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5.13: Semplifica e usa le radici quadrate (parte 2)


Radici quadrate approssimative con una calcolatrice

Esistono metodi matematici per approssimare le radici quadrate, ma è molto più comodo utilizzare una calcolatrice per trovare le radici quadrate. Trova il tasto (sqrt{ ext{ }}) o (sqrt{x}) sulla calcolatrice. Utilizzerai questa chiave per approssimare le radici quadrate. Quando usi la calcolatrice per trovare la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto, la risposta che vedi non è il numero esatto. È un'approssimazione del numero di cifre visualizzato sul display della calcolatrice. Il simbolo per un'approssimazione è ≈ e viene letto circa.

Supponiamo che la tua calcolatrice abbia un display a 10 cifre. Usandolo per trovare la radice quadrata di 5 darà 2.236067977. Questa è la radice quadrata approssimativa di 5. Quando riportiamo la risposta, dovremmo usare il segno "approssimativamente uguale a" invece di un segno di uguale.

[sqrt{5} circa 2.236067978]

Utilizzerai raramente così tante cifre per applicazioni in algebra. Quindi, se volessi arrotondare (sqrt{5}) a due cifre decimali, dovresti scrivere

[sqrt{5} circa 2,24]

Come facciamo a sapere che questi valori sono approssimazioni e non i valori esatti? Guarda cosa succede quando li mettiamo in quadratura.

[egin{split} 2.236067978^{2} & = 5.000000002 2.24^{2} & = 5.0176 end{split}]

I quadrati sono vicini, ma non esattamente uguali, a 5.

Esempio (PageIndex{6}):

Arrotonda (sqrt{17}) a due cifre decimali usando una calcolatrice.

Soluzione

Usa la radice quadrata della calcolatrice.4.123105626
Arrotondare a due cifre decimali.4.12
$$sqrt{17} circa 4,12$$

Esercizio (PageIndex{11}):

Arrotonda (sqrt{11}) a due cifre decimali.

Risposta

( circa 3,32)

Esercizio (PageIndex{12}):

Arrotonda (sqrt{13}) a due cifre decimali

Risposta

( circa 3,61)

Semplifica le espressioni variabili con le radici quadrate

Le espressioni con radice quadrata che abbiamo esaminato finora non hanno avuto variabili. Cosa succede quando dobbiamo trovare una radice quadrata di un'espressione variabile?

Considera (sqrt{9x^{2}}), dove x ≥ 0. Riesci a pensare a un'espressione il cui quadrato è 9x2?

[egin{split} (?)^{2} & = 9x^{2} (3x)^{2} & = 9x^{2} così; sqrt{9x^{2}} & = 3x end{split}]

Quando usiamo una variabile in un'espressione radice quadrata, per il nostro lavoro, assumeremo che la variabile rappresenti un numero non negativo. In ogni esempio ed esercizio che segue, ogni variabile in un'espressione radice quadrata è maggiore o uguale a zero.

Esempio (PageIndex{7}):

Semplifica: x2.

Soluzione

Pensa a cosa dovremmo elevare al quadrato per ottenere x2. Algebricamente, (?)2 = x2

Esercizio (PageIndex{13}):

Semplifica: (sqrt{y^{2}}).

Risposta

(y)

Esercizio (PageIndex{14}):

Semplifica: (sqrt{m^{2}}).

Risposta

(m)

Esempio (PageIndex{8}):

Semplifica: (sqrt{16x^{2}}).

Soluzione

Esercizio (PageIndex{15}):

Semplifica: (sqrt{64x^{2}}).

Risposta

(8x)

Esercizio (PageIndex{16}):

Semplifica: (sqrt{169y^{2}}).

Risposta

(13 anni)

Esempio (PageIndex{9}):

Semplifica: (- sqrt{81y^{2}}).

Soluzione

Esercizio (PageIndex{17}):

Semplifica: (- sqrt{121y^{2}}).

Risposta

(-11 anni)

Esercizio (PageIndex{18}):

Semplifica: (- sqrt{100p^{2}}).

Risposta

(-10p)

Esempio (PageIndex{10}):

Semplifica: (sqrt{36x^{2} y^{2}}).

Soluzione

Dal (6xy)2 = 36x226xy

Esercizio (PageIndex{19}):

Semplifica: (sqrt{100a^{2} b^{2}}).

Risposta

(10ab)

Esercizio (PageIndex{20}):

Semplifica: (sqrt{225m^{2} n^{2}}).

Risposta

(10 minuti)

Usa radici quadrate nelle applicazioni

Man mano che avanzi nei tuoi corsi universitari, incontrerai diverse applicazioni delle radici quadrate. Ancora una volta, se usiamo la nostra strategia per le applicazioni, ci darà un piano per trovare la risposta!

HOW TO: UTILIZZARE UNA STRATEGIA PER APPLICAZIONI CON RADICI QUADRE

Passaggio 1. Identifica ciò che ti viene chiesto di trovare.

Passaggio 2. Scrivi una frase che fornisca le informazioni per trovarla.

Passaggio 3. Traduci la frase in un'espressione.

Passaggio 4. Semplificare l'espressione.

Passaggio 5. Scrivi una frase completa che risponda alla domanda.

Radici quadrate e area

Abbiamo già risolto applicazioni con area. Se ci fosse data la lunghezza dei lati di un quadrato, potremmo trovare la sua area elevando al quadrato la lunghezza dei suoi lati. Ora possiamo trovare la lunghezza dei lati di un quadrato se ci viene data l'area, trovando la radice quadrata dell'area.

Se l'area del quadrato è A unità al quadrato, la lunghezza di un lato è A unità. Vedere la tabella (PageIndex{1}).

Tabella (PageIndex{1})
Area (unità quadrate)Lunghezza del lato (unità)
9$$sqrt{9} = 3$$
144$$sqrt{144} = 12$$
UN$$sqrt{A}$$

Esempio (PageIndex{11}):

Mike e Lychelle vogliono fare un patio quadrato. Hanno abbastanza cemento per un'area di 200 piedi quadrati. Al decimo di piede più vicino, quanto può essere lungo un lato del loro patio quadrato?

