17.205 con una frazione impropria.

Risposta

(frac{17205}{100})

Esempio 8

Cambia ciascuno dei seguenti decimali in frazioni ridotte ai minimi termini: (a) 0,35 e (b) 0,125.

Soluzione

Metti ogni numero al numeratore senza la virgola. Metti al denominatore un numero di zeri uguale al numero di posizioni decimali. Ridurre ai minimi termini.

a) Per prima cosa, posiziona 35 su 100.

[0.35 = frac{35}{100} onum ]

Possiamo dividere sia numeratore che denominatore per il massimo comun divisore.

[ egin{aligned} = frac{35 div 5}{100 div 5} ~ & extcolor{red}{ ext{ Divide numeratore e denominatore per 5.}} = frac{7} {20} ~ & extcolor{red}{ ext{ Semplifica numeratore e denominatore.}} end{allineato} onumber ]

b) Primo, posiziona 125 su 1000.

[0.125 = frac{125}{1000} onnumero ]

Fattore primo e annulla fattori comuni.

[ egin{aligned} = frac{5 cdot 5 cdot 5}{2 cdot 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 cdot 5} ~ & extcolor{red}{ ext{ Fattore primo numeratore e denominatore.}} = frac{ cancel{5} cdot cancel{5} cdot cancel{5}}{2 cdot 2 cdot 2 cdot cancel{5} cdot cancel{5} cdot cancel{5}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Annulla i fattori comuni.}} = frac{1}{8} ~ & extcolor{red}{ ext {Semplifica.}} end{allineato} onnumero ]

Esercizio

Cambia 0,375 in una frazione, ridotta ai minimi termini.

Risposta

3/8

Arrotondamento

Le regole per l'arrotondamento dei numeri decimali sono quasi identiche alle regole per l'arrotondamento dei numeri interi. Innanzitutto, un po' di terminologia.

Cifra di arrotondamento e cifra di prova

La cifra nel punto a cui vogliamo arrotondare si chiama cifra arrotondata e la cifra che segue alla sua immediata destra si chiama test cifra.

Se vogliamo arrotondare il numero decimale 12,254 al centesimo più vicino, la cifra di arrotondamento è 5 e la cifra di prova è 4.

Se usassimo le regole per l'arrotondamento dei numeri interi, poiché la cifra di prova 4 è minore di 5, sostituiremmo tutte le cifre a destra della cifra di arrotondamento con zeri per ottenere la seguente approssimazione.

12.254 ≈ 12.250

Tuttavia, perché

[12.250 = 12 frac{250}{1000} = 12 frac{25}{100}, onnumero ]

lo zero finale alla fine della parte frazionaria è irrilevante. Quindi, noi troncare ogni cifra dopo la cifra di arrotondamento e utilizzare la seguente approssimazione.

12.254 ≈ 12.25

Osservazione importante

L'eliminazione degli zeri finali dalla fine della parte frazionaria di un numero decimale non ne modifica il valore.

La discussione di cui sopra motiva il seguente algoritmo per l'arrotondamento dei numeri decimali.

Arrotondare i numeri decimali

Trova il cifra arrotondata e il cifra di prova.

  • Se la cifra di prova è maggiore o uguale a 5, aggiungere 1 alla cifra di arrotondamento e troncare tutte le cifre a destra della cifra di arrotondamento.
  • Se la cifra di prova è inferiore a 5, è sufficiente troncare tutte le cifre a destra della cifra di arrotondamento.

Esempio 9

Arrotonda 8.7463 al centesimo più vicino.

Soluzione

Individua la cifra di arrotondamento nei centesimi e la cifra di prova alla sua immediata destra.

Poiché la cifra di prova è maggiore di 5, aggiungere 1 alla cifra di arrotondamento e troncare tutte le cifre a destra della cifra di arrotondamento. Quindi, al centesimo più vicino:

8.7463 ≈ 8.75

Esercizio

Arrotonda 9.2768 al centesimo più vicino.

Risposta

9.28

Esempio 10

Arrotonda 113.246 al decimo più vicino.

Soluzione

Individua la cifra di arrotondamento nei decimi e la cifra di prova immediatamente a destra.

Poiché la cifra di prova è inferiore a 5, troncare tutte le cifre a destra della cifra di arrotondamento. Quindi, al decimo più vicino:

113.246 ≈ 113.2

Esercizio

Arrotonda 58.748 al decimo più vicino.

Risposta

58.7

Confrontare i decimali

Possiamo confrontare due decimali positivi confrontando le cifre in ogni posto mentre ci spostiamo da sinistra a destra, posto per posto. Ad esempio, supponiamo di voler confrontare i numeri decimali 5.234 e 5.2357. Innanzitutto, aggiungi un numero sufficiente di zeri finali al numero decimale con il minor numero di posizioni decimali in modo che i numeri abbiano lo stesso numero di posizioni decimali. In questo caso, tieni presente che

[ 5.234 = 5 frac{234}{1000} = 5 frac{2340}{10000} = 5.2340. onumber ]

Osservazione importante

L'aggiunta di zeri finali alla fine della parte frazionaria di un numero decimale non ne modifica il valore.

Quindi, allinea i numeri come segue.

Mentre esegui la scansione delle colonne, spostandoti da sinistra a destra, il primo posto che ha cifre diverse si verifica nei millesimi, dove la cifra 5 è il secondo numero è maggiore della cifra 4 nel primo numero nello stesso posto. Poiché 5 è maggiore di 4, il secondo numero è maggiore del primo. Questo è:

5.234 < 5.2357

Questa discussione suggerisce il seguente algoritmo.

Confronto di numeri decimali positivi

  1. Aggiungi un numero sufficiente di zeri finali in modo che entrambi i numeri abbiano lo stesso numero di posizioni decimali.
  2. Confronta le cifre in ogni luogo, spostandoti da sinistra a destra.
  3. Non appena trovi due cifre diverse nello stesso posto, il numero decimale con la cifra più grande in questo posto è il numero più grande.

Esempio 11

Confronta 4.25 e 4.227.

Soluzione

Aggiungi uno zero finale al primo numero decimale e allinea i numeri come segue.

La prima differenza è nei centesimi, dove la cifra 5 nel primo numero è maggiore della cifra 2 nella stessa posizione del secondo numero. Quindi, il primo numero è maggiore del secondo; questo è:

4.25 > 4.227

Esercizio

Confronta 8.34 e 8.348.

Risposta

8.34 < 8.348

Quando si confrontano numeri negativi, il numero con la grandezza maggiore è il numero più piccolo. Quindi, dobbiamo adattare il nostro algoritmo per confrontare i numeri decimali negativi.

Confronto di numeri decimali negativi

  1. Aggiungi un numero sufficiente di zeri finali in modo che entrambi i numeri abbiano lo stesso numero di posizioni decimali.
  2. Confronta le cifre in ogni luogo, spostandoti da sinistra a destra.
  3. Non appena trovi due cifre diverse nello stesso posto, il numero decimale con la cifra più grande in questo posto è il numero più piccolo.

Esempio 12

Confronta -4,25 e -4,227.

