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9: Calcolo vettoriale - Matematica


Gli uragani sono enormi tempeste che possono produrre enormi quantità di danni alla vita e alle proprietà, specialmente quando raggiungono la terraferma. Gli scienziati si affidano agli studi sui campi vettoriali rotazionali per le loro previsioni.

In questo capitolo impareremo a modellare nuovi tipi di integrali su campi come campi magnetici, campi gravitazionali o campi di velocità. Impariamo anche come calcolare il lavoro svolto su una particella carica che viaggia attraverso un campo magnetico, il lavoro svolto su una particella con massa che viaggia attraverso un campo gravitazionale e il volume per unità di tempo dell'acqua che scorre attraverso una rete caduta in un fiume.

Tutte queste applicazioni si basano sul concetto di campo vettoriale, che esploreremo in questo capitolo. I campi vettoriali hanno molte applicazioni perché possono essere usati per modellare campi reali come i campi elettromagnetici o gravitazionali. Una profonda comprensione della fisica o dell'ingegneria è impossibile senza una comprensione dei campi vettoriali. Inoltre, i campi vettoriali hanno proprietà matematiche che meritano di essere studiate a pieno titolo. In particolare, i campi vettoriali possono essere utilizzati per sviluppare diverse versioni a più dimensioni del Teorema Fondamentale del Calcolo.

Contributori

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con molti autori che contribuiscono. Questo contenuto di OpenStax è concesso in licenza con una licenza CC-BY-SA-NC 4.0. Scaricalo gratuitamente su http://cnx.org.


Matematica di ingegneria avanzata, terza edizione

Sommario
Parte I Equazioni differenziali ordinarie
1 Introduzione alle equazioni differenziali 1
2 equazioni differenziali del primo ordine 22
3 equazioni differenziali di ordine superiore 99
4 La trasformazione di Laplace 198
Soluzioni in serie 5 di equazioni differenziali lineari 252
6 soluzioni numeriche di equazioni differenziali ordinarie 317
Parte II Vettori, matrici e calcolo vettoriale
7 Vettori 339
8 Matrici 373
9 Calcolo vettoriale 438
Parte III Sistemi di equazioni differenziali
10 Sistemi di equazioni differenziali lineari 551
11 Sistemi di equazioni differenziali non lineari 604
Parte IV Serie di Fourier ed equazioni differenziali parziali
12 funzioni ortogonali e serie di Fourier 634
13 problemi al contorno in coordinate rettangolari 680
14 Problemi ai limiti in altri sistemi di coordinate 755
15 Metodo di trasformazione integrale 793
16 Soluzioni numeriche di equazioni differenziali parziali 832
Parte V Analisi complessa
17 Funzioni di una variabile complessa 854
18 Integrazione nel Piano Complesso 877
Serie 19 e residui 896
20 mappature conformi 919
Appendici
Appendice II Funzione gamma 942
Progetti
3.7 Miraggi stradali 944
3.10 Il pendolo balistico 946
8.1 Due porte nei circuiti elettrici 947
8.2 Flusso di traffico 948
8.15 Dipendenza dalla temperatura della resistività 949
9.16 Superfici minime 950
14.3 L'atomo di idrogeno 952
15.4 La disuguaglianza dell'incertezza nell'elaborazione del segnale 955
15.4 Diffrazione di Fraunhofer da un'apertura circolare 958
16.2 Instabilità dei metodi numerici 960

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Algebra lineare. Calcolo vettoriale

matrici e vettori, che stanno alla base algebra lineare (Cap. 7 e 8), ci permettono di rappresentare numeri o funzioni in forma ordinata e compatta. Le matrici possono contenere enormi quantità di dati, ad esempio una rete di milioni di connessioni di computer o di telefoni cellulari, in una forma che può essere elaborata rapidamente dai computer. Il tema principale del cap. 7 è come risolvere sistemi di equazioni lineari usando le matrici. I concetti di rango, base, trasformazioni lineari e spazi vettoriali sono strettamente correlati. Il capitolo 8 tratta dei problemi agli autovalori. L'algebra lineare è un campo attivo che ha molte applicazioni in fisica ingegneristica, numerica (vedi capp. 20-22), economia e altri.

I capitoli 9 e 10 estendono il calcolo a calcolo vettoriale. Iniziamo con i vettori dell'algebra lineare e sviluppiamo il calcolo differenziale vettoriale. Differenziamo funzioni di diverse variabili e discutiamo di operazioni differenziali vettoriali come grad, div e curl. Il Capitolo 10 estende l'integrazione regolare all'integrazione su curve, superfici e solidi, ottenendo così nuovi tipi di integrali. Gli ingegnosi teoremi di Gauss, Green e Stokes ci permettono di .

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Capitolo 9: Calcolo differenziale vettoriale - Presentazione PPT PowerPoint

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CAPITOLO 9 Calcolo vettoriale - Presentazione PPT PowerPoint

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9: Calcolo vettoriale - Matematica

Titolo del corso: Fondamenti di matematica (4 CFU)

Insiemi e loro rappresentazioni, Insiemi vuoti, Insiemi finiti e infiniti, Insiemi uguali ed equivalenti, Sottoinsiemi, Insieme di potenze, Insieme universale, Diagrammi di Venn, Complemento di un insieme, Operazioni sugli insiemi, Applicazioni degli insiemi, Prodotto cartesiano di insiemi.

