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7.4: Integrazione di funzioni razionali per frazioni parziali


obiettivi formativi

  • Integra una funzione razionale usando il metodo delle frazioni parziali.
  • Riconoscere semplici fattori lineari in una funzione razionale.
  • Riconoscere fattori lineari ripetuti in una funzione razionale.
  • Riconoscere fattori quadratici in una funzione razionale.

Abbiamo visto alcune tecniche che ci permettono di integrare specifiche funzioni razionali. Ad esempio, sappiamo che

[ int dfrac{du}{u}=ln |u|+C onumber]

e

[ int dfrac{du}{u^2+a^2}=dfrac{1}{a} an^{−1} left(dfrac{u}{a} ight)+C . essun numero]

Tuttavia, non abbiamo ancora una tecnica che ci permetta di affrontare quozienti arbitrari di questo tipo. Pertanto, non è immediatamente ovvio come procedere per la valutazione

[ int dfrac{3x}{x^2−x-2},dx. onumber]

Tuttavia, sappiamo da materiale precedentemente sviluppato che

[ int left(dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x-2} ight),dx=ln |x+1|+2ln |x-2 |+C. umero]

Infatti, ottenendo un denominatore comune, vediamo che

[ dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x-2}=dfrac{3x}{x^2-x-2}. onumber]

Di conseguenza,

[ int dfrac{3x}{x^2−x-2},dx=int left(dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x-2} ight ),dx. umero]

In questa sezione esaminiamo il metodo di decomposizione parziale della frazione, che ci permette di scomporre funzioni razionali in somme di funzioni razionali più semplici e più facilmente integrabili. Usando questo metodo, possiamo riscrivere un'espressione come:

[ dfrac{3x}{x^2−x-2} on numero]

come un'espressione come

[ dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x-2}. onumber]

La chiave per il metodo della scomposizione delle frazioni parziali è essere in grado di anticipare la forma che assumerà la scomposizione di una funzione razionale. Come vedremo, questa forma è sia prevedibile che fortemente dipendente dalla fattorizzazione del denominatore della funzione razionale. È anche estremamente importante tenere presente che la scomposizione di frazioni parziali può essere applicata a una funzione razionale ( dfrac{P(x)}{Q(x)}) solo se ( deg(P(x))< grado(Q(x))). Nel caso in cui ( deg(P(x))≥deg(Q(x))), dobbiamo prima eseguire una divisione lunga per riscrivere il quoziente ( dfrac{P(x)}{Q(x)} ) nella forma ( A(x)+dfrac{R(x)}{Q(x)}), dove ( deg(R(x))

Esempio ( PageIndex{1}): Integrazione (displaystyle int frac{P(x)}{Q(x)},dx), dove ( deg(P(x))≥deg (Q(x)))

Valutare

[ int dfrac{x^2+3x+5}{x+1},dx. essun numero ]

Soluzione

Poiché ( deg(x^2+3x+5)≥deg(x+1),) eseguiamo una divisione lunga per ottenere

[ dfrac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+dfrac{3}{x+1}. essun numero]

Così,

[ int dfrac{x^2+3x+5}{x+1},dx=int left(x+2+dfrac{3}{x+1} ight),dx= dfrac{1}{2}x^2+2x+3ln |x+1|+C. essun numero]

Visita questo sito Web per una revisione della divisione lunga dei polinomi.

Esercizio (PageIndex{1})

Valutare

[ int dfrac{x−3}{x+2},dx. essun numero ]

Suggerimento

Usa la divisione lunga per ottenere ( dfrac{x−3}{x+2}=1−dfrac{5}{x+2}. onumber )

Risposta

[ x−5ln |x+2|+C onnumero ]

Per integrare (displaystyle int dfrac{P(x)}{Q(x)},dx), dove ( deg(P(x))

Fattori lineari non ripetuti

Se ( Q(x)) può essere fattorizzato come ( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)), dove ogni fattore lineare è distinto, allora è possibile trovare costanti ( A_1,A_2,…A_n) soddisfacente

[ dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+dfrac{A_n}{a_nx+b_n }. label{eq:7.4.1}]

La prova che tali costanti esistono esula dallo scopo di questo corso.

In questo prossimo esempio, vediamo come utilizzare le frazioni parziali per integrare una funzione razionale di questo tipo.

