Articoli

5.6: Poteri e Radici


Risultati di apprendimento

  1. Eleva un numero a un potere usando la tecnologia.
  2. Prendi la radice quadrata di un numero usando la tecnologia.
  3. Applicare l'ordine delle operazioni quando c'è root o un potere.

Può essere una sfida quando proviamo per la prima volta a usare la tecnologia per elevare un numero a una potenza o prendere una radice quadrata di un numero. In questa sezione, esamineremo alcuni suggerimenti su come prendere con successo poteri e radici di un numero. Continueremo anche la nostra pratica con l'ordine delle operazioni, ricordando che finché non ci sono parentesi, gli esponenti vengono sempre prima di tutte le altre operazioni. Vedremo che prendendo una potenza di un numero si ottiene la probabilità e prendendo una radice si ottiene la ricerca delle deviazioni standard.

Poteri

Quasi ogni calcolatrice, computer e smartphone può assumere poteri di un numero. Dobbiamo solo ricordare che il simbolo "^" è usato per significare "al potere di". Dobbiamo anche ricordarci di usare le parentesi se dobbiamo forzare un'altra aritmetica a venire prima dell'elevamento a potenza.

Esempio (PageIndex{1})

Valutare: (1.04^5) e arrotondare a due cifre decimali.

Soluzione

Questo richiede sicuramente l'uso della tecnologia. La maggior parte delle calcolatrici, sia manuali che computerizzate, usa il simbolo "^" (shift 6 sulla tastiera) per l'elevamento a potenza. Digitiamo:

[1.04^5 = 1.2166529 onnumero ]

Ci viene chiesto di arrotondare a due cifre decimali. Poiché la terza cifra decimale è un 6 che è 5 o maggiore, arrotondiamo per eccesso per ottenere:

[1.04^5circa1.22 onnumero ]

Esempio (PageIndex{2})

Valuta: (2.8^{5.3 imes0.17}) e arrotonda a due cifre decimali.

Soluzione

Innanzitutto nota che su un computer usiamo "*" (shift 8) per rappresentare la moltiplicazione. Se dovessimo inserire 2,8 ^ 5,3 * 0,17 nella calcolatrice, otterremmo la risposta sbagliata, poiché eseguirà l'elevamento a potenza prima della moltiplicazione. Poiché la domanda originale ha la moltiplicazione all'interno dell'esponente, dobbiamo forzare la calcolatrice a eseguire prima la moltiplicazione. Possiamo garantire che la moltiplicazione avvenga prima includendo le parentesi:

[2,8 ^{5,3 volte 0,17} = 2,52865 on numero ]

Ora arrotonda alle cifre decimali per ottenere:

[2.8^{5.3 imes0.17}circa2.53 on numero ]

Esempio (PageIndex{3})

Se vogliamo trovare la probabilità che se lanciamo un dado a sei facce cinque volte che i primi due lanci siano ciascuno un 1 o un 2 e gli ultimi tre lanci siano pari, allora la probabilità è:

[left(frac{1}{3} ight)^2: imesleft(frac{1}{2} ight)^3 onumber ]

Qual è questa probabilità arrotondata alla terza cifra decimale?

Soluzione

Noi troviamo:

[(1/3) ^ 2 (1 / 2) ^ 3 circa 0,013888889 on numero ]

Ora arrotonda alla terza cifra decimale per ottenere

[left(frac{1}{3} ight)^2: imesleft(frac{1}{2} ight)^3 about0.014 onumber ]

Radici quadrate

Le radici quadrate emergono spesso nelle statistiche, specialmente quando osserviamo le deviazioni standard. Dobbiamo essere in grado di utilizzare una calcolatrice o un computer per calcolare la radice quadrata di un numero. Ci sono due approcci che di solito funzionano. Il primo approccio consiste nell'utilizzare il simbolo (sqrt{::}) sulla calcolatrice, se presente. Per un computer, l'uso di sqrt() di solito funziona. Ad esempio, se metti 10*sqrt(2) nella barra di ricerca di Google, ti mostrerà 14.1421356. Un secondo modo che funziona praticamente con qualsiasi calcolatrice, sia che si tratti di una calcolatrice portatile o di una calcolatrice da computer, è rendersi conto che la radice quadrata di un numero è la stessa cosa del numero della potenza 1/2. Per non dover racchiudere 1/2 tra parentesi, è più facile digitare il numero alla potenza 0,5.

Esempio (PageIndex{3})

Valuta (sqrt{42}) e arrotonda la tua risposta a due cifre decimali.

Soluzione

A seconda della tecnologia che stai utilizzando, inserirai il simbolo della radice quadrata e poi il numero 42, quindi chiuderai le parentesi se vengono presentate e poi premi invio. Se stai usando un computer, puoi usare sqrt(42). Il terzo modo che funzionerà per entrambi è inserire:

[42^{0.5} circa 6.4807407 onnumero ]

Devi quindi arrotondare a due cifre decimali. Poiché 0 è minore di 5, arrotondiamo per difetto per ottenere:

[sqrt{42}about6.48 onumber ]

Esempio (PageIndex{4})

Lo "z-score" è per il valore di 28 per una distribuzione campionaria con dimensione del campione 60 proveniente da una popolazione con media 28,3 e deviazione standard 5 è definita da:

[z=frac{28-28.3}{frac{5}{sqrt{60}}} onumber ]

Trova lo z-score arrotondato a due cifre decimali.

Soluzione

Dobbiamo stare attenti all'ordine delle operazioni quando lo inseriamo nella calcolatrice. Noi entriamo:

[ (28 - 28,3)/(5/60 ^cuneo 0,5) = -0,464758 on numero ]

Infine, arrotondiamo a 2 cifre decimali. Poiché 4 è minore di 5, arrotondiamo per difetto per ottenere:

[z=frac{28-28.3}{frac{5}{sqrt{60}}}=-0,46 onumber ]

Esercizio

L'errore standard, che è una media di quanto distano le medie campionarie dalla media della popolazione, è definito da:

[sigma_ar x=frac{sigma}{sqrt{n}} onumber ]

dove (sigma_ar x) è l'errore standard, (sigma ) è la deviazione standard e (n) è la dimensione del campione. Trova l'errore standard se la deviazione standard della popolazione, (sigma ), è 14 e la dimensione del campione, (n), è 11.

  • Radice quadrata sulla famiglia di calcolatrici TI-83plus e TI-84
  • Radici quadrate con un computer

5.6: Poteri e Radici

Se non hai mai assegnato una password di root per MySQL, il server non richiede affatto una password per la connessione come root . Tuttavia, questo è insicuro. Per istruzioni sull'assegnazione delle password, vedere la Sezione 2.10.4, «Protezione degli account MySQL iniziali».

Se si conosce la password di root e si desidera cambiarla, vedere la Sezione 13.7.1.7, «Istruzione SET PASSWORD».

Se hai assegnato una password di root in precedenza ma l'hai dimenticata, puoi assegnare una nuova password. Le sezioni seguenti forniscono istruzioni per Windows e sistemi Unix e Unix, nonché istruzioni generiche che si applicano a qualsiasi sistema.

B.3.3.2.1 Reimpostazione della password di root: sistemi Windows

Su Windows, usa la seguente procedura per reimpostare la password per l'account MySQL 'root'@'localhost'. Per modificare la password per un account root con una parte del nome host diversa, modificare le istruzioni per utilizzare quel nome host.

Accedi al tuo sistema come amministratore.

