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10.1: Panoramica - Matematica


L'esponenziale di matrice è un potente mezzo per rappresentare la soluzione di nn equazioni differenziali lineari, a coefficienti costanti. Il problema del valore iniziale per un tale sistema può essere scritto

[x′(t) = Ax(t) onnumero]

[x(0) = x_{0} onnumero]

dove (A) è la matrice n per n dei coefficienti. Per analogia con il caso 1 per 1 che potremmo aspettarci

[x(t) = e^{At}u onnumero]

tenere. Le nostre aspettative sono soddisfatte se definiamo correttamente (e^{At}). Capisci perché la semplice elevazione a potenza di ogni elemento di (At) non è sufficiente?

Esistono almeno 4 approcci distinti (ma ovviamente equivalenti) per definire correttamente (e^{At}). I primi due sono analoghi naturali del caso a variabile singola mentre gli ultimi due fanno uso di macchinari algebrici matriciali più pesanti.

  1. L'esponenziale di matrice come limite di poteri
  2. L'esponenziale di matrice come somma di poteri
  3. L'esponenziale di matrice tramite la trasformata di Laplace
  4. L'esponenziale di matrice tramite autovalori e autovettori

Si prega di visitare ciascuno di questi moduli per vedere la definizione e una serie di esempi.

Per un'applicazione concreta di questi metodi a un sistema dinamico reale, visitare il modulo Mass-Spring-Damper.

Indipendentemente dall'approccio, si può dimostrare che l'esponenziale della matrice obbedisce alle 3 proprietà adorabili

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = Ae^{At} = e^{At}A)
  2. (e^{A(t_{1}+t_{2})} = e^{A_{1}}e^{A_{2}})
  3. (e^{At}) non è singolare e ((e^{At})^{-1} = e^{-(At)})

Confermiamo ciascuno di questi sulla suite di esempi utilizzati nei sottomoduli.

Esempio (PageIndex{1})

Se

[A = egin{pmatrix} {1}&{0} {0}&{2} end{pmatrix} onumber]

poi

[e^{At} = egin{pmatrix} {e^t}&{0} {0}&{e^{2t}} end{pmatrix} onumber]

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = egin{pmatrix} {e^t}&{0} {0}&{e^{2t}} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {1}&{0} {0}&{2} end{pmatrix} egin{pmatrix} {e^t}&{0} {0}&{e^ {2t}} end{pmatrix})
  2. (egin{pmatrix} {e^{t_{1}+t_{2}}}&{0} {0}&{e^{2t_{1}+2t_{2}}} end{ pmatrix} = egin{pmatrix} {e^{t_{1}}e^{t_{2}}}&{0} {0}&{e^{2t_{1}}e^{2t_{ 2}}} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {e^{t_{1}}}&{0} {0}&{e^{2t_{1}}} end{pmatrix} egin{pmatrix} {e^{t_{2}}}&{0} {0}&{e^{2t_{2}}} end{pmatrix})
  3. ((e^{At})^{-1} = egin{pmatrix} {e^{-t}}&{0} {0}&{e^{-(2t)}} end {pmatrix} = e^{-(At)})

Esempio (PageIndex{2})

Se

[A = egin{pmatrix} {0}&{1} {-1}&{0} end{pmatrix} onumber]

poi

[e^{At} = egin{pmatrix} {cos(t)}&{sin(t)} {-sin(t)}&{cos(t)} end{pmatrix } essun numero]

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = egin{pmatrix} {-sin(t)}&{cos(t)} {-cos(t)}& {-sin(t)} end{pmatrix}) e (Ae^{At} = egin{pmatrix} {-sin(t)}&{cos(t)} {- cos(t)}&{-sin(t)} end{pmatrix})
  2. Riconoscerai questa affermazione come identità trigonometrica di base (egin{pmatrix} {cos(t_{1}+t_{2})}&{sin(t_{1}+t_{2})} {-sin(t_{1}+t_{2})}&{cos(t_{1}+t_{2})} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {cos(t_{1 })}&{sin(t_{1})} {-sin(t_{1})}&{cos(t_{1})} end{pmatrix} egin{pmatrix} { cos(t_{2})}&{sin(t_{2})} {-sin(t_{2})}&{cos(t_{2})} end{pmatrix})
  3. ((e^{At})^{-1} = egin{pmatrix} {cos(t)}&{-sin(t)} {sin(t)}&{cos( t)} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {cos(-t)}&{-sin(-t)} {sin(-t)}&{cos(-t) } end{pmatrix} = e^{-(At)})

Esempio (PageIndex{3})

Se

[A = egin{pmatrix} {0}&{1} {0}&{0} end{pmatrix} onumber]

poi

[e^{At} = egin{pmatrix} {1}&{t} {0}&{1} end{pmatrix} onumber]

  1. (frac{d}{dt}(e^{At}) = egin{pmatrix} {0}&{1} {0}&{0} end{pmatrix} = Ae^{At} )
  2. (egin{pmatrix} {1}&{t_{1}+t_{2}} {0}&{1} end{pmatrix} = egin{pmatrix} {1}&{t_{1 }} {0}&{1} end{pmatrix} egin{pmatrix} {1}&{t_{2}} {0}&{1} end{pmatrix})
  3. (egin{pmatrix} {1}&{t} {0}&{1} end{pmatrix}^{-1} = egin{pmatrix} {1}&{-t} { 0}&{1} end{pmatrix} = e^{-At})

Perché l'autoattenzione su più teste funziona: matematica, intuizioni e 10+1 intuizioni nascoste

Questo articolo è per le persone curiose che vogliono capire davvero perché e come funziona l'auto-attenzione. Prima di implementare, o solo spiegare un nuovo articolo di fantasia con i trasformatori, ho pensato che sarebbe stato interessante presentare varie prospettive sul meccanismo dell'attenzione.

Dopo aver studiato questo argomento per un paio di mesi ho trovato tante intuizioni nascoste che possono dare un senso al basata sui contenuti meccanismo di attenzione.

Perché mi sto prendendo il tempo per analizzare ulteriormente l'auto-attenzione?