Esempio ( PageIndex{2}): Frazioni parziali con fattori lineari non ripetuti

Valuta (displaystyle int dfrac{3x+2}{x^3-x^2-2x},dx.)

Soluzione

Poiché ( deg(3x+2)

[ dfrac{3x+2}{x(x-2)(x+1)}=dfrac{A}{x}+dfrac{B}{x-2}+dfrac{C}{x +1}. essun numero]

Dobbiamo ora trovare queste costanti. Per fare ciò, iniziamo ottenendo un denominatore comune a destra. Così,

[ dfrac{3x+2}{x(x-2)(x+1)}=dfrac{A(x-2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-2 )}{x(x−2)(x+1)}. essun numero]

Ora, poniamo i numeratori uguali tra loro, ottenendo

[ 3x+2=A(x-2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-2).label{Ex2Numeratore}]

Esistono due diverse strategie per trovare i coefficienti (A), (B) e (C). Ci riferiamo a questi come metodo di equazione dei coefficienti e il metodo di sostituzione strategica.

Strategia uno: metodo di equazione dei coefficienti

Riscrivi l'equazione ( ef{Ex2Numerator}) nella forma

[ 3x+2=(A+B+C)x^2+(-A+B-2C)x+(-2A). essun numero]

L'uguaglianza dei coefficienti produce il sistema di equazioni

[egin{align*} A+B+C &=0 [4pt] −A+B−2C &= 3 [4pt] −2A &=2. end{allinea*}]

Per risolvere questo sistema, osserviamo prima che ( −2A=2⇒A=−1.) Sostituendo questo valore nelle prime due equazioni si ottiene il sistema

( B+C=1)

( B−2C=2).

Moltiplicando la seconda equazione per ( −1) e aggiungendo l'equazione risultante alla prima si ottiene

( -3C=1,)

che a sua volta implica che ( C=-dfrac{1}{3}). Sostituendo questo valore nell'equazione ( B+C=1) si ottiene ( B=dfrac{4}{3}). Quindi, risolvendo queste equazioni si ottiene ( A=−1, B=dfrac{4}{3}), e ( C=-dfrac{1}{3}).

È importante notare che il sistema prodotto con questo metodo è consistente se e solo se abbiamo impostato correttamente la scomposizione. Se il sistema è incoerente, c'è un errore nella nostra scomposizione.

Strategia due: metodo di sostituzione strategica

Il metodo della sostituzione strategica si basa sul presupposto che abbiamo impostato correttamente la scomposizione. Se la scomposizione è impostata correttamente, devono esserci valori di ( A, B,) e ( C) che soddisfano l'equazione ( ef{Ex2Numerator}) per tutti i valori di ( x). Cioè, questa equazione deve essere vera per qualsiasi valore di ( x) che desideriamo sostituirvi. Pertanto, scegliendo con attenzione i valori di ( x) e sostituendoli nell'equazione, possiamo trovare facilmente ( A, B) e ( C). Ad esempio, se sostituiamo ( x=0), l'equazione si riduce a ( 2=A(-2)(1)). Risolvendo per ( A) si ottiene ( A=−1). Quindi, sostituendo ( x=2), l'equazione si riduce a ( 8=B(2)(3)), o equivalentemente ( B=4/3). Infine, sostituiamo ( x=−1) nell'equazione e otteniamo ( −1=C(−1)(−3).) Risolvendo, abbiamo ( C=−dfrac{1}{3 }).

È importante tenere presente che se si tenta di utilizzare questo metodo con una scomposizione che non è stata impostata correttamente, è ancora possibile trovare valori per le costanti, ma queste costanti sono prive di significato. Se scegliamo di utilizzare il metodo della sostituzione strategica, allora è una buona idea controllare il risultato ricombinando i termini algebricamente.

Ora che abbiamo i valori di ( A, B,) e ( C,) riscriviamo l'integrale originale:

[ int dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x},dx=int left(-dfrac{1}{x}+dfrac{4}{3}⋅ dfrac{1}{x-2}-dfrac{1}{3}⋅dfrac{1}{x+1} ight),dx. essun numero]

Valutare l'integrale ci dà

[ int dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x},dx=-ln |x|+dfrac{4}{3}ln |x-2|- dfrac{1}{3}ln |x+1|+C. essun numero]

Nel prossimo esempio, integriamo una funzione razionale in cui il grado del numeratore non è inferiore al grado del denominatore.