Limiti e continuità dell'Unità-2

Il sistema dei numeri reali, il concetto di limite, il concetto di continuità

Unità-3 Calcolo differenziale-I

Differenziazione delle potenze di x, Differenziazione di ex e log x, Differenziazione di funzioni trigonometriche, Regole per la ricerca di derivate, Diversi tipi di differenziazione, Differenziazione logaritmica, Differenziazione per sostituzione, Differenziazione di funzioni implicite, Differenziazione da equazione parametrica, Differenziazione da principi primi.

Unità-4 Calcolo differenziale-II

Differenziazione successiva, Teorema di Leibnitz (senza dimostrazione), Teorema di Lagrange, Teorema del valore medio di Cauchy, Teorema di Taylor (senza dimostrazione), Asintoti.

Unità-5 Calcolo integrale-I

Integrazione di funzioni standard, Regole di integrazione, Più formule nell'integrazione, Integrali definiti

Unità-6 Calcolo integrale-II

Formule di riduzione delle funzioni trigonometriche, Proprietà dell'integrale definito, Applicazioni a lunghezza, area, volume, superficie di rivoluzione, definizione di integrali impropri, funzioni Beta-Gamma.

Unità-7 Calcolo di funzioni di più variabili

Derivate parziali, Regola della Catena, Differenziazione di funzioni implicite, Differenziali esatti, Massimi, Minimi e punti di sella, metodi dei moltiplicatori di Lagrange. Differenziale sotto segno di Integrale, Jacobiani e trasformazioni di coordinate, Integrali doppi e tripli Semplici applicazioni ad aree, volumi ecc

Unità-8 Calcolo vettoriale-I

Algebra vettoriale: definizione di un vettore, addizione e sottrazione, componenti, esempi fisici

Unità-9 Calcolo vettoriale-II

Prodotti vettoriali: prodotti scalari e vettoriali con una breve introduzione a determinanti, prodotti tripli, applicazioni geometriche. Differenziazione e integrazione di funzioni vettoriali Serret - Formule di Frenet.

Unità-10 Calcolo vettoriale-III

Analisi vettoriale: Campi scalari e vettoriali, Curve, lunghezza d'arco, tangente, Normale, derivate direzionali, Gradiente di campo scalare, divergenza e curvatura di campo vettoriale, integrale di linea (percorso indipendente)

Unità-11 Calcolo vettoriale-IV

Teorema di Green, teorema della divergenza e teorema della corsa, (senza dimostrazione) con esempi fisici, integrali di superficie.

Trasformazione elementare di riga e colonna, dipendenza lineare, rango di una matrice, consistenza di sistemi di equazioni lineari, soluzione di sistemi di equazioni lineari, equazioni caratteristiche, teorema di Cayley Hamilton, autovalori e autovettori, diagonalizzazione, matrici complesse

Unità-13 Variabili complesse

Curve e Regioni nel Piano complesso, Funzioni complesse, Limiti, Derivate, Funzione analitica, Equazioni di Cauchy-Riemann, Equazione di Laplace, Integrale di linea complessa, Teorema dell'integrale di Cauchy, Formula integrale di Cauchy, Serie di potenze, Serie di Taylor, Serie di Laurent Metodi per ottenere zeri, singolarità, residui, teorema dei residui.

Unità-14 Logiche Matematiche

Affermazioni, connettivi logici di base, congiunzione, disgiunzione, negazione, negazione di enunciati composti, tavole di verità, tautologie, equivalenze logiche, applicazioni.


Calcolo vettoriale: AMAT 3202, FALL 2008

Funzioni di più variabili, moltiplicatori di Lagrange, funzioni a valori vettoriali, derivate direzionali, gradiente, divergenza, curl, trasformazioni, jacobiani, teoremi di funzione inversa e implicita, integrazione multipla incluso cambio di variabili mediante coordinate polari, cilindriche e sferiche, teorema di Green, Teorema di Stoke, teorema della divergenza, integrali di linea, lunghezza d'arco.

Matematica 2000 e 2050

Ci si aspetta che gli studenti siano in grado di apprendere vari strumenti di calcolo vettoriale.

Schema del corso

  • Curve definite da equazioni parametriche
  • Funzioni vettoriali e curve spaziali
  • Derivate e integrali di funzioni vettoriali
  • Lunghezza dell'arco e curvatura
  • Moto nello spazio: velocità e accelerazione
    10.1
    13.1
    13.2
    13.3
    13.4
    12.6,14.1
    14.3
    14.4
    14.6
    14.8
  • Integrale doppio su regione generale
  • Integrale doppio in coordinate polari
  • Applicazioni di integrali doppi
  • Integrali tripli
  • Cambio di variabili in integrali multipli
    15.3
    15.4
    15.5
    15.6-15.8
    15.9
  • Campi vettoriali
  • integrali di linea
  • Il teorema fondamentale degli integrali di linea
  • Teorema di Green
  • Ricciolo e divergenza
  • Superfici parametriche e loro aree
  • Integrali di superficie
  • Teorema di Stoke
  • Teorema della divergenza
    16.1
    16.2
    16.3
    16.4
    16.5
    16.6
    16.7
    16.8
    16.9

Calcolo: Primi Trascendentali (6E) di Stewart, J., Thomson Brooks/Coles


Descrizioni dei corsi curriculari universitari

MATH 121 Matematica di base I (4-0)4 ECTS:4
Numeri reali, cerchi, parabole, funzioni e loro grafici, funzioni trigonometriche e loro inversi, definizione precisa di un limite, limiti unilaterali, limiti infiniti e asintoti verticali, continuità, derivata, regole di derivazione derivate di funzioni trigonometriche, regola della catena e parametriche, Differenziazione implicita, Valori estremi delle funzioni, Teorema del valore medio, Funzioni monotone e test della prima derivata, Concavità e disegno di curve, Problemi di ottimizzazione, Forme indeterminate e Regola di L’Hopital, L'integrale definito, Il teorema fondamentale di Calcolo, Integrali Indefiniti e Regola di Sostituzione, Area tra Curve.