Soluzione

Sappiamo che l'area del quadrato è di 200 piedi quadrati e vogliamo trovare la lunghezza del lato. Se l'area del quadrato è A unità quadrata, la lunghezza di un lato è (sqrt{A}) unità.

Cosa ti viene chiesto di trovare?La lunghezza di ciascun lato di un patio quadrato
Scrivi una frase.La lunghezza di un lato
Traduci in un'espressione.$$sqrt{A}$$
Valuta (sqrt{A}) quando A = 200.$$sqrt{200}$$
Usa la tua calcolatrice.14.142135...
Arrotondare a una cifra decimale.14,1 piedi
Scrivi una frase.Ogni lato del patio dovrebbe essere di 14,1 piedi.

Esercizio (PageIndex{21}):

Katie vuole piantare un prato quadrato nel suo giardino. Ha abbastanza zolle per coprire un'area di 370 piedi quadrati. Al decimo di piede più vicino, quanto può essere lungo un lato del suo prato quadrato?

Risposta

19,2 piedi

Esercizio (PageIndex{22}):

Sergio vuole realizzare un mosaico quadrato come intarsio per un tavolo che sta costruendo. Ha abbastanza tessere per coprire un'area di 2704 centimetri quadrati. Quanto può essere lungo un lato del suo mosaico?

Risposta

52 centimetri

Radici quadrate e gravità

Un'altra applicazione delle radici quadrate riguarda la gravità. Sulla Terra, se un oggetto viene fatto cadere da un'altezza di h piedi, il tempo in secondi che impiegherà a raggiungere il suolo si calcola valutando l'espressione (dfrac{sqrt{h}}{4}). Ad esempio, se un oggetto viene lasciato cadere da un'altezza di 64 piedi, possiamo trovare il tempo necessario per raggiungere il suolo valutando (dfrac{sqrt{64}}{4}).

Calcola la radice quadrata di 64.$$dfrac{8}{4}$$
Semplifica la frazione.2

Ci vorrebbero 2 secondi perché un oggetto caduto da un'altezza di 64 piedi raggiunga il suolo.

Esempio (PageIndex{12}):

Christy ha lasciato cadere i suoi occhiali da sole da un ponte a 400 piedi sopra un fiume. Quanti secondi impiegano gli occhiali da sole a raggiungere il fiume?

Soluzione

Cosa ti viene chiesto di trovare?Il numero di secondi che impiegano gli occhiali da sole per raggiungere il fiume
Scrivi una frase.Il tempo che ci vorrà per raggiungere il fiume
Traduci in un'espressione.$$dfrac{sqrt{h}}{4}$$
Valuta (dfrac{sqrt{h}}{4}) quando h = 400.$$dfrac{sqrt{400}}{4}$$
Trova la radice quadrata di 400.14.142135...
Semplificare.14,1 piedi
Scrivi una frase.Ogni lato del patio dovrebbe essere di 14,1 piedi.

Esercizio (PageIndex{23}):

Un elicottero lascia cadere un pacco di salvataggio da un'altezza di 1296 piedi. Quanti secondi impiega il pacco per raggiungere il suolo?

Risposta

9 secondi

Esercizio (PageIndex{24}):

Un lavavetri fa cadere un tergipavimento da una piattaforma a 196 piedi sopra il marciapiede. Quanti secondi impiega il tergipavimento per raggiungere il marciapiede?

Risposta

3,5 secondi

Radici quadrate e indagini sugli incidenti

Gli agenti di polizia che indagano sugli incidenti stradali misurano la lunghezza dei segni di sbandata sul marciapiede. Quindi usano le radici quadrate per determinare la velocità, in miglia orarie, di un'auto prima di azionare i freni. Secondo alcune formule, se la lunghezza dei segni di sbandata è d piedi, allora la velocità dell'auto può essere trovata valutando (sqrt{24d}).

Esempio (PageIndex{13}):

Dopo un incidente d'auto, i segni di slittamento per un'auto misuravano 190 piedi. Al decimo più vicino, qual era la velocità dell'auto (in miglia orarie) prima che venissero azionati i freni?

Soluzione

Cosa ti viene chiesto di trovare?La velocità dell'auto prima che venissero azionati i freni
Scrivi una frase.La velocità della macchina
Traduci in un'espressione.$$sqrt{24d}$$
Valuta (sqrt{24d}) quando d = 190.$$sqrt{24 cdot 190}$$
Moltiplicare.$$sqrt{4,560}$$
Usa la tua calcolatrice.67.527772...
Arrotondare ai decimi.67.5
Scrivi una frase.La velocità dell'auto era di circa 67,5 miglia all'ora.

Esercizio (PageIndex{25}):

Un investigatore di incidenti ha misurato i segni di slittamento di un'auto e ha scoperto che la loro lunghezza era di 76 piedi. Al decimo più vicino, qual era la velocità dell'auto prima che venissero azionati i freni?

Risposta

42,7 miglia orarie

Esercizio (PageIndex{26}):

I segni di sbandata di un veicolo coinvolto in un incidente erano lunghi 122 piedi. Al decimo più vicino, a che velocità andava il veicolo prima che venissero azionati i freni?

Risposta

54,1 mph

La pratica rende perfetti

Semplifica le espressioni con le radici quadrate

Nei seguenti esercizi, semplifica.

  1. (sqrt{36})
  2. (sqrt{4})
  3. (sqrt{64})
  4. (sqrt{144})
  5. (- sqrt{4})
  6. (- sqrt{100})
  7. (- sqrt{1})
  8. (- sqrt{121})
  9. (sqrt{-121})
  10. (sqrt{-36})
  11. (sqrt{-9})
  12. (sqrt{-49})
  13. (sqrt{9+16})
  14. (sqrt{25+144})
  15. (sqrt{9} + sqrt{16})
  16. (sqrt{25} + sqrt{144})

Stima delle radici quadrate

Negli esercizi seguenti, stima ogni radice quadrata tra due numeri interi consecutivi.

