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2.3: Gli assiomi logici - Matematica


Sia dato un linguaggio del primo ordine (mathcal{L}). Inoltre, potremmo, in linea di principio, progettare un programma per computer che sia in grado di decidere l'appartenenza a (Lambda) in un tempo finito.

Dopo aver stabilito l'insieme degli assiomi logici (Lambda) e vogliamo iniziare a fare matematica, vorremmo aggiungere ulteriori assiomi progettati per consentirci di dedurre affermazioni su qualunque sistema matematico possiamo avere in mente. Questi costituiranno la raccolta di assiomi non logici, (Sigma). Ad esempio, se stiamo lavorando in teoria dei numeri, usando il linguaggio (mathcal{L}_{NT}), insieme agli assiomi logici (Lambda) vorremo usare anche altri assiomi che riguardano la proprietà di addizione e la relazione d'ordine indicata dal simbolo (<). Questi assiomi aggiuntivi sono le formule che inseriremo in (Sigma). Quindi, da questo insieme espanso di assiomi (Lambda cup Sigma) cercheremo di scrivere deduzioni di formule che fanno affermazioni di interesse per la teoria dei numeri. Per ribadire: (Lambda), l'insieme degli assiomi logici, sarà fissato, così come la raccolta delle regole di inferenza. Ma l'insieme degli assiomi non logici deve essere specificato per ogni deduzione. Nella sezione corrente esponiamo solo gli assiomi logici, trattando le regole di inferenza nella Sezione 2.4 e rinviando la nostra discussione sugli assiomi non logici alla Sezione 2.8.

Assiomi di uguaglianza

Abbiamo preso la strada del presupposto che il simbolo di uguaglianza, (=), sia una parte del linguaggio (mathcal{L}). Ci sono tre gruppi di assiomi progettati per questo simbolo. Il primo dice solo che ogni oggetto è uguale a se stesso:

[x = x : ext{per ogni variabile} : x. ag{E1}]

Per il secondo gruppo di assiomi, supponiamo che (x_1, x_2, ldots, x_n) siano variabili, (y_1, y_2, ldots, y_n) siano variabili e (f) sia un (n Simbolo di funzione )-ary.

[left[ left( x_1 = y_1 ight) land left( x_2 = y_2 ight) land cdots land left( x_n = y_n ight) ight] ightarrow left( f left( x_1, x_2, ldots, x_n ight) = f left( y_1, y_2, ldots, y_n ight) ight). ag{E2}]

Le ipotesi per il terzo gruppo di assiomi sono le stesse del secondo gruppo, tranne per il fatto che (R) è considerato un simbolo di relazione (n)-ario ((R) potrebbe essere il simbolo di uguaglianza, che è visto come un simbolo di relazione binaria).

[left[ left( x_1 = y_1 ight) land left( x_2 = y_2 ight) land cdots land left( x_n = y_n ight) ight] ightarrow left( R left( x_1, x_2, ldots, x_n ight) ightarrow R ightarrow R left( y_1, y_2, ldots, y_n ight) ight). ag{E3}]

Gli assiomi (E2) e (E3) sono assiomi progettati per consentire la sostituzione di uguali con uguali. Niente di più fantasioso di quello.

Assiomi quantificatori

Gli assiomi quantificatori sono progettati per consentire una sorta di ingresso molto ragionevole in una deduzione. Supponiamo di sapere (forall x P left( x ight)). Quindi, se (t) è un qualsiasi termine del linguaggio, dovremmo essere in grado di affermare (P left( t ight)). Per evitare problemi del tipo delineato all'inizio della Sezione 1.8, chiederemo che il termine (t) sia sostituibile con la variabile (x).

