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12.6E: Esercizi - Matematica


La pratica rende perfetti

Esercizio (PageIndex{17}) Risolvi equazioni logaritmiche usando le proprietà dei logaritmi

Negli esercizi seguenti, risolvi per (x).

  1. (log _{4} 64=2 log _{4} x)
  2. (log 49=2 log x)
  3. (3 log _{3} x=log _{3} 27)
  4. (3 log _{6} x=log _{6} 64)
  5. (log _{5}(4 x-2)=log _{5} 10)
  6. (log _{3}left(x^{2}+3 ight)=log _{3} 4 x)
  7. (log _{3} x+log _{3} x=2)
  8. (log _{4} x+log _{4} x=3)
  9. (log _{2} x+log _{2}(x-3)=2)
  10. (log _{3} x+log _{3}(x+6)=3)
  11. (log x+log (x+3)=1)
  12. (log x+log (x-15)=2)
  13. (log (x+4)-log (5 x+12)=-log x)
  14. (log (x-1)-log (x+3)=log frac{1}{x})
  15. (log _{5}(x+3)+log _{5}(x-6)=log _{5} 10)
  16. (log _{5}(x+1)+log _{5}(x-5)=log _{5} 7)
  17. (log _{3}(2 x-1)=log _{3}(x+3)+log _{3} 3)
  18. (log (5 x+1)=log (x+3)+log 2)
Risposta

2. (x=7)

4. (x=4)

6. (x=1, x=3)

8. (x=8)

10. (x=3)

12. (x=20)

14. (x=3)

16. (x=6)

18. (x=frac{5}{3})

Esercizio (PageIndex{18}) Risolvi equazioni esponenziali usando i logaritmi

Negli esercizi seguenti, risolvi ciascuna equazione esponenziale. Trova la risposta esatta e poi approssimala a tre cifre decimali.

  1. (3^{x}=89)
  2. (2^{x}=74)
  3. (5^{x}=110)
  4. (4^{x}=112)
  5. (e^{x}=16)
  6. (e^{x}=8)
  7. (left(frac{1}{2} ight)^{x}=6)
  8. (left(frac{1}{3} ight)^{x}=8)
  9. (4 e^{x+1}=16)
  10. (3 e^{x+2}=9)
  11. (6 e^{2 x}=24)
  12. (2 e^{3 x}=32)
  13. (frac{1}{4} e^{x}=3)
  14. (frac{1}{3} e^{x}=2)
  15. (e^{x+1}+2=16)
  16. (e^{x-1}+4=12)
Risposta

2. (x=frac{log 74}{log 2} circa 6.209)

4. (x=frac{log 112}{log 4} circa 3.404)

6. (x=ln 8 circa 2.079)

8. (x=frac{log 8}{log frac{1}{3}} circa-1.893)

10. (x=ln 3-2 circa-0.901)

12. (x=frac{ln 16}{3} circa 0,924)

14. (x=ln 6 circa 1,792)

16. (x=ln 8+1 circa 3.079)

Esercizio (PageIndex{19}) Risolvi equazioni esponenziali usando i logaritmi

Negli esercizi seguenti, risolvi ciascuna equazione.

  1. (3^{3 x+1}=81)
  2. (6^{4 x-17}=216)
  3. (frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x})
  4. (frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20})
  5. (log _{a} 64=2)
  6. (log _{a} 81=4)
  7. (ln x=-8)
  8. (ln x=9)
  9. (log _{5}(3 x-8)=2)
  10. (log _{4}(7 x+15)=3)
  11. (ln e^{5 x}=30)
  12. (ln e^{6 x}=18)
  13. (3 log x=log 125)
  14. (7 log _{3} x=log _{3} 128)
  15. (log _{6} x+log _{6}(x-5)=log _{6} 24)
  16. (log _{9} x+log _{9}(x-4)=log _{9} 12)
  17. (log _{2}(x+2)-log _{2}(2 x+9)=-log _{2} x)
  18. (log _{6}(x+1)-log _{6}(4 x+10)=log _{6} frac{1}{x})
Risposta

2. (x=5)

4. (x=-4, x=5)

6. (a=3)

8. (x=e^{9})

10. (x=7)

12. (x=3)

14. (x=2)

16. (x=5)

Esercizio (PageIndex{20}) Risolvi equazioni esponenziali usando i logaritmi

Negli esercizi seguenti, risolvi per (x), fornendo una risposta esatta e un'approssimazione a tre cifre decimali.