Arrestare il server MySQL se è in esecuzione. Per un server in esecuzione come servizio Windows, vai in Gestione servizi: dal menu Start, seleziona Pannello di controllo , quindi Strumenti di amministrazione , quindi Servizi . Trova il servizio MySQL nell'elenco e fermalo.

Se il tuo server non è in esecuzione come servizio, potrebbe essere necessario utilizzare il Task Manager per forzarne l'arresto.

Crea un file di testo contenente la seguente istruzione su una singola riga. Sostituisci la password con la password che desideri utilizzare.

Salva il file. Questo esempio presuppone che tu chiami il file C:mysql-init.txt .

Aprire una finestra della console per accedere al prompt dei comandi: dal menu Start, selezionare Esegui , quindi immettere cmd come comando da eseguire.

Avvia il server MySQL con la variabile di sistema init_file impostata per denominare il file (nota che la barra rovesciata nel valore dell'opzione è raddoppiata):

Se hai installato MySQL in una posizione diversa, regola il CD comandare di conseguenza.

Il server esegue il contenuto del file denominato dalla variabile di sistema init_file all'avvio, modificando la password dell'account 'root'@'localhost'.

Per fare in modo che l'output del server appaia nella finestra della console anziché in un file di registro, aggiungi l'opzione --console a to mysqld comando.

Se hai installato MySQL utilizzando l'Installazione guidata di MySQL, potresti dover specificare un'opzione --defaults-file. Per esempio:

L'impostazione appropriata --defaults-file può essere trovata utilizzando Gestione servizi: Dal menu Start, selezionare Pannello di controllo, quindi Strumenti di amministrazione, quindi Servizi. Trova il servizio MySQL nell'elenco, fai clic con il pulsante destro del mouse e scegli l'opzione Proprietà. Il campo Percorso dell'eseguibile contiene l'impostazione --defaults-file.

Dopo che il server è stato avviato correttamente, elimina C:mysql-init.txt .

Ora dovresti essere in grado di connetterti al server MySQL come root utilizzando la nuova password. Arrestare il server MySQL e riavviarlo normalmente. Se esegui il server come servizio, avvialo dalla finestra Servizi di Windows. Se avvii il server manualmente, usa il comando che usi normalmente.

B.3.3.2.2 Reimpostazione della password di root: sistemi Unix e Unix-Like

Su Unix, utilizzare la seguente procedura per reimpostare la password per l'account MySQL 'root'@'localhost'. Per modificare la password per un account root con una parte del nome host diversa, modificare le istruzioni per utilizzare quel nome host.

Le istruzioni presuppongono che tu avvii il server MySQL dall'account di accesso Unix che normalmente usi per eseguirlo. Ad esempio, se si esegue il server utilizzando l'account di accesso mysql, è necessario accedere come mysql prima di utilizzare le istruzioni. In alternativa, puoi accedere come root, ma in questo caso tu dovere inizio mysqld con l'opzione --user=mysql. Se avvii il server come root senza usare --user=mysql , il server potrebbe creare file di proprietà di root nella directory dei dati, come i file di registro, e questi potrebbero causare problemi relativi alle autorizzazioni per i futuri avvii del server. In tal caso, è necessario modificare la proprietà dei file in mysql o rimuoverli.

Accedi al tuo sistema come utente Unix con cui viene eseguito il server MySQL (ad esempio, mysql ).

Arrestare il server MySQL se è in esecuzione. Individua il file .pid che contiene l'ID del processo del server. La posizione e il nome esatti di questo file dipendono dalla distribuzione, dal nome host e dalla configurazione. Le posizioni comuni sono /var/lib/mysql/ , /var/run/mysqld/ e /usr/local/mysql/data/ . In genere, il nome del file ha un'estensione .pid e inizia con mysqld o con il nome host del sistema.

Arrestare il server MySQL inviando un kill normale (non kill -9) al) mysqld processi. Usa il nome del percorso effettivo del file .pid nel seguente comando:

Usa i backtick (non le virgolette) con il comando cat. Questi fanno sì che l'output di cat venga sostituito nel comando kill.

Crea un file di testo contenente la seguente istruzione su una singola riga. Sostituisci la password con la password che desideri utilizzare.

Salva il file. Questo esempio presuppone che tu chiami il file /home/me/mysql-init . Il file contiene la password, quindi non salvarlo dove può essere letto da altri utenti. Se non hai effettuato l'accesso come mysql (l'utente con cui viene eseguito il server), assicurati che il file disponga delle autorizzazioni che consentano a mysql di leggerlo.

Avvia il server MySQL con la variabile di sistema init_file impostata per denominare il file:

Il server esegue il contenuto del file denominato dalla variabile di sistema init_file all'avvio, modificando la password dell'account 'root'@'localhost'.

Potrebbero essere necessarie anche altre opzioni, a seconda di come si avvia normalmente il server. Ad esempio, potrebbe essere necessario --defaults-file prima dell'argomento init_file.

Dopo che il server è stato avviato correttamente, elimina /home/me/mysql-init .

Ora dovresti essere in grado di connetterti al server MySQL come root utilizzando la nuova password. Arrestare il server e riavviarlo normalmente.

B.3.3.2.3 Reimpostazione della password di root: istruzioni generiche

Le sezioni precedenti forniscono istruzioni per la reimpostazione della password specificamente per Windows e sistemi Unix e Unix-like. In alternativa, su qualsiasi piattaforma, è possibile reimpostare la password utilizzando il pulsante mysql client (ma questo approccio è meno sicuro):

Arrestare il server MySQL se necessario, quindi riavviarlo con l'opzione --skip-grant-tables. Ciò consente a chiunque di connettersi senza password e con tutti i privilegi e disabilita le istruzioni di gestione dell'account come SET PASSWORD . Poiché questo non è sicuro, potresti voler usare --skip-grant-tables insieme all'abilitazione della variabile di sistema skip_networking per impedire la connessione dei client remoti.

Connettiti al server MySQL usando il mysql client non è necessaria alcuna password perché il server è stato avviato con --skip-grant-tables :

Nel client mysql, dire al server di ricaricare le tabelle di concessione in modo che le istruzioni di gestione dell'account funzionino:

Quindi cambia la password dell'account 'root'@'localhost'. Sostituisci la password con la password che desideri utilizzare. Per modificare la password per un account root con una parte del nome host diversa, modificare le istruzioni per utilizzare quel nome host.

Ora dovresti essere in grado di connetterti al server MySQL come root utilizzando la nuova password. Arrestare il server e riavviarlo normalmente (senza l'opzione --skip-grant-tables e senza abilitare la variabile di sistema skip_networking).


5.6: Poteri e Radici

I tratti motori, sensoriali e vari altri, la materia grigia spinale e le radici dei nervi spinali non dovrebbero più esserti estranei. I termini e i sintomi che verranno discussi vengono utilizzati quotidianamente dai neurologi clinici.

I clinici spesso pensano in termini di "sindromi". Una sindrome è un modello di sintomi (ciò di cui il paziente si lamenta) e segni (ciò che trova il medico) che suggeriscono la posizione di un processo patologico e occasionalmente la sua natura. La conseguenza del danno alla radice nervosa (da qualsiasi causa) è nota come radicolopatia (L. radicula = little root pathos = malattia), mentre la sindrome della "mielopatia" (Gr. myelos = midollo, relativo al midollo spinale, pathos = malattia) deriva da un danno al midollo spinale.