[left( forall x phi ight) ightarrow phi_t^x, : ext{if} : t : ext{è sostituibile} : x : ext{in} : phi. ag{Q1}]

[phi_t^x ightarrow left( exists x phi ight), : ext{if} : t : ext{è sostituibile} : x : ext{in} : phi. ag{Q2}]

In molti testi di logica, l'assioma (Q1) sarebbe chiamato istanziazione universale, mentre (Q2) sarebbe noto come generalizzazione esistenziale. Eviteremo questo linguaggio impressionante e ci atterremo ai più banali (Q1) e (Q2).

Ricapitolare

Giusto per riunire tutti gli assiomi logici in un unico luogo, ripetiamoli ancora una volta. L'insieme (Lambda) di assiomi logici è l'insieme di tutte le formule che rientrano in una delle seguenti categorie:

[x = x : ext{per ogni variabile} : x. ag{E1}]

[left[ left( x_1 = y_1 ight) land left( x_2 = y_2 ight) land cdots land left( x_n = y_n ight) ight] ightarrow left( f left( x_1, x_2, ldots, x_n ight) = f left( y_1, y_2, ldots, y_n ight) ight). ag{E2}]

[left[ left( x_1 = y_1 ight) land left( x_2 = y_2 ight) land cdots land left( x_n = y_n ight) ight] ightarrow left( R left( x_1, x_2, ldots, x_n ight) ightarrow R left( y_1, y_2, ldots, y_n ight) ight). ag{E3}]

[left( forall x phi ight) ightarrow phi_t^x, : ext{if} : t : ext{è sostituibile} : x : ext{in} : phi. ag{Q2}]

Notare che (Lambda) è decidibile. Potremmo scrivere un programma di calcolo che, data una formula (phi), possa decidere in un tempo finito se (phi) sia o meno un elemento di (Lambda).


2.3: Gli assiomi logici - Matematica

Si parla spesso di ``il campo" invece di ``il campo".

Il lato destro di (2.51) è ambiguo. Ci sono cinque modi sensati per interpretarlo:

  1. Moltiplicazione e divisione hanno uguale precedenza.
  2. Addizione e sottrazione hanno uguale precedenza.
  3. La moltiplicazione ha una precedenza maggiore rispetto all'addizione.

prima leggi (2.52) da sinistra a destra ed esegui tutte le moltiplicazioni e le divisioni man mano che arrivi ad esse, ottenendo

Quindi leggi (2.53) da sinistra a destra eseguendo tutte le addizioni e le sottrazioni man mano che ci arrivi, ottenendo

Quando ero al liceo, la moltiplicazione aveva la precedenza sulla divisione, quindi

Nel 1713, l'addizione aveva spesso una precedenza maggiore della moltiplicazione. Jacob Bernoulli [8, p180] ha scritto espressioni come

è un campo. (Vedi definizione 2.42 per le definizioni.) Abbiamo mostrato nella sezione 2.2 che soddisfa tutti gli assiomi di campo tranne forse la legge distributiva. Nell'appendice B, si mostra che la proprietà distributiva vale per tutti , . (La dimostrazione assume che la legge distributiva vale in .)

Per un generale , , l'unico assioma di campo che può non reggere è l'esistenza di inversi moltiplicativi, quindi per determinare se è un campo, è solo necessario determinare se ogni elemento diverso da zero in è invertibile per .


2.3: Gli assiomi logici - Matematica

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3. Critiche all'assioma della scelta

La natura non costruttiva dell'AC ha portato alcune persone a rifiutarlo come un assioma, o almeno a dichiarare attentamente quando è e non è necessario. Il principio del buon ordinamento illustra molto bene la natura non costruttiva dell'assioma della scelta: anche un insieme familiare come l'insieme dei numeri reali non ha ovviamente un buon ordine e certamente non può essere definito o costruito. Ora ci sono gusti di costruttivismo in matematica che si aspettano che un teorema di esistenza che sia dimostrabile dovrebbe venire con una costruzione o definizione esplicita dell'oggetto mostrato esistere, ma non c'è alcuna necessità ovvia che la matematica abbia questa natura. È simile al fatto che l'implicazione matematica &rarr è adeguata o addirittura corretta per la matematica ordinaria nonostante sia diversa dall'implicazione del linguaggio naturale a causa della mancanza di qualsiasi senso di causalità: il linguaggio matematico e le dimostrazioni matematiche in generale non sono necessariamente uguali a quelle reali argomenti del mondo, e questo potrebbe effettivamente essere un vantaggio piuttosto che un aspetto negativo di essi. Allo stesso modo, il costruttivismo del mondo reale potrebbe non essere sempre appropriato alla matematica.