MATH 131 Fondamenti di matematica I (3-0)3 ECTS:7
Logica simbolica. Insiemistica. Prodotto cartesiano. Relazioni. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Composizione delle funzioni. Maggiori informazioni sulle relazioni: Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e partizioni. Quoziente impostato. Relazioni d'ordine: ordine parziale, ordine totale, buon ordinamento. Induzione matematica e definizioni ricorsive di funzioni. Assioma della scelta e suoi equivalenti.

MATH 132 Fondamenti di matematica II (3-0)3 ECTS:6
Cardinalità. Insiemi equinumeri. Insiemi finiti. Insiemi numerabili. Insiemi non numerabili. Numeri cardinali. Spazi metrici. Sottoinsiemi aperti e chiusi. Chiusura e interni. Convergenza di successioni. Spazi completi. Funzioni continue. Spazi compatti. Compattezza in Rn. Spazi connessi e percorsi connessi.

MATH 141 Calcolo di base I (3-2)4 ECTS:5
Funzioni. Limiti e continuità. Derivati. Applicazioni dei derivati ​​Teorema del valore medio, Teorema del valore intermedio. Integrazione. Applicazioni di volumi integrali per affettatura, aree superficiali e lunghezze d'arco. Funzioni trascendentali. Tecniche di Integrazione Regola di Sostituzione, Integrali Trigonometrici, Integrazione per Parti.

MATH 142 Basic Calculus II (3-2)4 ECTS:6
La regola dell'Hopital. Test degli integrali impropri per la convergenza. Sequenze e serie infinite Test di convergenza. Coordinate polari. Funzioni multivariabili e loro derivate Limiti, derivata direzionale, vettore gradiente. Integrale doppio, Integrale doppio in coordinate polari.

MATH 144 Matematica Finita (3-0)3 ECTS:5
Sistemi lineari di equazioni, Operazioni elementari su un sistema lineare, Metodo di eliminazione di Gauss, Matrici, Operazioni elementari su una matrice, Moltiplicazione di matrici, Trasposizione, Rango, Matrici elementari, Inversa di una matrice, Scomposizione LU di una matrice, Determinanti, Proprietà del determinante, regola di Cramer, autovalori e autovettori, teorema e applicazioni di Cayley-Hamilton, combinazione lineare di vettori, sottospazi, indipendenza e base lineare, teorema delle basi, programmazione lineare, approccio geometrico ai problemi di programmazione lineare, principio di dualità, metodo del simplesso con vincoli misti, grafici, modellazione e applicazioni di grafici, percorsi, cicli e alberi, sottografi. Operazioni su grafi, isomorfismo su grafi.

MATH 145 Calcolo per l'ingegneria e la scienza I (4-2) 5 ECTS: 7
Funzioni preliminari. Limiti e continuità. Differenziazione. Applicazioni delle derivate Valori estremi delle funzioni, teorema del valor medio, funzioni monotone e test della prima derivata, concavità e abbozzo di curve, problemi di ottimizzazione, forme indeterminate e regola di L'Hopital, antiderivate. Stima dell'integrazione con somme finite, l'integrale definito, il teorema fondamentale del calcolo, la regola di sostituzione. Applicazioni degli integrali definiti. Funzioni trascendentali. Tecniche di integrazione. Sezioni coniche e coordinate polari.

MATH 146 Calcolo per l'ingegneria e la scienza II (4-2) 5 ECTS: 8
Sequenze e serie infinite, serie di potenze, serie di Taylor e Maclaurin. Vettori e geometria dello spazio il prodotto scalare, il prodotto vettoriale, linee e piani nello spazio, cilindri e superfici quadriche. Funzioni a valori vettoriali e moto nello spazio. Funzioni di derivate parziali di più variabili, limiti e continuità in dimensioni superiori, derivate direzionali e vettori gradiente, valori estremi e punti di sella, moltiplicatori di Lagrange. Integrali multipli integrali doppi, integrali doppi in forma polare, integrali tripli in coordinate rettangolari, cilindriche e sferiche, sostituzioni in integrali multipli. Integrazione in campi vettoriali integrali di linea, campi vettoriali, indipendenza dal percorso, teorema di Green, area superficiale e integrali di superficie, teorema di Stokes, teorema della divergenza.

MATH 151 Calcolo I (4-2) 5 ECTS: 8
Funzioni, limite e derivata di una funzione di una singola variabile, Una trattazione approfondita dei teoremi di base del calcolo differenziale: valore intermedio, valore estremo e teoremi del valore medio, applicazioni: rappresentazione grafica e problemi di estremi.

MATH 152 Calcolo II (4-2) 5 ECTS: 7
L'integrale di Riemann, Teorema del valore medio per integrali, Teorema fondamentale del calcolo, Tecniche per valutare l'antiderivata, famiglie, varie applicazioni geometriche e fisiche. Successioni, integrali impropri, serie infinite di costanti, serie di potenze e serie di Taylor con applicazioni.