Poiché è impossibile discutere di tutti i tipi di disturbi delle radici nervose e del midollo spinale nel tempo a disposizione, abbiamo scelto di concentrarci sulle caratteristiche cliniche delle sindromi causate da compressione da tumori o altre lesioni che colpiscono le radici nervose e il midollo spinale. La compressione delle radici nervose o delle meningi che ricoprono il midollo spinale si presenta solitamente con dolore alla schiena o al collo. Il mal di schiena è un sintomo molto comune e comporta costi fino a 50 miliardi di dollari all'anno per cure mediche e pagamenti per invalidità. Il dolore alla schiena o al collo può essere causato da una varietà di meccanismi muscoloscheletrici e il medico deve essere in grado di esaminare il sistema nervoso per determinare se c'è compressione delle radici nervose o del midollo spinale. L'anatomia che stai imparando è essenziale per comprendere i risultati degli esami e i sintomi della compressione della radice o del midollo spinale.

Il sistema nervoso periferico inizia dalle radici nervose. Ogni segmento del midollo spinale dà origine a un motore ventrale o anteriore e a una radice nervosa sensoriale dorsale o posteriore. Le radici del nervo spinale possono essere danneggiate mentre attraversano il canale spinale (vertebrale), ma sono particolarmente vulnerabili nei forami intervertebrali, dove le radici spinali ventrali e dorsali si uniscono per formare i nervi spinali.

Osserva l'innervazione segmentale degli arti inferiori e superiori nelle tabelle seguenti. Questo dovrebbe essere familiare dal tuo recente corso di Gross Anatomy e ti aiuterà a comprendere parte del materiale seguente.

La maggior parte dei muscoli è innervata da più di una radice nervosa e la lesione di una singola radice nervosa non produce una perdita sensoriale ben definita a causa della sovrapposizione dei rami dei terminali delle radici dorsali di diversi segmenti. Oltre alla forza e ai test sensoriali, i riflessi di stiramento muscolare vengono valutati colpendo energicamente il tendine di un muscolo e provocando una contrazione, ad es. lo scatto al ginocchio.

RIFLESSO RADICE
rotuleo L 3 , 4
Achille S1, 2,
Innervazione segmentale di alcuni muscoli dell'arto inferiore
Radici spinali Muscolo innervato
L 2/3 flessori dell'anca ILIOPSOAS
L 3 adduttori dell'anca ADDUCTOR LONGUS
L 3/4 estensori del ginocchio VASTUS LATERALIS VASTUS MEDIALIS
L5 dorsiflessione della caviglia eversione e inversione + abduttori dell'anca
S 1 flessione plantare della caviglia + estensori dell'anca
Clicca sulla figura per l'ingrandimento Innervazione segmentale di alcuni muscoli dell'arto superiore
Radici spinali Muscolo innervato
Do 5/6 DELTOIDE BICIPITI BRACHIORADIALIS INFRASPINATUS SUPRASPINATUS
Do 6/7 PRONATOR TERES FLEXOR CARPI ULNARIS
C7 TRICIPITI LATISSIMUS DORSI
C 7/8 estensori e flessori del polso
S 1 muscoli intrinseci della mano

Compressione radice Root

Il segno distintivo della compressione della radice nervosa acuta o cronica è il DOLORE. Il dolore dovuto alla compressione della radice nervosa ha alcune caratteristiche:

* tende a seguire una distribuzione dermatomerica
* può essere accompagnato da parestesia (para, anormale + aisthesis, sensazione, sensazione anomala come pizzicore o formicolio, maggiore sensibilità) o perdita sensoriale in una distribuzione dermatomerica
* una perdita di potenza nei muscoli innervati dalla radice

Il mal di schiena è uno dei dieci problemi neurologici più comuni riscontrati dai medici di famiglia.

Le radicolopatie lombosacrali producono la sindrome della sciatica, le radicolopatie cervicali la sindrome della brachialgia. Il dolore alla radice della sciatica è quasi invariabilmente accompagnato o preceduto da mal di schiena (94%) e quello della brachialgia da dolore al collo (definito quindi anche cervico-brachialgia). I pazienti, se gli viene chiesto di tracciare il dolore nella sciatica posteriore, delineeranno la posizione del nervo sciatico "proprio esattamente come il miglior anatomista". La cattiveria del dolore sciatico era nota a Shakespeare, che la impiegò come una maledizione ("Tu fredda sciatica, paralizza i nostri senatori, affinché le loro membra si fermino zoppicanti come le loro maniere ..."). "Il dolore saetta attraverso le parti con la rapidità del fulmine su e giù, tagliando, lacerando e bruciando con estrema violenza, accresciuto da un leggero contatto, o diventando gradualmente permanente con un carattere di scalfittura o schiacciamento". (Romberg). Sovrapposto a un dolore costante, è un dolore con una qualità sordo ma pungente, accompagnato da spasmi lancinanti dei muscoli paravertebrali e degli arti.

L'inizio del dolore alla radice dovuto all'ernia del disco intervertebrale è spesso improvviso, ma può anche svilupparsi per diverse ore o giorni dopo l'inizio del mal di schiena. Il dolore radicolare è indotto o aggravato dal movimento. Il dolore violento provocato dalla tosse o dallo starnuto è un disturbo comune.

Il dolore sciatico di solito è piuttosto diffuso e difficile da localizzare per il paziente. A volte, aree o punti specifici lungo il decorso del nervo sciatico sono teneri e dolorosi. Il dolore sordo associato alla radicolopatia è spesso più evidente nell'area di apporto prossimale della radice nervosa danneggiata. Di solito è profondo, riferito ai muscoli, alle ossa o alle articolazioni. È più probabile che il dolore più acuto si irradi lungo i confini del derma.

Ernia del disco intervertebrale

Le radici lombari emergono da sotto le rispettive vertebre. Queste radici sono vulnerabili appena sopra i loro forami di uscita, poiché sono quindi la radice più ventrale (anteriore) e più laterale nel canale vertebrale e si trovano nel percorso immediato di un'ernia del disco laterale (L5 nel disegno a destra in basso). Il disco intervertebrale che si trova tra le vertebre L4 e L5 è chiamato disco L4/5. Il disco tra le vertebre L5 e l'osso sacro è il disco L5/S1. Poiché la radice L4 emerge sopra il disco L4/5, un'ernia laterale del disco L4/5 danneggia la radice L5. Inoltre, un'ernia laterale del disco L5/S1 danneggia la radice S1. CONOSCI QUESTO FREDDO!!
L'ernia e la degenerazione del disco intervertebrale sono la fonte più comune di radicolopatia compressiva.

La storia naturale della maggior parte delle ernie del disco è autolimitante e non richiede terapia chirurgica. Un quinto delle persone senza dolore di età inferiore ai 60 anni ha evidenza di un'ernia del disco alla risonanza magnetica e il 50% ha evidenza di un disco sporgente. Quindi è necessaria una corretta valutazione neurologica per definire sintomi e deficit che possono essere collegati ai risultati della risonanza magnetica. La pratica attuale è sviluppare un programma riabilitativo per il mal di schiena e indagare cause strutturali e terapie chirurgiche solo quando c'è un deficit neurologico oggettivo o un dolore che non migliora.

L'ernia del disco intervertebrale lombare si verifica più comunemente all'intercapedine L4/5 (radice L5 50%) e L5/S1 (radice S1 46,3%). Di conseguenza, la compressione della radice del quinto nervo lombare è più comune, con la prima radice del nervo sacrale un secondo vicino.