Soluzione

Aggiungi uno zero finale al primo numero decimale e allinea i numeri come segue.

La prima differenza è nei centesimi, dove la cifra 5 nel primo numero è maggiore della cifra 2 nella stessa posizione del secondo numero. Quindi il primo numero è più piccolo rispetto al secondo; questo è:

−4.25 < −4.227

Esercizio

Confronta -7,86 e -7,85.

Risposta

−7.86 < −7.85

Esercizi

1. Quale cifra si trova nella colonna dei decimi del numero 4.552.0908?

2. Quale cifra si trova nella colonna dei millesimi del numero 7,881.6127?

3. Quale cifra si trova nella colonna dei decimi del numero 4,408.2148?

4. Quale cifra si trova nella colonna dei decimi del numero 9.279.0075?

5. Quale cifra si trova nella colonna dei decimillesimi del numero 2.709.5097?

6. Quale cifra si trova nella colonna dei centesimi del numero 1.743.1634?

7. Quale cifra si trova nella colonna dei centesimi del numero 3.501,4456?

8. Quale cifra si trova nella colonna dei decimillesimi del numero 9,214,3625?

9. Quale cifra si trova nella colonna dei centesimi del numero 5,705.2193?

10. Quale cifra si trova nella colonna dei centesimi del numero 7,135,2755?

11. Quale cifra si trova nella colonna dei decimi del numero 8.129.3075?

12. Quale cifra si trova nella colonna dei millesimi del numero 6.971,4289?


Negli Esercizi 13-20, scrivi il numero decimale dato in forma espansa.

13. 46.139

14. 68.392

15. 643.19

16. 815.64

17. 14.829

18. 45.913

19. 658.71

20. 619.38


Negli Esercizi 21-28, segui la procedura mostrata negli Esempi 1 e 2 per scrivere il numero decimale in forma espansa, quindi unisci la parte intera e somma la parte frazionaria su un denominatore comune.

21. 32.187

22. 35.491

23. 36.754

24. 89.357

25. 596.71

26. 754.23

27. 527.49

28. 496.15


Negli Esercizi 29-40, pronuncia il numero decimale indicato. Scrivi la tua risposta a parole.

29. 0.9837

30. 0.6879

31. 0.2653

32. 0.8934

33. 925.47

34. 974.35

35. 83.427

36. 32.759

37. 63.729

38. 85.327

39. 826.57

40. 384.72


Negli Esercizi 41-52, converti il ​​decimale dato in una frazione mista. Fare non semplifica la tua risposta

41. 98.1

42. 625.591

43. 781.7

44. 219.999

45. 915.239

46. 676.037

47. 560.453

48. 710.9

49. 414.939

50. 120.58

51. 446.73

52. 653.877


Negli Esercizi 53-60, converti il ​​decimale dato in una frazione impropria. Fare non semplifica la tua risposta

53. 8.7

54. 3.1

55. 5.47

56. 5.27

57. 2.133

58. 2.893

59. 3.9

60. 1.271


Negli Esercizi 61-68, converti il ​​decimale dato in una frazione. Riduci la tua risposta ai minimi termini.

61. 0.35

62. 0.38

63. 0.06

64. 0.84

65. 0.98

66. 0.88

67. 0.72

68. 0.78


69. Arrotonda 79.369 al centesimo più vicino.

70. Arrotonda 54.797 al centesimo più vicino.

71. Arrotonda 71.2427 al millesimo più vicino.

72. Arrotonda 59.2125 al millesimo più vicino.

73. Arrotonda 29.379 al decimo più vicino.

74. Arrotonda 42.841 al decimo più vicino.

75. Arrotonda 89.3033 al millesimo più vicino.

76. Round 9.0052 al millesimo più vicino.

77. Arrotonda 20.655 al decimo più vicino.

78. Arrotonda 53.967 al decimo più vicino.

79. Arrotonda 19,854 al centesimo più vicino.

80. Arrotonda 49.397 al centesimo più vicino.


Negli Esercizi 81-92, determina quale delle due affermazioni date è vera.

81. 0.30387617 < 0.3036562 o 0.30387617 > 0.3036562

82. 8.5934 < 8.554 o 8.5934 > 8.554

83. -0.034 < -0.040493 o -0.034 > -0.040493

84. −0,081284 < −0,08118 o −0,081284 > −0,08118

85. −8,3527 < −8,36553 o −8,3527 > −8,36553

86. -0,00786 < -0,0051385 o -0,00786 > -0,0051385

87. 18.62192 < 18.6293549 o 18.62192 > 18.6293549

88. 514.873553 < 514.86374 o 514.873553 > 514.86374

89. 36.8298 < 36.8266595 o 36.8298 > 36.8266595

90. 0.000681 < 0.00043174 o 0.000681 > 0.00043174

91. −15.188392 < −15.187157 o −15.188392 > −15.187157

92. -0.049785 < -0.012916 o -0.049785 > -0.012916


93. Scrivi il numero decimale in lettere.

i) Un diamante blu da 7,03 carati scoperto di recente e venduto all'asta da Sotheby's.

ii) Il telescopio europeo Planck appena lanciato rimarrà in orbita per 1,75 anni misurando la radiazione del Big Bang.

iii) Il sole compone 0,9985 della massa nel nostro sistema solare.

iv) Le particelle di argilla sono piccole - solo 0,0001 pollici.

94. Velocità della luce. L'indice di rifrazione per un dato materiale è un valore che rappresenta il numero di volte in cui un'onda luminosa viaggia più lentamente in quel particolare materiale di quanto viaggia nel vuoto dello spazio.

i) Riordinare i materiali in base al loro indice di rifrazione dal più basso al più alto.

ii) Quante volte è più lenta un'onda luminosa in un diamante rispetto a un vuoto?

MaterialeIndice di rifrazione
Diamante2.417
Vuoto1.0000
plexiglas1.51
Aria1.0003
acqua1.333
Zircone1.923
Vetro corona1.52
Ghiaccio1.31

95. Giornata più corta? Gli scienziati del Jet Propulsion Laboratory della NASA hanno calcolato che il terremoto in Cile potrebbe aver accorciato la durata di un giorno sulla Terra di 1,26 milionesimi di secondo.

i) Scrivi quel numero completamente come decimale.

ii) Le osservazioni effettive della lunghezza del giorno sono accurate a cinque milionesimi di secondo. Scrivi questa frazione come decimale.

iii) Confrontare i due decimali sopra e determinare quale è più piccolo. Pensi che gli scienziati possano osservare e misurare il rallentamento calcolato della terra?