Ma in realtà la natura non costruttiva dell'AC è più difficile da definire di quanto sembri. Göumdel ha mostrato che se ZF senza Choice è coerente, lo è anche la teoria ZFC con Choice. Il suo metodo consisteva nel costruire una particolare sottostruttura minima definibile all'interno dell'universo degli insiemi, chiamata L. Questa era, se vuoi, una definizione di tipo ultra-costruttivista. Si scopre che in L, a causa della natura definibile molto precisa degli insiemi, AC è vera. In altre parole AC è vera in L a causa delle costruzioni degli insiemi in L, e se AC è falsa in qualche altro universo è perché gli insiemi in quell'universo sono già non costruttivi in ​​un certo senso. Ciò suggerisce che è discutibile che l'assioma non costruttivo sia in realtà l'assioma dell'insieme di potenze (che consente tutti i sottoinsiemi di un dato insieme senza specificare come sorgono) piuttosto che l'assioma della scelta stesso.


Fondamenti di matematica: un'introduzione a dimostrazioni, logica, insiemi e numeri

Affrontare l'importanza di costruire e comprendere dimostrazioni matematiche, Fondamenti di matematica: un'introduzione a prove, logica, insiemi e numeri introduce concetti chiave della logica e della teoria degli insiemi, nonché le definizioni fondamentali dell'algebra per preparare i lettori a ulteriori studi sul campo di matematica. L'autore fornisce una presentazione diretta e pratica dei sistemi numerici, utilizzando elementi chiave della logica e della teoria degli insiemi e incoraggiando i lettori a rispettare la regola fondamentale secondo cui non è consentito utilizzare risultati che non sono stati ancora dimostrati.

Il libro inizia con un focus sugli elementi di logica utilizzati nel linguaggio matematico quotidiano, esponendo i lettori ai metodi di dimostrazione standard e al Paradosso di Russell. Una volta stabilita questa base, i capitoli successivi esplorano un'esposizione matematica più rigorosa che delinea gli elementi necessari della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e costruisce i numeri naturali e gli interi, nonché i numeri razionali, reali e complessi in modo rigoroso, ma accessibile. L'astrazione viene introdotta come strumento e un'attenzione particolare è dedicata alle applicazioni concrete e accessibili, come la crittografia a chiave pubblica, rese possibili da idee astratte. Il libro si conclude con una dimostrazione autonoma del Teorema di Abele e un'indagine sulla teoria degli insiemi più profonda introducendo l'Assioma della Scelta, i numeri ordinali e i numeri cardinali.

In ogni capitolo, le prove sono scritte in modo molto dettagliato con indicazioni esplicite che enfatizzano le idee e le tecniche principali della scrittura di prove. Esercizi a vari livelli di sviluppo matematico consentono ai lettori di testare la loro comprensione del materiale e un sito Web correlato presenta presentazioni video per ogni argomento, che possono essere utilizzate insieme al libro o indipendentemente per lo studio individuale.

Testato in aula per garantire una presentazione fluida e accessibile, Fundamentals of Mathematics è un eccellente libro per i corsi di matematica su dimostrazioni, logica e teoria degli insiemi a livello universitario superiore, nonché un supplemento per i corsi di transizione che preparano gli studenti al rigoroso ragionamento di calcolo avanzato, analisi reale e algebra moderna. Il libro è anche un riferimento adatto per i professionisti di tutte le aree dell'insegnamento della matematica interessati alle dimostrazioni matematiche e alle fondamenta su cui è costruita tutta la matematica.