In primo luogo perché non sono riuscito a trovare risposte dirette alla mia ovvia domanda sul perché l'auto-attenzione multi-testa funziona. In secondo luogo, perché molti ricercatori di spicco come hadamaru di Google brain la considerano la formula più importante dopo il 2018:

È interessante notare che ci sono due tipi di calcoli paralleli nascosti all'interno dell'auto-attenzione:

raggruppando in batch i vettori di incorporamento nella matrice di query

introducendo l'attenzione multi-testa.

Analizzeremo entrambi. Ancora più importante, cercherò di fornire punti di vista diversi su perché l'auto-attenzione multi-testa funziona!

Si prega di visitare i miei articoli introduttivi su attenzione e trasformatori per una panoramica di alto livello o la nostra libreria open source per le implementazioni.

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Ogni unità offrirà due componenti per aiutare a rendere le unità matematiche significative e coinvolgenti per l'intero gruppo, piccoli gruppi o lezioni individuali. Questo curriculum offre all'insegnante flessibilità e libertà di riorganizzare le unità per adattarle alle esigenze dei suoi studenti. Poiché ci sono così tante pagine e centri di pratica in ogni unità, l'insegnante può usare molte pagine e centri come una revisione a spirale man mano che l'anno avanza. Le attività più impegnative sarebbero più adatte a questo tipo di approccio.

Gli standard di livello per ogni pagina di pratica e centro sono chiaramente indicati sul Foglio degli standard di matematica per la scuola materna. Pertanto, non è necessario indovinare quale standard è coperto. È un sollievo SAPERE per certo che TUTTI gli standard sono coperti. Questo tipo di risorsa rende facile per l'insegnante o l'homeschooler integrare il loro attuale curriculum di matematica o implementare queste unità come nuovo curriculum.

Di seguito, puoi vedere come ogni pagina corrisponde agli standard di livello scolastico per la scuola materna. Dopo aver coperto le pagine specifiche per uno standard con le pagine di pratica NO PREP, ora puoi fare riferimento alla pagina degli standard per i centri. A differenza di un programma di lezioni scritto parola per parola, questo curriculum di matematica consente flessibilità, dando all'insegnante il controllo dell'ambito e della sequenza.


Riferimenti

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Contenuti

La procedura per risolvere equazioni lineari simultanee ora chiamata eliminazione gaussiana appare nell'antico testo matematico cinese Capitolo Otto: Matrici rettangolari di I Nove Capitoli sull'Arte Matematica. Il suo uso è illustrato in diciotto problemi, con da due a cinque equazioni. [4]

I sistemi di equazioni lineari sorsero in Europa con l'introduzione nel 1637 da parte di René Descartes delle coordinate in geometria. Infatti, in questa nuova geometria, ora chiamata geometria cartesiana, rette e piani sono rappresentati da equazioni lineari, e calcolarne le intersezioni equivale a risolvere sistemi di equazioni lineari.

I primi metodi sistematici per risolvere i sistemi lineari usavano i determinanti, considerati per la prima volta da Leibniz nel 1693. Nel 1750, Gabriel Cramer li usò per dare soluzioni esplicite di sistemi lineari, ora chiamata regola di Cramer. Più tardi, Gauss descrisse ulteriormente il metodo di eliminazione, che inizialmente era elencato come un progresso nella geodesia. [5]

Nel 1844 Hermann Grassmann pubblicò la sua "Teoria dell'estensione" che includeva nuovi argomenti fondamentali di quella che oggi è chiamata algebra lineare. Nel 1848, James Joseph Sylvester introdusse il termine matrice, che in latino significa grembo.

L'algebra lineare è cresciuta con le idee annotate nel piano complesso. Ad esempio, due numeri w e z in C > avere una differenza wz, e i segmenti di linea w z ¯ >> e 0 ( w − z ) ¯ >> sono della stessa lunghezza e direzione. I segmenti sono equipollenti. Il sistema quadridimensionale H > di quaternioni fu iniziato nel 1843. Il termine vettore è stato presentato come v = X io + j + z k che rappresenta un punto nello spazio. La differenza dei quaternioni pq produce anche un segmento equipollente a p q ¯ . >.> Anche altri sistemi numerici ipercomplessi usavano l'idea di uno spazio lineare con una base.

Arthur Cayley introdusse la moltiplicazione matriciale e la matrice inversa nel 1856, rendendo possibile il gruppo lineare generale. Il meccanismo della rappresentazione di gruppo divenne disponibile per descrivere numeri complessi e ipercomplessi. Fondamentalmente, Cayley ha usato una singola lettera per denotare una matrice, trattando così una matrice come un oggetto aggregato. Si rese conto anche della connessione tra matrici e determinanti, e scrisse "Ci sarebbero molte cose da dire su questa teoria delle matrici che dovrebbe, mi sembra, precedere la teoria dei determinanti". [5]

Benjamin Peirce ha pubblicato il suo Algebra associativa lineare (1872) e suo figlio Charles Sanders Peirce estese il lavoro in seguito. [6]

Il telegrafo richiedeva un sistema esplicativo e la pubblicazione del 1873 di A Treatise on Electricity and Magnetism istituì una teoria di campo delle forze e richiedeva la geometria differenziale per l'espressione. L'algebra lineare è una geometria differenziale piatta e serve negli spazi tangenti alle varietà. Le simmetrie elettromagnetiche dello spaziotempo sono espresse dalle trasformazioni di Lorentz e gran parte della storia dell'algebra lineare è la storia delle trasformazioni di Lorentz.

La prima definizione moderna e più precisa di uno spazio vettoriale fu introdotta da Peano nel 1888 [5] nel 1900, era emersa una teoria delle trasformazioni lineari di spazi vettoriali a dimensione finita. L'algebra lineare prese la sua forma moderna nella prima metà del ventesimo secolo, quando molte idee e metodi dei secoli precedenti furono generalizzati come algebra astratta. Lo sviluppo dei computer ha portato a una maggiore ricerca su algoritmi efficienti per l'eliminazione gaussiana e la decomposizione di matrici, e l'algebra lineare è diventata uno strumento essenziale per la modellazione e le simulazioni. [5]

Fino al XIX secolo, l'algebra lineare è stata introdotta attraverso sistemi di equazioni lineari e matrici. Nella matematica moderna, la presentazione attraverso spazi vettoriali è generalmente preferito, poiché è più sintetico, più generale (non limitato al caso a dimensione finita) e concettualmente più semplice, sebbene più astratto.