Risposte

1. 0

3. 2

5. 7

7. 4

9. 1

11. 3

13. (40 + 6 + 1 10 + frac{3}{100} + frac{9}{1000})

15. (600 + 40 + 3 + frac{1}{10} + frac{9}{100})

17. (10 + 4 + frac{8}{10} + frac{2}{100} + frac{9}{1000})

19. (600 + 50 + 8 + frac{7}{10} + frac{1}{100})

21. (32 + frac{187}{1000})

23. (36 + frac{754}{1000})

25. (596 + frac{71}{100})

27. (527 + frac{49}{100})

29. novemilaottocentotrentasette decimillesimi

31. duemilaseicentocinquantatre decimillesimi

33. novecentoventicinque e quarantasette centesimi

35. ottantatre e quattrocentoventisette millesimi

37. sessantatre e settecentoventinove millesimi

39. ottocentoventisei cinquantasette centesimi

41. (98 frac{1}{10})

43. (781 frac{7}{10})

45. (915 frac{239}{1000})

47. (560 frac{453}{1000})

49. (414 frac{939}{1000})

51. (446 frac{73}{100})

53. (frac{87}{10})

55. (frac{547}{100})

57. (frac{2133}{1000})

59. (frac{39}{10}|)

61. (frac{7}{20})

63. (frac{3}{50})

65. (frac{49}{50}|)

67. (frac{18}{25})

69. 79.37

71. 71.243

73. 29.4

75. 89.303

77. 20.7

79. 19.85

81. 0.30387617 > 0.3036562

83. −0.034 > −0.040493

85. −8.3527 > −8.36553

87. 18.62192 < 18.6293549

89. 36.8298 > 36.8266595

91. −15.188392 < −15.187157

93.

i) sette e tre centesimi

ii) uno e settantacinque centesimi

iii) novemilanovecentoottantacinque decimillesimi

iv) un decimillesimo di pollice

95.

i) 0,00000126

ii) 0.000005

iii) 0,00000126 < 0,00005; gli scienziati non sarebbero in grado di misurare la variazione calcolata nella lunghezza di un giorno.


Calcolatrice aggiunta di decimali

La calcolatrice esegue operazioni di base e avanzate con decimali, numeri reali e interi. Mostra anche informazioni dettagliate passo passo sulla procedura di calcolo. Risolvere problemi con due, tre o più decimali in un'espressione. Addizione, sottrazione e moltiplicazione dei decimali passo dopo passo. Questa calcolatrice utilizza addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni per calcoli su numeri decimali positivi o negativi, interi, numeri reali e numeri interi. Questo calcolatore di decimali online ti aiuterà a capire come aggiungere, sottrarre, moltiplicare o dividere i decimali. Il calcolatore segue regole ben note per ordine delle operazioni. I mnemonici più comuni per ricordare questo ordine di operazioni sono:
PEMDAS - Parentesi, Esponenti, Moltiplicazione, Divisione, Addizione, Sottrazione.
LETTO - Parentesi, esponenti, divisione, moltiplicazione, addizione, sottrazione
BODMAS - Parentesi, Di o Ordine, Divisione, Moltiplicazione, Addizione, Sottrazione.
GEMDAS - Simboli di raggruppamento - parentesi ()<>, esponenti, moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione.
Stai attento, fallo sempre moltiplicazione e divisione prima addizione e sottrazione. Alcuni operatori (+ e -) e (* e /) hanno la stessa priorità e quindi devono valutare da sinistra a destra.


Decimali

Questa risorsa SMILE contiene due pacchetti di giochi, indagini, fogli di lavoro e attività pratiche a supporto dell'insegnamento e dell'apprendimento dei decimali, dalla lettura dei decimali da una scala alla moltiplicazione di due numeri decimali senza calcolatrice.

I decimali impacchettano uno contiene quindici schede di lavoro con attività di lettura dei decimali da una scala, identificazione di decimali presentati in forme diverse, aggiunta di decimali a una cifra decimale, formazione di sequenze con decimali, ricerca di addizione decimale e moltiplicazione e divisione di decimali per dieci.

Pacchetto decimali due contiene otto schede di lavoro con attività leggermente più impegnative che richiedono agli studenti di abbinare le frazioni al loro equivalente decimale, sottrarre decimali, moltiplicare per decimali e convertire le frazioni in decimali.

SMILE (Secondary Mathematics Individualized Learning Experiment) è stato inizialmente sviluppato come una serie di attività pratiche per studenti delle scuole secondarie da insegnanti praticanti negli anni '70. È diventato uno schema completo individualizzato basato su una rete di schede di attività e valutazioni.

Le risorse correlate includono le risposte a tutte le schede, i libri di prova e le risposte.


Contenuti

Molti sistemi numerali delle antiche civiltà usano il dieci e i suoi poteri per rappresentare i numeri, probabilmente perché ci sono dieci dita su due mani e le persone hanno iniziato a contare usando le dita. Esempi sono prima i numeri egiziani, poi i numeri Brahmi, i numeri greci, i numeri ebraici, i numeri romani e i numeri cinesi. Numeri molto grandi erano difficili da rappresentare in questi vecchi sistemi numerici e solo i migliori matematici erano in grado di moltiplicare o dividere numeri grandi. Queste difficoltà furono completamente risolte con l'introduzione del sistema numerico indo-arabo per la rappresentazione degli interi. Questo sistema è stato esteso per rappresentare alcuni numeri non interi, chiamati frazioni decimali o numeri decimali, per formare il sistema di numerazione decimale.

Per scrivere i numeri, il sistema decimale utilizza dieci cifre decimali, un segno decimale e, per i numeri negativi, un segno meno "-". Le cifre decimali sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 [7] il separatore decimale è il punto " . " in molti paesi, [4] [8] ma anche una virgola " , " in altri paesi. [5]

Per rappresentare un numero non negativo, un numero decimale è composto da

  • una sequenza (finita) di cifre (come "2017"), dove l'intera sequenza rappresenta un numero intero, a m a m − 1 … a 0 un_ldots a_<0>>
  • o un segno decimale che separa due sequenze di cifre (come "20.70828")

Se m > 0 , ovvero se la prima sequenza contiene almeno due cifre, si assume generalmente che la prima cifra unm non è zero. In alcune circostanze può essere utile avere uno o più 0 a sinistra questo non cambia il valore rappresentato dal decimale: ad esempio, 3.14 = 03.14 = 003.14 . Allo stesso modo, se l'ultima cifra a destra del segno decimale è zero, cioè se bn = 0 —può essere rimosso al contrario, gli zeri finali possono essere aggiunti dopo il segno decimale senza cambiare il numero rappresentato [nota 1] per esempio, 15 = 15.0 = 15.00 e 5.2 = 5.20 = 5.200 .

Per rappresentare un numero negativo, viene anteposto un segno meno unm .

Il parte intera o parte integrale di un numero decimale è l'intero scritto a sinistra del separatore decimale (vedi anche troncamento). Per un numero decimale non negativo, è l'intero più grande che non è maggiore del decimale. La parte dal separatore decimale a destra è il parte frazionaria, che è uguale alla differenza tra il numero e la sua parte intera.

Quando la parte integrale di un numero è zero, può accadere, tipicamente nell'informatica, che la parte intera non sia scritta (ad esempio 0,1234 invece di 0,1234). Nella scrittura normale, questo viene generalmente evitato, a causa del rischio di confusione tra il segno decimale e altra punteggiatura.

In breve, il contributo di ogni cifra al valore di un numero dipende dalla sua posizione nel numerale. Cioè, il sistema decimale è un sistema numerico posizionale.