Introduzione

La logica matematica o logica simbolica è una scienza il cui compito principale è lo studio della logica ordinaria o logica naturale con metodi matematici. La logica ordinaria o logica naturale, fondamentalmente, è composta da un linguaggio ordinario e sequenze di frasi di detta lingua che si chiamano detrazioni. Il linguaggio e le deduzioni costituiscono lo strumento fondamentale della mente umana, con la quale ha costruito tutte le scienze oggi conosciute.

Lo studio di qualsiasi cosa dalla vita reale viene fatto creando un modello di quella cosa. Per questo, vengono presi alcuni elementi della cosa e vengono scelte alcune proprietà. Ogni elemento è rappresentato da un'entità ideale che gli somiglia, e il modello è definito da queste entità ideali che sono gli elementi del modello e dalle proprietà scelte.

Riesci a studiare la logica ordinaria con metodi matematici? Per rispondere a questa domanda, trascriverò alcuni paragrafi di LUKASIEWICZ:

"La logica filosofica include problemi epistemologici: qual è la verità? Esiste un criterio di verità? Tuttavia, questi problemi non appartengono alla logica. Se togliamo dalla logica filosofica tutto ciò che appartiene all'epistemologia, alla psicologia e alla filosofia in generale, ciò che abbiamo è il cosiddetto logica formale, il cui contenuto è propriamente logico. Non esistono due logiche, matematica e filosofica, esiste un'unica logica, fondata da Aristotele, completata dalla vecchia scuola degli stoici e proseguita, spesso con grande sottigliezza, dai logici medievali, e questa è la logica che sviluppa la logica matematica. "


2.3: Gli assiomi logici - Matematica

Abbiamo visto, sebbene la nostra discussione sulla teoria delle descrizioni, la teoria dei dati sensoriali della percezione e la distinzione di Russell tra conoscenza per conoscenza e conoscenza per descrizione, gli inizi di una visione globale delle relazioni tra mente, linguaggio e mondo. Approssimativamente, l'opinione è che la percezione ci faccia conoscere i dati sensoriali, gli universali e le relazioni che i nostri pensieri consistono in combinazioni di queste cose e le frasi che comprendiamo hanno come significato pensieri di questo tipo. Le frasi che comprendiamo che sembrano non adattarsi a questo modello - come le frasi che contengono nomi propri per oggetti materiali - sono analizzate secondo la teoria delle descrizioni come aventi il ​​significato di frasi che fanno menzione di descrizioni che coinvolgono universali e relazioni piuttosto che nomi di materiali oggetti. In questo modo, la teoria delle descrizioni, e la distinzione tra forma superficiale e forma logica, viene in aiuto del tipo di empirismo di Russell.

Tuttavia, questo resoconto della natura dei nostri pensieri e delle nostre conoscenze riguardanti il ​​mondo esterno non tiene conto di un importante tipo di conoscenza: la nostra conoscenza della verità della matematica. Le verità della matematica possono sembrare aver bisogno di spiegazioni per almeno due ragioni:

  • Epistemologia. Anche se l'esperienza può fornire una giustificazione alle nostre convinzioni sul mondo esterno, ciò non ci aiuta a spiegare perché le nostre convinzioni sulla matematica sono giustificate. Tale giustificazione, dopo tutto, sembra essere a priori. Com'è possibile?
  • Metafisica. Le verità della matematica sembrano richiedere l'esistenza di una grande varietà di oggetti matematici. Ma è ragionevole chiedersi se tutti i diversi tipi di numeri esistano davvero. Ma come possiamo spiegare la verità di affermazioni come 𔃲 + 2 = 4’ senza postulare l'esistenza di tali misteriosi oggetti matematici?

