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4: Vettori nello spazio, n-vettori - Matematica


Per continuare il nostro viaggio di algebra lineare, dobbiamo discutere i (n)-vettori con un numero arbitrariamente grande di componenti. Il modo più semplice per pensare a questi è come elenchi ordinati di numeri,

[a=egin{pmatrix}a^{1} vdots a^{n}end{pmatrix} .]

( extit {Non essere confuso dal nostro uso di un apice per etichettare i componenti di un vettore. Qui (a^2) denota il secondo componente del vettore (a), piuttosto che il numero $a$ al quadrato!}) Sottolineiamo che l'ordine è importante:

[egin{pmatrix}7 4 2 5 end{pmatrix} eq egin{pmatrix}7 2 4 5 end{pmatrix} .]

L'insieme di tutti i (n)-vettori è indicato con (mathbb{R}^n). Come un'equazione

[ {mathbb{R}}^n :=left{ egin{pmatrix}a^1 vdots a^nend{pmatrix} middlevert , a^1 ,dots, a^n in mathbb{R} ight} ,.]

Miniatura: Il volume di questo parallelepipedo è il valore assoluto del determinante della matrice 3 per 3 formata dai vettori (r_1), (r_2) e (r_3). (CC BY-SA 3.0; Claudio Rocchini)


Spazio quadridimensionale

UN spazio quadridimensionale (4D) è un'estensione matematica del concetto di spazio tridimensionale o 3D. Lo spazio tridimensionale è l'astrazione più semplice possibile dell'osservazione che occorrono solo tre numeri, chiamati dimensioni, per descrivere le dimensioni o la posizione degli oggetti nel mondo di tutti i giorni. Ad esempio, il volume di una scatola rettangolare si trova misurando e moltiplicando la sua lunghezza, larghezza e altezza (spesso etichettata X, , e z).

L'idea di aggiungere una quarta dimensione iniziò con "Dimensions" di Jean le Rond d'Alembert pubblicato nel 1754, [1] [2] fu seguito da Joseph-Louis Lagrange a metà del 1700, e culminò in una precisa formalizzazione del concetto nel 1854 da Bernhard Riemann. Nel 1880, Charles Howard Hinton rese popolari queste intuizioni in un saggio intitolato "Cos'è la quarta dimensione?", che spiegava il concetto di "cubo quadridimensionale" con una generalizzazione passo passo delle proprietà di linee, quadrati, e cubetti. La forma più semplice del metodo di Hinton consiste nel disegnare due cubi 3D ordinari nello spazio 2D, uno che racchiude l'altro, separati da una distanza "invisibile", e quindi tracciare linee tra i loro vertici equivalenti. Questo può essere visto nell'animazione di accompagnamento ogni volta che mostra un cubo interno più piccolo all'interno di un cubo esterno più grande. Le otto linee che collegano i vertici dei due cubi in questo caso rappresentano a singola direzione nella quarta dimensione "invisibile".

Spazi dimensionali superiori (cioè maggiori di tre) da allora sono diventati una delle basi per esprimere formalmente la matematica e la fisica moderne. Gran parte di questi argomenti non potrebbero esistere nelle loro forme attuali senza l'uso di tali spazi. Il concetto di spaziotempo di Einstein utilizza un tale spazio 4D, sebbene abbia una struttura Minkowski leggermente più complicata dello spazio 4D euclideo.

Le singole posizioni nello spazio 4D possono essere fornite come vettori o n-tuple, ovvero come elenchi ordinati di numeri come (X, , z, w). È solo quando tali luoghi sono collegati tra loro in forme più complicate che emergono la piena ricchezza e complessità geometrica degli spazi dimensionali più elevati. Un suggerimento a tale complessità può essere visto nell'animazione 2D di accompagnamento di uno degli oggetti 4D più semplici possibili, il tesseract (equivalente al cubo 3D, vedi anche ipercubo).


Operazioni

Documento

Nell'elaborazione del linguaggio naturale, un documento è rappresentato da un sacchetto di parole modello da una funzione <math>f : WORDS mapsto mathbb</math> specificando, per ogni parola, quante volte compare nel documento.

Per ogni singolo documento, la maggior parte delle parole nel dizionario delle parole ovviamente non sono rappresentate. Dovrebbero essere mappati a zero, ma una comoda convenzione per rappresentare i vettori con i dizionari consente di omettere le coppie quando il valore è zero.

Esempio che rappresenta un vettore di PAROLE sopra: "La pioggia in Spagna cade principalmente in pianura" sarebbe rappresentato dal dizionario


Lessico

L'insieme di tutte le combinazioni lineari di alcuni vettori v1,…,vn è detto span di questi vettori e contiene sempre l'origine.