Uno spazio vettoriale su un campo F (spesso il campo dei numeri reali) è un insieme V dotato di due operazioni binarie che soddisfano i seguenti assiomi. Elementi di V sono chiamati vettori, ed elementi di F sono chiamati scalari. La prima operazione, addizione vettoriale, prende due vettori qualsiasi v e w ed emette un terzo vettore v + w . La seconda operazione, moltiplicazione scalare, accetta qualsiasi scalare un e qualsiasi vettore v ed emette un nuovo vettore unv . Gli assiomi che l'addizione e la moltiplicazione scalare devono soddisfare sono i seguenti. (Nell'elenco sottostante, tu, v e w sono elementi arbitrari di V , e un e b sono scalari arbitrari nel campo F .) [7]

Assioma Significato
Associatività dell'addizione tu + (v + w) = (tu + v) + w
Commutatività dell'addizione tu + v = v + tu
Elemento di identità di addizione Esiste un elemento 0 nel V , chiamato il vettore zero (o semplicemente zero), tale che v + 0 = v per tutti v nel V .
Elementi inversi di addizione Per ogni v nel V , esiste un elemento −v nel V , chiamato il additivo inverso di v , tale che v + (−v) = 0
Distributività della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale un(tu + v) = untu + unv
Distributività della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di campo (un + b)v = unv + bv
Compatibilità della moltiplicazione scalare con la moltiplicazione dei campi un(bv) = (ab)v [un]
Elemento di identità della moltiplicazione scalare 1v = v , dove 1 denota l'identità moltiplicativa di F .

I primi quattro assiomi significano che V è un gruppo abeliano in addizione.

Un elemento di uno specifico spazio vettoriale può avere natura diversa, ad esempio potrebbe essere una sequenza, una funzione, un polinomio o una matrice. L'algebra lineare si occupa di quelle proprietà di tali oggetti che sono comuni a tutti gli spazi vettoriali.

Mappe lineari Modifica

Mappe lineari sono mappature tra spazi vettoriali che preservano la struttura dello spazio vettoriale. Dati due spazi vettoriali V e W su un campo F , una mappa lineare (chiamata anche, in alcuni contesti, trasformazione lineare o mappatura lineare) è una mappa

che è compatibile con l'addizione e la moltiplicazione scalare, cioè

per qualsiasi vettore tu,v nel V e scalare un in F.

Ciò implica che per qualsiasi vettore tu, v nel V e scalari un, b in F si ha

quando V = W sono lo stesso spazio vettoriale, una mappa lineare T : V → V è anche conosciuta come operatore lineare su V.

Una mappa lineare biunivoca tra due spazi vettoriali (ovvero, ogni vettore del secondo spazio è associato esattamente a uno nel primo) è un isomorfismo. Poiché un isomorfismo preserva la struttura lineare, due spazi vettoriali isomorfi sono "essenzialmente uguali" dal punto di vista dell'algebra lineare, nel senso che non possono essere distinti utilizzando le proprietà dello spazio vettoriale. Una domanda essenziale in algebra lineare è verificare se una mappa lineare è un isomorfismo o meno e, se non è un isomorfismo, trovare il suo intervallo (o immagine) e l'insieme di elementi che sono mappati sul vettore zero, chiamato kernel della mappa. Tutte queste domande possono essere risolte utilizzando l'eliminazione gaussiana o qualche variante di questo algoritmo.

Sottospazi, span e base Modifica

Fondamentale è lo studio di quei sottoinsiemi di spazi vettoriali che sono di per sé spazi vettoriali sotto le operazioni indotte, così come per molte strutture matematiche. Questi sottoinsiemi sono chiamati sottospazi lineari. Più precisamente, un sottospazio lineare di uno spazio vettoriale V su un campo F è un sottoinsieme W di V tale che tu + v e untu sono in W , per ogni tu , v in W , e ogni a in F . (Queste condizioni sono sufficienti per implicare che W è uno spazio vettoriale.)

Ad esempio, data una mappa lineare T : V → W , l'immagine T(V) di V , e l'immagine inversa T −1 (0) di 0 (chiamato kernel o spazio nullo), sono sottospazi lineari di W e V , rispettivamente.

Un altro modo importante per formare un sottospazio è considerare le combinazioni lineari di un insieme S di vettori: l'insieme di tutte le somme

dove v1, v2, . vK sono in S , e un1, un2, . unK sono in forma F un sottospazio lineare chiamato span di S . L'ampiezza di S è anche l'intersezione di tutti i sottospazi lineari contenenti S . In altre parole, è il sottospazio lineare (il più piccolo per la relazione di inclusione) contenente S .

Un insieme di vettori è linearmente indipendente se nessuno è nell'intervallo degli altri. Equivalentemente, un insieme S di vettori è linearmente indipendente se l'unico modo per esprimere il vettore zero come combinazione lineare di elementi di S è di prendere zero per ogni coefficiente a i . .>

Un insieme di vettori che si estende su uno spazio vettoriale è chiamato insieme di copertura o insieme generatore. Se un insieme di estensione S è linearmente dipendente (che non è linearmente indipendente), allora qualche elemento w di S è nell'intervallo degli altri elementi di S , e l'intervallo rimarrebbe lo stesso se uno rimuovesse w da s. Si può continuare a rimuovere elementi di S fino a ottenere a set di espansione linearmente indipendente. Un tale insieme linearmente indipendente che abbraccia uno spazio vettoriale V è chiamato base di V . L'importanza delle basi risiede nel fatto che esistono insieme generatori minimi e insiemi massimi indipendenti. Più precisamente, se S è un insieme linearmente indipendente, e T è un insieme di copertura tale che S ⊆ T , allora esiste una base B tale che S ⊆ B ⊆ T .