Una ragione per la frequente compressione della radice L5 può essere la stretta aderenza della radice L5 nel suo forame poiché questa radice ha il diametro più grande e il suo forame intervertebrale è più stretto di qualsiasi altro forame intervertebrale lombare.
Sindromi associate a radicolopatie lombosacrali

sciatica posteriore
* il dolore che si irradia lungo la parte posteriore della coscia e l'aspetto posterolaterale della gamba è dovuto a una radicolopatia S1 o L5 (radici nervose). Se causato da irritazione S1, può estendersi all'aspetto laterale del piede, il dolore dovuto alla radicolopatia L5 può irradiarsi al dorso del piede e all'alluce.

QUINDI, L5 = DORSO ALTOPARLANTE, S1 = PIEDE LATERALE.
sciatica anteriore
* * il dolore che si irradia lungo l'aspetto anteriore della coscia nella gamba anteriore è dovuto alla radicolopatia L4 o L3. Il dolore L2 è antero-mediale nella coscia. Il dolore all'inguine di solito deriva da una lesione L1.

La figura sopra illustra la distribuzione del dolore nelle radicolopatie lombari mentre la figura sotto illustra la distribuzione del dolore nelle radicolopatie cervicali (clicca sulla figura per ingrandirla). Radicolopatie cervicali
Poiché ci sono solo 7 vertebre cervicali nonostante 8 radici cervicali, il numero di radici che esce tra due vertebre è sempre il numero della vertebra inferiore. Ad esempio, la radice C5 esce tra le vertebre C4-C5 e sarebbe interessata da un'ernia del disco C4/5, la radice C8 esce tra le vertebre C7-T1 e sarebbe compressa da un disco C7/T1.

Il dolore dovuto a una radicolopatia C6 e C7 si irradia dal collo e intorno alla spalla nell'aspetto esterno del braccio e dell'avambraccio. La radicolopatia C6 può causare dolore e intorpidimento lungo l'aspetto dorsale del pollice e dell'indice, il dolore e la parestesia C7 possono irradiarsi nel dito medio.


COMPLESSO O IMMAGINARIO NUMERI

Non può essere 2, perché 2 al quadrato è +4, e non può essere &meno2 perché anche &meno2 al quadrato è +4. Infatti, non esiste un numero, positivo o negativo, il cui quadrato sia negativo.

Comunque&mdashise vogliamo dire che c'è una soluzione a questa equazione,

allora dobbiamo dire che è un numero. Per quell'equazione implica

non è un numero reale. Lo chiamiamo numero complesso o immaginario.

Quindi simboli come , , , e così via&mdashle radici quadrate dei numeri negativi&mdashchiameremo ora numeri complessi. Conosciamo come quel numero che, al quadrato, produce &meno3. E quindi nulla ci impedisce di usare quei numeri e di impiegarli nel calcolo. Obbediranno a tutte le regole che normalmente associamo a un numero. Possiamo sommarli, sottrarli, moltiplicarli e così via.

Ora, se a è un numero positivo, allora &minus a = &minus1 · a . Pertanto, secondo il teorema:

La radice quadrata di un numero negativo porta sempre al fattore . Quindi sarà conveniente mettere uguale a i .

Chiamiamo i l'unità complessa.

Questa è la proprietà algebrica fondamentale di i .

Esempio 1. 3 i &punto medio 4 i = 12 i 2 = 12(&meno1) = &meno12.

Esempio 2. &meno5 i &punto medio 6 i = &meno30 i 2 = 30.

Il fattore i 2 cambia il segno di un prodotto.

Problema 1. Valuta quanto segue.

Per vedere la risposta, passa il mouse sull'area colorata.
Per coprire nuovamente la risposta, fai clic su "Aggiorna" ("Ricarica").
Prima fai il problema da solo!

un) i2 = &meno1 b) io &punto medio 2 i = 2 io 2 = 2(&meno1) = &meno2
c) (3 i ) 2 = 3 2 i 2 = &meno9 d) &meno5 io &punto medio 4 i = &meno20 io 2 = 20
Esempio 3. = io
= io = 2 i
= io = 2 i

La radice quadrata di &minus a è uguale a i per la radice quadrata di a .

Problema 2. Esprimi ciascuno dei seguenti in termini di i .

un) = io b) = 3 i c) = 7 i
d) = io e) = io f) = 2 i
g) = 3 i h) = 5 i io) = 7 i

Nota: per moltiplicare i numeri complessi , dobbiamo prima esprimerli in termini di i .

La regola non vale quando sia a che b sono negativi.

Cominciamo con i 0 , che è 1. (Qualsiasi numero con esponente 0 è 1.) Ogni potenza di i può essere ottenuta dalla potenza precedente moltiplicandola per i . Abbiamo:

Dato che siamo tornati a 1, il ciclo dei poteri si ripeterà. Qualsiasi potere di io lo sarò

&mdashsecondo il resto dividendo l'esponente n per 4.

io 9 = i , perché dividendo 9 per 4, il resto è 1.
io 9 = io 1 .
io 18 = &meno1, perché dividendo 18 per 4, il resto è 2.
io 18 = io 2 .
io 35 = &meno i , perché dividendo 35 per 4, il resto è 3.
io 35 = io 3 .
io 40 = 1, perché dividendo 40 per 4, il resto è 0.
io 40 = io 0 .

Nota: le potenze pari di i saranno 1 o &minus1, a seconda che l'esponente sia un multiplo di 4 o 2 più di un multiplo di 4. Mentre le potenze dispari saranno i o &minus i .

Problema 3. Valuta ogni potenza di i .

I numeri complessi seguono le stesse regole dei numeri reali. Ad esempio, per moltiplicare

lo studente dovrebbe riconoscere la forma ( a + b )( a &minus b ) -- che produrrà la differenza di due quadrati. Perciò,

(2 + 3 i )(2 & meno 3 i ) = 4 &meno 9 e 2
= 4 &meno 9(&meno1)
= 4 + 9
= 13.

Anche in questo caso, il fattore i 2 cambia il segno del termine.

a) (1 + i )(1 &meno i ) = 1 &meno 2 i 2 = 1 + 2 = 3

b) (3 &meno i ) 2 = 9 &meno 6 io + 2 io 2 , alla quadratura del binomio,
= 9 &meno 6 io &meno 2
= 7 &meno 6 i
c) (2 + 3 i )(4 &meno 5 i ) = 8 &meno 10 io + 12 io &meno 15 io 2
= 8 + 2 io + 15
= 23 + 2 i

Problema 6. ( x + 1 + 3 i )( x + 1 &meno 3 i )

a) Che forma produrrà? La differenza di due quadrati.

( x + 1 + 3 i )( x + 1 &meno 3 i ) = ( x + 1) 2 &meno 9 i 2
= x 2 + 2 x + 1 + 9
= x 2 + 2 x + 10
c) ( x &meno 2 &meno i )( x &meno 2 + i ) = ( x &meno 2) 2 &meno 2 i 2
= x 2 &meno 4 x + 4 + 2
= x 2 &meno 4 x + 6

Le componenti reali e immaginarie

Ecco quella che ora viene chiamata la forma standard di un numero complesso:

È il numero reale a più il numero complesso.

un &mdash, ovvero 3 nell'esempio&mdashè chiamato il componente reale (o la parte reale). b (2 nell'esempio) si chiama componente immaginaria (o parte immaginaria).

Problema 7. Nomina il componente reale ae il componente immaginario b .

un) 3 &meno 5 i a = 3, b = &meno5. b) 1 + io a = 1, b = .
c) io a = 0, b = 1. d) &meno6 a = &meno6, b = 0.