Generatore

I generatori per l'insieme di vettori <math>V</math> sono i vettori <math>v_1, dots,v_n</math> nella seguente formula:

Dimensione

La dimensione di uno spazio vettoriale è la dimensione di una base per quello spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio vettoriale V si scrive dim V.

Base

Lemma: Ogni insieme finito T di vettori contiene un sottoinsieme S che è una base per Span T.

Affine

Se c è un vettore e <math>V</math> è uno spazio vettoriale, allora

Esempio: un piano o una linea non necessariamente contenente l'origine

Banale

Sottospazio

Sia <math>upsilon</math> e <math>gamma</math> uno spazio vettoriale, se <math>upsilon</math> è un sottoinsieme di <math>gamma</math> quindi <math>upsilon&th>math>.malt/subset>>

Lemma dimensionale: se U è un sottospazio di W allora:

Sottospazio complementare

Quando <math>U href V = W</math> , U e V sono sottospazi complementari di W.

Esempio: supponiamo che U sia un piano in <math>mathbb^3</matematica> . Allora ogni linea attraverso l'origine che non giace in U è un sottospazio complementare rispetto a <math>mathbb^3</matematica>

Per ogni spazio vettoriale di dimensione finita W e qualsiasi sottospazio U, esiste un sottospazio V tale che U e V sono complementari.

Complemento ortogonale

Sia U un sottospazio di W. Per ogni vettore b in W, possiamo scrivere b come le seguenti proiezioni]]: <MATH>b = b^ <||U>+ b^</MATH> dove:

Sia V l'insieme <math> : b in W></math> . V è il complemento ortogonale di U in W


Spazi vettoriali euclidei

Possiamo anche definire prodotti scalari in altri spazi vettoriali considerati nella sezione precedente. Il più importante è il prodotto scalare delle funzioni. Se f e g sono due funzioni continue sull'intervallo [0,1] allora il prodotto scalare (interno) f*g è l'integrale del prodotto f(x)g(x) da 0 a 1. Il prodotto scalare di funzioni f(x) eg(x) saranno indicati con < f(x),g(x) >.

  1. < A,B >=< B,A >
  2. < (A+B),C >=< A,C >+< B,C >
  3. < (kA),B >=< A,(kB) >= k < A,B >
  4. < A,A > è maggiore o uguale a 0. < A,A > è 0 se e solo se A =0.

Il prodotto scalare delle funzioni di C[0,1] soddisfa le stesse proprietà.

Qualsiasi spazio vettoriale V con un prodotto scalare che soddisfa le proprietà 1-4 è chiamato a Spazio vettoriale euclideo.

Usando il prodotto scalare si possono definire la maggior parte dei concetti geometrici, quindi si può trasferire la geometria elementare a spazi vettoriali euclidei arbitrari.

In particolare, si può definire la lunghezza (norma) di un vettore in uno spazio vettoriale come || A || = sqrt(< A,A >) Il seguente teorema mostra che questa norma soddisfa le normali proprietà della lunghezza:

  1. || A || è maggiore o uguale a 0, || A ||=0 se e solo se A =0.
  2. || kA |=| k | || Un ||.
  3. |< A,B >| è minore o uguale a || A || || B || (la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz).
  4. || A+B || è minore o uguale a || A ||+|| B || (la disuguaglianza triangolare).

Tutte queste proprietà hanno chiari significati geometrici nella geometria planare:

La prima proprietà significa che la lunghezza è sempre non negativa e il vettore zero è l'unico vettore di lunghezza 0.

La seconda proprietà significa che se moltiplichiamo un vettore per un numero K, il vettore si allunga di un fattore | k | (se k è negativo, il vettore cambia direzione).

La terza proprietà (la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz) significa che < A,B >/|| A || || B || è sempre compreso tra -1 e 1, il che è vero per i vettori sul piano poiché questo quoziente è proprio il coseno dell'angolo tra questi due vettori.

La quarta proprietà significa che la lunghezza di ogni lato di un triangolo non supera la somma delle lunghezze degli altri due lati.

Usando la norma, si può definire la distanza tra due vettori:

Questa distanza soddisfa la proprietà ordinaria delle distanze:

  1. d( A,B ) è maggiore o uguale a 0, d( A,B )=0 se e solo se A=B .
  2. d( A,B )=d( B,A ).
  3. d( A,B )è minore o uguale a d( A,C )+d( C,B ) (la disuguaglianza triangolare).

Il seguente teorema è un analogo del teorema di Pitagora.