Esempio ( PageIndex{3}): Dividere prima di applicare le frazioni parziali

Valuta (displaystyle int dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4},dx.)

Soluzione

Poiché ( deg(x^2+3x+1)≥deg(x^2−4),) dobbiamo eseguire una divisione lunga di polinomi. Questo risulta in

[ dfrac{x^2+3x+1}{x^2-4}=1+dfrac{3x+5}{x^2-4} onumber]

Successivamente, eseguiamo la scomposizione parziale della frazione su ( dfrac{3x+5}{x^2−4}=dfrac{3x+5}{(x+2)(x-2)}). Abbiamo

[ dfrac{3x+5}{(x-2)(x+2)}=dfrac{A}{x-2}+dfrac{B}{x+2}. essun numero]

Così,

[ 3x+5=A(x+2)+B(x-2). essun numero]

Risolvendo per ( A) e ( B) usando uno dei due metodi, otteniamo ( A=11/4) e ( B=1/4.)

Riscrivendo l'integrale originale, abbiamo

[ int dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4},dx=int left(1+dfrac{11}{4}⋅dfrac{1}{x− 2}+dfrac{1}{4}⋅dfrac{1}{x+2} ight),dx. essun numero]

La valutazione dell'integrale produce

[ int dfrac{x^2+3x+1}{x^2-4},dx=x+dfrac{11}{4}ln |x-2|+dfrac{1}{4 }ln |x+2|+C. essun numero]

Come vediamo nel prossimo esempio, potrebbe essere possibile applicare la tecnica della scomposizione parziale di frazioni a una funzione non razionale. Il trucco è convertire la funzione non razionale in una funzione razionale attraverso una sostituzione.

Esempio ( PageIndex{4}): Applicazione di frazioni parziali dopo una sostituzione

Valuta (displaystyle int dfrac{cos x}{sin^2x-sin x},dx.)

Soluzione

Cominciamo col lasciare ( u=sin x.) Di conseguenza, ( du=cos x,dx.) Dopo aver effettuato queste sostituzioni, abbiamo

[ int dfrac{cos x}{sin^2x-sin x},dx=int dfrac{du}{u^2-u}=int dfrac{du}{u( u−1)}. essun numero]

Applicando la scomposizione parziale della frazione a (dfrac{1}{u(u-1)}) si ottiene ( dfrac{1}{u(u-1)}=-dfrac{1}{u}+ dfrac{1}{u-1}.)

Così,

[ int dfrac{cos x}{sin^2x-sin x},dx=-ln |u|+ln |u−1|+C=-ln |sin x| +ln |sin x−1|+C. essun numero]

Esercizio (PageIndex{2})

Valuta (displaystyle int dfrac{x+1}{(x+3)(x-2)},dx.)

Suggerimento

[ dfrac{x+1}{(x+3)(x-2)}=dfrac{A}{x+3}+dfrac{B}{x-2} onumber]

Risposta

[ dfrac{2}{5}ln |x+3|+dfrac{3}{5}ln |x-2|+C onumber]

Fattori lineari ripetuti

Per alcune applicazioni, dobbiamo integrare espressioni razionali che hanno denominatori con fattori lineari ripetuti, ovvero funzioni razionali con almeno un fattore della forma ( (ax+b)^n,) dove ( n) è un numero intero positivo maggiore o uguale a ( 2). Se il denominatore contiene il fattore lineare ripetuto ( (ax+b)^n), allora la scomposizione deve contenere

[ dfrac{A_1}{ax+b}+dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. label{eq:7.4.2}]

Come vediamo nel nostro prossimo esempio, la tecnica di base utilizzata per risolvere i coefficienti è la stessa, ma richiede più algebra per determinare i numeratori delle frazioni parziali.

Esempio ( PageIndex{5}): Frazioni parziali con fattori lineari ripetuti

Valuta (displaystyle int dfrac{x-2}{(2x-1)^2(x-1)},dx.)

Soluzione

Abbiamo ( deg(x−2)

[ dfrac{A}{2x−1}+dfrac{B}{(2x−1)^2} onumber]

nella scomposizione nell'Equazione ef{eq:7.4.2}. Così,

[ dfrac{x-2}{(2x-1)^2(x-1)}=dfrac{A}{2x-1}+dfrac{B}{(2x-1)^2}+ dfrac{C}{x−1}. essun numero]

Dopo aver ottenuto un denominatore comune ed eguagliato i numeratori, abbiamo

[ x−2=A(2x−1)(x−1)+B(x−1)+C(2x−1)^2. label{Numeratore Ex5}]

Usiamo quindi il metodo dell'equazione dei coefficienti per trovare i valori di ( A, B,) e ( C).