Il complesso coniugato di a + bi è a &minus bi . Il punto su una coppia coniugata è che quando vengono moltiplicati&mdash

&mdashil prodotto è un numero reale positivo . Quella forma è la differenza di due quadrati:

( a + bi )( a &meno bi ) = a 2 &meno b 2 i 2 = a 2 + b 2

Il prodotto di una coppia coniugata complessa
è uguale alla somma dei quadrati delle componenti.

Problema 8. Calcola il numero reale positivo che risulta dalla moltiplicazione di ciascuno dei seguenti con il suo complesso coniugato.

(2 + 3 i )(2 & meno 3 i ) = 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13.

(3 &meno i )(3 + i ) = 3 2 + ( ) 2 = 9 + 2 = 11.

c) u + iv. ( u + iv ) ( u & meno iv ) = u 2 + v 2 .

d) 1 + io . (1 + i )(1 &meno i ) = 1 2 + 1 2 = 2.

Si prega di fare una donazione per mantenere TheMathPage online.
Anche $ 1 aiuterà.


5.6: Poteri e Radici

introduzione

Secondo gli scritti di Helena Petrovna Blavatsky, ci saranno sette razze radice associate alla Terra e ogni razza radice sarà divisa in sette sottorazze.

Le sette razze radice sono indicate come:

1) 1a razza radice – Astrale/Eterico
2) 2a razza radice – Iperborei
3) Terza razza radice – Lemuriani
4) 4a razza radice – Atlantidei
5) 5a razza radice – Ariani
6) 6a razza radice – ancora da apparire
7) 7a razza radice – ancora da apparire

Ad oggi, solo cinque razze radice sono apparse sulla terra e la sesta razza radice è prevista dai teosofi per l'emergere nel 28° secolo. La settima razza radice apparirà solo diversi milioni di anni nel futuro.

Sopra – Helena Petrovna Blavatsky (1831-1891) – “Messaggero di Teosofia”.
La teosofia è "un frammento dell'antico insegnamento della saggezza, un tempo universale".

Come descritto nel libro di Blavatsky, “La Dottrina Segreta“, (1888), le razze radice sono “fasi dell'evoluzione umana nella cosmologia esoterica“. Si dice che alcune di queste razze siano esistite in continenti ormai perduti (Lemuria, Atlantide, ecc.).

Il modello di razza radice di Blavatsky fu ulteriormente sviluppato ed esposto da teosofi successivi – in particolare da William Scott-Elliot (m. 1930) nei suoi libri, “La storia di Atlantide“, (1896) e “La Lemuria Perduta“, (1904). E da Annie Besant nel suo libro, “Uomo: da dove, come e dove and“, (1913).

Sopra – Annie Besant (1847-1933) – In Regalia of Co-Masonry 3° Grado

Sia Scott-Elliot che Besant si affidarono molto alle informazioni di Charles Webster Leadbeater che le aveva ottenute attraverso la “chiaroveggenza astrale”.

Sopra – Charles Webster Leadbeater (1854-1934)

Ulteriore elaborazione sulle razze radice è stata data da Rudolf Steiner, l'architetto dell'Antroposofia, nella sua opera, “Atlantide e Lemuria“, (1913).

Sopra – Rudolf Steiner (1861-1925)

La Prima Razza Radicale (Astrale/Eterica)

La prima razza radice (Astrale/Eterica) era principalmente spirituale e non lasciava alcun residuo fisico – erano “etere”, e di conseguenza erano composte di energia/materia eterica. La loro riproduzione è stata compiuta da loro dividendo simile a quello delle amebe. Inoltre, al tempo della prima razza radice, la terra si stava ancora raffreddando e si dice che la prima montagna a sorgere dal caotico oceano primordiale sia stata “Monte Meru”.

La 2a Razza Radicale (Iperborea)

La seconda razza radice viveva in Hyperborea che comprende quello che oggi è il Canada settentrionale, la Groenlandia, l'Islanda, la Scandinavia, l'Asia settentrionale e la Kamchatka. La seconda razza radice era di colore giallo dorato e il clima era tropicale in conseguenza del fatto che la terra non aveva ancora sviluppato un'inclinazione assiale. Il nome esoterico del continente della seconda razza radice è “Plaksha”, e si chiamavano i “Kimpursha”. Questa razza radice si è riprodotta per gemmazione e oggi non ci sono discendenti.

La Terza Razza Radicale (Lemuriana)

La terza razza radice fu la prima razza con corpi fisici, e furono descritti come una razza nera di giganti con tre occhi che abitavano il "continente perduto" di Lemuria. Si ritiene che questo continente esistesse dove ora si trovano gli oceani Indiano e Pacifico. I teosofi moderni identificano Lemuria con l'antico supercontinente del Gondwana.

Il nome esoterico di Lemuria è “Shalmali” e, secondo i teosofi, esisteva specificamente in un gran parte di quello che oggi è l'Oceano Indiano, includeva l'Australia e si estendeva nell'Oceano Pacifico meridionale. Gli ultimi resti sono il continente australiano e le isole della Nuova Guinea e del Madagascar. Si ritiene che Lemuria affondò gradualmente e alla fine fu distrutta da un numero crescente di vulcani in eruzione violenta.

La 4a Razza Radicale (Atlantidea)

Secondo gli insegnamenti della Teosofia, la quarta razza radice era chiamata la razza “Atlantidea”. È apparso circa 4.500.000 anni fa in Africa e ha avuto origine dalla 4a sottorazza della razza radice lemuriana. I Lemuriani avevano colonizzato una parte dell'Africa che ora è abitata dagli Ashanti. I teosofi credono che la razza radice di Atlantide sia stata fisicamente procreata dal “Chankshusha Manu”. Dopo che i primi Atlantidei si svilupparono in Africa, migrarono e colonizzarono il continente di Atlantide. Il nome esoterico di Atlantide è “Kusha” e la razza radice di Atlantide aveva caratteristiche mongole.

Le sette sottorazze della razza radice di Atlantide sono:

1) Il Rmoahal
2) I Tlavati (Cro-Magnon)
3) Il Tolteco (un termine teosofico che usa per “Indiani d'America”)
4) Il turanico
5) I semiti originari (ad es. i Fenici, ecc.)
6) Gli accadi
7) Il mongolo (che emigrò e colonizzò l'Asia orientale)

Secondo la Teosofia tradizionale, la quarta razza radice (Atlantide) iniziò con la pelle marrone dorata, e poiché alcuni Atlantidei migrarono nelle Americhe e in Asia, si evolvettero gradualmente nelle razze degli indiani d'America rossi, malesi marroni e mongoli gialli – così come alcuni gruppi di quella che, tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo, veniva definita la razza mediterranea della "pelle d'oliva".

La quinta razza radice (ariana)

Blavatsky asserted that humanity was presently in the 5th or Aryan root race, which Theosophists believe to have emerged from the previous 4th root race (Atlantean). Thus, the origins of the 5th root race are traced back to about 100,000 years ago in Atlantis. When Blavatsky stated the Aryan root race was 1,000,000 years old, she meant that the “souls” of the people that later physically incarnated as the first Aryans, about 100,000 years ago, began their incarnation cycles in the bodies of Atlanteans 1,000,000 years ago.