Teorema. Lascia che A1. UNn essere vettori ortogonali a coppie in uno spazio vettoriale euclideo. Poi

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

Fare clic qui per una discussione su una generalizzazione del teorema di Pitagora a insiemi infiniti di vettori.

v è il vettore delle incognite ( x1. Xn ) e * indica il prodotto scalare. Questo dà un'altra interpretazione dei sistemi di equazioni lineari.

In particolare se b 1= b 2=. = b m=0 quindi risolvere questo sistema di equazioni lineari significa trovare un vettore v ortogonale ai vettori dati A1. UNm . Così i sistemi omogenei di equazioni lineari nascono naturalmente nella geometria degli spazi vettoriali euclidei.


Base e dimensione

Sappiamo che l'insieme dei vettori V 1=(1,0. 0), V 2=(0,1. 0), . V n=(0. 1) in R n è linearmente indipendente e tale che ogni vettore in R n è (univocamente) esprimibile come combinazione lineare di questi vettori. Abbiamo chiamato questi vettori di base a causa di questa proprietà. In questa sezione generalizzare il concetto di base a spazi vettoriali arbitrari.

  1. S è linearmente indipendente e
  2. V = span(S), ovvero ogni vettore in V è una combinazione lineare di vettori in S.

  1. L'insieme dei vettori V1. Vn menzionato sopra è una base di R n.
  2. L'insieme dei vettori (1,2), (2,3) è una base di R 2 .

Questi vettori sono infatti linearmente indipendenti perché non proporzionali. Per verificarlo R 2 è attraversato da questi vettori, basta verificare che (1,0) e (0,1) sono loro combinazioni lineari (teorema sugli span):

Questa matrice è uguale alla matrice zero solo se a=b=c=d=0 .

In secondo luogo, dobbiamo mostrare che queste 4 matrici coprono lo spazio di tutte le 2 per 2 matrici. Infatti, ogni matrice 2 per 2

  1. Se S è una base di uno spazio vettoriale V allora ogni vettore in V ha esattamente una rappresentazione come combinazione lineare di elementi di S.
  2. Se V ha una base con n elementi quindi
    1. Ogni insieme di vettori in V che ha più di n elementi è linearmente dipendente.
    2. Ogni insieme di vettori con meno di n elementi non si estende su V .

    Esempio.
    I vettori (1,2) e (2,3) formano una base di R 2 (l'abbiamo mostrato prima). Il vettore (4,7) è uguale alla combinazione lineare 2*(1,2)+(2,3). Quindi il vettore (4,7) ha coordinate 2, 1 in base ai vettori (1,2) e (2,3). Lo stesso vettore ha coordinate 4 e 7 in base ai vettori (1,0) e (0,1). Quindi un vettore ha coordinate diverse in basi diverse. A volte è molto importante trovare una base in cui i vettori con cui si ha a che fare abbiano le coordinate più semplici possibili.

    L'ultima condizione del teorema sulle basi permette di introdurre la seguente importante definizione.

    UN dimensione di uno spazio vettoriale V (indicato con dim( V ) ), è il numero di elementi in una base per V . C'è un'eccezione a questa definizione: la dimensione dello spazio zero (lo spazio vettoriale costituito da un vettore, zero) è definita come 0 e non 1.

    1. Se V è uno spazio di n dimensioni e S è un insieme di n elementi di V. Poi S è una base di V in ciascuno dei seguenti casi:
      • S misura V.
      • S è linearmente indipendente.
    2. Se S è un insieme linearmente dipendente in uno spazio n -dimensionale V e V=span( S ) quindi rimuovendo alcuni elementi di S possiamo ottenere una base di V.
    3. Se S è un sottoinsieme linearmente indipendente di V che non è una base di V allora possiamo ottenere una base di V aggiungendo alcuni elementi a S.

    Questo sistema di equazioni ha la seguente matrice aumentata:

    [ 1 1 0 1 1 ]
    [ 1 2 1 0 2 ]
    [ 0 1 2 0 3 ]
    [ 0 0 3 0 4 ]

    Utilizzando la procedura di Gauss-Jordan, otteniamo la seguente matrice:
    [ 1 0 0 0 0 ]
    [ 0 1 0 0 1/3 ]
    [ 0 0 1 0 4/3 ]
    [ 0 0 0 1 2/3 ]

    Quindi x1=0, x2=1/3, x3=4/3, x4= 2/3. Quindi il vettore (1,2,3,4) può essere buttato via. Gli altri vettori, (1,1,0,0), (1,2,1,0),(0,1,2,3), (1,0,0,0), formano una base di R 4 . Infatti, si estendono R 4 dal teorema sull'eliminazione di elementi extra, e dal teorema sulla dimensione, ogni quattro vettori in uno spazio vettoriale quadridimensionale che attraversano lo spazio vettoriale, formano una base di questo spazio vettoriale.

    ha una sola, banale, soluzione (vedi il teorema sulla dimensione).