  1. (sqrt{70})
  2. (sqrt{5})
  3. (sqrt{200})
  4. (sqrt{172})

Radici quadrate approssimative con una calcolatrice

Negli esercizi seguenti, usa una calcolatrice per approssimare ogni radice quadrata e arrotondare a due cifre decimali.

  1. (sqrt{19})
  2. (sqrt{21})
  3. (sqrt{53})
  4. (sqrt{47})

Semplifica le espressioni variabili con le radici quadrate

Nei seguenti esercizi, semplifica. (Supponiamo che tutte le variabili siano maggiori o uguali a zero.)

  1. (sqrt{y^{2}})
  2. (sqrt{b^{2}})
  3. (sqrt{49x^{2}})
  4. (sqrt{100y^{2}})
  5. (- sqrt{64a^{2}})
  6. (- sqrt{25x^{2}})
  7. (sqrt{144x^{2} y^{2}})
  8. (sqrt{196a^{2} b^{2}})

Usa radici quadrate nelle applicazioni

Nei seguenti esercizi, risolvi. Arrotondare a una cifra decimale.

  1. paesaggistica Reed vuole avere un orto quadrato nel suo cortile. Ha abbastanza compost per coprire un'area di 75 piedi quadrati. Quanto può essere lungo un lato del suo giardino?
  2. paesaggistica Vince vuole fare un patio quadrato nel suo cortile. Ha abbastanza cemento per pavimentare un'area di 130 piedi quadrati. Quanto può essere lungo un lato del suo patio?
  3. Gravità Un aereo ha lanciato un razzo da un'altezza di 1.024 piedi sopra un lago. Quanti secondi ha impiegato il razzo per raggiungere l'acqua?
  4. Gravità Un deltaplano ha lasciato cadere il suo cellulare da un'altezza di 350 piedi. Quanti secondi ha impiegato il cellulare per raggiungere il suolo?
  5. Gravità Un operaio edile lasciò cadere un martello mentre costruiva la passerella del Grand Canyon, a 4.000 piedi sopra il fiume Colorado. Quanti secondi ha impiegato il martello per raggiungere il fiume?
  6. Indagine sugli incidenti I segni di sbandata di un'auto coinvolta in un incidente misuravano 54 piedi. Qual era la velocità dell'auto prima che venissero azionati i freni?
  7. Indagine sugli incidenti I segni di sbandata di un'auto coinvolta in un incidente misuravano 216 piedi. Qual era la velocità dell'auto prima che venissero azionati i freni?
  8. Indagine sugli incidenti Un investigatore di incidenti ha misurato i segni di sbandata di uno dei veicoli coinvolti in un incidente. La lunghezza dei segni di slittamento era di 175 piedi. Qual era la velocità del veicolo prima che venissero azionati i freni?
  9. Indagine sugli incidenti Un investigatore degli incidenti ha misurato i segni di sbandata di uno dei veicoli coinvolti in un incidente. La lunghezza dei segni di slittamento era di 117 piedi. Qual era la velocità del veicolo prima che venissero azionati i freni?

Matematica di tutti i giorni

  1. Decorare Denise vuole installare un accento quadrato di piastrelle di design nella sua nuova doccia. Può permettersi di acquistare 625 centimetri quadrati di piastrelle di design. Quanto può essere lungo un lato dell'accento?
  2. Decorare Morris vuole avere un mosaico quadrato intarsiato nel suo nuovo patio. Il suo budget consente 2.025 tessere. Ogni tessera è quadrata con un'area di un pollice quadrato. Quanto può essere lungo un lato del mosaico?

Esercizi di scrittura

  1. Perché non esiste un numero reale uguale a (sqrt{-64})?
  2. Qual è la differenza tra 92 e (sqrt{9})?

Autocontrollo

(a) Dopo aver completato gli esercizi, usa questa lista di controllo per valutare la tua padronanza degli obiettivi di questa sezione.

(b) Nel complesso, dopo aver esaminato la lista di controllo, pensi di essere ben preparato per il prossimo capitolo? Perché o perché no?


Soluzioni per radice quadrata (parte 2 di 2)

2. Consentire agli studenti di utilizzare una calcolatrice e concedere loro alcuni minuti per rispondere alle domande. Gli studenti scopriranno che le espressioni nelle domande 1 e 2 sono equivalenti e che le due espressioni radicali moltiplicate danno come risultato il radicando.

3. Chiedi agli studenti di provare altre radici quadrate, moltiplicandole in modo che possano vedere che quadratura e radici quadrate sono operazioni inverse.

4. Chiedi alla classe di elaborare una regola per tutti i casi. Gli studenti di solito concludono con una regola (√x)(√x) = x

5. Scrivi alla lavagna: (√b) 2 = b e (√b 2 )= b e fornire alcuni esempi utilizzando quadrati perfetti in modo che gli studenti possano vedere chiaramente lo schema senza dover utilizzare una calcolatrice.

Ex: (√4) 2 = (2) 2 = 4

(√9) 2 = (3) 2 = 9


NUOVE INFORMAZIONI

Gli studenti dovrebbero riconoscere che √4 ∙√5 = 20. Dovrebbero anche essere in grado di semplificare ulteriormente a 5 usando la proprietà delle radici quadrate appresa nelle lezioni precedenti.

Informa gli studenti che, proprio come puoi moltiplicare le radici quadrate usando la proprietà Prodotto delle radici quadrate, √a ∙√ b = √ab, puoi riscrivere una radice quadrata come prodotto fattorizzando il radicando.

Scrivi questo esempio alla lavagna: √40 = √4 ∙ √10 che si semplifica in 2√10

La chiave qui è trovare un fattore quadrato perfetto del radicando.

Chiedi alle coppie di studenti di semplificare le seguenti due espressioni. Scrivi questi alla lavagna.

La maggior parte degli studenti li semplificherà con successo. Ora scrivi √48. Chiedi loro di semplificare questa espressione.

Chiama un volontario per scrivere il proprio lavoro alla lavagna. È probabile che lo studente riscriverà questa espressione in uno dei due modi seguenti:

√4 ∙ √12 o √6 ∙ √8

È importante chiedere se qualcuno nella classe ha fatto diversamente.

