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Risposta alla sfida 189


Quarta potenza più quattro

Apportiamo alcune modifiche all'espressione n4 + 4, per metterlo nella forma di un prodotto.

Inizieremo includendo i termini + 4n2 e -4n2, che non modifica il risultato dell'espressione, poiché la somma di entrambi è zero. Da lì possiamo applicare le regole di fattorizzazione.

n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2
= (n2 + 2)2 - (2n)2 differenza di due quadrati
= ((N2 + 2) + 2n) ((n2 + 2) - 2n)
= (n2 + 2n + 2) (n2 - 2n + 2)

Quindi arriviamo a un prodotto, che può risultare in un numero primo solo se uno dei fattori è uguale a 1.

Il primo fattore non soddisfa questa condizione, poiché ci rendiamo conto chiaramente che n2 + 2n + 2> 1, per n maggiore o uguale a 1.

Pertanto, dobbiamo avere il secondo fattore uguale a 1, ovvero:
n2 - 2n + 2 = 1
n2 - 2n + 1 = 0 (sottraendo 1 da entrambi i lati)
(n - 1)2 = 0 => n = 1

Quando n = 1, abbiamo un numero primo, perché n4 + 4 = 5. Pertanto, questo è l'unico valore di n per il quale n4 + 4 è cugino.

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