Qualsiasi due basi di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalità, che prende il nome di dimensione di V questo è il teorema delle dimensioni per gli spazi vettoriali. Inoltre, due spazi vettoriali sullo stesso campo F sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. [8]

Se qualsiasi base di V (e quindi ogni base) ha un numero finito di elementi, V è un spazio vettoriale a dimensione finita. Se tu è un sottospazio di V , quindi dim tu debole V . Nel caso in cui V è di dimensione finita, l'uguaglianza delle dimensioni implica tu = V .

Se tu1 e tu2 sono sottospazi di V, poi

Le matrici consentono la manipolazione esplicita di spazi vettoriali a dimensione finita e mappe lineari. La loro teoria è quindi una parte essenziale dell'algebra lineare.

Sia V uno spazio vettoriale a dimensione finita su un campo F , e (v1, v2, . vm) essere una base di V (quindi m è la dimensione di V ). Per definizione di base, la mappa

Questo isomorfismo permette di rappresentare un vettore con la sua immagine inversa sotto questo isomorfismo, cioè con il vettore delle coordinate ( a 1 , … , a m ) ,ldots ,a_)> o dalla matrice colonna

per j = 1, . n , allora f è rappresentato dalla matrice

con m righe e n colonne.

La moltiplicazione di matrici è definita in modo tale che il prodotto di due matrici è la matrice della composizione delle mappe lineari corrispondenti e il prodotto di una matrice e una matrice di colonne è la matrice di colonne che rappresenta il risultato dell'applicazione della mappa lineare rappresentata a il vettore rappresentato. Ne consegue che la teoria degli spazi vettoriali a dimensione finita e la teoria delle matrici sono due linguaggi diversi per esprimere esattamente gli stessi concetti.

Due matrici che codificano la stessa trasformazione lineare in basi diverse sono dette simili. Si può dimostrare che due matrici sono simili se e solo se una può trasformare l'una nell'altra mediante operazioni elementari di riga e colonna. Per una matrice che rappresenta un'applicazione lineare da W a V , le operazioni di riga corrispondono al cambio di basi in V e le operazioni di colonna corrispondono al cambio di basi in W . Ogni matrice è simile a una matrice identità possibilmente delimitata da zero righe e zero colonne. In termini di spazi vettoriali, ciò significa che, per ogni applicazione lineare da W a V , esistono basi tali che una parte della base di W è mappata biunivocamente su una parte della base di V , e che i restanti elementi di base di W , se presenti, sono mappati a zero. L'eliminazione gaussiana è l'algoritmo di base per trovare queste operazioni elementari e dimostrare questi risultati.

I sistemi di equazioni lineari costituiscono una parte fondamentale dell'algebra lineare. Storicamente, l'algebra lineare e la teoria delle matrici sono state sviluppate per risolvere tali sistemi. Nella moderna presentazione dell'algebra lineare attraverso spazi vettoriali e matrici, molti problemi possono essere interpretati in termini di sistemi lineari.


Una panoramica della matematica egiziana

La civiltà raggiunse un alto livello in Egitto in un primo periodo. Il paese era vocato alla gente, con una terra fertile grazie al fiume Nilo ma con un clima gradevole. Era anche un paese che era facilmente difeso avendo pochi vicini naturali per attaccarlo perché i deserti circostanti fornivano una barriera naturale alle forze invasori. Di conseguenza l'Egitto ha goduto di lunghi periodi di pace in cui la società progrediva rapidamente.

Nel 3000 aC due nazioni precedenti si erano unite per formare un'unica nazione egiziana sotto un unico sovrano. L'agricoltura era stata sviluppata facendo largo uso dei regolari periodi umidi e secchi dell'anno. Il Nilo è inondato durante la stagione delle piogge fornendo terreno fertile che i complessi sistemi di irrigazione hanno reso fertile per le colture in crescita. Sapere quando stava per arrivare la stagione delle piogge era vitale e lo studio dell'astronomia si sviluppò per fornire informazioni sul calendario. La vasta area coperta dalla nazione egiziana richiedeva un'amministrazione complessa, un sistema di tasse e gli eserciti dovevano essere sostenuti. Man mano che la società diventava più complessa, era necessario tenere registri e fare calcoli mentre le persone barattavano i loro beni. È nata la necessità di contare, quindi sono stati necessari la scrittura e i numeri per registrare le transazioni.

Nel 3000 aC gli egiziani avevano già sviluppato la loro scrittura geroglifica (vedi il nostro articolo Numeri egiziani per qualche dettaglio in più). Questo segna l'inizio del periodo dell'Antico Regno durante il quale furono costruite le piramidi. Ad esempio, la Grande Piramide di Giza fu costruita intorno al 2650 aC ed è una notevole opera di ingegneria. Ciò fornisce le indicazioni più chiare che la società di quel periodo aveva raggiunto un alto livello di realizzazione.

I geroglifici per scrivere e contare lasciarono il posto a uno script ieratico sia per la scrittura che per i numeri. I dettagli dei numeri stessi sono riportati nel nostro articolo Numeri egiziani. Qui ci occupiamo dei metodi aritmetici che hanno escogitato per lavorare con questi numeri

I sistemi numerici egiziani non erano adatti per i calcoli aritmetici. Conosciamo ancora oggi i numeri romani e quindi è facile capire che sebbene l'aggiunta di numeri romani sia abbastanza soddisfacente, la moltiplicazione e la divisione sono essenzialmente impossibili. Il sistema egizio presentava inconvenienti simili a quello dei numeri romani. Tuttavia, gli egiziani erano molto pratici nel loro approccio alla matematica e il loro commercio richiedeva che potessero trattare con le frazioni. Il commercio richiedeva anche la moltiplicazione e la divisione per essere possibili, quindi escogitarono metodi notevoli per superare le carenze nei sistemi numerici con cui dovevano lavorare. Fondamentalmente dovevano escogitare metodi di moltiplicazione e divisione che prevedevano solo l'addizione.