    Questo è un sistema omogeneo con 4 equazioni e 4 incognite. Sappiamo che questo sistema ha una sola soluzione se e solo se la matrice dei coefficienti è invertibile (si veda il secondo teorema sugli inversi). E sappiamo che una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante non è zero (vedi il terzo teorema sui determinanti). Dobbiamo quindi verificare che il determinante della matrice dei coefficienti del nostro sistema non sia zero. Maple dice che

    3. Dimostriamo che lo spazio delle funzioni C [0,1] non è di dimensione finita.

    4. Utilizzando i teoremi su basi e dimensione, si possono semplificare le soluzioni di alcuni problemi considerati in precedenza. Ad esempio, dimostriamo che l'intervallo della trasformazione lineare da R 5 a R 2 con la seguente matrice standard:

    [ 1 2 3 4 5 ]
    [ 3 4 5 6 7 ]

    coincide con R 2 . Infatti, sappiamo che l'intervallo della nostra trasformazione lineare è coperto dai vettori colonna della matrice standard: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7 ). Dobbiamo dimostrare che questi vettori si estendono R 2 . Si noti che i vettori (1,3) e (2,4) e non proporzionali, quindi sono linearmente indipendenti. Per il teorema sulla dimensione, ogni due vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale bidimensionale formano una base di questo spazio vettoriale. Così R 2 è attraversato dai vettori (1,3) e (2,4). Perciò R 2 è attraversato da tutti i vettori colonna della nostra matrice standard.


    Quanti vettori linearmente indipendenti possono esistere in n-dimensioni?

    1) La dimensione è data da un numero di vettori "base", che nel tuo caso è n. Il fatto è che esiste un numero infinito di basi, esiste un numero infinito di n gruppi di vettori linearmente indipendenti, ma esiste una base canonica elementare.

    Per capire prendi R2: la base ecanonica è (1,0) e (0,1). Ma anche (1,1) e (-1,2) sono linearmente indipendenti, l'idea di indipendenza non è quella di trovare n costanti, almeno una di esse diversa da zero, in modo che la combinazione lineare degli n vettori sia uguale a 0. Inoltre non puoi mai trovare meno di n vettori indipendenti, ciò significherebbe che la tua dimensione era sbagliata all'inizio.

    Una base è il numero minimo di vettori lineari.

    Qualsiasi altro vettore nello spazio può essere scritto in funzione di essi, quindi sarà linearmente dipendente dagli n vettori di base.

    Quindi: le basi hanno n vettori ciascuna, numero infinito di basi, i tuoi vettori indipendenti possono essere trovati numeri infiniti, ma sempre giudicati n alla volta.

    2) È giusto, uno spazio n-dimensionale è definito dai suoi vettori di base (diversi dalle sue operazioni). E sono ortogonali perché è così che sono definiti , normalmente ortonormali ( orto=ortogonale e normale = norme 1).

    L'ortogonalità è la relazione di indipendenza lineare (prendi i tre vettori base canonici dello spazio geometrico, che conosco come i, j, k, non importa con cosa provi a moltiplicarli, non arriverai mai al vettore 0. Sono ortogonali = indipendenti , normali perché il loro modulo è 1, e quindi formano una base.


    Notazione matriciale

    Ogni volta che diciamo "A è una matrice m per n" o semplicemente "A è m x n", per alcuni interi positivi m e n, ciò significa che A ha m righe e n colonne. Un esempio di matrice 3 x 5 è:


    Vettori

    Un vettore può essere visto come una matrice 1 x n nel caso di un vettore riga, o una matrice n x 1 nel caso di un vettore colonna. Sotto, v è un vettore di 3 x 1 colonna e w è un vettore di 1 x 4 righe.

    I vettori colonna sono molto più comunemente usati dei vettori riga.