Theosophists believe that the Aryan root race was physically procreated by the Vaivasvatu Manu – one of the Masters of the Ancient Wisdom. The Aryan root race is white because it originates from a specific tribe of the 4th (original Semite) sub-race of the Atlanteans, which was white skinned and lived in the mountains of north-eastern Atlantis. The closest relatives to this tribe today are the Kabyle. Thus the Aryan root race overlapped the Atlantean root race, and the genesis of the 5th root race occurred towards the end of the time when the 4th root race dwelt in Atlantis.The original Aryan root race was comprised of 9,000 who migrated from Atlantis in 79,797 BC. A small group of these migrants split from the main body and went south to the shore of an inland sea in what was then a verdant and lush Sahara where they founded the “City of the Sun”. This city came to be ruled, about 70,000 BC, by an incarnation of the being who later became known as the “Ascended master, St. Germain”.

The main body of the Aryan migrants continued onwards to an island called the “white island” in the middle of what was then an inland sea in what is now the Gobi desert, where they established the “City of the Bridge”.

The “City of the Bridge” was build directly below the etheric city called “Shamballa” where Theosophists believe the governing deity of Earth, “Sanat Kumara”, dwells. Consequently, the evolution and development of the Aryan root race has been “divinely guided” by the being that Theosophists identify as “The Lord of the World”.

Theosophists believe that a large percentage of the people who live in the time of the period of the 5th root race are part of the 5th root race. However Blavatsky declared that some Semitic peoples have become “degenerate in spirituality”. She further asserted that some groups descended from the Lemurians are “semi-animal creatures”, and these include “the Tasmanians, a portion of the Australians, and a mountain tribe in China.” There are also “considerable numbers of the mixed Lemuro-Atlantean peoples produced by various crossings with such semi-human stocks — e.g. the Wild Men of Borneo, the Veddhas of Ceylon, most of the remaining Australians, Bushmen, Negritos, Andaman Islanders, etc.”

All these groups mentioned by Blavatsky are part of what was in the late 19th and most of the 20th century was called the Australoid race (except for the Bushmen, part of the Capoid race, which were believed by traditional Theosophists to have been descended from the Lemurians).

Blavatsky described the 5th root race: “The Aryan races, for instance, now varying from dark brown, almost black, red-brown-yellow, down to the whitest creamy colour, are yet all of one and the same stock – the 5th root-Race – and spring from one single progenitor, which Hindus call Manu.” Theosophists believe that each root race has a separate and distinct progenitor.

The sub-races of the Aryan 5th root race include:

· 1st sub-race – the Hindu – which migrated from the “City of the Bridge” on the white island in the middle of the Gobi inland sea to India in 60,000 BC

· 2nd sub-race – the Arabian – which migrated from the “City of the Bridge” to Arabia in 40,000 BC

· 3rd sub-race – the Persian – which migrated from the “City of the Bridge” to Persia in 30,000 BC

· 4th sub-race – the Celts – which migrated from the “City of the Bridge” to Western Europe beginning in 20,000 BC (the Mycenaean Greeks are regarded as an offshoot of the Celtic sub-race that colonized Southeast Europe)

· 5th sub-race – the Teutonic – which also migrated from the “City of the Bridge” to what is now Germany beginning in 20,000 BC (the Slavs are regarded as an offshoot of the Teutonic sub-race that colonized Russia and surrounding areas).

· 6th sub-race – According to Blavatsky the 6th sub-race of the Aryan 5th root race will begin to evolve in the area of the United States in the early 21st century. This 6th sub-race of the Aryan root race will be called the Australo-American sub-race and is believed by Theosophists to be now arising from the Teutonic sub-race of the Aryan root race in Australia and in the Western United States (Many individuals of the new sub-race will be born in California.) and its surrounding nearby areas (i.e. the Australo-American sub-race is presently in the process of arising from the Anglo-American, Anglo-Canadian, Anglo-Australian and presumably also the Anglo-New Zealander ethnic groups). The 6th or Australo-American subrace will “possess certain psychic powers, and for this the pituitary body will be developed, thus giving an additional sense, that of cognising astral emotions in the ordinary waking consciousness. We may say that in general the 6th sub-race will bring in wisdom and intuition, blending all that is best in the intelligence of the 5th sub-race and the emotion of the 4th.”

· 7th sub-race – these will be the survivors of the “new great cataclysm” that will soon destroy the Aryan root race. Thus, the Seventh sub-race has yet to come into existence they still do not exist, but they will.

It is believed by Theosophists that the root races evolve from the sub-races of the same number thus the 6th root race will evolve from the 6th sub-race of the 5th or Aryan root race, just as the 5th or Aryan root race evolved from the 5th sub-race (the Semitic) of the 4th or Atlantean root race 100,000 years ago.

The 6th Root Race

According to C W Leadbeater, a colony will be established in Baja California by the Theosophical Society under the guidance of the “Masters of the Ancient Wisdom”. This will take place in the 28th century for the intensive selective eugenic breeding of the 6th root race.

The Master Morya will physically incarnate in order to be the Manu, or “progenitor”, of this new root race. It is further believed that, by that time, the world will be powered by nuclear power and there will be a single world government which is led by a person who will be the reincarnation of Julius Caesar.

Further, tens millennia in the future, a new continent will arise in the Pacific Ocean that will be the home of the 6th root race. California, west of the San Andreas Fault, will separate from the mainland of North America and will become the “Island of California” off the eastern coast of the new continent.

The 7th Root Race

In time, several million years into the future, the 7th root race will rise from the 7th sub-race of the 6th root race on the future continent that the 6th root race will be living on that will arise from the Pacific Ocean. The continent they will inhabit is esoterically called “Pushkara”.

Further Reading

For more information refer to, “The Secret Doctrine“, Helena Petrovna Blavatsky, 1888.


Our Guarantee…

We guarantee your Android device will be protected throughout the rooting process. Our certified Android technicians can safely perform a number of different maintenance services. Whether you’re rooting, unrooting, or repairing Android, we will not damage your device or your data in any way. If we cannot safely root your device, we’ll provide a full refund. Guaranteed.

Jailbreak Your iPhone / iPad: One Click Jailbreak

Support/help

Top Rooted devices

Recent Devices

Legal Disclaimer: Root and JailBreak are an advanced technique within Android and iOS. These techniques give you permissions to perform actions on your device that are not otherwise possible. These abilities allow you and your installed apps to perform actions on your device that can prove detrimental to your device. Although rooting is not illegal to perform on your own device, it can and will void the warranty on your device. Should something go wrong, it is your own responsibility, so proceed with caution. If you install OneClickRoot service software onto a phone device which you do not own, we will fully cooperate with law officials to the fullest extent possible. All trademarks on this site are property of their respective owners. Mentioned trademarks are used solely for the purpose of describing Smartphone and carrier compatibility for our mobile phone rooting/jailbreaking service.

Trademark Disclaimer: All product, mark, and/or individual company names mentioned on this site are trademarks™ or registered® trademarks of their respective holders. Use of them does not imply any affiliation with or any endorsement by them.

One Click Root is committed to providing superior Android maintenance services. We are always available via live chat and by phone. We love our customers and our customers love us back. In addition, our site features thousands of how-to articles and a deep knowledge base filled with information about your Android device.


Passaggio 3:

When a fraction equals zero :

Where a fraction equals zero, its numerator, the part which is above the fraction line, must equal zero.

Now,to get rid of the denominator, Tiger multiplys both sides of the equation by the denominator.

Now, on the left hand side, the x cancels out the denominator, while, on the right hand side, zero times anything is still zero.

The equation now takes the shape :
(2x-3) • (3x+2) = 0

Theory - Roots of a product :

3.2 A product of several terms equals zero.

When a product of two or more terms equals zero, then at least one of the terms must be zero.