Più in generale, un decimale con n le cifre dopo il separatore rappresentano la frazione con denominatore 10 n , il cui numeratore è l'intero ottenuto rimuovendo il separatore.

Ne segue che un numero è una frazione decimale se e solo se ha una rappresentazione decimale finita.

Espressi come frazione completamente ridotta, i numeri decimali sono quelli il cui denominatore è il prodotto di una potenza di 2 e una potenza di 5. Quindi i minimi denominatori dei numeri decimali sono

I numeri decimali non consentono una rappresentazione esatta per tutti i numeri reali, ad es. per il numero reale π . Tuttavia, consentono di approssimare ogni numero reale con qualsiasi accuratezza desiderata, ad esempio, il decimale 3,14159 approssima il reale π , essendo inferiore a 10 -5, quindi i decimali sono ampiamente utilizzati nella scienza, nell'ingegneria e nella vita di tutti i giorni.

Più precisamente, per ogni numero reale x e ogni intero positivo n , ci sono due decimali l e tu con al massimo n cifre dopo la virgola tale che lXtu e (tul) = 10 −n .

I numeri sono molto spesso ottenuti come risultato della misurazione. Poiché le misurazioni sono soggette a un'incertezza di misurazione con un limite superiore noto, il risultato di una misurazione è ben rappresentato da un decimale con n cifre dopo la virgola, non appena l'errore di misura assoluto è limitato dall'alto da 10 −n . In pratica, i risultati delle misurazioni vengono spesso forniti con un certo numero di cifre dopo la virgola, che indicano i limiti dell'errore. Ad esempio, sebbene 0,080 e 0,08 denotino lo stesso numero, il numero decimale 0,080 suggerisce una misurazione con un errore inferiore a 0,001, mentre il numero 0,08 indica un errore assoluto limitato da 0,01. In entrambi i casi, il vero valore della grandezza misurata potrebbe essere, ad esempio, 0,0803 o 0,0796 (vedi anche cifre significative).

Per un numero reale x e un intero n ≥ 0 , sia [X]n denotare l'espansione decimale (finita) del numero più grande che non è maggiore di X che ha esattamente n cifre dopo la virgola. Permettere dio denota l'ultima cifra di [X]io . È immediato vedere che [X]n può essere ottenuto aggiungendo dn alla destra [X]n−1 . In questo modo si ha

e la differenza di [X]n−1 e [X]n ammonta a

che è 0, se dn = 0 , o diventa arbitrariamente piccolo come n tende all'infinito. Secondo la definizione di limite, X è il limite di [X]n quando n tende all'infinito. Questo è scritto come x = lim n → ∞ [ x ] n < extstyle x=lim _[X]_> o

che si chiama an espansione decimale infinita di X .

Qualsiasi frazione decimale di questo tipo, ovvero: dn = 0 per n > no , può essere convertito nella sua espansione decimale infinita equivalente sostituendo dno di dno − 1 e sostituendo tutti gli 0 successivi con 9 (vedi 0.999. ).

In sintesi, ogni numero reale che non è una frazione decimale ha un'espansione decimale infinita unica. Ogni frazione decimale ha esattamente due espansioni decimali infinite, una contenente solo 0 dopo una certa posizione, che si ottiene con la precedente definizione di [X]n , e l'altro contenente solo 9s dopo un certo luogo, che si ottiene definendo [X]n come il maggior numero che è Di meno di x , avendo esattamente n cifre dopo la virgola.

Numeri razionali Modifica

La divisione lunga consente di calcolare l'espansione decimale infinita di un numero razionale. Se il numero razionale è una frazione decimale, la divisione si interrompe alla fine, producendo un numero decimale, che può essere prolungato in un'espansione infinita aggiungendo infiniti zeri. Se il numero razionale non è una frazione decimale, la divisione può continuare all'infinito. Tuttavia, poiché tutti i resti successivi sono inferiori al divisore, esiste solo un numero finito di possibili resti e, dopo un certo punto, la stessa sequenza di cifre deve essere ripetuta indefinitamente nel quoziente. Cioè, uno ha un decimale ripetuto. Per esempio,

È vero anche il contrario: se, a un certo punto della rappresentazione decimale di un numero, la stessa stringa di cifre inizia a ripetersi all'infinito, il numero è razionale.

La maggior parte dei moderni sistemi hardware e software per computer usa comunemente una rappresentazione binaria internamente (sebbene molti primi computer, come l'ENIAC o l'IBM 650, usassero la rappresentazione decimale internamente). [10] Per uso esterno da parte di specialisti di computer, questa rappresentazione binaria è talvolta presentata nei relativi sistemi ottali o esadecimali.

Per la maggior parte degli scopi, tuttavia, i valori binari vengono convertiti in o dai valori decimali equivalenti per la presentazione o l'input da parte degli esseri umani i programmi per computer esprimono i letterali in decimale per impostazione predefinita. (123.1, ad esempio, è scritto come tale in un programma per computer, anche se molti linguaggi per computer non sono in grado di codificare quel numero con precisione.)

Sia l'hardware che il software del computer utilizzano anche rappresentazioni interne che sono effettivamente decimali per memorizzare valori decimali e fare calcoli. Spesso questa aritmetica viene eseguita su dati codificati utilizzando qualche variante di decimale codificato in binario, [11] [12] specialmente nelle implementazioni di database, ma ci sono altre rappresentazioni decimali in uso (inclusa la virgola mobile decimale come nelle revisioni più recenti del Standard IEEE 754 per l'aritmetica in virgola mobile). [13]

L'aritmetica decimale viene utilizzata nei computer in modo che i risultati frazionari decimali dell'aggiunta (o della sottrazione) di valori con una lunghezza fissa della loro parte frazionaria siano sempre calcolati con la stessa lunghezza di precisione. Ciò è particolarmente importante per i calcoli finanziari, ad esempio, che richiedono nei loro risultati multipli interi dell'unità monetaria più piccola per scopi di contabilità. Questo non è possibile in binario, perché le potenze negative di 10 non hanno una rappresentazione frazionaria binaria finita ed è generalmente impossibile per la moltiplicazione (o divisione). [14] [15] Vedere Aritmetica a precisione arbitraria per calcoli esatti.