[ x−2=(2A+4C)x^2+(−3A+B−4C)x+(A−B+C). essun numero]

Uguagliando i coefficienti si ottiene ( 2A+4C=0), (−3A+B−4C=1) e ( A−B+C=−2). Risolvendo questo sistema si ottiene ( A=2, B=3,) e ( C=−1.)

In alternativa, possiamo usare il metodo della sostituzione strategica. In questo caso, sostituendo ( x=1) e ( x=1/2) nell'equazione ( ef{Ex5Numerator}) si ottengono facilmente i valori ( B=3) e ( C=− 1). A questo punto, potrebbe sembrare che abbiamo esaurito le buone scelte per ( x), tuttavia, poiché abbiamo già valori per ( B) e ( C), possiamo sostituire questi valori e scegliere qualsiasi valore per ( x) non utilizzato in precedenza. Il valore ( x=0) è una buona opzione. In questo caso si ottiene l'equazione ( −2=A(−1)(−1)+3(−1)+(−1)(−1)^2) o, equivalentemente, ( A=2 .)

Ora che abbiamo i valori per ( A, B,) e ( C), riscriviamo l'integrale originale e lo valutiamo:

[ egin{align*} int dfrac{x-2}{(2x-1)^2(x-1)},dx &=int left(dfrac{2}{2x-1 }+dfrac{3}{(2x-1)^2}-dfrac{1}{x-1} ight),dx [4pt]
&=ln |2x−1|−dfrac{3}{2(2x−1)}−ln |x−1|+C. end{allinea*}]

Esercizio (PageIndex{3})

Imposta la scomposizione della frazione parziale per

[ int dfrac{x+2}{(x+3)^3(x-4)^2},dx. essun numero]

(Non risolvere per i coefficienti o completare l'integrazione.)

Suggerimento

Utilizzare il metodo di risoluzione dei problemi dell'esempio ( PageIndex{5}) come guida.

Risposta

[ dfrac{x+2}{(x+3)^3(x-4)^2}=dfrac{A}{x+3}+dfrac{B}{(x+3)^2 }+dfrac{C}{(x+3)^3}+dfrac{D}{(x-4)}+dfrac{E}{(x-4)^2} onumber]

Il metodo generale

Ora che stiamo iniziando a farci un'idea di come funziona la tecnica della scomposizione delle frazioni parziali, delineiamo il metodo di base nella seguente strategia di risoluzione dei problemi.

Strategia di risoluzione dei problemi: scomposizione parziale della frazione

Per scomporre la funzione razionale ( P(x)/Q(x)), utilizzare i seguenti passaggi:

  1. Assicurati che ( deg(P(x))
  2. Scomponi ( Q(x)) nel prodotto di fattori quadratici lineari e irriducibili. Un quadratico irriducibile è un quadratico che non ha zeri reali.
  3. Assumendo che ( deg(P(x))
  4. Se ( Q(x)) può essere fattorizzato come ( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)), dove ogni fattore lineare è distinto, allora è possibile trovare costanti ( A_1,A_2,...A_n) soddisfacente [ dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+ ⋯+dfrac{A_n}{a_nx+b_n}.]
  5. Se ( Q(x)) contiene il fattore lineare ripetuto ( (ax+b)^n), allora la scomposizione deve contenere [ dfrac{A_1}{ax+b}+dfrac{A_2}{ (ax+b)^2}+⋯+dfrac{A_n}{(ax+b)^n}.]
  6. Per ogni fattore quadratico irriducibile ( ax^2+bx+c) che contiene ( Q(x)), la scomposizione deve includere [ dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}. ]
  7. Per ogni fattore quadratico irriducibile ripetuto ( (ax^2+bx+c)^n,) la scomposizione deve includere [ dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+dfrac{A_2x+ B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋯+dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}.]
  8. Dopo aver determinato la decomposizione appropriata, risolvere per le costanti.
  9. Infine, riscrivi l'integrale nella sua forma scomposta e valutalo utilizzando tecniche o formule di integrazione precedentemente sviluppate.