    Combinazioni lineari

    Una combinazione lineare di vettori, v1, . vn è un qualsiasi vettore della forma

    per alcuni numeri x1, . Xn. Ad esempio, il vettore,

    è una combinazione lineare di:

    ℝ n e vettori base standard standard

    Se n è un numero intero positivo, un vettore n-dimensionale con elementi reali è chiamato n-vettore e l'insieme di tutti gli n-vettori è chiamato spazio n-dimensionale, n-spazio o ℝ n . Ad esempio, ℝ 3 è costituito da tutti e 3 i vettori della forma

    dove a, b e c sono numeri reali. In ℝ n , definiamo eio per tutti i = 1, 2, . n come il vettore colonna con un 1 nella i-esima posizione (contando dall'alto verso il basso) e 0 ovunque. Ad esempio, in ℝ 3 ,

    il eiosono chiamati vettori di base standard di ℝ n perché qualsiasi n-vettore in ℝ n può essere rappresentato come una combinazione lineare dei vettori di base standard. Ad esempio, in ℝ 3 , il vettore

    Matrici come raccolte di righe e colonne

    Spesso è utile pensare a una matrice A m × n come una raccolta dei suoi n vettori colonna, ciascuno dei quali ha m dimensioni. Ad esempio, la matrice 3 × 4,

    può essere visto come il seguente insieme di 4 vettori, ciascuno di 3 dimensioni.

    Qui, le parentesi graffe, <>, vengono utilizzate per denotare un insieme di oggetti. Se i vettori colonna di A sono v1, . vn in quest'ordine, allora possiamo rappresentare A come,

    che scriviamo come A = [v1 v2 . vn]. Allo stesso modo, possiamo anche vedere A come l'insieme dei suoi m vettori riga, ognuno dei quali ha n dimensioni. Se i vettori riga di A sono r1, . rm in quest'ordine, allora possiamo rappresentare A come


    Voci di una matrice

    Ogni numero all'interno di una matrice è chiamato voce. Per fare riferimento a uno specifico elemento di una matrice si usa la notazione i,j-esima: per alcuni interi positivi i e j, l'i,j-esimo elemento di una matrice A, denotato aio, io è la voce nella i-esima riga della j-esima colonna. Contiamo sempre le righe dall'alto verso il basso e le colonne da sinistra a destra.


    Base e dimensione di uno spazio vettoriale

    Prima di iniziare a spiegare questi due termini menzionati nell'intestazione, ricordiamo cos'è uno spazio vettoriale.

    Lo spazio vettoriale è definito come un insieme di vettori che è chiuso sotto due operazioni algebriche chiamate addizione vettoriale e moltiplicazione scalare e soddisfa diversi assiomi. Per vedere una spiegazione più dettagliata di uno spazio vettoriale, clicca qui.

    Ora, quando ricordiamo cos'è uno spazio vettoriale, siamo pronti a spiegare alcuni termini legati agli spazi vettoriali. Innanzitutto, ti daremo la definizione di una base di uno spazio vettoriale.

    Definizione. Un insieme finito $B = , n in mathbb$, in uno spazio vettoriale $V$ si chiama a base di $V$ se $B$ è linearmente indipendente e si estende su $V$. Se uno di questi criteri non è soddisfatto, la raccolta non costituisce una base per V. Se un insieme di vettori si estende su vV, allora contiene abbastanza vettori in modo che ogni vettore in V può essere scritto come una combinazione lineare di quelli nella raccolta. Se la raccolta è linearmente indipendente, allora non contiene così tanti vettori che alcuni diventano dipendenti dagli altri. Intuitivamente, quindi, una base ha le dimensioni giuste: è abbastanza grande da coprire lo spazio ma non così grande da essere dipendente.

    Usando questa definizione, vediamo che l'insieme dei vettori unitari $B = $ è una base per $mathbb^3$. Nota che lo stesso insieme è anche una base per $mathbb^3$.

    In generale, base standard per $mathbb^n$ è

    Matrici $egin 1 & 0 0 & 0 fine, inizio 0 & 1 0 & 0 fine, inizio 0 & 0 1 & 0 fine, inizio 0 & 0 0 & 1 fine$ forma una base per $mathbf_<2,2>(mathbb)$.

    Un insieme $<1, t, t^2, ldots, t^n >$ è una base dello spazio di tutti i polinomi $P_n$.

    In tutti questi esempi possiamo facilmente vedere che tutti gli insiemi sono insiemi di espansione linearmente indipendenti per lo spazio dato. Da questi esempi possiamo anche concludere che ogni spazio vettoriale ha una base. Inoltre, uno spazio vettoriale può avere molte basi diverse.

    Ad esempio, entrambi $$ e $< i + j, i − j>$ sono le basi per $mathbb^2$.

    Definizione. Diciamo che uno spazio vettoriale $V$ è dimensione finita se $V$ ha una base costituita da un numero finito di elementi.

    Altrimenti, diciamo che $V$ è infinito dimensionale.

    Il termine della definizione precedente non ha un legame con il termine della dimensione.