Molte culture antiche calcolate con numeri basati su dieci, a volte argomentate a causa del fatto che le mani umane hanno tipicamente dieci dita/cifre. [16] I pesi standardizzati utilizzati nella civiltà della valle dell'Indo (c. 3300–1300 a.C.) erano basati sui rapporti: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20 , 50, 100, 200 e 500, mentre il loro righello standardizzato - il sovrano Mohenjo-daro – è stato diviso in dieci parti uguali. [17] [18] [19] I geroglifici egizi, in evidenza fin dal 3000 a.C. circa, usavano un sistema puramente decimale, [20] così come i geroglifici cretesi (c. 1625-1500 a.C.) dei minoici i cui numeri sono strettamente basati su il modello egiziano. [21] [22] Il sistema decimale è stato tramandato alle successive culture dell'età del bronzo della Grecia, tra cui Lineare A (c. 18° secolo a.C.-1450 a.C.) e Lineare B (c. 1375-1200 a.C.) - il sistema numerico di classical Greece also used powers of ten, including, Roman numerals, an intermediate base of 5. [23] Notably, the polymath Archimedes (c. 287–212 BCE) invented a decimal positional system in his Sand Reckoner which was based on 10 8 [23] and later led the German mathematician Carl Friedrich Gauss to lament what heights science would have already reached in his days if Archimedes had fully realized the potential of his ingenious discovery. [24] Hittite hieroglyphs (since 15th century BCE) were also strictly decimal. [25]

Some non-mathematical ancient texts such as the Vedas, dating back to 1700–900 BCE make use of decimals and mathematical decimal fractions. [26]

The Egyptian hieratic numerals, the Greek alphabet numerals, the Hebrew alphabet numerals, the Roman numerals, the Chinese numerals and early Indian Brahmi numerals are all non-positional decimal systems, and required large numbers of symbols. For instance, Egyptian numerals used different symbols for 10, 20 to 90, 100, 200 to 900, 1000, 2000, 3000, 4000, to 10,000. [27] The world's earliest positional decimal system was the Chinese rod calculus. [28]

History of decimal fractions Edit

Decimal fractions were first developed and used by the Chinese in the end of 4th century BCE, [29] and then spread to the Middle East and from there to Europe. [28] [30] The written Chinese decimal fractions were non-positional. [30] However, counting rod fractions were positional. [28]

J. Lennart Berggren notes that positional decimal fractions appear for the first time in a book by the Arab mathematician Abu'l-Hasan al-Uqlidisi written in the 10th century. [32] The Jewish mathematician Immanuel Bonfils used decimal fractions around 1350, anticipating Simon Stevin, but did not develop any notation to represent them. [33] The Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī claimed to have discovered decimal fractions himself in the 15th century. [32] Al Khwarizmi introduced fraction to Islamic countries in the early 9th century a Chinese author has alleged that his fraction presentation was an exact copy of traditional Chinese mathematical fraction from Sunzi Suanjing. [28] This form of fraction with numerator on top and denominator at bottom without a horizontal bar was also used by al-Uqlidisi and by al-Kāshī in his work "Arithmetic Key". [28] [34]

A forerunner of modern European decimal notation was introduced by Simon Stevin in the 16th century. [35]

Natural languages Edit

A method of expressing every possible natural number using a set of ten symbols emerged in India. Several Indian languages show a straightforward decimal system. Many Indo-Aryan and Dravidian languages have numbers between 10 and 20 expressed in a regular pattern of addition to 10. [36]

The Hungarian language also uses a straightforward decimal system. All numbers between 10 and 20 are formed regularly (e.g. 11 is expressed as "tizenegy" literally "one on ten"), as with those between 20 and 100 (23 as "huszonhárom" = "three on twenty").

A straightforward decimal rank system with a word for each order (10 十 , 100 百 , 1000 千 , 10,000 万 ), and in which 11 is expressed as ten-one and 23 as two-ten-three, and 89,345 is expressed as 8 (ten thousands) 万 9 (thousand) 千 3 (hundred) 百 4 (tens) 十 5 is found in Chinese, and in Vietnamese with a few irregularities. Japanese, Korean, and Thai have imported the Chinese decimal system. Many other languages with a decimal system have special words for the numbers between 10 and 20, and decades. For example, in English 11 is "eleven" not "ten-one" or "one-teen".

Incan languages such as Quechua and Aymara have an almost straightforward decimal system, in which 11 is expressed as ten with one and 23 as two-ten with three.

Some psychologists suggest irregularities of the English names of numerals may hinder children's counting ability. [37]


Unit Resources

Place Value Through Ten-Thousands

Student Reference Book pages 200, 201

Baseball Multiplication
(Student Reference Book, page 274-277)

Reading, Writing, and Ordering Numbers
(CCSS Ed.)

Reading, Writing and Ordering Numbers
(3rd Ed.)

Student Reference Book pages 302, 303

Student Reference Book page 304

Number Top-It
(Student Reference Book, page 304)

Application: The U.S. Census

Student Reference Book page 194

Number Top-It
(Student Reference Book, page 304)

Number Top-It (7-Digit Numbers)
(Student Reference Book, page 304)

Exploring Estimates and Polygons
(CCSS Ed.)

Explorations: Exploring Estimates and Polygons
(3rd Ed.)

Model Decimals with Base-10 Blocks

Student Reference Book pages 33-36

Student Reference Book pages 33-35

Tenths and Hundredths of a Meter

Student Reference Book pages 137-140

Application: Rainfall
(CCSS Ed.)

Application: Rainfall
(3rd Ed.)

Student Reference Book pages 137-140

Number Top-It (Decimals)
(Student Reference Book, page 305)

Student Reference Book pages 35, 36

Baseball Multiplication
(Student Reference Book, page 274-277)

Sunrise-Sunset Line Graphs

Student Reference Book pages 60, 61, 63, 190, 191

Everyday Mathematics for Parents: What You Need to Know to Help Your Child Succeed

The University of Chicago School Mathematics Project

University of Chicago Press


More examples showing how to write decimals in words.

25.578  is read twenty-five and five hundred seventy-eight thousandths.

7000.14  is read seven thousand and fourteen hundredths.

0.002  is read two thousandths.

Notice that for the example right above, there is no need to say zero and two thousandths. 

250.00035  is read two hundred fifty and thirty five hundred-thousandths.

10.061  is read ten and sixty-one thousandths.

7001.01  is read seven thousand, one and one hundredth.

0.0020  is read twenty ten-thousandths.

Notice again that there is no need to say zero and twenty ten-thousandths. 

488.53846 is read four hundred eighty-eight and fifty-three thousand, eight hundred forty-six hundred-thousandths.


Lesson 2: Adding and Subtracting Decimals

Adding and subtracting with decimals

Aggiunta e subtracting decimals happens a lot in real life. You may find that you need to add up the cost of your groceries to see if you have enough money to pay for them. Or perhaps you need to subtract the cost of a bill from your bank account.

When you&aposre adding or subtracting decimal numbers, it&aposs important to set up the expression correttamente. Il numeri need to be in a certain place, and so do the decimali.

Click through the slideshow below to learn how to set up these expressions.

First, let&aposs set up an addition expression: 21.4 plus 6.82 .

Just like with any addition example, we&aposre going to pila one number on top of the other.

But instead of lining our numbers up on the right.

But instead of lining our numbers up on the right. we&aposre going to line up the decimal points.

No matter how many numbers are on either side of the decimal point, we&aposll always line up the decimal points before adding.

Once we have the decimal points lined up, our decimals are ready to be added.

When we subtract decimals, we&aposll set up the decimals in the same way. Let&aposs set up this example.

Instead of lining up our two numbers on the right, we&aposll line up the two decimal points.

And now our decimals are ready to be subtracted.

Adding decimal numbers

Now that we know how to set up problems with decimals, let&aposs practice by solving a few. First, we&aposll work on aggiungendo. If you feel comfortable adding larger numbers, you&aposre ready to add decimal numbers.