Assicurati che sul tabellone siano presenti almeno tre percorsi, incluso il percorso più efficiente (usando 16 e 3). Di' alla classe:

”TUTTI E TRE I PERCORSI SONO CORRETTI MA SOLO UNO DI QUESTI È LA MIGLIORE RISPOSTA, QUALCUNO MI PU DIRE QUALE E PERCHÉ? Discutetene per un minuto tra di voi".

Concedi il tempo per la discussione senza chiamare nessuno che ha la mano alzata cercando di dare una risposta. Successivamente, chiama un volontario.

È molto importante chiedere agli studenti di dimostrare che gli altri due percorsi sulla lavagna portano alla stessa risposta. Chiedi agli studenti di continuare a semplificarli finché non saranno completamente semplificati.

Dopo averlo fatto, scrivi quanto segue alla lavagna.

Un'espressione radicale completamente semplificata quando il valore sotto il segno radicale, (radicando), non ha fattori quadrati perfetti diversi da 1.


Come inserire il simbolo della radice quadrata in Word?

Oggi ti mostrerò tutti i modi semplici per inserire il Simbolo della radice quadrata (√) in Word.

NOTA: Anche se dimostro di usare il Simbolo della radice quadrata (√), gli stessi metodi possono essere utilizzati per inserire qualsiasi altro simbolo in Word.

Di seguito sono riportati i vari modi per inserire il Simbolo della radice quadrata.

Opzione 1: utilizzo dell'equazione di inserimento

Microsoft Word ha semplificato la digitazione dei simboli matematici con la sua funzione di inserimento dell'equazione.

Con questa opzione, puoi inserire facilmente quasi tutti i simboli matematici nel tuo documento di Word.

Di seguito sono riportati i passaggi per aiutarti:

  • Posiziona il puntatore di inserimento nel punto in cui desideri inserire il simbolo della radice quadrata.
  • stampa Alt+= sulla tastiera per mostrare il campo dell'equazione.

Non appena premi la barra spaziatrice dopo aver digitato sqrt, word inserirà il simbolo della radice quadrata nel documento di Word.

Opzione 2: utilizzando il codice Alt Scorciatoia sulla tastiera

Ogni carattere o simbolo in Word ha un codice carattere. Con questo codice carattere, puoi inserire qualsiasi simbolo, incluso il simbolo della radice quadrata, utilizzando la tastiera. È popolarmente conosciuto come il codice Alt.

La scorciatoia del codice Alt per il Simbolo della radice quadrata è Alt+251 o 221A, Alt+X.

Per inserire questo simbolo (usando il codice Alt), segui questi tre semplici passaggi:

  • Posiziona il puntatore di inserimento nel punto in cui desideri inserire il simbolo.
  • Tieni premuto il tasto Alt e digita 251 sul tastierino numerico e rilasciare il tasto Alt.
  • Digita il codice Alt – 221A
  • Quindi premere Alt+X per convertire il codice nel simbolo della radice quadrata

Non appena si rilascia il codice Alt, il simbolo () dovrebbe essere inserito nel documento.

Opzione 3: copia e incolla il simbolo della radice quadrata

L'opzione copia e incolla può essere l'opzione più semplice per inserirla simbolo in MS Word.

Indipendentemente dal software con cui stai lavorando, puoi sempre copiare e incollare qualsiasi simbolo nel tuo lavoro.

Di seguito è riportato il Simbolo della radice quadrata se vuoi copiarlo e incollarlo nel tuo lavoro:

Opzione 4: utilizzo della finestra di dialogo Inserisci simbolo

Questo metodo e il successivo non prevedono l'uso della tastiera. Pertanto, può essere utilizzato solo in applicazioni che dispongono della funzione di inserimento simbolo come Office Word, Excel, PowerPoint o Access.

Di seguito sono riportati i passaggi per inserire il simbolo della radice quadrata utilizzando la finestra di dialogo Inserisci simbolo.

  • Sul Inserire scheda, fare clic su Simbolo pulsante e fare clic Altri simboli...

Il Simboli apparirà la finestra di dialogo. È ora il momento di cercare il simbolo che si desidera inserire (il Simbolo della radice quadrata).

Nella galleria dei simboli, cerca il simbolo della radice quadrata scorrendo verso l'alto o verso il basso utilizzando la barra di scorrimento.

Se non riesci a trovare il simbolo, nell'area in basso a destra della finestra di dialogo, seleziona Unicode (esadecimale) nel a partire dalcadere in picchiata. Di nuovo, nell'area in alto a destra della finestra di dialogo, seleziona Operatori matematici nel sottoinsieme cadere in picchiata.

In questo modo, solo il Operatori matematici includendo il Simbolo della radice quadrata verrà mostrato nell'area visibile della finestra di dialogo Simboli.

In alternativa, basta digitare 221A nel campo Codice carattere, il simbolo apparirà e già selezionato per te.

  • Fare clic per selezionare il simbolo, quindi fare clic su Inserire. In alternativa, puoi semplicemente fare doppio clic sul simbolo della radice quadrata per inserirlo nel documento, quindi chiudere la finestra di dialogo.

Ecco come inserire il Simbolo della radice quadrata in Word/Excel/PowerPoint/Access utilizzando la finestra di dialogo Inserisci simbolo.

Opzione 5: utilizzo della correzione automatica Scorciatoia da tastiera

Un altro modo per ottenere il Simbolo della radice quadrata è attraverso l'uso della funzione di correzione automatica.

È una struttura progettata per correggere gli errori di ortografia. Ad esempio, se digiti questo La parola lo correggerà a Questo.

Usando questa funzione, puoi assegnare un testo di correzione automatica al simbolo (comesuch SQRT).

In questo modo, ogni volta che digiti il ​​testo SQRT con la tastiera, Word penserà che in realtà volevi digitare il simbolo della radice quadrata (√) e lo convertirà automaticamente per te.

Questo approccio è particolarmente utile quando devi inserire frequentemente il simbolo nel tuo lavoro.

Senza ulteriori indugi, di seguito sono riportati i passaggi che è possibile utilizzare per assegnare il testo di correzione automatica ai simboli.