    Nota che gli esempi sopra mostrano che $mathbb^n, mathbb^n, mathbf_, P_n$ sono di dimensione finita, e in seguito parleremo di spazi di dimensione finita.

    Quella che segue è una proposta molto utile.

    Proposta 1. Sia $V eq <0>$ uno spazio vettoriale e sia $S = , m in mathbb$, essere un set esteso per $V$. Allora esiste una base di $V$ che è un sottoinsieme di $S$.

    Proposta 2. Ogni spazio vettoriale di dimensione finita $V eq <0>$ ha una base.

    Cambio di base

    Sia $B= $ essere una base per uno spazio vettoriale di dimensione finita $V$. Allora il vettore $x in V$ può essere scritto univocamente come combinazione lineare dei vettori $v_1, ldots, v_n$, cioè

    $v = a_1v_1 + a_2v_2 + ldots, + a_nv_n,$

    per alcuni scalari $a_1, a_2, ldots, a_n$.

    Gli scalari $a_i, i=1, ldots, n,$ possono essere registrati in un vettore colonna, chiamato coordinare il vettore colonna di $x$ rispetto alla base $B$:

    $[x]_B = inizio a_1 a_2 vdots a_n end.$

    Supponiamo ora che $B’ = $ è un'altra base per $V$. Allora lo stesso vettore $x$ può anche essere scritto in modo univoco come combinazione lineare di questi vettori

    Il vettore delle coordinate di $x$ rispetto alla base $B’$ è

    Il cambiamento della matrice di base da $B$ a $B’$ è

    Le colonne della matrice $P$ rappresentano le componenti dei vettori della base $B’$, scritte utilizzando i vettori della base $B$. Ora le componenti del vettore $x$ si trasformano in un modo

    Possiamo ora definire il termine della dimensione di uno spazio vettoriale.

    Definizione. Sia $V eq <0 >$ uno spazio vettoriale di dimensione finita. Diciamo che il dimensione di $V$ è il numero di elementi di qualsiasi base di $V$. Inoltre, la dimensione dello spazio vettoriale zero è $.

    La dimensione di $V$ la indicheremo come $dim V$.

    Per trovare la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ è necessario trovare una base di $V$.

    Sappiamo che ogni insieme finito che abbraccia uno spazio vettoriale $V$ può essere ridotto a una base, scartando i vettori se necessario. La tesi della seguente proposizione è, in un certo senso, duale.

    Proposta 3. Sia $S = , k in mathbb$, essere un insieme linearmente indipendente in uno spazio vettoriale di dimensione finita $V$. Quindi $S$ può essere esteso a una base, aggiungendo più vettori se necessario.

    Se conosciamo la dimensione di uno spazio vettoriale $V$, è facile verificare che qualche insieme è una base di $V$. Abbiamo il seguente corollario.

    Corollario 1. Sia $V$ uno spazio vettoriale con $dim V = n$. Poi

    (1) Ogni insieme linearmente indipendente in $V$ ha esattamente $n$ o meno elementi. Ogni insieme linearmente indipendente in $V$ che ha esattamente $n$ elementi è una base di $V$.

    (2) Ogni set esteso di $V$ ha $n$ o più elementi. Ogni insieme esteso di $V$ che ha esattamente $n$ elementi è una base di $V$.

    Esempio 1. Dato un insieme di vettori $S = <(2, 1, -3), (3, 2, -5), (1, -1, 1) >$. Mostra che $S$ è una base per $mathbb^3$. Dato il vettore $x = (6, 2, -7)$ nella base standard $E = = <1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) >$. Se $S$ è una base per $mathbb^3$, esprimi il vettore $x$ nella base $S$.

    Soluzione. Dobbiamo mostrare che $S$ copre $mathbb^3$ ed è linearmente indipendente.

    $alpha cdot (2, 1, -3) + eta cdot (3, 2, -5) + gamma cdot (1, -1, 1) = (0, 0, 0), $

    per alcuni scalari $alpha, eta, gamma$.

    Questo dà le tre equazioni:

    2 alpha + 3 eta + gamma &= 0,

    – 3 alpha – 5 eta + gamma & = 0.

    Questo è il sistema omogeneo di equazioni con il determinante diverso da zero del sistema, quindi esiste solo la soluzione banale, cioè $alpha = eta = gamma = 0$. Pertanto, l'insieme $S$ è linearmente indipendente.

    Ora, per il corollario 1., l'insieme $S$ è una base per $mathbb^3$.