Click through the slideshow to learn how to add decimals.

Let&aposs try solving this problem: 1.9 + 2.15 .

First, we&aposll make sure the decimals are lined up.

We&aposll start by adding the digits farthest to the giusto. In this case, we have nothing on top and 5 on the bottom.

Nothing plus 5 equals 5 . We&aposll write 5 beneath the line.

Now we&aposll add the next set of digits to the sinistra: 9 and 1 .

9 + 1 equals 10 , but there&aposs no room to write both digits in 10 underneath the 9 and 1 . We&aposll have to trasportare.

We learned how to carry numbers in the lesson on Adding Two- and Three-Digit Numbers.

We&aposll write the right digit, 0 , sotto the line.

We&aposll write the right digit, 0 , sotto the line. then we&aposll carry the left digit, 1 , up to the Il prossimo set of digits in the problem.

Now we&aposll write the decimal point. We&aposll place it directly sotto the other two decimal points.

Next, we&aposll move sinistra to add the next set of digits: 1 and 2 . Since we carried the 1 , we&aposll add it too.

1 + 1 + 2 equals 4 . We&aposll write 4 below the line.

We&aposre done. 1.9 + 2.15 = 4.05 . We can read this answer as four and five-hundredths.

Let&aposs try it with a money problem: $51.99 + $25.32 .

We&aposll make sure our decimal points are lined up properly.

As always, we&aposll start by adding the digits on the right. Here, that&aposs 9 and 2 .

9 + 2 equals 11 , so it looks like we&aposll have to trasportare.

The 1 on the giusto stays underneath the 9 and the 2 .

We&aposll carry the 1 on the sinistra and place it above the Il prossimo set of digits to the left.

Now we&aposll move sinistra to add the next set of digits. Since we carried the 1 , we&aposll add it too.

We&aposll put the 3 sotto the digits we added.

We&aposll carry the 1 and place it sopra the next column to the left.

Now it&aposs time to write the decimal point. Remember to place it directly sotto the other two decimal points.

Next, we&aposll move sinistra and add the next set of digits. We&aposll make sure to add the 1 we carried.

1 + 1 + 5 = 7 . We&aposll write 7 beneath the line.

To finish, we&aposll add the next column to the left: 5 and 2 .

5 + 2 equals 7 . We&aposll write 7 underneath the 2 .

We&aposll finish by writing the dollar sign ( $ ).

We&aposre done. $51.99 + $25.32 = $77.31 . We can read this answer as seventy-seven dollars and thirty-one cents.

Prova questo!

Try solving these problems to practice adding decimal numbers.

Subtracting Decimal Numbers

On the previous page, you saw that aggiungendo numbers with decimals is a lot like adding other numbers. The same is true for subtracting numbers with decimals. If you can subtract large numbers, you can subtract numbers with decimals too!

Click through the slideshow to learn how to subtract decimals.

Let&aposs try to solve this problem: 41.2 - 3.09 .

First, we&aposll make sure the expression is set up correctly. Here, 41.2 is the larger number, so we&aposll put it on top.

The decimal points are lined up.

As always, we’ll begin with the digits farthest to the giusto. Here, we have nothing on top and 9 on the bottom.

We can’t take 9 away from nothing . We&aposll need to place a digit dopo 41.2 so we can subtract from it.

The value of our number won&apost change if we use the digit that means nothing: 0 . We&aposll place a 0 after 41.2 .

Now we can subtract the digits on the right. 0 is smaller than 9 , so we’ll need to borrow to make 0 larger.

We learned how to borrow in the lesson on Subtracting Two- and Three-Digit Numbers.

We&aposll borrow from the digit to the sinistra of 0 . Here, it&aposs 2 . We&aposll take 1 from it.

2 - 1 = 1 . To help us remember we subtracted 1, we&aposll cross out the 2 and write 1 sopra esso.

Then we&aposll place the 1 we took next to the 0 .

10 is larger than 9 , which means we can subtract. We&aposll solve for 10 - 9 .

10 - 9 = 1 . We&aposll write 1 beneath the line.

Now we&aposll move sinistra to subtract the next set of digits: 1 - 0 .

1 - 0 = 1 . We&aposll write 1 beneath the line.

Now it&aposs time to write the decimal point. We&aposll place it directly sotto the other two decimal points.

Now we&aposll find the differenza of the next set of digits to the left: 1 - 3 .

Because 1 is smaller than 3, it looks like we&aposll need to borrow again. We need to make the 1 larger.

We&aposll borrow from the digit to the sinistra of 1 . Here, we&aposll borrow 1 from the 4 .

4 - 1 = 3 . We&aposll write 3 above the 4 .

Then we&aposll place the 1 we took Il prossimo to the 1 .

11 is larger than 3 , which means we can subtract. We&aposll solve for 11 - 3 .

11 - 3 = 8 . We&aposll write 8 beneath the line.

Finally, we&aposll move to the sinistra to subtract the last set of digits. The top digit is 3 , but there&aposs nothing beneath it.

3 minus nothing equals 3 , so we&aposll write 3 beneath the line.

41.2 - 3.09 = 38.11 . We can read this as thirty-eight and eleven-hundredths.

Let&aposs try subtracting money. Let&aposs see if we can solve $14.76 - $3.86 .

First, let&aposs make sure the expression is set up correctly. The larger number is on superiore, and the decimal points are lined up.

As always, let&aposs start by finding the differenza of the digits on the right. Here, that&aposs 6 - 6 .

6 - 6 = 0 . We&aposll write 0 beneath the line.

We&aposll move sinistra to the next set of digits: 7 and 8 . 7 is smaller than 8 , so we&aposll borrow to make 7 larger.

Let&aposs look at the digit to the sinistra of 7 . Here, it&aposs 4 . We&aposll take 1 from it.

4 - 1 = 3 . We&aposll cross out the 4 and write 3 sopra esso.

Then we&aposll place the 1 we took Il prossimo to the 7 .

Now it&aposs time to subtract. We&aposll solve for 17 - 8 .

17 - 8 = 9 . We&aposll write 9 beneath the line.

We&aposll put a decimal point direttamente sotto the other two decimal points.

Next, we&aposll move sinistra per trovare il differenza of the next set of digits. Here, that&aposs 3 - 3 .

3 - 3 = 0 . We&aposll write 0 below the line.

Finally, we&aposll move sinistra per subtract the last set of digits. The top digit is 1 , but there&aposs nothing beneath it.

1 minus nothing equals 1 . We&aposll write 1 beneath the line.

Next, we&aposll write a dollar sign ( $ ) to the left of the 1 .

$14.76 - $3.86 = $10.90 . We can read this as ten dollars and ninety cents.


Estimating Decimal Products

Example 1: If gasoline costs $6.50 per gallon and your gas tank holds 15.5 gallons, then about how much will you pay to fill your tank?

Analysis: The phrase about how much indicates that we need to estimate. To solve this problem, we will estimate the product of these decimal factors. There are many strategies that we could use. Let's try the two strategies shown below.