Il Simbolo viene visualizzata la finestra di dialogo.

  • Individua il simbolo, quindi fai clic per selezionarlo.
  • Clicca sul Correzione automatica... pulsante per visualizzare la finestra di dialogo Correzione automatica.

Nella finestra di dialogo Correzione automatica, immettere quanto segue:

Word inserirà automaticamente il simbolo nel tuo documento ogni volta che digiti SQRT.

Di seguito sono riportate alcune cose da notare quando si utilizza l'approccio di correzione automatica.

  • La correzione automatica fa distinzione tra maiuscole e minuscole. Significato se digiti sqrt (in minuscolo), Word non lo convertirà nel Simbolo della radice quadrata a meno che non digiti SQRT (in maiuscolo).
  • Se è presente del testo prima o dopo il testo di Correzione automatica, Word considererà il testo di Correzione automatica come parte del testo e pertanto non convertirà. Per esempio, XSQRT non verrà convertito, ma X SQRT verrà convertito in X √.

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Stima Radici

Un approccio alla gestione delle radici non perfette (quadrati, cubi, ecc.) consiste nell'approssimarle confrontando i valori con quadrati, cubi o radici n-esime perfette. Supponiamo di voler conoscere la radice quadrata di 17. Diamo un'occhiata a come potresti approssimarla.

Esempio

Determina se ( sqrt<17>) è più vicino a 4 o a 5 e fai un'altra stima.

Poiché 17 è più vicino a 16 che a 25, ( sqrt<17>) è probabilmente circa 4.1 o 4.2.

Usa tentativi ed errori per ottenere una stima migliore di ( sqrt<17>). Prova a quadrare numeri sempre più grandi, a partire da 4.1, per trovare una buona approssimazione per ( sqrt<17>).

(left(4.1 ight)^<2>) fornisce una stima più vicina di ((4.2)^<2>).

Continua a utilizzare tentativi ed errori per ottenere una stima ancora migliore.

Risposta

Questa approssimazione è abbastanza vicina. Se continuassi a usare questa strategia per tentativi ed errori potresti continuare a trovare la radice quadrata dei millesimi, decimillesimi e centomillesimi, ma alla fine diventerebbe troppo noioso da fare a mano.

Per questo motivo, quando hai bisogno di trovare un'approssimazione più precisa di una radice quadrata, dovresti usare una calcolatrice. La maggior parte delle calcolatrici ha una chiave di radice quadrata ( (sqrt<<>>)) che ti darà rapidamente l'approssimazione della radice quadrata. Su una semplice calcolatrice a 4 funzioni, è probabile che tu digiti il ​​numero di cui vuoi prendere la radice quadrata e poi premi il tasto della radice quadrata.

Prova a trovare ( sqrt<17>) usando la calcolatrice. Nota che non sarai in grado di ottenere una risposta "esatta" perché ( sqrt<17>) è un numero irrazionale, un numero che non può essere espresso come frazione e il decimale non termina mai o non si ripete. Per catturare con precisione il valore di ( sqrt<17>), avresti bisogno infinito precisione. A nove posizioni decimali, ( sqrt<17>) è approssimato a 4,123105626. Una calcolatrice può far risparmiare molto tempo e produrre una radice quadrata più precisa quando hai a che fare con numeri che non sono quadrati perfetti.

Esempio

Approssima ( sqrt[3]<30>) e trova anche il suo valore usando una calcolatrice.

30 è tra i cubi perfetti 27 e 81.

( sqrt[3]<27>=3) e ( sqrt[3]<81>=4), quindi ( sqrt[3]<30>) è compreso tra 3 e 4.
Usa una calcolatrice.

Risposta

Per approssimazione: (3gesqrt[3]<30>le4)

Utilizzando una calcolatrice: ( sqrt[3]<30>about3.10723)

Il seguente video mostra un altro esempio di come stimare una radice quadrata.


Come si usa la proprietà radice quadrata?

Per risolvere un equazione di usando il proprietà radice quadrata, isolerai prima il termine che contiene la variabile al quadrato. Puoi quindi prendere il radice quadrata di entrambi i lati e risolvere per la variabile. Assicurati di scrivere la risposta finale in forma semplificata.

Inoltre, cosa si intende per quadrato perfetto? In matematica, a piazza numero o quadrato perfetto è un intero che è il piazza di un intero, in altre parole, è il prodotto di un intero con se stesso. Ad esempio, 9 è a piazza numero, poiché può essere scritto come 3 & volte 3.

Allo stesso modo, viene chiesto, qual è il metodo della radice quadrata?

Il metodo della radice quadrata può essere utilizzato per risolvere equazioni quadratiche nella forma "x² = b." Questo metodo può fornire due risposte, in quanto radice quadrata di un numero può essere un numero negativo o positivo. Se un'equazione può essere espressa in questa forma, può essere risolta trovando il radici quadrate di x.

Cosa significa il segno radicale radice quadrata?

UN radice quadrata si scrive con a simbolo radicale &radicale e il numero o l'espressione all'interno di simbolo radicale, sotto indicato con a, è chiamato radicando. Il radici quadrate di numeri che non sono perfetti piazza sono membri dei numeri irrazionali. Questo si intende che non possono essere scritti come il quoziente di due interi.


5.13: Semplifica e usa le radici quadrate (parte 2)

Passo dopo passo, Algebrator ha reso l'algebra facile come memorizzare le tabelline! È semplicemente impossibile che io stia andando così bene accademicamente e mi senta così sicuro di me stesso, se non fosse per questo programma! Mi ha cambiato la vita!
Margaret Thomas, NY

Non ho mai capito l'algebra, che mi ha fatto lottare e ha finito per farmi odiare la matematica. Ora che ho Algebrator, la matematica non mi sembra più una lingua straniera. Mi piace frequentare il mio corso di matematica ora!
Jennifer, OH.