MATH 202 Informatica scientifica (2-2) 3 ECTS: 6
Introduzione al calcolo scientifico, visualizzazione dei dati, calcolo simbolico, sistemi lineari, interpolazione e adattamento di curve, differenziazione e integrazione numerica, equazione differenziale ordinaria.

MATH 240 Meccanica Analitica (3-0)3 ECTS:5
Le equazioni del moto. Coordinate generalizzate. Il principio di minima azione. Principio di relatività. La Lagrangiana per una particella libera. Leggi di conservazione. Energia. Quantità di moto. Centro di massa. Momento angolare. Integrazione delle equazioni del moto. Movimento in una dimensione. La massa ridotta. Moto in un campo centrale. Piccole oscillazioni. Oscillazioni libere in una dimensione. Oscillazioni forzate. Oscillazioni smorzate. Moto di un corpo rigido. Velocità angolare. Il tensore di inerzia. Momento angolare di un corpo rigido. angoli euleriani. Equazioni di Eulero. Le equazioni canoniche. Equazioni di Hamilton. Il Routhiano. Parentesi di veleno. L'azione. Trasformazioni canoniche. Teorema di Liouville. L'equazione di Hamilton-Jacobi.

MATH 251 Analisi vettoriale (3-2)4 ECTS:9
Calcolo Differenziale Vettoriale: Curve in Forma Parametrica-tangente, norma, parametro di lunghezza d'arco. Campi. Pendenza. Derivata Direzionale. Divergenza. Arricciare. . Calcolo Integrale Vettoriale: Integrali di Linea. Massa, Lavoro, Flusso, Circolazione. Integrali di linea indipendenti dal percorso. Campi conservativi e potenziali. Superfici e superficie. Metrica sulla superficie. Integrali di superficie. Teoremi Fondamentali del Calcolo Vettoriale: Teorema di Green. Teorema di Stokes. Teorema di Gauss (divergenza).

MATH 252 Analisi (4-0)4 ECTS:6
Funzioni continue. Continuità uniforme. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Teorema di Bolzano-Wieirstrass. Integrabilità Riemann. Funzioni di più variabili. Limiti e continuità. Derivate di funzioni composite. Matrice Jacobiana. Funzioni implicite e teoremi delle funzioni implicite. Massimi e minimi di funzioni di più variabili. Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange. Costruzione della misura lebesca. Misura gli spazi. Funzioni misurabili. Funzioni semplici Integrazione. Confronto con l'integrale di Riemann.

MATH 255 Equazioni differenziali (4-0)4 ECTS:6
Equazioni del primo ordine e varie applicazioni. Equazioni lineari del secondo ordine. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore. Soluzioni in serie di potenze: punti singolari ordinari e regolari. La trasformata di Laplace: soluzione di problemi ai valori iniziali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: soluzioni per metodo degli operatori, per trasformata di Laplace. Serie di Fourier e problemi ai limiti.

MATH 261 Algebra lineare I (4-0)4 ECTS:8
Matrici. Operazioni elementari di riga. Sistemi di equazioni lineari. Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Matrici quadrate. Determinanti. Matrici Invertibili. Spazi vettoriali. Sottospazi. Indipendenza lineare. Base e dimensione. Trasformazioni lineari. Algebra delle trasformazioni lineari. Isomorfismo. Rappresentazione delle trasformazioni lineari per matrici. Funzionali lineari. Algebra dei Polinomi. Interpolazione di Lagrange. Fattorizzazione primi di polinomi.

MATH 262 Algebra lineare II (4-0)4 ECTS:6
Autovalori e Autovettori di Operatori Lineari (matrici). Polinomi caratteristici e minimi. Diagonalizzazione delle matrici. Forma triangolare di un operatore lineare. Teorema di Cayley-Hamilton. Decomposizione in somma diretta. Sottospazi invarianti. Il teorema di decomposizione primaria. Giordania Forma Normale. Spazi interni del prodotto. Funzionali lineari. Aggiunto di una matrice. Operatori autoaggiunti, unitari e normali. Proiezioni ortogonali. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti, unitari e normali. Forme bilineari e quadratiche.

MATH 265 Algebra lineare di base (3-0)3 ECTS:4
Matrici, determinanti e sistemi di equazioni lineari. Eliminazione gaussiana. Decomposizione LU. Sottospazi di spazi vettoriali, somma e somma diretta di sottospazi. Dipendenza lineare, basi, dimensione. rango e nullità, cambio di base, forme canoniche, prodotto interno, processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, decomposizione QR. Autovalori, autovettori, diagonalizzazione, similarità. Forme quadratiche. Spazi vettoriali complessi, autovalori complessi, matrici unitarie ed hermitane. Minimi quadrati.

MATH 301 Sistemi Dinamici (3-0)3 ECTS:6
Oscillatori armonici. Campi di forza conservativi. Campi di forza centrali. Sistemi lineari a coefficienti costanti ed autovalori reali e complessi. Esponenziali degli operatori. Forme canoniche di operatori. Pozzi e sorgenti. Flussi iperbolici. Il teorema fondamentale. Esistenza e unicità. Continuità delle soluzioni. Stabilità. Funzioni di Liapunov. Sistemi di gradiente. Il teorema di Poincaré-Bendixson. Attrattori periodici. Meccanica classica.