  1. (6^{x}=91)
  2. (left(frac{1}{2} ight)^{x}=10)
  3. (7 e^{x-3}=35)
  4. (8 e^{x+5}=56)
Risposta

2. (x=frac{log 10}{log frac{1}{2}} circa-3.322)

4. (x=ln 7-5 circa-3.054)

Esercizio (PageIndex{21}) Usa modelli esponenziali nelle applicazioni

Nei seguenti esercizi, risolvi.

  1. Sung Lee investe $(5.000) all'età di (18). Spera che gli investimenti varranno $(10.000) quando compirà (25). Se l'interesse si accumula continuamente, approssimativamente di quale tasso di crescita avrà bisogno per raggiungere il suo obiettivo? È un'aspettativa ragionevole?
  2. Alice investe $(15.000) all'età di (30) dal bonus alla firma del suo nuovo lavoro. Spera che gli investimenti varranno $(30,000) quando compirà (40). Se l'interesse si accumula continuamente, approssimativamente di quale tasso di crescita avrà bisogno per raggiungere il suo obiettivo?
  3. Coralee investe $(5.000) in un conto che somma gli interessi mensilmente e guadagna il (7)%. Quanto tempo impiegherà i suoi soldi a raddoppiare?
  4. Simone investe $(8.000) in un conto che compone gli interessi trimestralmente e guadagna il (5)%. Quanto tempo impiegherà i suoi soldi a raddoppiare?
  5. I ricercatori hanno registrato che una certa popolazione di batteri è diminuita da (100.000) a (100) in (24) ore. A questo tasso di decadimento, quanti batteri ci saranno in (16) ore?
  6. I ricercatori hanno registrato che una certa popolazione di batteri è diminuita da (800.000) a (500.000) in (6) ore dopo la somministrazione del farmaco. A questo tasso di decadimento, quanti batteri ci saranno in (24) ore?
  7. Un virus impiega (6) giorni per raddoppiare la sua popolazione originale (left(A=2 A_{0} ight)). Quanto tempo ci vorrà per triplicare la sua popolazione?
  8. Un batterio raddoppia la sua popolazione originale in (24) ore (left(A=2 A_{0} ight)). Quanto sarà grande la sua popolazione tra (72) ore?
  9. Il carbonio-14 è utilizzato per la datazione archeologica al carbonio. La sua emivita è di (5.730) anni. Quanto di un campione di (100) grammi di carbonio-14 rimarrà in (1000) anni?
  10. Il tecnezio radioattivo-99m viene spesso utilizzato nella medicina diagnostica in quanto ha un'emivita relativamente breve ma dura abbastanza a lungo per eseguire i test necessari sul paziente. Se la sua emivita è di (6) ore, quanto materiale radioattivo forma un'iniezione di (0,5) ml sarà nel corpo in (24) ore?
Risposta

2. (6.9)%

4. (13,9) anni

6. (122.070) batteri

8. (8) volte più grande della popolazione originale

10. (0.03) ml

Esercizio (PageIndex{22}) Esercizi di scrittura

  1. Spiega il metodo che useresti per risolvere queste equazioni: (3^{x+1}=81), (3^{x+1}=75). Il tuo metodo richiede logaritmi per entrambe le equazioni? Perché o perché no?
  2. Qual è la differenza tra l'equazione per la crescita esponenziale e l'equazione per il decadimento esponenziale?
Risposta

2. Le risposte possono variare.

Autocontrollo

un. Dopo aver completato gli esercizi, usa questa lista di controllo per valutare la tua padronanza degli obiettivi di questa sezione.

b. Dopo aver esaminato la lista di controllo, pensi di essere ben preparato per la prossima sezione? Perché o perché no?