We shall now solve each term = 0 separately

In other words, we are going to solve as many equations as there are terms in the product

Any solution of term = 0 solves product = 0 as well.

Solving a Single Variable Equation :

Add 3 to both sides of the equation :
2x = 3
Divide both sides of the equation by 2:
x = 3/2 = 1.500

Solving a Single Variable Equation :

Subtract 2 from both sides of the equation :
3x = -2
Divide both sides of the equation by 3:
x = -2/3 = -0.667

Supplement : Solving Quadratic Equation Directly

Earlier we factored this polynomial by splitting the middle term. let us now solve the equation by Completing The Square and by using the Quadratic Formula

Parabola, Finding the Vertex :

4.1 Find the Vertex of y = 6x 2 -5x-6

Parabolas have a highest or a lowest point called the Vertex . Our parabola opens up and accordingly has a lowest point (AKA absolute minimum) . We know this even before plotting "y" because the coefficient of the first term, 6 , is positive (greater than zero).

Each parabola has a vertical line of symmetry that passes through its vertex. Because of this symmetry, the line of symmetry would, for example, pass through the midpoint of the two x -intercepts (roots or solutions) of the parabola. That is, if the parabola has indeed two real solutions.

Parabolas can model many real life situations, such as the height above ground, of an object thrown upward, after some period of time. The vertex of the parabola can provide us with information, such as the maximum height that object, thrown upwards, can reach. For this reason we want to be able to find the coordinates of the vertex.

For any parabola, Ax 2 +Bx+C, the x -coordinate of the vertex is given by -B/(2A) . In our case the x coordinate is 0.4167

Plugging into the parabola formula 0.4167 for x we can calculate the y -coordinate :
y = 6.0 * 0.42 * 0.42 - 5.0 * 0.42 - 6.0
or y = -7.042

Parabola, Graphing Vertex and X-Intercepts :

Root plot for : y = 6x 2 -5x-6
Axis of Symmetry (dashed) = < 0.42>
Vertex at = < 0.42,-7.04>
x -Intercepts (Roots) :
Root 1 at = <-0.67, 0.00>
Root 2 at =

Solve Quadratic Equation by Completing The Square

4.2 Solving 6x 2 -5x-6 = 0 by Completing The Square .

Divide both sides of the equation by 6 to have 1 as the coefficient of the first term :
x 2 -(5/6)x-1 = 0

Add 1 to both side of the equation :
x 2 -(5/6)x = 1

Now the clever bit: Take the coefficient of x , which is 5/6 , divide by two, giving 5/12 , and finally square it giving 25/144

Add 25/144 to both sides of the equation :
On the right hand side we have :
1 + 25/144 or, (1/1)+(25/144)
The common denominator of the two fractions is 144 Adding (144/144)+(25/144) gives 169/144
So adding to both sides we finally get :
x 2 -(5/6)x+(25/144) = 169/144

Adding 25/144 has completed the left hand side into a perfect square :
x 2 -(5/6)x+(25/144) =
(x-(5/12)) • (x-(5/12)) =
(x-(5/12)) 2
Things which are equal to the same thing are also equal to one another. Da
x 2 -(5/6)x+(25/144) = 169/144 and
x 2 -(5/6)x+(25/144) = (x-(5/12)) 2
then, according to the law of transitivity,
(x-(5/12)) 2 = 169/144

We'll refer to this Equation as Eq. #4.2.1

The Square Root Principle says that When two things are equal, their square roots are equal.

Note that the square root of
(x-(5/12)) 2 is
(x-(5/12)) 2/2 =
(x-(5/12)) 1 =
x-(5/12)

Now, applying the Square Root Principle to Eq. #4.2.1 we get:
x-(5/12) = √ 169/144

Add 5/12 to both sides to obtain:
x = 5/12 + √ 169/144

Since a square root has two values, one positive and the other negative
x 2 - (5/6)x - 1 = 0
has two solutions:
x = 5/12 + √ 169/144
o
x = 5/12 - √ 169/144

Note that √ 169/144 can be written as
√ 169 / √ 144 which is 13 / 12

Solve Quadratic Equation using the Quadratic Formula

4.3 Solving 6x 2 -5x-6 = 0 by the Quadratic Formula .

According to the Quadratic Formula, x , the solution for Ax 2 +Bx+C = 0 , where A, B and C are numbers, often called coefficients, is given by :

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A


Questions & Answers

Question: What should you do if the base and the index are not the same?

Answer: You should still be able to apply the bracket rule to this question as you just need to multiply the indices, the base number is not changed.

Question: What if there is one base without indices in the bracket, such as (3x^4)^2?

Answer: First work out 3^2 = 9, and multiply the indices to give 8 (4 times 2).

So the final answer would be 9x^8.

Only multiply the indices together.

Question: What are the words in the BEDMAS anagram?

Answer: Brackets, Exponents, Division, Multiplication, Addition and Subtraction.


Imaginary Powers of Euler'sor Napier's Constant

The equations at right for the ordinary circular sine and cosine functions, which are periodic, contrast with the equations for hyperbolic sine and hyperbolic cosine functions, which are not periodic. The results of all the equations are real numbers but for the sine and cosine we have imaginary powers of e -- Euler's (after Leonhard Euler , 1707-1783) or Napier's (after John Napier , 1550 1617, the man who originated logarithms ) Constant -- now usually called simply e alone, or the "base of natural logarithms." For the sine function, these imaginary powers are divided by the imaginary number itself.

These relationships go back to Euler's Theorem: The equation for hyperbolic functions analogous to Euler's Theorem is: Note that all of these equations only work when using radian measure for angles. Thus 180 o is radians, and 90 o is /2 radians. From this comes one famous solution to Euler's Theorem: This occurs because the sine of 180 o ( radians) is zero , which eliminates the imaginary term, while the cosine of 180 o is minus one , which provides the whole value of the expression.

The idea of the imaginary power of a number is very strange. And the idea that the higher powers of a number end up repeating the lower powers is also very counter-intuitive. These phenomena can be investigated, however, using the continued series for Euler's or Napier's Constant ( e ). The basic series is simple and elegant. The power of e occurs as the numerator on the series of continued fractions, raised to the power of succeeding integers, starting with zero, while the denominator of the fractions is the factorial of the same integers. E to the given power is the sum of the series. Since factorials get large very quickly (13! is already 6,227,020,800), not much of the series needs to be completed to get very accurate numbers. The series will always begin with l + x but I have included x 0 /0! and x 1 /1! in order to show that the first two terms are generated by the same principle as the following ones.

Where the power of e is negative (reciprocals of e ), the series is modified as at right. Every other term becomes negative, since the even power of a negative number is positive, while the odd power of a negative number is negative.

With the series for the powers of e and that for the reciprocals, we can add them together and produce the numerator for the series of the hyperbolic cosine . All of the fractions with even powers are retained. They are doubled, but then the series is to be divided by 2 to get the function, which is:

The hyperbolic sine will come from subtracting rather than adding the reciprocal series. This eliminates all the fractions with even powers in the series. All the fractions with odd powers are multiplied by 2 , but, again, the series is to be divided by two to get the hyperbolic sine , which will be as follows: The series of fractions for the hyperbolic sine and hyperbolic cosine are thus simple, elegant, and memorable. Since the terms are all added, it is obvious why the functions should increase continuously to infinity, which is characteristic of hyperbolic functions.