Fattori quadratici semplici

Vediamo ora di integrare un'espressione razionale in cui il denominatore contiene un fattore quadratico irriducibile. Ricorda che il quadratico ( ax^2+bx+c) è irriducibile se ( ax^2+bx+c=0) non ha zeri reali, ovvero se ( b^2−4ac<0. )

Esempio ( PageIndex{6}): Espressioni razionali con un fattore quadratico irriducibile

Valutare

[ int dfrac{2x−3}{x^3+x},dx. onumber]

Soluzione

Poiché ( deg(2x−3)

[ dfrac{2x−3}{x(x^2+1)}=dfrac{Ax+B}{x^2+1}+dfrac{C}{x}. onumber]

Dopo aver ottenuto un denominatore comune ed eguagliando i numeratori, otteniamo l'equazione

[ 2x−3=(Ax+B)x+C(x^2+1). onnumero]

Risolvendo per ( A,B,) e ( C,) otteniamo ( A=3, B=2,) e ( C=−3.)

Così,

[ dfrac{2x−3}{x^3+x}=dfrac{3x+2}{x^2+1}-dfrac{3}{x}. onumber]

Sostituendo nell'integrale si ottiene we

[ egin{align*} int dfrac{2x−3}{x^3+x},dx &=int left(dfrac{3x+2}{x^2+1}- dfrac{3}{x} ight),dx onumber [4pt]
&=3int dfrac{x}{x^2+1},dx+2int dfrac{1}{x^2+1},dx-3int dfrac{1}{x },dx & & ext{Dividi l'integrale} [4pt]
&=dfrac{3}{2}ln ∣x^2+1∣+2 an^{−1}x−3ln |x|+C. & & ext{Valuta ogni integrale} end{align*}]

Nota: possiamo riscrivere ( ln ∣x^2+1∣=ln (x^2+1)), se lo desideriamo, poiché ( x^2+1>0.)

Esempio ( PageIndex{7}): Frazioni parziali con un fattore quadratico irriducibile

Valuta (displaystyle int dfrac{,dx}{x^3-8}.)

Soluzione: possiamo iniziare fattorizzando ( x^3−8=(x−2)(x^2+2x+4).) Vediamo che il fattore quadratico ( x^2+2x+4) è irriducibile poiché ( 2^2−4(1)(4)=−12<0.) Usando la scomposizione descritta nella strategia di problem solving, si ottiene

[ dfrac{1}{(x-2)(x^2+2x+4)}=dfrac{A}{x-2}+dfrac{Bx+C}{x^2+2x+4 }. essun numero]

Dopo aver ottenuto un denominatore comune ed eguagliando i numeratori, questo diventa

[ 1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2). essun numero]

Applicando uno dei due metodi, otteniamo ( A=dfrac{1}{12},B=-dfrac{1}{12},) e ( C=-dfrac{1}{3}.)

Riscrivendo ( int dfrac{,dx}{x^3−8},) abbiamo

[ int dfrac{,dx}{x^3-8}=dfrac{1}{12}int dfrac{1}{x-2},dx-dfrac{1}{12 }int dfrac{x+4}{x^2+2x+4},dx. essun numero]

Possiamo vederlo

[ int dfrac{1}{x-2},dx=ln |x-2|+C, onnumero]

ma

[ int dfrac{x+4}{x^2+2x+4},dx onnumero]

richiede un po' più di impegno. Cominciamo da completando il quadrato su ( x^2+2x+4) per ottenere

[ x^2+2x+4=(x+1)^2+3. essun numero]

Lasciando ( u=x+1) e di conseguenza ( du=,dx,) vediamo che

[ egin{align*} int dfrac{x+4}{x^2+2x+4},dx &=int dfrac{x+4}{(x+1)^2+3 },dx & & ext{Completa il quadrato al denominatore} [4pt]
&=int dfrac{u+3}{u^2+3},du & & ext{Sostituisci }u=x+1,,x=u−1, ext{ e } du=dx [4pt]
&=int dfrac{u}{u^2+3}du+int dfrac{3}{u^2+3}du & & ext{Separa il numeratore} [4pt]
&=dfrac{1}{2}ln ∣u^2+3∣+dfrac{3}{sqrt{3}} an^{−1}dfrac{u}{sqrt{3} }+C & & ext{Valuta ogni integrale} [4pt]
&=dfrac{1}{2}ln ∣x^2+2x+4∣+sqrt{3} an^{−1}left(dfrac{x+1}{sqrt{3} } ight)+C & & ext{Riscrivi in ​​termini di }x ext{ e semplifica} end{align*}]