Ragazzi siete GRANDI!! Sono passati 20 anni da quando ho anche solo pensato all'Algebra, ora con mia figlia voglio poterla aiutare. L'approccio graduale è meraviglioso.
Pamela Nelson, MT

Complimenti all'algebratore! Mia figlia Sarah ha ottenuto ottimi voti in pagella grazie a questo eccezionale software. Non ha più difficoltà con i compiti di algebra. Dopo aver utilizzato il programma per alcune settimane, abbiamo salutato il suo esigente tutor. Grazie!
Gwen Ferber, TN


5.13: Semplifica e usa le radici quadrate (parte 2)

Esempio 1: Risolvi x 2 + 4 = 4x

Per prima cosa, metti l'equazione in forma standard in modo che possiamo provare a risolverla fattorizzando:

Quindi la soluzione di questa equazione, trovata mediante fattorizzazione, è x = 2.

Esempio 2: Risolvi (2x - 2) 2 = -4

Il lato dell'equazione che contiene la variabile (il lato sinistro) è un quadrato perfetto, quindi prenderemo la radice quadrata di entrambi i lati per risolvere l'equazione.

Notare che il segno ± è stato inserito nell'equazione nel punto in cui è stata presa la radice quadrata.

Esempio 3: Risolvi x 2 + 6x - 11 = 0

Questa equazione non è fattorizzabile e il lato contenente la variabile non è un quadrato perfetto. Ma poiché il coefficiente di x 2 è 1 e il coefficiente di x è pari, completare il quadrato sarà un metodo appropriato. Per trovare il numero che deve essere aggiunto a entrambi i lati dell'equazione per completare il quadrato, prendi il coefficiente del termine x, dividilo per 2, quindi eleva al quadrato quel numero. In questo problema, 6 ¸ 2 è 3 e 3 2 è 9, quindi aggiungeremo 9 a entrambi i lati dell'equazione una volta isolati i termini variabili.

Esempio 4: Risolvi 2x 2 - x + 5 = 0

Questa equazione non è fattorizzabile, il lato sinistro non è un quadrato perfetto e i coefficienti dei termini x 2 e x non renderanno conveniente completare il quadrato. Ciò lascia la formula quadratica come il metodo migliore per risolvere questa equazione. Useremo a=2, b=-1 e c=5.


Risolvi equazioni quadratiche usando la proprietà della radice quadrata

. Le equazioni quadratiche differiscono dalle equazioni lineari includendo un termine quadratico con la variabile elevata alla seconda potenza della forma ascia 2 . Usiamo metodi diversi per risolvere equazioni quadratiche rispetto alle equazioni lineari, perché la semplice aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e divisione di termini non isolerà la variabile.

Abbiamo visto che alcune equazioni di secondo grado possono essere risolte mediante fattorizzazione. In questo capitolo impareremo altri tre metodi da utilizzare nel caso in cui un'equazione quadratica non possa essere scomposta in fattori.

Risolvere equazioni quadratiche della forma a x 2 = k

usando la proprietà della radice quadrata

Abbiamo già risolto alcune equazioni di secondo grado mediante fattorizzazione. Rivediamo come abbiamo usato la fattorizzazione per risolvere l'equazione quadratica X 2 = 9.

Metti l'equazione in forma standard. Fattorizzare la differenza dei quadrati. x 2 = 9 x 2 − 9 = 0 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0 Utilizzare la proprietà del prodotto zero. Risolvi ogni equazione. x − 3 = 0 x − 3 = 0 x = 3 x = −3

Possiamo facilmente usare la fattorizzazione per trovare le soluzioni di equazioni simili, come X 2 = 16 e X 2 = 25, perché 16 e 25 sono quadrati perfetti. In ogni caso, otterremmo due soluzioni, x = 4 , x = −4

Ma cosa succede quando abbiamo un'equazione come X 2 = 7? Poiché 7 non è un quadrato perfetto, non possiamo risolvere l'equazione mediante fattorizzazione.

In precedenza abbiamo appreso che poiché 169 è il quadrato di 13, possiamo anche dire che 13 è a radice quadrata di 169. Inoltre, (−13) 2 = 169, quindi −13 è anche una radice quadrata di 169. Pertanto, sia 13 che −13 sono radici quadrate di 169. Quindi, ogni numero positivo ha due radici quadrate: una positiva e una uno negativo. Abbiamo precedentemente definito la radice quadrata di un numero in questo modo:

Poiché queste equazioni sono tutte della forma X 2 = K, la definizione di radice quadrata ci dice che le soluzioni sono le due radici quadrate di K. Questo porta al Proprietà della radice quadrata.

Si noti che la proprietà della radice quadrata fornisce due soluzioni a un'equazione della forma X 2 = K, la radice quadrata principale di k

e il suo contrario. Potremmo anche scrivere la soluzione come x = ± k .

Lo leggiamo come X è uguale a positivo o negativo la radice quadrata di K.

Ora risolviamo l'equazione X 2 = 9 di nuovo, questa volta usando la proprietà della radice quadrata.

Usa la proprietà radice quadrata. x 2 = 9 x = ± 9 x = ± 3 Quindi x = 3 o x = −3 .

Cosa succede quando la costante non è un quadrato perfetto? Usiamo la proprietà della radice quadrata per risolvere l'equazione X 2 = 7.

x 2 = 7 Usa la proprietà Radice quadrata. x = 7 , x = − 7

, quindi lasciamo la risposta come radicale.

I passaggi da eseguire per utilizzare il Proprietà della radice quadrata per risolvere un'equazione quadratica sono elencati qui.

  1. Isolare il termine quadratico e rendere uno il suo coefficiente.
  2. Usa la proprietà radice quadrata.
  3. Semplifica il radicale.
  4. Controlla le soluzioni.

Per utilizzare la proprietà della radice quadrata, il coefficiente del termine variabile deve essere uguale a uno. Nel prossimo esempio, dobbiamo dividere entrambi i lati dell'equazione per il coefficiente 3 prima di utilizzare la proprietà della radice quadrata.