Strategy 1: Round both factors to the nearest one.

The estimated product is $112.

Strategy 2: Round one factor up and one factor down.

The estimated product is $100.

Answer: Using the first estimation strategy, it will cost about $112 to fill your gas tank. Using the second estimation strategy, it will cost about $100 to to fill your gas tank.

In the example above, the ones digit of each factor is close to 5. The factor 15.5 is about halfway between 10 and 20, and the factor 6.5 is about halfway between 0 and 10. Thus, it is easier to round one factor up and one factor down (10 x 10) than to round each decimal to the nearest one (16 x 7). The actual answer is $100.75, so both estimates are reasonable. However, for this problem, the second strategy was easier to use.

There are other estimation strategies we can use. The compatible numbers strategy makes it easy to do mental arithmetic.

Definizione: Compatible numbers are numbers that are close in value to the actual numbers and which make it easy to do mental arithmetic. When estimating with compatible numbers, you generally choose numbers that you can work with mentally.

Example 2: Estimate the product: 46.5 x 2.4

Analysis: If we round each decimal factor to the nearest one, we would get 47 x 2. The factor 46.5 is close to 50 and the factor 2.4 is close to 2. Therefore, choosing compatible numbers 50 and 2 would make it easier to multiply mentally.

Estimate: Strategy 3: Use compatible numbers to estimate the product.

Answer: The estimated product of 46.5 and 2.4 is 100.

In Example 2, each factor was changed to a compatible number. The numbers 50 and 2 are compatible since they make it easy to multiply mentally. So far, we have tried three different strategies for estimating decimal products. Let's look at an example that uses a fourth strategy.

Example 3: Estimate the product: 74.8 x 5.7

Analysis: If we round each decimal factor to the nearest one, we would get 75 x 6. These numbers are not easy to multiply. Let's try another strategy.

Estimate: Strategy 4: Round both factors down and then both factors up
to find a range for the product.

Answer: The product of 74.8 and 5.7 ranges from 350 to 480.

Note that in Example 3, we used one strategy that consisted of two parts. We know that the product of 74.8 and 5.7 can be no less than 350 and no more than 480. This is because 70 and 5 are both less than the actual factors and 80 and 6 are both greater than the actual factors. Thus, we can be certain that the product ranges from 350 to 480.

In each of the examples above, rounding a decimal to the nearest one was not the preferred strategy. This is because you can end up with numbers that are not easy to multiply, such as 16 x 7. For the balance of this lesson, we will focus on the following strategies for estimating decimal products:

  • Round one factor up and one factor down to estimate the product.
  • Use compatible numbers to estimate the product.
  • Round both factors down and then both factors up to find a range for the product.

In Examples 4 though 6, we will analyze each problem to determine which of these estimation strategies is easiest to use.

Example 4: Estimate the product: 65.3 x 44.8

Analysis: The ones digit of each factor is close to 5. The factor 65.3 is about halfway between 60 and 70, and the factor 44.8 is about halfway between 40 and 50.

Strategy: Round one factor up and one factor down to estimate the product.

Answer: The estimated product of 65.3 and 44.8 is 2,800.

When we round one factor up and one factor down, we round to the tens place. (If we rounded to the ones place, that would give us 65 x 45, and these numbers are not easy to multiply.)

Example 5: Estimate the product: 53.9 x 32.1

Analysis: The ones digit of each factor is not close to 5, so rounding one factor up and one factor down is not a good strategy for this problem. With compatible numbers, we use numbers such as 50 and 30 to make the arithmetic easy. However, 50 and 30 are both less than the actual factors, so we will get an underestimate. Instead, we will round both factors down and then both factors up to find a range for the product.

Strategy: Round both factors down and then both factors up to find a range for the product.

Estimate: Round both factors down

Answer: The product of 53.9 and 32.1 ranges from 1,500 to 2,400.

In Example 5, we know that the product of 53.9 and 32.1 can be no less than 1,500 and no more than 2,400. This is because 50 and 30 are both less than the actual factors and 60 and 40 are both greater than the actual factors. Thus, we can be certain that the product ranges from 1,500 to 2,400. The actual answer is 1,730.19, so using this strategy gave us a reasonable estimate. (If we had used compatible numbers 50 and 30, our estimated product would have been 1,500, which is an underestimate.)

Example 6: Estimate the product: 26.4 x 2.7.

Analysis: The factor 26.4 is close to 25 and the factor 2.7 is close to 3.

Strategy: Use compatible numbers to estimate the product.

Answer: The estimated product of 26.4 and 2.7 is 75.

In Example 6, each factor was changed to a compatible number. The numbers 25 and 3 are compatible since they make it easy to multiply mentally.

Example 7: A jar of candy costs $3.25. Eric estimated that he would have to pay $24 for 8 jars. If the actual cost is $26, did he overestimate or underestimate? Explain your answer.

Answer: Eric underestimated because his estimated product of $24 was lower than the actual cost of $26.

Example 8: A blank DVD costs $2.89. Sarah estimated that she would have to pay $18 for 6 DVDs. If the actual cost is $17.34, did she overestimate or underestimate? Explain your answer.

Answer: Sarah overestimated because her estimated product of $18 was higher than the actual cost of $17.34.

Example 9: Ken multiplied 7.8 by 8.3 and got a product of 647.4. Use estimation to determine whether his answer is reasonable or unreasonable. Explain your answer.

Answer: Ken’s answer of 647.4 is unreasonable since 8 x 8 = 64.

Example 10: Jill multiplied 21.4 by 9.6 and got a product of 205.44. Use estimation to determine whether her answer is reasonable or unreasonable. Explain your answer.

Answer: Jill’s answer of 205.44 is reasonable since 20 x 10 = 200.

Summary: In this lesson, we learned how to estimate decimal products using three different strategies. Estimates will vary depending on the strategy used. The goal is use the strategy that gives us a reasonable estimate, and which makes it easy to multiply. We also determined if an estimated product was an overestimate or an underestimate by comparing it with the actual answer. Lastly, we used estimation to determine if an answer was reasonable or unreasonable.

Exercises

Directions: Read each question below. You may use paper and pencil to help you estimate. Select your answer by clicking on its button. Feedback to your answer is provided in the RESULTS BOX. If you make a mistake, choose a different button.


Multiplying Decimals by Decimals

In the video below, I explain the rule for multiplying decimals (put as many decimal digits in the answer as there are in the factors.) I explain where this rule comes from, using fraction multiplication. The lesson continues below the video.

You have learned to think of multiplication by a whole number, such as 3 × 4 or 8 × 0.6, as repeated
addition. However, this concept does not work when neither of the factors is a whole number, as in
0.83 × 1.43 or 2/3 × 7/11. Instead, when you multiply decimals or fractions, think of it as finding
"a certain part of&rdquo the other factor. In this sense, the symbol &ldquo×&rdquo translates to &ldquoof.&rdquo

Esempio. 0.1 × 80 means finding one-tenth &ldquoof&rdquo 80. That is simply 8.