MATH 303 Storia dei concetti matematici I (3-0)3 ECTS:6
Origini del numero e della geometria. Egitto e Mesopotamia. Ionia e Pitagorici. L'età eroica. Paradossi di Zenone. L'età di Platone e Aristotele. Euclide di Alessandria. Elementi. Archimede. Apollonio di Perga. Le Coniche. L'Aritmetica di Diofanto. Cina e India. Ramanujan. Algebra e arabi. L'Europa nel Medioevo. Soluzione di un'equazione qubic.

MATH 304 Storia dei concetti matematici II (3-0)3 ECTS:6
Il Rinascimento. Cardano. Soluzione dell'equazione qubic. Numeri complessi. Invenzione dei logaritmi. Fermat e Cartesio. Geometria analitica. Teoria dei numeri. Probabilità. Il concetto di limite Newton e Leibnitz. I Principi. Probabilità e serie infinite. Sviluppo del calcolo. Età di Eulero. D'Alembert. Lagrange. Monge. Lapà. Gauss e Cauchy. Geometria non euclidea. Lobachevskij. Abele, Jacobi, Galois. Geometria proiettiva. geometria riemanniana. Felix Klein. Analisi. Riemann. Fisica matematica. Algebra britannica. Geometria algebrica. Poincaré e Hilbert. Topologia. Aspetto del Novecento.

MATH 307 Introduzione alla teoria dei grafi (3-0)3 ECTS:6
Terminologia dei grafi matrici di adacia e incidenza isomorfismo lemma di stretta di mano diametro grafi regolari abbinamenti grafi planari numero cromatico cicli hamiltoniani insiemi stabili e cricche Eulero tour connettività e componenti

MATH 308 Introduzione alla Combinatoria (3-0)3 ECTS:6
Metodi e tecniche di conteggio principio della casella funzioni generatrici somma e prodotto lemmi serie di potenze formali teorema binomiale relazioni di ricorrenza e loro soluzioni stringhe binarie partizioni intere

MATH 311 Teoria dei codici (3-0)3 ECTS:6
Generatore di definizioni fondamentali e matrici di controllo di parità decodifica della sindrome di codici BCH e ciclici Codici Read-Solomon

MATH 312 Matematica computazionale e algoritmi (2-2)3 ECTS:6
Algoritmi su interi algoritmi polinomiali Fast Fourier Transform, test di primalità e algoritmi di fattorizzazione interi su matrici algoritmi geometrici algoritmi grafici

MATH 333 Introduzione alla modellazione matematica (3-0)3 ECTS:6
Modellazione con sistemi dinamici discreti. Il processo di modellazione, proporzionalità e similarità geometrica. Adattamento del modello. Modellazione sperimentale. Modellazione simulativa. Modelli di probabilità discreti. Modellazione di ottimizzazione discreta, programmazione lineare e metodi di ricerca numerica. Analisi dimensionale e similitudine. Grafici di funzioni come modelli. Modellazione con sistemi di equazioni differenziali. Modellazione di ottimizzazione continua. Progetto.

MATH 341 Stage di matematica avanzata (0-6)3 ECTS:6
Si tratta di un corso tecnico di matematica facoltativo durante il quale lo studente svolge attività di ricerca presso un laboratorio di ricerca industriale o presso un'università. Il consenso del consigliere dello studente in
il Dipartimento di Matematica è richiesto per l'iscrizione a questo corso. Il carico di lavoro minimo è di 150 ore. Al termine del tirocinio, lo studente redigerà una relazione basata su
le ricerche effettuate e i risultati ottenuti.

MATH 342 Tirocinio di matematica (0-1) NC ECTS: 6
Un corso di matematica a scelta durante il quale lo studente svolge attività di ricerca presso un laboratorio di ricerca industriale o presso un'università. Il carico di lavoro minimo è di 150 ore.

MATH 352 Analisi complessa (4-2) 5 ECTS: 10
Algebra dei numeri complessi. Rappresentazione polare. Analiticità. Equazioni di Cauchy-Riemann. Serie di potenze. Funzioni elementari. Mappatura per funzioni elementari. Trasformazioni frazionarie lineari. Integrale di linea. Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Serie di Taylor. serie Laurent. Residui, teorema dei residui. Integrali impropri. Mappatura conforme. Formule integrali del tipo di Poisson. La trasformazione Schwarz-Christoffel.

MATH 355 Equazioni differenziali parziali (4-0)4 ECTS:6
Equazioni del primo ordine Equazioni lineari, quasilineari e non lineari. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine, forme canoniche. Il problema di Cauchy per l'equazione delle onde. Problemi di Dirichlet e Neumann per l'equazione di Laplace, principio del massimo. Equazione del calore sulla striscia.

MATH 361 Algebra astratta (4-0)4 ECTS:6
Gruppi e sottogruppi. Coseti. Teorema di Lagrange. Omomorfismi. Gruppi di fattori. Anelli, campi e domini integrali. Anelli di polinomi. Anelli di fattore. Ideali. Ideali primi e massimali. Domini di fattorizzazione unici. domini euclidei. Domini ideali principali. Estensioni di campo. Campi finiti.

MATH 366 Teoria dei numeri (3-0)3 ECTS:6
Pitagora tripli. Somme di potenze superiori e ultimo teorema di Fermat. Divisibilità e massimo comun divisore. Fattorizzazione e teorema fondamentale dell'aritmetica. Conguranze, Potenze, Piccolo Teorema di Fermat e Formula di Eulero. Teorema cinese del resto. Numeri primi, contare i primi. Primi di Mersenne e numeri perfetti. Poteri, Radici e Codici. Test di primalità. Funzione Phi di Eulero e somma dei divisori. Radici primitive e indici. Quali numeri sono somme di due quadrati. Frazioni continue, radici quadrate ed equazione di Pell. Funzioni generatrici. Somme di poteri. Curve cubiche e curve ellittiche.