Sostituendo di nuovo nell'integrale originale e semplificando dà

[ int dfrac{ ,dx}{x^3-8}=dfrac{1}{12}ln |x-2|-dfrac{1}{24}ln |x^2+ 2x+4|-dfrac{sqrt{3}}{12} an^{−1}left(dfrac{x+1}{sqrt{3}} ight)+C. essun numero]

Anche in questo caso, se lo desideriamo, possiamo eliminare il valore assoluto, poiché ( x^2+2x+4>0) per tutti ( x).

Esempio ( PageIndex{8}): Trovare un volume

Trova il volume del solido di rivoluzione ottenuto ruotando la regione racchiusa dal grafico di ( f(x)=dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}) e il X-asse sull'intervallo ( [0,1]) circa il -asse.

Soluzione

Iniziamo disegnando la regione da ruotare (vedi Figura (PageIndex{1})). Dallo schizzo, vediamo che il metodo shell è una buona scelta per risolvere questo problema.

Il volume è dato da

[ V=2πint ^1_0x⋅dfrac{x^2}{(x^2+1)^2},dx=2πint ^1_0dfrac{x^3}{(x^2+ 1)^2},dx. essun numero]

Poiché ( deg((x^2+1)^2)=4>3=deg(x^3),) possiamo procedere con la scomposizione parziale di frazioni. Nota che ( (x^2+1)^2) è un quadratico irriducibile ripetuto. Usando la scomposizione descritta nella strategia di risoluzione dei problemi, otteniamo

[ dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}=dfrac{Ax+B}{x^2+1}+dfrac{Cx+D}{(x^2+1 )^2}. essun numero]

Trovare un denominatore comune ed eguagliare i numeratori dà

[ x^3=(Ax+B)(x^2+1)+Cx+D. essun numero]

Risolvendo, otteniamo ( A=1, B=0, C=−1,) e ( D=0.) Sostituendo di nuovo nell'integrale, abbiamo

[ V=2πint _0^1dfrac{x^3}{(x^2+1)^2},dx=2πint _0^1left(dfrac{x}{x^2 +1}-dfrac{x}{(x^2+1)^2} ight),dx=2πleft(dfrac{1}{2}ln (x^2+1)+ dfrac{1}{2}⋅dfrac{1}{x^2+1} ight)Big|^1_0=πleft(ln 2− frac{1}{2} ight). essun numero]

Esercizio (PageIndex{4})

Imposta la scomposizione della frazione parziale per [ int dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x-3)^2(x^2+4)^2},dx. essun numero]

Suggerimento

Usa la strategia di risoluzione dei problemi.

Risposta

[ dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x-3)^2(x^2+4)^2}=dfrac{A}{x+2}+dfrac {B}{x-3}+dfrac{C}{(x-3)^2}+dfrac{Dx+E}{x^2+4}+dfrac{Fx+G}{(x^ 2+4)^2} onnumero]

Concetti chiave

  • La scomposizione parziale della frazione è una tecnica utilizzata per scomporre una funzione razionale in una somma di semplici funzioni razionali che possono essere integrate utilizzando tecniche apprese in precedenza.
  • Quando si applica la scomposizione parziale della frazione, dobbiamo assicurarci che il grado del numeratore sia inferiore al grado del denominatore. In caso contrario, dobbiamo eseguire una divisione lunga prima di tentare la scomposizione parziale della frazione.
  • La forma che assume la scomposizione dipende dal tipo di fattori nel denominatore. I tipi di fattori includono fattori lineari non ripetuti, fattori lineari ripetuti, fattori quadratici irriducibili non ripetuti e fattori quadratici irriducibili ripetuti.

Glossario

decomposizione parziale della frazione
una tecnica utilizzata per scomporre una funzione razionale nella somma di semplici funzioni razionali

Contributori e Attribuzioni

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con molti autori che contribuiscono. Questo contenuto di OpenStax è concesso in licenza con una licenza CC-BY-SA-NC 4.0. Scaricalo gratuitamente su http://cnx.org.


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