Esempio. 0.4 × 80 means finding four-tenths &ldquoof&rdquo 80. Since one-tenth of 80 is 8, then 0.4 of 80 is four times as much, or 32.

Esempio. 0.02 × 3,000 means finding two-hundredths of 3,000. Since one-hundredth of 3,000 is 30, then 0.02 of 3,000 is two times as much, or 60.

1. Write as a multiplication using a decimal, and solve. Remember, "of" translates into "×". Usa il
top problem in each box to help you solve the bottom one.

_______ × _______ = _______

f. six-hundredths of 4,000

2. Solve. Use the top problem in each box to help you solve the bottom one.

un. Find 0.1 × 30 ________

b. Find 0.1 × 400 _________

c. Find 0.01 × 600 _________

d. Find 0.1 × 520 ________

e. Find 0.001 × 5,000 _________

f. Find 0.01 × 800 _________

3. Answer. You do not have to calculate.

un. You have learned that 0.1 × 246 means one-tenth of 246.
Will the result of 0.1 × 246 be more or less than 246?

b. Also, 0.1 × 0.8 means one-tenth of 0.8.
Will the result of 0.1 × 0.8 be more or less than 0.8?

c. Will the result of 1.9 × 928 be more or less than 928?

Ridimensionamento means expanding or shrinking something by some factor.

This red stick is 40 pixels long.
Let&rsquos scale it to be four times as long:

We can write a multiplication "equation":

Using pixels, 4 × 40 px = 160 px.

Now let&rsquos scale the red stick to be
0.4 (four-tenths) as long as it is at first:

Notice, it shrank! We can write:

In pixels, 0.4 × 40 px = 16 px.

The number we multiply by (4 and 0.4 above) is called the scaling factor.

If the scaling factor is more than 1, such as 2.3, the resulting stick is più a lungo than the original one.
If the scaling factor is less than 1, such as 0.5 or 0.66, the resulting stick is shorter.

4. The stick is being shrunk. How long will it be in pixels? Compare the problems.

Let’s espandere this stick (40 px) to be 1.2 times as long: &rarr

We can write a multiplication: 1.2 × =

To calculate how long it is in pixels, let’s first figure out what 0.2 of 40 is.
Since one-tenth of 40 is 4, then 0.2 of 40 is double that, or 8.
Then, 1.2 × 40 px would be 1 × 40 px and 0.2 × 40 px, or 40 + 8 = 48 pixels.

5. The red stick is 50 pixels long. It is being expanded o shrunk. Fill in the blanks.

6. Tell if the resulting stick after being "multiplied" will be shorter or longer than the original.

Half of 5 is 2.5, or 0.5 × 5 = 2.5. This resembles the familiar multiplication 5 × 5 = 25!

One-tenth of 20 is 2, so three-tenths of 20 is 6. We can write 0.3 × 20 = 6.
This resembles the familiar multiplication 3 × 2 = 6!

1) Multiply as if there were no decimal points.

7. Fill in Anita’s reasoning.

un. To calculate 0.8 × 0.8, I first multiply 8 × 8 = 64. The answer to 0.8 × 0.8 has to be leggermente
più piccolo
than 0.8, because scaling anything by 0.8 is close to the original, but somewhat smaller.
So, 0.8 × 0.8 can&rsquot be 64, and it cannot be 6.4, but it is _________!

b. 0.1 × 5.6 has to be 1/10 of the size of 5.6. So, it cannot be 56. Could it be 5.6? No, because
1 × 5.6 = 5.6. So, 0.1 × 5.6 has to equal __________.

The shortcut to decimal multiplication

1) Multiply as if there were no decimal points.

Example 2. 12 × 2 × 0.3 × 0.2

8. Multiply primo come se there were NO decimal points. Then add the decimal point to the answer.

g. 2.1 × 0.2 × 0.5 = _________

h. 0.4 × 4 × 0.2 = _________

d. 3 × 0.2 × 0.5 = _______

e. 300 × 0.009 = ________

g. 0.6 × 0.2 × 0.5 = ________

h. 600 × 0.004 = __________

If you buy 0.8 kg, you do the same: multiply the price by 0.8.

To find 0.8 × $1.20, first multiply without the decimal point: 8 × 120 = 960. The factors have
1 and 2 decimal digits, so the answer must have three decimal digits: 0.960. We can omit the final
zero, and give the answer as .96.

11. Find the total cost. Write a multiplication.

un. Ribbon costs $1.10 per meter, and you buy 0.4 meters.

b. Nuts cost $8 per pound. You buy 0.3 pounds.

c. A phone call costs $7 per hour. You talk for 1.2 hours.

d. Lace costs $2.20 per meter, and you buy 1.5 meters.

This lesson is taken from Maria Miller's book Math Mammoth Decimals 2, and posted at www.HomeschoolMath.net with permission from the author. Copyright © Maria Miller. It addresses the Common Core Standard for 5th grade 5.NBT.7.

Math Mammoth Decimals 2

A self-teaching worktext for 5th-6th grade that covers the four operations with decimals up to three decimal digits, concentrating on decimal multiplication and division. The book also covers place value, comparing, rounding, addition and subtraction of decimals. There are a lot of mental math problems.


Decimal Exponents

Decimal exponents are simply an expansion of that topic. Mastering decimal exponents is essential for many superior mathematical applications. Mechanical and aeronautical engineering equations frequently require calculations involving decimal exponents. For the most part in engineering trade calculators can solve problems with decimal exponents, but as with any other mathematical procedure, it is significant to learn how to do the calculations manually to completely understand the results. Example for decimal exponents 20.5 and the result is 1.414.
Example Problem for Decimal Exponents:

Product for decimal exponents:

The both terms have same base, am.an = am+n

The both terms have same base, a^m.a^n = a^m+n

Practice Problem for Decimal Exponents:

Convert decimal exponent to rational exponent:

Change the decimal exponent to a rational exponent. If the decimal exponent is 0.4, the rational correspondent will be 4/10. Dropping the fraction by factorization simplifies it to 2/5, since the prime factor 𔄚” can be separated out of both the numerator and denominator.
Solve the numerator part of the problem. In this case, the problem started as 2^(0.4), which can be rewritten as 2^2/5. The numerator of the exponent is 𔄚,” so the solution to this branch of the problem is 2^2.
The entire problem by solving the denominator portion. In this suitable example, the denominator is 𔄝.”The complete whole solution is fifth root of four.
So the final result is fifth root of four.

This is the final result for 5^1.5
Between, if you have problem on these topics Laws of Exponents, please browse expert math related websites for more help on what are exponents.

Change the decimal exponent to a rational exponent. If the decimal exponent is 1.5, the rational correspondent will be 3/2. Dropping the fraction by factorization simplifies as it is 3/2,
Solve the numerator part of the problem. In this case, the problem started as 5^(1.5), which can be rewritten as 5^3/2. The numerator of the exponent is 𔄚,” so the solution to this branch of the problem is 5^3.
The entire problem by solving the denominator portion. In this suitable example, the denominator is 2. The complete solution is root of 125.


Guarda il video: I numeri decimali seconda parte (Ottobre 2021).