The circular functions, the ordinary sine and cosine , involve imaginary powers of e . The series of the simple powers of e is now modified by the power of the imaginary number, i . Multiplied by itself (i.e. squared), i becomes -1 . Multiplied by itself again (i.e. cubed), that becomes - i . Multiplied by itself again (i.e. to the fourth power), that becomes simply 1 . E to the fifth power is then just i again, and the cycle is repeated through the higher powers. E to the zero power falls in the cycle (before i ) where its value should be 1 and, indeed, if the zero power of any number is 1 , then it should be. The series for powers of e that results with powers of i may be seen at left. The odd powers now all contain i themselves. The distribution of positive and negative terms, however, is now very different from what we saw above. We have two positive terms (for 1 and i ) followed by two negative terms (for -1 and - i ). Then the cycle repeats.

For the negative imaginary powers of e , we take the imaginary series and multiply every odd power by -1 , just as in the simple negative power series above. The sign of every fraction with an odd power will thus change from our simple imaginary power series. The result is that we still have a series with two positive terms followed by two negative terms, but now the cycle has been moved up one and the whole series begins with just one positive term.

With the series for the imaginary powers of e and that for the negative (reciprocal) powers, we can add them together and produce the numerator for the series of the cosine function. All of the fractions with even powers are retained. They are doubled, but then the series is to be divided by 2 to get the function, which is: The conspicuous feature about this series, in comparison to that for the hyperbolic cosine , is that the terms are alternatively positive and negative, while the terms in the hyperbolic function were all positive. That is actually the only difference.

The sine function will come from subtracting rather than adding the reciprocal series. This eliminates all the fractions with even powers in the series. All the fractions with odd powers are multiplied by 2 . All the fractions with odd powers also retain their imaginary part . So the series must be divided, not just by two, like the previous series, but by i also to get the sine , which will be as follows: Again, as in the series of the cosine , we have an alternation of positive and negative terms, which is the only difference between this series and that for the hyperbolic sine . The series of fractions for the sine and cosine , like those for the hyperbolic functions, are thus simple, elegant, and memorable. Since the terms are alternatively added and subtracted, it is obvious why the functions are periodic and will not increase to infinity. In fact, they do not increase beyond 1 or decrease below -1 .

We can now see why Euler's Theorem , , takes the form that it does. The cosine series would supply the even terms for the imaginary powers of e , while the sine series supplies the odd terms. However, all the odd terms of e i x are imaginary, so the sine series must all be multiplied by i itself. In short, e i x is a complex number , with the cos x supplying the real part and sin x the imaginary part. Adding together the hyperbolic cosine and sine series for e x , on the other hand, is subject to no such complication, since all of those functions are real:

Two other noteworthy equations are for the circular functions and for the hyperbolic functions. The solution for the equations of the circular functions may be seen at right. The terms for powers of e will be seen to cancel each other out. The integers that result in the numerator come from the circumstance that multiplying a number by its reciprocal (i.e. e i x by e - i x ) equals one.
The solution for the equations of the hyperbolic functions may also be seen at right. It should now be clear that the equation for the hyperbolic functions subtracts the hyperbolic sine term, while the equation for the circular functions does not subtract the sine term, because squaring the sine term with i in it produces a negative number, which supplies the effect of subtraction anyway. The elegance of expressions that at first seem so complicated but then simply reduce to unity is striking.

Another aspect of these equations can be explored when we note a couple of things. It turns out that the sine of a negative angle is equal to the negative of the sine of the positive angle: This is also true for a hyperbolic sine : However, the cosine and hyperbolic cosine of a negative angle are simply equal to the cosine and hyperbolic cosine of the positive angle: and This occurs because cosine values are symmetrical around zero, while sine values are positive on one side of zero and negative on the other. With these equalities, Euler's Theorem , and the corresponding hyperbolic equation, can be rewritten for reciprocals: and

Now, if we multiply e i x by e - i x (or e x by e -x ) we know the result will be 1 , since we are simply multiplying a number by its reciprocal, which is always 1 . However, we now can express e i x e - i x as (cos x + i sin x)(cos x - i sin x) and e x e -x as (cosh x + sinh x)(cosh x - sinh x) These multiply out as (cos x 2 - i 2 sin 2 x) and (cosh 2 x - sinh 2 x) Notice that these are still identical in form. The square of i , however, in the circular function equation can be evaluated as -1 , and this changes the sign in that equation: (cos x 2 + sin 2 x) Thus, we are back to our original equalities: and

While the result has seemed extraordinary to many people -- it was called "the most remarkable formula in math" by a young Richard Feynman -- there are even stranger effects with numbers to the i power. If we begin with Euler's Theorem, , and use the angle /2 (i.e. 90 o ), the result, since the cosine of 90 o is zero and the sine 1 , is: = i . This result can also be obtained directly, of course, just by taking the square root of each side of ! Then let's raise both sides of this equation to the i power: () i = i i . Since the power of a power is equal to the powers multiplied together, that equation is equivalent to: = i i . We know, however, that i 2 is -1 , so we end up with: = i i . Well, is a real number, which can be derived on any calculator: i i = 0.207879576 . By the same token, the imaginary root of i is also real. If we begin with = i , taking the i root gets us: = i i . Since the i powers cancel out, we end up with: = i i = 4.810477381 , which is the reciprocal, as we should expect from the mere difference in sign on the exponent, of i i . Now, there are many expressions with imaginaries that are equivalent to real numbers, but it is especially remarkable that the imaginary power of the imaginary number, and the imaginary root of the imaginary number, are both themselves real numbers! If we wonder why i i = 1/ i i , it helps to put the equation all in exponential form: i 1/ i = i -i . In this way, it highlights the circumstance that 1/ i = - i , or i -1 = - i , a curious property of i that is unrelated to Euler's Equation.

For even more about this, see Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of -1 (Princeton University Press, 1998, pp.67-68 & 166-167).


Common Square Roots

The square root of a number is a number that, when multiplied by itself, equals the desired value. So, for example, the square root of 49 is 7 (7x7=49). The process of multiplying a number times itself is called squaring.

Numbers whose square roots are whole numbers, (or more accurately positive integers) are called perfect square numbers. Numbers with decimals aren't perfect square roots.

All positive numbers will have a positive number as their square root, called the principal, and a negative number. These numbers are all known as real numbers.

All negative numbers will have a complex number as their square root. A complex number is a number multiplied by i. io is the "imaginary" square root of -1. It's called imaginary, but it does exist to mathematicians.

How do we write out square roots?

A square root equation is written out using a radical sign or radical symbol (?). The number that we want to get the root of comes after or under the tail of the radical (for example ?3 if we wanted to find the square root of 3). The number after the radical is called the radicand. On a calculator, instead of the radical, you might see "sqrt".

What do we use square roots for?

It may be a bit hard to picture it, but square roots are some of the most useful numbers around. Square root functions are super important for physics equations of all kinds. They're also valuable for statistics statisticians use square roots all the time in analyzing the correlation between different points of data.

List of Perfect Squares

Use this table to find the squares and square roots of numbers from 1 per 100.

You can also use this table to estimate the square roots of larger numbers.

  • For instance, if you want to find the square root of 2000, look in the middle column until you find the number that is closest to 2000. The number in the middle column that is closest to 2000 is 2,025.
  • Now look in at the number to the left of 2,025 to find its square root. The square root of 2,025 is 45.
  • Therefore, the approximate square root of 2,000 is 45.

To get a more exact number, you will have to use a calcolatrice (44.721 is the more exact square root of 2,000).

Tucking in for lengthy study session? You might be interested in our list of the best desk chairs of 2020.


Guarda il video: Eros Ramazzotti, Ali e Radici (Settembre 2021).