3z2 = 108
Il termine quadratico è isolato. Dividi per 3 per ottenere il suo coefficiente 1. 3z 2 3 = 108 3
Semplificare. z2 = 36
Usa la proprietà radice quadrata. z = ± 36
Semplifica il radicale. z = ± 6
Riscrivi per mostrare due soluzioni. z = 6 , z = −6
Controlla le soluzioni:

La proprietà della radice quadrata afferma "Se x 2 = k

Questo sarà il caso nel prossimo esempio.

x 2 + 72 = 0
Isolare il termine quadratico. x2 = −72
Usa la proprietà radice quadrata. x = ± −72
Semplificare usando i numeri complessi. x = ± 72 i
Semplifica il radicale. x = ± 6 2 i
Riscrivi per mostrare due soluzioni. x = 6 2 i , x = −6 2 i
Controlla le soluzioni:

Il nostro metodo funziona anche quando si verificano frazioni nell'equazione, risolviamo come qualsiasi equazione con frazioni. Nel prossimo esempio, isoliamo prima il termine quadratico, quindi rendiamo il coefficiente uguale a uno.

2 3 u 2 + 5 = 17
Isolare il termine quadratico.
Moltiplica per 3 2 per ottenere il coefficiente 1.
Semplificare.
Usa la proprietà radice quadrata.
Semplifica il radicale.
Semplificare.
Riscrivi per mostrare due soluzioni.
Dai un'occhiata:

Le soluzioni di alcune equazioni possono avere frazioni all'interno dei radicali. Quando questo accade, dobbiamo razionalizzare il denominatore.

Isolare il termine quadratico.
Dividi per 2 per ottenere il coefficiente 1.
Semplificare.
Usa la proprietà radice quadrata.
Riscrivi il radicale come frazione di radici quadrate.
Razionalizzare il denominatore.
Semplificare.
Riscrivi per mostrare due soluzioni.
Assegno: lasciamo l'assegno per te.

Risolvi equazioni quadratiche della forma un(X − h) 2 = K Utilizzo della proprietà della radice quadrata

Possiamo usare il Proprietà della radice quadrata per risolvere un'equazione della forma un(Xh) 2 = K anche. Si noti che il termine quadratico, X, nella forma originale ascia 2 = K è sostituito da (Xh).

Il primo passo, come prima, è isolare il termine che ha la variabile al quadrato. In questo caso, un binomio viene quadrato. Una volta isolato il binomio, dividendo ciascun lato per il coefficiente di un, allora la proprietà radice quadrata può essere usata su (Xh) 2 .

4 ( y − 7 ) 2 = 48
Dividi entrambi i membri per il coefficiente 4. ( y − 7 ) 2 = 12
Usa la proprietà della radice quadrata sul binomio y − 7 = ± 12
Semplifica il radicale. y − 7 = ± 2 3
Risolvi per y. y = 7 ± 2 3
Riscrivi per mostrare due soluzioni. y = 7 + 2 3 , y = 7 − 2 3
Dai un'occhiata:

Ricorda che quando prendiamo la radice quadrata di una frazione, possiamo prendere separatamente la radice quadrata del numeratore e del denominatore.

Inizieremo la soluzione del prossimo esempio isolando il termine binomiale.

A volte le soluzioni sono numeri complessi.

I lati sinistri delle equazioni nei prossimi due esempi non sembrano essere della forma un(Xh) 2 . Ma sono trinomi quadrati perfetti, quindi valuteremo per metterli nella forma di cui abbiamo bisogno.

Notiamo che il lato sinistro dell'equazione è un trinomio quadrato perfetto. Lo valuteremo per primo.

4 n 2 + 4 n + 1 = 16
Fattorizzare il trinomio quadrato perfetto. ( 2 n + 1 ) 2 = 16
Usa la proprietà radice quadrata. 2 n + 1 = ± 16
Semplifica il radicale. 2n + 1 = ± 4
Risolvi per n. 2n = −1 ± 4
Dividi ogni lato per 2. 2 n 2 = −1 ± 4 2 n = −1 ± 4 2
Riscrivi per mostrare due soluzioni. n = −1 + 4 2 , n = −1 − 4 2
Semplifica ogni equazione. n = 3 2 , n = − 5 2
Dai un'occhiata:

Risolvi: 16 n 2 + 40 n + 25 = 4 .

Accedi a questa risorsa online per ulteriori istruzioni ed esercitarti con l'utilizzo della proprietà della radice quadrata per risolvere equazioni quadratiche.

Concetti chiave

Come risolvere un'equazione quadratica usando la proprietà della radice quadrata.

  1. Isolare il termine quadratico e rendere uno il suo coefficiente.
  2. Usa la proprietà radice quadrata.
  3. Semplifica il radicale.
  4. Controlla le soluzioni.

La pratica rende perfetti

Risolvi equazioni quadratiche della forma ascia 2 = K Using the Square Root Property

In the following exercises, solve each equation.

Solve Quadratic Equations of the Form un(Xh) 2 = K Using the Square Root Property

In the following exercises, solve each equation.

Pratica mista

In the following exercises, solve using the Square Root Property.

Esercizi di scrittura

In your own words, explain the Square Root Property.

In your own words, explain how to use the Square Root Property to solve the quadratic equation ( x + 2 ) 2 = 16

Autocontrollo

ⓐ Dopo aver completato gli esercizi, utilizza questa lista di controllo per valutare la tua padronanza degli obiettivi di questa sezione.

Choose how would you respond to the statement “I can solve quadratic equations of the form a times the square of x minus h equals k using the Square Root Property.” “Confidently,” “with some help,” or “No, I don’t get it.”

ⓑ If most of your checks were:

…confidently. Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.

…with some help. This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Who can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

…no - I don’t get it! This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

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This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.


Functions, Formulas, and Square Roots

Students will simplify expressions that include squares and square roots. They will use them as inverse operations to manipulate equations, and learn to approximate rational numbers.