MATH 368 Introduzione alla teoria del controllo matematico (3-0)3 ECTS:6
Fondamenti dello spazio degli stati, Raggiungibilità e controllabilità, Rilevabilità e osservabilità, Realizzazioni minime, BIBO e stabilità asintotica, Progettazione di feedback di stato lineare
Leggi di controllo, osservatori e feedback dinamico

MATH 372 Geometria differenziale (3-0)3 ECTS:8
Concetti generali di geometria. Coordinate nello spazio euclideo. metrica riemanniana. Spazio pseudo-euclideo e geometria di Lobachevsky. Curve piatte. Curve spaziali. La teoria delle superfici nello spazio tridimensionale. Il concetto di area. Curvatura. La seconda forma fondamentale. Curvatura gaussiana. Invarianti di una coppia di forme quadratiche. Teorema di Eulero. Analisi complessa e geometria. Trasformazioni conformi. Coordinate isoterme. Il concetto di molteplice. Geodetiche.

MATH 381 Analisi numerica (4-0)4 ECTS:6
Convergenza, stabilità, analisi e condizionamento degli errori. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari: Fattorizzazione LU e Cholosky, pivoting, analisi degli errori nell'eliminazione di Gauss. Problema agli autovalori matriciali, metodo delle potenze, fattorizzazioni ortogonali e problemi ai minimi quadrati. Soluzioni di equazioni non lineari. Metodi di iterazione di bisezione, di Newton e di punto fisso.

MATH 385 Funzioni speciali di matematica applicata (3-0)3 ECTS:6
Funzioni Gamma e Beta. Simbolo di Pochhammer. Serie ipergeometrica. Equazioni differenziali ipergeometriche Funzioni ipergeometriche ordinarie e confluenti. Funzioni ipergeometriche generalizzate le relazioni di funzioni contigue. Polinomi ortogonali. Funzione di Bessel le relazioni funzionali, equazione differenziale di Bessel. Ortogonalità delle funzioni di Bessel.

MATH 386 Fluidodinamica (3-0)3 ECTS:6
Il fluido ideale Flusso irrotazionale. L'equazione della vorticità. Flusso costante oltre un'ala. Le equazioni del flusso viscoso. La diffusione della vorticità. Flusso con linee di flusso circolari. La convezione e la diffusione della vorticità. Onde. Onde di superficie. Dispersione, velocità di gruppo. Effetti della tensione superficiale. Effetti di profondità finita. Onde sonore. Teoria classica del profilo alare. Potenziale di velocità e funzione di flusso. Metodo delle immagini. Teorema del cerchio di Milne-Thompson. Potenziale complesso. Mappatura conforme. Teorema di Blasio. Il teorema dell'ascensore di Kutta-Juokowsli. Il paradosso di D'Alembert. Movimento a vortice. Teorema di circolazione di Kelvin. I teoremi del vortice di Helmholtz. Equazioni di Navier Stokes. Flusso molto viscoso.

MATH 401 Meccanica Quantistica (3-0)3 ECTS:6
Concetti fondamentali. Kets, reggiseni e operatori. Misure, osservabili. Relazioni di incertezza. Spazio di posizione e momento. Dinamica quantistica. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Il quadro di Schrödinger e Heisenberg. Oscillatore armonico semplice. Equazione d'onda di Schrödinger. Propagatori e integrale del cammino di Feynman. Potenziali e trasformazioni di gauge. Rotazioni e momento angolare. Rotazione. Gruppo di rotazione. L'operatore densità. Particelle identiche. Statistiche quantistiche. Simmetrie in meccanica quantistica. Teoria della dispersione.

MATH 403 Teoria del design combinatorio (3-0)3 ECTS:6
Una panoramica della teoria del design combinatorio, principali costruzioni e teoremi. Relazioni con spazi finiti affini e proiettivi, nonché codici correttori di errori.

MATH 404 Calcoli quantistici e informazioni (3-0)3 ECTS:6
Introduzione alla computazione classica. Informazione ed entropia. Introduzione alla meccanica quantistica. Postulati della meccanica quantistica. paradosso EPR. Disuguaglianze di Bell. Calcolo quantistico. Il qubit. La sfera di Bloch. Il modello circuitale della computazione quantistica. Porte Qubit. Porte controllate e generazione di entanglement. Porte quantistiche universali. Errori unitari. Valutazione della funzione. L'operatore densità. Entropia di von Neuman. Misura dell'intreccio. La trasformata quantistica di Fourier. Algoritmo di Shor. Comunicazione quantistica.

MATH 405 Analisi variazionale (3-0)3 ECTS:6
L'equazione di Eulero-Lagrange. Primi integrali. Geodetiche. Superficie di rivoluzione minima. Diverse variabili dipendenti. Problemi isoperimetrici. Il principio di Fermat. Dinamica delle particelle. La corda vibrante. Il problema di Sturm-Liouville. La membrana vibrante. Teoria dell'elasticità. Meccanica quantistica. I principi di Feynman e Schwinger nella meccanica quantistica. Principi variazionali in idrodinamica.