I primi numeri geroglifici si trovano su templi, monumenti in pietra e vasi. Danno poca conoscenza di qualsiasi calcolo matematico che potrebbe essere stato fatto con i sistemi numerici. Mentre questi geroglifici venivano scolpiti nella pietra, non c'era bisogno di sviluppare simboli che potessero essere scritti più rapidamente. Tuttavia, una volta che gli egizi iniziarono a usare fogli appiattiti di canna di papiro essiccata come "carta" e la punta di una canna come "penna", c'era motivo di sviluppare mezzi di scrittura più rapidi. Ciò ha indotto lo sviluppo della scrittura ieratica e dei numeri.

Deve esserci stato un gran numero di papiri, molti dei quali si occupano di matematica in una forma o nell'altra, ma purtroppo poiché il materiale è piuttosto fragile quasi tutti sono periti. È notevole che qualcuno sia sopravvissuto e che sia una conseguenza delle condizioni climatiche aride in Egitto. Sono sopravvissuti due importanti documenti matematici.

Puoi vedere un esempio di matematica egiziana scritto sul papiro di Rhind e un altro papiro, il papiro di Mosca, con una traduzione in scrittura ieratica. È da questi due documenti che deriva la maggior parte della nostra conoscenza della matematica egiziana e la maggior parte delle informazioni matematiche in questo articolo è tratta da questi due antichi documenti.



Ecco il Papiro posteriore


Il papiro di Rhind prende il nome dall'egittologo scozzese A Henry Rhind, che lo acquistò a Luxor nel 1858. Il papiro, un rotolo lungo circa 6 metri e largo 1 3 largefrac<1><3> ormalsize 3 1 ​ di un metro, fu scritto intorno al 1650 a.C. dallo scriba Ahmes il quale afferma di copiare un documento che ha 200 anni in più. Il papiro originale su cui si basa il papiro di Rhind risale quindi al 1850 a.C. circa.



Ecco il Papiro di Mosca


Anche il papiro di Mosca risale a questo periodo. Ora sta diventando più comune chiamare il papiro Rhind come Ahmes piuttosto che Rhind poiché sembra molto più giusto chiamarlo dopo lo scriba che dopo l'uomo che lo ha acquistato relativamente di recente. Tuttavia, lo stesso non è possibile per il papiro di Mosca, poiché purtroppo lo scriba che ha scritto questo documento non ha registrato il suo nome. Viene spesso chiamato il papiro Golenischev dopo l'uomo che lo ha acquistato. Il papiro di Mosca è ora al Museo delle Belle Arti di Mosca, mentre il papiro di Rhind è al British Museum di Londra.

Il papiro di Rhind contiene ottantasette problemi mentre il papiro di Mosca ne contiene venticinque. I problemi sono per lo più pratici, ma alcuni sono posti per insegnare la manipolazione del sistema numerico stesso senza un'applicazione pratica in mente. Ad esempio i primi sei problemi del papiro di Rhind chiedono come dividere nnn pani tra 10 uomini dove n = 1 n =1 n = 1 per il problema 1 , n = 2 n = 2 n = 2 per il problema 2 , n = 6 n = 6 n = 6 per il problema 3 , n = 7 n = 7 n = 7 per il problema 4 , n = 8 n = 8 n = 8 per il problema 5 e n ​​= 9 n = 9 n = 9 per il problema 6 . Chiaramente qui sono coinvolte le frazioni e, infatti, 81 degli 87 problemi dati implicano l'operare con le frazioni. Rising, in [ 37 ] , discute questi problemi di equa divisione dei pani che furono particolarmente importanti nello sviluppo della matematica egiziana.

Alcuni problemi richiedono la soluzione di un'equazione. Ad esempio Problema 26: una quantità aggiunta a un quarto di quella quantità diventa 15. Qual è la quantità? Altri problemi riguardano serie geometriche come Problema 64 : dividi 10 hekat di orzo tra 10 uomini in modo che ognuno ottenga 1 8 largefrac<1><8> ormalsize 8 1 ​ di un hekat in più del precedente. Alcuni problemi riguardano la geometria. Ad esempio Problema 50: un campo rotondo ha diametro 9 khet. Qual è la sua area? Il papiro di Mosca contiene anche problemi geometrici.

A differenza dei greci che pensavano in modo astratto alle idee matematiche, gli egiziani si occupavano solo dell'aritmetica pratica. La maggior parte degli storici ritiene che gli egizi non pensassero ai numeri come quantità astratte, ma pensassero sempre a una raccolta specifica di 8 oggetti quando ne veniva menzionato 8. To overcome the deficiencies of their system of numerals the Egyptians devised cunning ways round the fact that their numbers were poorly suited for multiplication as is shown in the Rhind papyrus.

We examine in detail the mathematics contained in the Egyptian papyri in a separate article Mathematics in Egyptian Papyri. In this article we next examine some claims regarding mathematical constants used in the construction of the pyramids, in particular the Great Pyramid at Giza which, as we noted above, was built around 2650 BC.

Joseph [ 8 ] and many other authors gives some of the measurements of the Great Pyramid which make some people believe that it was built with certain mathematical constants in mind. The angle between the base and one of the faces is 51 ° 50 ' 35 ". The secant of this angle is 1 . 61806 which is remarkably close to the golden ratio 1 . 618034 . Not that anyone believes that the Egyptians knew of the secant function, but it is of course just the ratio of the height of the sloping face to half the length of the side of the square base. On the other hand the cotangent of the slope angle of 51 ° 50 ' 35 " is very close to π 4 largefrac<4> ormalsize 4 π ​ . Again of course nobody believes that the Egyptians had invented the cotangent, but again it is the ratio of the sides which it is believed was made to fit this number. Now the observant reader will have realised that there must be some sort of relationship between the golden ratio and π for these two claims to both be at least numerically accurate. In fact there is a numerical coincidence: the square root of the golden ratio times π is close to 4 , in fact this product is 3 . 996168 .