    Il vettore delle coordinate di $x$ nella base $E$ è dato con

    $[x]_E = inizio 6 2 -7 fine = 6 cdot e_1 + 2 cdot e_2 – 7 cdot e_3.$

    Per determinare il vettore di coordinate di $x$ nella base $S$, dobbiamo specificare gli scalari $a_1, a_2, a_3$ tali che

    $[x]_S = inizio a_1 a_2 a_3 fine = a_1 cdot f_1 + a_2 cdot f_2 + a_3 cdot f_3,$

    dove, $ f_1 = (2, 1, -3), f_2 = (3, 2, -5), f_3 = ( 1, -1, 1)$.

    Poiché è dato il record del vettore $x$ nella base standard $E$, è sufficiente esprimere i vettori in $E$ utilizzando i vettori in $S$, cioè dobbiamo determinare gli scalari $a_$ tale che

    $e_1 = a_ <11>f_1 + a_<12>f_2 + a_<13>f_3$

    $e_2 = a_ <21>f_1 + a_<22>f_2 + a_<23>f_3$

    $e_3 = a_ <31>f_1 + a_<32>f_2 + a_<33>f_3.$

    Possiamo riscrivere il sistema sopra nella forma matriciale:

    Il cambiamento della matrice di base da $E$ a $S$, indicato come $mathbf

    _<[E, S]>$, è la matrice inversa di $mathbf

    _<[S, E]>$, e può essere determinato direttamente. Questa matrice è data con

    La matrice inversa di $mathbf

    _<[E, S]>$ determiniamo mediante operazioni elementari su riga e otteniamo la soluzione:

    Infine, il record del vettore $x$ nella base $S$ è uguale a

    left[x ight]_S &= mathbf

    _ <[S, E]>cdot [x]_E

    Il termine di un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$ è definito indipendentemente dalla dimensione di $V$. Se assumiamo che $V$ sia uno spazio vettoriale di dimensione finita con $dim V = n$, e se $W$ è un sottospazio di $V$, allora possiamo concludere che $dim W le n$. Su di esso ci dice la seguente proposizione.

    Proposta 4. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita tale che $dim V = n$ e $W$ un sottospazio di $V$. Quindi $dim W le n$. Se $W$ è un sottospazio di $V$ tale che $dim W = n$, allora $W = V$.

    Se $V$ è uno spazio vettoriale a dimensione finita e $W_1$ e $W_2$ i suoi sottospazi, allora $W_1$ e $W_2$ sono a dimensione finita, così come $W_1 cap W_2$ e $W_1 + W_2$. È chiaro che $dim (W_1 cap W_2) le dim W_1$ e $dim W_2 le dim (W_1 + W_2)$ sono validi. Abbiamo il seguente teorema, che ci dice di più su queste dimensioni.

    Teorema 1. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $W_1$ e $W_2$ due sottospazi di $V$. Poi

    $dim (W_1 + W_2) + dim (W_1 cap W_2) = dim W_1 + dim W_2.$

    La seguente è la formula per la dimensione della somma diretta.

    Corollario 2. Siano $W_1$ e $W_2$ due sottospazi di uno spazio vettoriale di dimensione finita tali che facciano una somma diretta. Poi

    $dim (W_1 + W_2) = dim W_1 + dim W_2.$

    Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale e $W$ un sottospazio di $V$. Un sottospazio $W_2$ di $V$ si chiama a complemento diretto di $W_1$ se $W_1 + W_2 = V$.

    In genere, per due sottospazi qualsiasi di $V$ vale $W_1 + W_2 = W_2 + W_1$, quindi la definizione di cui sopra è simmetrica: se $W_2$ è un complemento diretto di $W_1$ in $V$, allora $ W_1$ è anche un complemento diretto di $W_2$ in $V$.

    La questione dell'esistenza del complemento diretto di un sottospazio arbitrario di un dato spazio vettoriale è risolta con il seguente teorema.

    Teorema 2. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $W$ un sottospazio di $V$. Allora esiste un complemento diretto di $W$ in $V$.

    Esempio 2. Sia $ K = <(v_1, v_2, v_3, v_4) in mathbb^4 : v_2 – 2v_3 + v_4 = 0 >$ e $L = <(v_1, v_2, v_3, v_4) in mathbb^4 : v_1 = v_4, v_2 = 2v_3 >$ sono due sottospazi di $mathbb^4$. Trova una base e una dimensione per $K$, $L$ e $K cap L$.