La risposta di Russell a questi problemi fu che, proprio come le affermazioni sugli oggetti materiali sono affermazioni mascherate su dati e proprietà sensoriali, così le affermazioni sulla matematica sono affermazioni mascherate sulla logica. Questo aiuta con il problema epistemologico, poiché presumibilmente la nostra conoscenza delle verità logiche non è problematica. Aiuta con il problema metafisico, poiché ci consente di evitare di postulare l'esistenza di oggetti distintamente matematici.

Il nostro scopo sarà quello di comprendere e valutare l'affermazione di Russell secondo cui le verità della matematica sono verità mascherate della logica. Nella tua lettura, dovresti utilizzare non solo il capitolo 2 assegnato dell'Introduzione alla filosofia matematica di Russell, ma anche il capitolo della storia della filosofia analitica di Scott Soames che si trova nel pacchetto del corso. Tratteremo del materiale di cui discute Soames, ma che va oltre il materiale nel capitolo 2 di Russell. (Citerò alcune delle altre fonti primarie rilevanti mentre procediamo).

1 Definizione di numero di Russell di 8217

Un primo passo per vedere come Russell mirava a dimostrare che le verità matematiche sono versioni mascherate di quelle logiche è vedere cosa pensava fossero i numeri.

Russell pensa che il primo passo sia chiarire la ‘grammatica’ dei numeri:

“Molti filosofi, quando cercano di definire il numero, si mettono davvero al lavoro per definire la pluralità, che è una cosa ben diversa. Il numero è ciò che è caratteristico dei numeri, come l'uomo è ciò che è caratteristico degli uomini. Una pluralità non è un'istanza di numero, ma di un numero particolare. Un trio di uomini, per esempio, è un'istanza del numero 3 e il numero 3 è un'istanza del numero ma il trio non è un'istanza del numero. Questo punto può sembrare elementare e poco degno di nota, ma si è rivelato troppo sottile per i filosofi, con poche eccezioni.”(11)

L'idea di base qui è che dobbiamo distinguere tra dare definizioni di numeri particolari, come il numero 3, e dare una definizione del numero stesso. L'idea di base di Russell qui è che sia il numero 3 che il numero sono ‘caratteristiche’, che puoi considerare come proprietà simili. Il numero 3 è una proprietà di un trio di uomini: il numero è una proprietà del numero 3. Ma queste due proprietà sono proprietà di diversi tipi di cose. Russell sta dicendo che il numero 3 è una proprietà dei trii, mentre il numero è una proprietà del numero 2, del numero 3 e degli altri numeri. (12)

(Confronta: rossore e colore. Il mio maglione è rosso e il rosso è un colore, ma il mio maglione non è un colore.)

È a questo punto della discussione che Russell introduce il tema delle collezioni, o insiemi. È importante vedere quali insiemi di ruoli stanno giocando qui. Per molti scopi, possiamo sostituire il discorso delle proprietà, o caratteristiche, delle cose con il discorso dell'insieme delle cose con quella caratteristica. Ad esempio, per alcuni scopi possiamo sostituire la proprietà del rosso con l'insieme delle cose rosse. È un po' come sta facendo Russell qui. Ha iniziato parlando del numero 3, e del numero in generale, come proprietà o caratteristiche. Ora sta passando da questo a parlare del numero 3, e del numero in generale, come insiemi.

La prossima domanda è: che set sono? Russel dice:

“Ritornando ora alla definizione di numero, è chiaro che il numero è un modo di riunire determinate raccolte, cioè quelle che hanno un dato numero di termini. Possiamo supporre tutte le coppie in un fascio, tutti i trii in un altro, e così via. In questo modo otteniamo vari bundle di collezioni, ogni bundle costituito da tutte le collezioni che hanno un certo numero di termini. Ogni bundle è una classe i cui membri sono collezioni, cioè classi, quindi ognuno è una classe di classi.” (14)

Quindi il numero due è l'insieme di tutti gli insiemi a due membri, il numero tre è l'insieme di tutti gli insiemi a tre membri, e così via.