MATH 406 Matematica della crittografia a chiave pubblica (3-0)3 ECTS:6
Uno studio approfondito della crittografia a chiave pubblica e dei problemi di teoria dei numeri relativi all'uso efficiente e sicuro di schemi crittografici a chiave pubblica.

MATH 407 Conformal Mapping (3-0)3 ECTS:6
Funzioni analitiche. Interpretazione geometrica. Trasformazioni conformi. Trasformazioni di Mobius. Trasformazioni conformi di Christofel-Schwarz. Metrica e geometria conforme. Problemi di valore limite. Elettrostatica e idrodinamica.

MATH 408 Argomenti avanzati in teoria dei grafi (3-0)3 ECTS:6
Connettività e teorema di Menger embedding di grafi e flussi di rete del teorema di Kuratowski che attraversano struttura numerica di grafi k-cromatici teoria di Ramsey teoria dei grafi estremi metodi probabilistici e grafi casuali autovalori e autovettori di grafi.

MATH 409 Argomenti avanzati in Combinatoria (3-0)3 ECTS:6
Biiezioni, decomposizioni lemmi di composizione e differenziazione algebra di serie formali di potenze stringhe su alfabeti finiti partizioni intere Grafico di Ferrehs e quadrato di Durfee Teorema della funzione implicita di Lagrange argomenti in reticoli e poset.

MATH 410 Funzioni di Green (3-0)3 ECTS:6
La funzione delta di Dirac. Funzioni e proprietà generalizzate. ODE e PDE con potenziale delta. Le funzioni di Green per ODE. Funzioni di Green per le equazioni d'onda, del calore e di Laplace. Equazioni di Klein-Gordon e di Helmholz. Problemi di valore limite.

MATH 411 Ottimizzazione matematica (3-0)3 ECTS:6
Concetti di ottimizzazione modellazione restrizioni con vincoli lineari insiemi convessi, poliedri e punti estremi metodo simplex dualità argomenti di sensibilità nei flussi, programmi interi e ottimizzazione non lineare.

MATH 412 Geometria iperbolica (3-0)3 ECTS:6
Piano iperbolico. Il gruppo Mobius. Conformità. Lunghezza e distanza. isometrie. Modelli planari piano iperbolico. Modello di Lobachevsly. Modello del disco di Poincaré. Modello Klein. Applicazioni.

MATH 413 Onde lineari e non lineari (3-0)3 ECTS:6
Oscillatori lineari e non lineari. Onde dispersive lineari. Onde non lineari. Onde solitarie. Equazione di Korteweg-de Vries. Solitoni.

MATH 414 Introduzione alle equazioni integrali (3-0)3 ECTS:6
Classificazione delle equazioni integrali. Soluzione di un'equazione integrale. Relazione tra equazioni differenziali e integrali. Equazioni integrali di Fredholm. Equazioni integrali di Volterra. Metodi per risolvere equazioni integrali. Equazioni integro-differenziali: concetti di base e metodi risolutivi. Equazioni integrali con kernel singolari, problema di Abele. Equazioni integrali non lineari di Fredholm e Volterra.

MATH 415 Ricerca matematica I (5-0)NC ECTS:15
Lo studente viene introdotto alla ricerca matematica sotto la supervisione di un docente di sua scelta. Lo studente sceglie un tema di ricerca con il suo supervisore. Il supervisore tiene lezioni allo studente durante i loro incontri settimanali e lo studente approfondisce ulteriormente i temi delle lezioni del suo supervisore conducendo la propria ricerca. Alla fine del semestre lo studente presenta i suoi risultati come relazione.

MATH 416 Ricerca matematica II (5-0)NC ECTS:15
Lo studente approfondisce la sua capacità di ricerca matematica sotto la supervisione di un docente di sua scelta. Il supervisore tiene lezioni allo studente durante i loro incontri settimanali e lo studente approfondisce ulteriormente i temi delle lezioni del suo supervisore conducendo la propria ricerca. Alla fine del semestre lo studente presenta i suoi risultati come una presentazione e una relazione.

MATH 422 Introduzione ai gruppi abeliani (3-0)3 ECTS:6
gruppi abeliani. Gruppi quoziente. Teoremi di isomorfismo. Torsione parte del gruppo. Decomposition of torsion groups into direct sum of primary groups. Divisibility. Injective groups. Structure of divisible groups. Projective groups. Free groups. Existence of epimorphisms from a projective groups and of monomorphisms into injective groups. Pure subgroups. Basic subgoups. Bounded pure subgroups. Classification of torsion-free groups of rank one.

MATH 450 Scale Invariance and Dimensional Analysis (3-0)3 ECTS:6
Dimensional analysis, similarity and modeling. Self-similar solutions. Group of transformations. Stability. Fractals and self-similarity. Applications to hydrodynamics. Renormalization group.

MATH 451 Mathematics and Technology (3-0)3 ECTS:6
Positioning on Earth and in Space: GPS. Friezes and mosaics: symmetry groups and transformations. Robotic motion. Saving and loans. Image compression: fractals and attractors. Science flashes.

MATH 452 Functional Analysis (3-0)3 ECTS:6
Metric Spaces, Normed and Banach Linear Spaces, Inner Product and Hilbert Spaces, Linear Operators on Normed Spaces, Bounded and Compact Linear Operators, Spaces of Linear Operators, Linear Functionals on Normed Spaces. Bounded Linear Operators on Inner Product Spaces, Bounded Linear Functionals. Adjoint of a Bounded Operator, Self-Adjoint, Unitary and Normal Operators. Spectral Properties of Bounded and Compact operators, Unbounded Operators.