    Ogni vettore in $K$ possiamo scrivere nella forma

    $(v_1, 2v_3 – v_4, v_3, v_4) = v_1 (1, 0, 0, 0) + v_3 (0, 2, 1, 0) + v_4 (0, -1, 0, 1).$

    Dobbiamo verificare se l'insieme $<(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1)>$ è linearmente indipendente, ovvero dobbiamo determinare gli scalari $alpha, eta, gamma$ in modo che

    $alpha (1, 0, 0, 0) + eta (0, 2, 1, 0) + gamma ( 0, -1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0).$

    L'equazione sopra dà il sistema di equazioni

    Risolvendo si ottiene $alpha = eta = gamma =0$, quindi l'insieme $<(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1 )>$ è linearmente indipendente e quindi l'unica base per $K$. Ne segue che $dim K = 3$.

    Ora dobbiamo trovare una base per $L$. Abbiamo

    Ogni vettore in $L$ possiamo scrivere nella forma

    $(v_4, 2 v_3, v_3, v_4) = v_3 (0, 2, 1, 0) + v_4 ( 1, 0, 0, 1).$

    L'insieme $<(0, 2, 1, 0), ( 1, 0, 0, 1) >$ è linearmente indipendente e quindi l'unica base per $L$. Ne segue che $dim L = 2$.

    Non resta che trovare una base per $K cap L$. Abbiamo:

    Pertanto, l'unica base per $K cap L$ è $< (0, 2, 1, 0) >$ e $dim ( K cap L) = 1$.


    Il processo di Gram-Schmidt

    12.3.2 Basi

    Definizione 12.3.2

    Permettere V essere uno spazio vettoriale. Sia S = < v 1 , v 2 , … , v m >⊂ V tale che 1.

    S è un insieme linearmente indipendente di vettori, e

    Poi S si chiama a base per V.

    Quindi se S è una base per V, ogni vettore in V può essere espresso in modo univoco come una combinazione lineare di vettori in S.

    Esempio 12.3.2

    Il base standard per R n è

    Esempio 12.3.3

    Esempio 12.3.4

    La base standard per V = P 3 è

    Teorema 12.3.2

    Sia < v 1 , v 2 , … , v n > una base per lo spazio vettoriale V. Se < w 1 , w 2 , … , w m > è un insieme di più di n vettori in V, allora questo insieme è linearmente dipendente.

    Sia ∑ c k w k = 0 . Poiché < v 1 , v 2 , … , v n > è una base per V, ciascuno dei vettori w k può essere scritto come una combinazione lineare di questi vettori di base.

    Corollario 12.3.1

    Tutte le basi per uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di vettori.

    Definizione 12.3.3

    Il numero di vettori in base a uno spazio vettoriale V si chiama dimensione di V ed è indicato con dim ⁡ (V).

    Esempio 12.3.5

    dim ( M 22 ) = 4 , dim ⁡ ( P 2 ) = 3 .

    Alcuni spazi vettoriali hanno dimensione infinita!

    Esempio 12.3.6

    P= insieme di tutti i polinomi e C 2 [ 0 , 1 ] , ecc. sono spazi vettoriali dimensionali infiniti.

    Esempio 12.3.7

    Quali sono le dimensioni dei seguenti spazi? (un)

    V= insieme di tutte le matrici diagonali 4 × 4.

    W= insieme di tutte le matrici triangolari superiori 4 × 4.

    Teorema 12.3.3

    Se dim ⁡ ( V ) = 1 , V ⊂ R n , ( n = 2 , 3 ), allora V è una retta passante per l'origine.

    Se dim ⁡ ( V ) = 2 , V ⊂ R n , ( n = 2 , 3 ), allora V è un piano passante per l'origine.

    Teorema 12.3.4

    Permettere V essere uno spazio vettoriale e dim ⁡ ( V ) = n .

    Se S è un insieme linearmente indipendente, allora S è una base per V.

    Se span ( S ) = V , allora S è una base per V.

    Esempio 12.3.8

    [ 1 / 2 0 1 / 2 ] , [ − 1 / 2 0 1 2 ] , [ 0 1 0 ] sono linearmente indipendenti in R 3 (controllalo!) quindi l'insieme di questi vettori forma una base per R 3 .

    Teorema 12.3.5

    Permettere V essere uno spazio vettoriale di dimensione n. Permettere

    S = < v 1 , v 2 , … , v m >⊂ V . supponiamo S è un insieme linearmente indipendente con m < n . Allora esistono vettori v m + 1 , v m + 2 , … , v n tali che

    Esempio 12.3.9

    [ 1 0 0 0 ] , [ 0 0 0 1 ] formano un insieme linearmente indipendente nello spazio delle matrici triangolari inferiori. Abbiamo bisogno di un altro per formare una base:


    Guarda il video: TEORIA Versori e componenti cartesiane di un vettore AMALDI ZANICHELLI (Ottobre 2021).