Finally we examine some details of the ancient Egyptian calendar. As we mentioned above, it was important for the Egyptians to know when the Nile would flood and so this required calendar calculations. The beginning of the year was chosen as the heliacal rising of Sirius, the brightest star in the sky. The heliacal rising is the first appearance of the star after the period when it is too close to the sun to be seen. For Sirius this occurs in July and this was taken to be the start of the year. The Nile flooded shortly after this so it was a natural beginning for the year. The heliacal rising of Sirius would tell people to prepare for the floods. The year was computed to be 365 days long and this was certainly known by 2776 BC and this value was used for a civil calendar for recording dates. Later a more accurate value of 365 1 4 365largefrac<1><4> ormalsize 3 6 5 4 1 ​ days was worked out for the length of the year but the civil calendar was never changed to take this into account. In fact two calendars ran in parallel, the one which was used for practical purposes of sowing of crops, harvesting crops etc. being based on the lunar month. Eventually the civil year was divided into 12 months, with a 5 day extra period at the end of the year. The Egyptian calendar, although changed much over time, was the basis for the Julian and Gregorian calendars.


Bayesian nonparametric density regression for ordinal responses

Maria DeYoreo , Athanasios Kottas , in Flexible Bayesian Regression Modelling , 2020

3.3.1 Modelling approach

Supporre che K ordinal categorical variables are recorded for each of n individuals, along with p continuous covariates, so that for individual io we observe a response vector y i = ( y i 1 , … , y i k ) and a covariate vector x i = ( x i 1 , … , x i p ) , with y i j ∈ < 1 , … , C j >and C j > 2 . Introduce latent continuous random variables z i = ( z i 1 , … , z i k ) , i = 1 , … , n , such that y i j = l if and only if γ j , l − 1 < z i j ⩽ γ j , l , for j = 1 , … , k and l = 1 , … , C j . For reasons previously mentioned, we focus on building a model for the joint density f ( z , x ) , which is a continuous density of dimension k + p , which implies a model for the conditional response distribution f ( y | x ) .

To model f ( z , x ) in a flexible way, we use a DP mixture of multivariate normals model, mixing on the mean vector and covariance matrix. We assume ( z i , x i ) | G ∼ i i d ∫ N ( z i , x i | μ , Σ ) d G ( μ , Σ ) , and we place a DP prior on the random mixing distribution G. The hierarchical model is formulated by introducing a latent mixing parameter θ i = ( μ i , Σ i ) for each data vector, i.e.

where G | α , ψ ∼ DP ( α , G 0 ( ⋅ | ψ ) ) , with base (centering) distribution G 0 ( μ , Σ | ψ ) = N ( μ | m , V ) IW ( Σ | ν , S ) . The parameter ν is fixed, and the model is completed with hyperpriors on ψ = ( m , V , S ) , and a prior on α, cioè

where W ( a S , B S ) denotes a Wishart distribution with mean a S B S , and IW ( a V , B V ) denotes an inverse-Wishart distribution with mean ( a V − ( k + p ) − 1 ) − 1 B V .

The discreteness of the DP prior for G results in ties among the θ i , so that in practice fewer than n distinct values for the < θ i >are effective in the hierarchical model. The data are therefore clustered into a typically small number of groups relative to n, with the number of clusters, n ⁎ , controlled by parameter α, where larger values favour more clusters.

Based on the DP constructive definition discussed in Section 3.2.1 , the prior model for f ( z , x ) has an almost sure representation as a countable mixture of multivariate normals, and the proposed model can therefore be viewed as a nonparametric extension of the multivariate probit model with random covariates. This implies a countable mixture of normal distributions (with covariate-dependent weights) for f ( z | x , G ) , from which the latent z may be integrated out to reveal the induced model for the ordinal regression relationships. In general, for a multivariate response Y = ( Y 1 , … , Y k ) with an associated covariate vector X, the probability that takes on the values l = ( l 1 , … , l k ) , where l j ∈ < 1 , … , C j >, for j = 1 , … , k , can be expressed as

with covariate-dependent weights w r ( x ) ∝ p r N ( x | μ r x , Σ r x x ) , mean vectors m r ( x ) = μ r z + Σ r z x ( Σ r x x ) − 1 ( x − μ r x ) and covariance matrices S r = Σ r z z − Σ r z x ( Σ r x x ) − 1 Σ r x z . Here, ( μ r , Σ r ) are the atoms in the DP prior constructive definition, where μ r is partitioned into μ r z and μ r x according to random vectors Z e X, and ( Σ r z z , Σ r x x , Σ r z x , Σ r x z ) are the components of the corresponding partition of covariance matrix Σ r .

To illustrate, consider a bivariate response Y = ( Y 1 , Y 2 ) , with covariates X. The probability assigned to the event ( Y 1 = l 1 ) ∩ ( Y 2 = l 2 ) is obtained using (3.3) , which involves evaluating bivariate normal distribution functions. However, one may be interested in the marginal relationships between individual components of and the covariates. We may obtain the probability that Y 1 and Y 2 take on some combination of values as a function of X, but also marginally how the first varies as a function of X. The marginal inference, Pr ( Y 1 = l 1 | x , G ) , is given by the expression

where m r ( x ) and s r are the conditional mean and variance for z 1 conditional on X implied by the joint distribution N ( z , x | μ r , Σ r ) . Expression (3.4) provides also the form of the ordinal regression curves in the case of a single response.

Hence, the implied regression relationships have a mixture structure with component-specific kernels which take the form of parametric probit regressions and weights which are covariate-dependent. This structure enables inference for nonlinear response curves, by favouring a set of parametric models with varying probabilities depending on the location in the covariate space. The limitations of parametric probit models – including relative covariate effects which are constant in terms of the covariate and the ordinal level, monotonicity and the single crossing property of the response curves – are thereby overcome.

We noted in Section 3.1 that computational difficulties sometimes arise in fitting parametric ordinal probit models. The reason for this is that to obtain an identifiable model, restrictions must be imposed on the covariance matrix Σ of the multivariate normal distribution for Z. One way to handle this is to restrict the covariance matrix to be a correlation matrix, which complicates Bayesian inference since there does not exist a conjugate prior for correlation matrices. Posterior simulation is further complicated by estimation of the cut-off points which are typically highly correlated with the latent responses.