Quick links to lesson materials:

Teach This Lesson

Obiettivi

  • Find perfect squares of numbers and use square notation
  • Solve for a variable in an equation that includes the square of that variable
  • Define rational and irrational
  • Approximate irrational numbers
  • Use squares and square roots as inverse operations
  • Use square root symbols to express numbers or solve equations

Materiali

  • Square tiles, about 50 per pair of students
  • Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable
  • Solving the Unknown Bonus Worksheet: The Case of the Tardy Transportation printable
  • Solving the Unknown Take-Home Activity: The Case of the Kid Bargain Hunter printable
  • Answer Key: Solving the Unknown printable
  • Optional: Solving the Unknown With Algebra Classroom Poster printable
  • Optional: Student calculators

Set Up

  1. Make class sets of the Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable, the Solving the Unknown Bonus Worksheet: The Case of the Tardy Transportation printable, and the Solving the Unknown Take-Home Activity: The Case of the Kid Bargain Hunter printable.
  2. Print a copy of the Answer Key: Solving the Unknown printable for your use.
  3. Optional: Hang a copy of the Solving the Unknown With Algebra Classroom Poster printable in your classroom.

Lesson Directions

Introduction To New Material

Passo 1: Ask the class to define a square. Students should mention that a square has four equal sides and four right angles.

Passo 2: Distribute square tiles to students. Tell them to use the tiles to make a 6-by-6 square (filled in). Ask students: How many tiles did you use to make the square? 36.

Tell students to also make a 3-by-3 square (filled in) with the tiles. Ask:

  • How many tiles did this square require? 9.
  • Do you notice anything about the side lengths and the area of (the number of tiles required to model) the square? 6 x 6 = 36 and 3 x 3 = 9

Passaggio 3: Continue to bring students from concrete to abstract by displaying a drawing of a square. Label one of the sides “4 feet.” Ask students: How can you find the area of the square? By multiplying 4 • 4. Remind students that they can use superscript numbers to reflect exponents. Is there a way you can rewrite this using exponents? 4 2 . Ensure that students are able to write this notation as well as express it in words as “four squared” and “four to the second power.” (If students need additional practice on how to rewrite expanded expressions using exponents, this might be a good time.)

Tell students that the generic formula for the area of a square is UN = S 2 where UN represents area and S represents the length of a side.

Passaggio 4: Have students make a square with 25 tiles. Ask: What is the length of each side? 5. Have students make a square with 16 tiles. Ask: What is the length of each side? 4.

Then ask students if they can determine the length of a side of a square with an area of 49 without using tiles. Depending on the level of class support needed, provide them with the hint that this problem can be solved by finding out what number times itself equals 49. (The length of the square's side is 7.)

Step 5: Introduce the radical sign (square root) notation: √, e.g., 5 = √25. For a quick check of understanding, display the following, and ask students to simplify: √16 √9 √36 √49 √100.

Step 6: Revisit the formula for area, UN = S 2 . Then write 25 = S 2 . Ask: How can you find out what S is? Demonstrate that you can take the square root of both sides, which will isolate S, since squares and square roots are inverse operations: √25 = √S 2 5 = S. Remind students that what they do to one side of an equation, they must do to the other side. Provide other examples as needed using perfect squares.

Step 7: To more explicitly show how squares are inverse operations of square roots, ask what √9 2 is equal to. Break down the problem for students as needed, showing step-by-step how 9 2 = 81 and √81 = 9. To generalize, this means that √X 2 =X. Provide other examples with perfect squares as needed.

Step 8: Introduce an example where the area is not a perfect square — for example, UN = 29. Ask students to arrange 29 tiles in the shape of a filled-in square. (They will not be able to complete this task.) Using a calculator, show that √29 is approximately equal to 5.385. Have students look at the decimal expansion of √29 on their calculators (0.385164807134504). Ask: Do you see any repeating digit(s) within the decimal expansion? No.

Tell students that there are no repeating digits in the decimal expansion because √29 is an irrational number. Display the following definitions:

  • rational number: a number expressible in the form a/b o –a/b for some fraction a/b. The rational numbers include the integers.
  • irrational number: a number that cannot be expressed in the form a/b o –a/b (a number that is not rational).

Step 9: Have students estimate the value of √54. Ask: Which two integers must √54 be between? Perché? 7 and 8 because 7 2 is 49 and 8 2 is 64. 54 is between 49 and 64.

Tell students to find the exact value of √54 using their calculators. (7.34846922834953…). Tell students to round √54 to the nearest tenth (to 7.3). Ask students:

  • Which two tenths on the number line is √54 between? 7.3 and 7.4
  • How might you approximate √54 even more precisely? Provide a rounded number with more decimal places.

Round √54 to the nearest hundredth (7.35). Round √54 to the nearest thousandth (7.348). Ask students:

  • So far, which of these approximations is the most precise? 7.348
  • Which two thousandths on the number line is √54 between? 7.348 and 7.349. Show that 7.348 is a rational number. (You can write 7.348 as 7348/1000.)

Step 10: Finally, provide an example of an equation involving taking the square root of each side of an equation. Display the equation X 2 + 6 = 15. Ask students to solve the equation and explain their solution strategy. Show the solution, first by subtracting 6 from each side, leaving X 2 = 9. Indicate that the equation is still in balance and that it will stay in balance if you take the square root of each side, leaving X = 3. Remind students that whatever is done to one side of an equation must be done to the other side. After demonstrating how to solve for a variable, use substitution to verify that the solution is accurate: 3 2 + 6 = 15 9 + 6 = 15 15 = 15.

Guided Practice

Step 11: In pairs, have students solve for the following variables. After pairs are done, have volunteers present solution strategies to the class.

  1. h 2 – 18 = 103
  2. 4 + m 2 = 68
  3. (K + 2) 2 = 100
  4. g + 27 = 12 2
  5. 15 2 – f = 169

Independent Practice

Step 12: Distribute Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable and calculators. Read the introduction together and review the key facts. Depending upon student support needed, it might be necessary to compute the first vehicle's speed as a class and/or review the calculator's square root function.

Step 13: Ask students to complete the Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable. Use your copy of the Answer Key: Solving the Unknown printable to review the answers as a class.

Step 14: Students will further develop skills for working with equations as they complete the Solving the Unknown Bonus Worksheet: The Case of the Tardy Transportation printable and the Solving the Unknown Take-Home Activity: The Case of the Kid Bargain Hunter printable. If students require additional support, use the Answer Key: Solving the Unknown printable to review the worksheets as a class.


Guarda il video: La radice quadrata - Algebra - Secondaria di Primo Grado (Settembre 2021).