MATH 453 Introduction to Generalized Functions (3-0)3 ECTS:6
Heaviside function and Delta-sequences. Test functions. Linear functionals and definition of a distribution (generalized function). Regular and singular distributions. Algebraic operations on distributions: linear change of variables, product of a distribution by a function. Analytic operations on distributions: derivative of a distribution. Transformation properties of Dirac-delta distribution. Schwartz space and tempered distributions: definitions and basic properties. Fourier transform of distributions. Convolution. The concept of generalized solution of a differential equation. Applications to Differential equations: Fundamental solutions and Green’s functions.

MATH 455 Control of Infinite Dimensional Systems (3-0)3 ECTS:6
Controllability and observability of PDEs (using back-stepping methods).

MATH 456 Galois Theory (3-0)3 ECTS:6
Cubic and quartic equations. Cardan’s Formulas. Symmetric polynomials. Discriminant. Roots of polynomials. The Fundamental Theorem of Algebra. Extension fields. Minimal polynomials. Adjoining elements. Degree of a field extension. Finite extensions. The tower theorem. Algebraic extensions. Simple extensions. Splitting fields, their uniqueness up to isomorphism. Normal extensions. Separable extensions. Fields of characteristic 0 and fields of characteristic p. The Primitive Element Theorem. Galois group. Galois group of splitting fields. Permutation of the roots. Examples of Galois groups. Abelian equations. Galois extensions. The Fundamental Theorem of Galois Theory. Solvability by radicals. Solvable groups. Cyclotomic extensions. Regular polygons and roots of unity. Impossibility of some geometric constructions using just straightedge and compass. Finite fields.

MATH 481 Differential Equations with Numerical Methods (2-2)3 ECTS:6
Initial and Boundary Value Problems. Heat Equation. Wave Equation. Elliptic PDE problems. Reaction- Convection-Diffusion Problems. Upwind and Centred Approximation Method. Poisson equation in 2D. Explicit and Implicit methods.

MATH 482 Numerical Solution of Linear Integral Equations (3-0)3 ECTS:6
Compact operator. The Fredholm alternative. Degenerate kernel methods. Projection methods. The Nyström method. Global approximation methods on smooth surfaces. Solution of integral equations on the unit sphere.

MATH 499 Cooperative Education Course (0-12)6 ECTS:6
Within the scope of this course, students will receive introductory courses during the first two weeks of the
semester covering the topics of learning outcomes and objectives of the cooperative education and evaluation
of the work experience. Following this, students are installed to the jobs where they are obliged to work two
days a week. Students daily summarize what is done in a journal and provide a report by the end of the
semester which they also have to present and defend in front of the jury.


9: Vector Calculus - Mathematics

Instructor: Ron Buckmire
Class: MWF 9:30-10:25am, Fowler 307
Office: Fowler 313
Office Hours: MWF 2:30-3:30, TR 3:00-4:00
Email: [email protected]
AIM: Buckmire2536, ProfBuckmire o MadProfessah

The official version of the syllabus is on this page. A pdf version of the course syllabus is also available.

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Manuale: Multivariable Mathematics (4th edition) by Richard Williamson & Hale Trotter. Published by Pearson/Prentice Hall, 2004.

Goals of the Class: The goals of the class are to extend our understanding of the Calculus to functions of more than one variable. In particular, we shall learn how to evaluate partial derivatives, double and triple integrals and be exposed to vector field theory.

  • Clearly articulate concepts in multivariable calculus in both oral and written forms.
  • Perform routine calculations related to fundamental concepts in multivariable calculus.
  • Develop a deep and flexible understanding of fundamental concepts in multivariable calculus.
  • Develop an appreciation of selected applications of concepts in multivariable calculus .

Nature of the Class: The material in the class will begin with a brief introduction to vectors, equations of lines and planes and a review of the algebraic operations on vectors. We shall then proceed through the textbook by going through Chapter 4 (Derivatives), Chapter 5 (Differentiability), Chapter 6 (Vector Differential Calculus), Chapter 7 (Multiple Integration), Chapter 8 (Integrals and Derivatives on Curves) and Chapter 9 (Vector Field Theory).

Format of the Class: We will be making use of the Mathematica and Derive computer algebra systems.
I expect a lot of participation in class and will facilitate this through the use of daily class formats (worksheets), group work, in-class computer exercises, abbreviated lectures, take-home quizzes, online communication and COPIOUS homework!

  • Homework 30%
  • Two (2) Tests 30% (15 % each)
  • Quizzes 20%
  • Final Exam 20%

Policies:
Make-up tests will not be given except for compelling reasons which have been communicated to me well-in advance (i.e. at least 7 days) of the test date.

If you are late to a test, you will only be allowed the time remaining in which to complete your test.

Late homework will not be accepted under any condition since the solutions are made available on the same day that they are collected in class.

I expect the highest level of academic honesty from my students. If you have any questions about academic honesty you should read the sections on ``Spirit of Honor'' (front cover) and ``Academic Policies'' (pp 111-112) found in the Student Handbook. Any instances of plagiarism or cheating will be dealt with strictly and in accordance with procedures outlined in the Handbook.

Other Notes:
We will not have class on Monday September 5 (Labor Day). Fall Break is October 20-21, 2005. Thanksgiving Break is November 23-25.

I will let you know at least one week ahead of time if there may be other days on which class is cancelled.


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