In the Bayesian nonparametric model proposed, it can be shown that the mixture kernel covariance matrix can be left unstructured, and cut-offs can be fixed to arbitrary increasing values. [13] show that all parameters of the normal mixture kernel are identifiable provided each ordinal response comprises more than two classifications. This methodology focuses on multivariate ordinal responses with C j > 2 , for all j. However, if one or more responses is binary, then the full covariance matrix of the normal mixture kernel for ( Z , X ) is not identifiable. [13] also demonstrate that, with fixed cut-offs, the model can approximate arbitrarily well any set of probabilities on the ordinal outcomes. This large support property of normal DP mixture models for ordinal responses was suggested earlier by [31] , who provided an informal argument that the normal DP mixture model for multivariate ordinal responses (without covariates) can approximate arbitrarily well any probability distribution for a contingency table. The basis for this argument is that, in the limit, one mixture component can be placed within each set of cut-offs corresponding to a specific ordinal vector, with the mixture weights assigned accordingly to each cell. This feature represents a significant advantage over parametric ordinal regression models in terms of computation.


Exponents

Overview

Exponentiation is often thought of as repeated multiplication. For example, the expression (b^x) is equivalent to the following when (x) is an integer:

We say here that (b) is the base and that (x) is the esponente.

What happens if (x) is zero, or (x) is negative? In those cases, the exponent is defined to behave as follows:

(Note that neither the base nor the exponent needs to be integers. However, explaining how exponentiation works in these cases is beyond the scope of this document and isn't too relevant to this course.)

One example where exponents appear in code is if we had a loop that starts by performing operation then performs double that amount with each iteration. If we keep doubling the amount of work done, the code would be doing (2^n) operations on the (n^ ext) iteration.

Useful exponent identities

Power of a power

(displaystyle (b^2)^4 = (b cdot b) cdot (b cdot b) cdot (b cdot b) cdot (b cdot b) = b^8 )

Multiplying exponents

(displaystyle (b^2)cdot(b^3) = (b cdot b) cdot (b cdot b cdot b) = b^5 )

Dividing exponents

Taking the power of two multiplied terms

(displaystyle (a cdot b)^x = (a^x) cdot (b^x) )

(displaystyle (a cdot b)^2 = (a cdot b) cdot (a cdot b) = (a cdot a) cdot (b cdot b) = a^2 cdot b^2 )


10.1: Overview - Mathematics

MATH 110 - Techniques of Calculus I

Penn State University
Fall Semester 2008

Office Hours: TTH: 4:00-5:30
and By Appointment

403 McAllister Building
(814) 865-3329
[email protected]

Office Hours: WF: 10:00-11:00, TTh: 2:00-4:00
and By Appointment

Textbook: Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences, 7th Edition, by S.T. Tan (Brooks/Cole, 2007)

Note: Hardcopies, electronic copies, and electronic copies of individual chapters of the textbook and supporting materials are available for purchase at reduced cost by visiting the www.ichapters.com website.

Note: Brooks/Cole also maintains a companion website for the text.

Course Description (from the Penn State University Blue Book )
TECHNIQUES OF CALCULUS I ( 4) Functions, graphs, derivatives, integrals, techniques of differentiation and integration, exponentials, improper integrals, applications. Students may take only one course for credit from MATH 110, 140, 140A, and 140B. Prerequisite: MATH 022 or satisfactory performance on the mathematics proficiency examination

Course Coverage
The goal for the course is to cover Chapters 2-6 from the text. Note that Chapter 1 is considered review material for the students. Each student should confirm that they understand the material in Chapter 1 during the first week of the course.

Esami
Two evening examinations (midterms) will be given. The dates and times of these exams will be as follows:

Examination 1: Monday, October 6, 2008, 6:30 - 7:45 pm
Examination 2: Thursday, November 6, 2008, 6:30 - 7:45 pm

Information on the locations of these exams will be distributed at a future date. In addition, the math department schedules a conflict exam for each of the midterms from 5:05 - 6:20 on the same night as the regularly scheduled exam and a makeup exam scheduled on an evening different from the regularly scheduled exam night. Sign-up sheets for the conflict exam or the makeup exam will be available from your lecturers approximately one week before the exam. A valid conflict/makeup reason is required to sign up for either of these exams.

NOTE: If you miss an exam without an official excuse (such as illness or official university business), then you may be allowed to take a makeup exam, but with an automatic 25% deduction from the grade. To avoid this deduction, you must notify your lecturer, with your official excuse, before the date and time of the exam. This notification may be performed in person, via e-mail, or by telephone.

Final Exam
The final examination in the course will be comprehensive. It will be given during the university's final examination week, December 15-19, 2008. Do not make plans to leave the university before the end of this week. Travel plans do not constitute an official university excuse for missing an examination or for obtaining a conflict or makeup examination. Hence, the above note regarding a 25% deduction will be enforced in the event that a student's travel plans conflict with the university's designated final examination period for this course.

In-Class Quizzes
Several short quizzes will be given throughout the course of the semester during the recitation hour. The quiz questions will be similar to the assigned homework problems and the reading done in preparation for class, which is a good motivation for you to complete the suggested homework problems noted below. The purpose of the quizzes is to encourage you to keep up with your preparation (and reward you for doing so). Each quiz will consist of problems based on the materials presented during the previous week's lectures. During the first week, your first quiz score will be based on the Readiness Test to be taken through Angel. Since the purpose of the Readiness Test is to test the basic algebraic skills required to be successful in Math 110, it is critical that everyone take the test during the first week of classes. Students who score poorly on this test should work the Chapter 1 self-assessment exercises also included on Angel and, if still finding difficulty with the preparatory materials, strongly consider taking Math 22 before proceeding with Calculus. Minimally, all students should review the basic algebraic concepts covered by the test questions during the first week of the semester in preparation for the related Calculus materials.

Any student who takes the Readiness Test will have a 10 recorded for the first quiz score. A student who does not take the Readiness Test will have a 0 score assigned.

Thirteen quizzes are planned for the semester (approximately one per week and the Readiness Test). A student's quiz grade will be determined by summing each student's highest ten quiz scores and dropping the remaining ones. Each quiz will be worth 10 points.

A list of suggested homework problems appears at the end of this syllabus. These homework problems will non be turned in for a grade. The purpose of doing the homework is to better understand the material discussed in the lectures and to prepare oneself for quizzes and exams. Since much of this material builds upon previous material, you are encouraged to do tutti of the suggested homework and keep up with the suggested homework, even though it will not be handed in.

Academic Integrity
Academic integrity is the pursuit of scholarly activity in an open, honest and responsible manner. Academic integrity is a basic guiding principle for all academic activity at The Pennsylvania State University, and all members of the University community are expected to act in accordance with this principle. Consistent with this expectation, the University's Code of Conduct states that all students should act with personal integrity, respect other students' dignity, rights and property, and help create and maintain an environment in which all can succeed through the fruits of their efforts.

Academic integrity includes a commitment not to engage in or tolerate acts of falsification, misrepresentation or deception. Such acts of dishonesty violate the fundamental ethical principles of the University community and compromise the worth of work completed by others.

Based on the University's Faculty Senate Policy 49-20 , a range of academic sanctions may be taken against a student who engages in academic dishonesty. Please see the Eberly College of Science Academic Integrity homepage for additional information and procedures.

Valutazione : your course grade will be determined by your exam scores and your quiz scores.
Total possible points follow:


Bucknell Mathematics Department Blog

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“Not Linear? Not a Problem!” at 12:30 PM on 10/22 via Zoom

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February 24th, 2020

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Student Colloquium Talk by Professor Allison Lewis, Lafayette College Abstract: How can mathematical modeling assist in the development of treatment protocols for cancer? Recent technological advances make it possible to collect detailed information about tumors, and yet clinical assessments of treatment responses are typically based on extremely sparse datasets. We propose a workflow for choosing an appropriate model for tumor growth and treatment response, verifying parameter identifiability, and assessing the amount of data necessary to precisely calibrate model parameters in order to make accurate predictions of tumor size at future times. Throughout this talk, we will discuss ways in which [&hellip]

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February 7th, 2020

“Factoring Rook Polynomials” at noon on Thursday 2/13 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Professor Kenny Barrese, Bucknell University Abstract: Rook theory is a branch of mathematics which considers how many ways you can put rooks on a board so that no two are attacking each other. Here a “rook” is the usual chess piece, but the “board” that we are placing on probably is not an eight by eight square. One way to consider the numbers you obtain is as coefficients of a polynomial, the rook polynomial. It is a key result in rook theory that, if you define the rook polynomial correctly, it always factors completely! In fact, [&hellip]

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January 23rd, 2020

“A Basic Overview of the Actuarial Profession” at noon on Thursday 1/30 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Gloria Asare, AXA Insurance, Toronto, Canada Abstract: Come learn what it takes to become fully certified and work as an actuary. Our presenter Gloria Asare, ACAS, MAAA will touch on various topics of interest related to the actuarial field. These include: how to become an actuary the different types of actuaries that exist the types of mathematical problems actuaries solve what one’s journey to being an actuary could look like and diversity in the actuarial profession. Anyone interested in the actuarial profession (even if you don’t know what it is) is welcome! A mathematical background is [&hellip]

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November 20th, 2019

“From the Bridges of Königsberg to Data Analysis” at noon on Thursday 11/21 in Olin 268

Student Colloquium talk by Professor Chris Johnson, Bucknell University Abstract: The Prussian city of Königsberg once contained four land masses connected by a series of bridges, and citizens of the city would sometimes ponder the following simple puzzle: is it possible to walk through the city crossing each bridge exactly once? In analyzing this question, Leonhard Euler noted that the most important feature was how the bridges connected the land masses to one another. Understanding “connectedness” is one part of a branch of mathematics called topology, and in this talk I will give an overview of a few particular topological [&hellip]

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November 4th, 2019

“What Did You Do Last Summer?” at noon on Thursday 11/7 in Olin 268

The Mathematics Department Student Colloquium Series will present talks by Bucknell Students this Thursday, November 7 at 12:00 PM in Olin 268. Moderator will be Hannah Bokma 󈧘 where students will discuss “What Did You do Last Summer?” Speakers: Hannah Bokma 󈧘 – teaching intern, Breakthrough HoustonElise Covert 󈧘 – data analytics, American Institute for ResearchMady Lawrence 󈧙 – data analytics, Highmark HealthPhil Thompson 󈧘 – financial sales and business development intern, IHS Market Abstract: There are many exciting summer opportunities for students in the mathematical sciences! These range from internships in financial companies to research experiences at other universities [&hellip]

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October 24th, 2019

“Archimedes’ Cattle Problem” at noon on Thursday 10/24 in Olin 268

Student Colloquium talk by Professor Krishnan (Ravi) Shankar, University of Oklahoma Title: Archimedes’ Cattle Problem Abstract: Back in antiquity Archimedes devised a mathematical problem in the form of 22 elegiac couplets and delivered them to Eratosthenes of Cyrene (as a challenge of sorts). The problem is in three parts of increasing difficulty and the solution is rather astonishing, both for its complexity and for the problem’s ability to anticipate mathematics that didn’t come about for 2000 years (Pell’s equation). We will explore the problem and its solution (which was only completely solved in 1889 by Amthor) and ask ourselves the [&hellip]

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September 30th, 2019

Mathematics Alumni Career Panel at noon on Thursday 10/3 in Olin 268

Hear advice and perspectives from Bucknell alumni who will examine career paths that utilize the mathematics degree while discussing their work and available opportunities. The conversation will include a question and answer period and an opportunity to meet (and network with!) the alumni panelists. Pizza and calzones will be provided. This event is sponsored by the Mathematics Department and the Center for Career Advancement. Panelists: Allison Gibson ‘13, Consultant, Boston Consulting Group MBA Graduate 2019, Kellogg School of Management, Northwestern University Rachel Guen ‘19, Associate Analyst, Moody’s Investors Service Zach Moon, ASA ‘16, Actuarial Advisor, Cigna Jin On ’12, Manager, [&hellip]

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Guarda il video: WirisQuizzes for Moodle (Settembre 2021).