Come questo si adatta alla ‘grammatica’ dell'indagine. ‘Essere un'istanza del numero 3’ e ‘essere un membro dell'insieme che è il numero 3.’

Questa non è una definizione corretta dei numeri, tuttavia utilizza la nozione di ‘set con due membri’. Ma ‘two’ è proprio quello che stiamo cercando di definire. Quindi a questo punto sappiamo che tipo di cose Russell considera i numeri - sono insiemi di insiemi - ma non abbiamo ancora una definizione dei numeri.

Un primo passo per fare ciò è dire quando due insiemi hanno lo stesso numero di membri. Russel dice,

“In realtà, è logicamente più semplice scoprire se due raccolte hanno lo stesso numero di termini piuttosto che definire quale sia quel numero. Un'illustrazione lo chiarirà. Se non ci fosse la poligamia o la poliandria in nessuna parte del mondo, è chiaro che il numero dei mariti viventi in ogni momento sarebbe esattamente lo stesso del numero delle mogli. Non abbiamo bisogno di un censimento per assicurarcelo, né abbiamo bisogno di sapere qual è il numero effettivo di mariti e mogli. Sappiamo che il numero deve essere lo stesso in entrambe le collezioni, perché ogni marito ha una moglie e ogni moglie ha un marito. Il rapporto tra marito e moglie è quello che viene chiamato "uno-uno".”” (15)

Come Russell continua a sottolineare, possiamo definire la relazione di ‘avente lo stesso numero di membri’ in termini di una relazione uno-a-uno:

S e S ' hanno lo stesso numero di membri df c'è qualche relazione uno-uno tra S e S '

Russell dice che quando due insiemi hanno una relazione biunivoca tra loro, sono simili.

Quindi, dato un qualsiasi insieme S , possiamo definire il numero di quella classe come segue:

N è il numero di una classe S df N è l'insieme di tutti gli insiemi simili a S .

“ Il numero di una classe è la classe di tutte quelle classi che le sono simili. ” (18)

Questo ci permette di dare una definizione di cosa significhi per qualcosa essere un numero, che Russell esprime come segue:

“ Un numero è tutto ciò che è il numero di una classe. ” (18)

Come osserva Russell, questo suona circolare, ma non lo è. Per vedere che non è circolare, nota che possiamo esprimerlo come segue:

N è un numero df esiste un insieme S tale che N è l'insieme di tutti gli insiemi simili a S .

N è un numero df S x ( x è un membro di N x è simile a S )

Questo ci dà una definizione non circolare di numero.

In un certo senso non abbiamo ancora dato una definizione non circolare di numeri specifici, come il numero 2. Ciò verrà un po' più tardi, quando presenteremo i dettagli del sistema logico di Russell e gli assiomi dell'aritmetica. Per ora, la cosa importante è che tu abbia l'idea di base dietro che tipo di cose Russell pensa che siano i numeri. Ora passeremo a cercare di dire perché pensa che i numeri siano questo genere di cose.

2 L'idea di ridurre una teoria all'altra

L'affermazione fondamentale del logicismo è che la matematica è davvero una branca della logica. Ciò è talvolta espresso dicendo che la matematica (in questo caso l'aritmetica) è riducibile alla logica.

Cosa deve mostrare qualcuno per dimostrare che una teoria è, in questo senso, riducibile a un'altra?

2.1 Assiomi e teorie

Per chiarire questo, dovremo prima chiarire che tipo di cose sono le teorie.

Prenderemo ‘teorie’ per scommettere insiemi di frasi, che includono un insieme di assiomi di base. Gli assiomi sono espressi in termini di concetti indefiniti e basilari (per quanto riguarda la teoria).

Altre frasi seguiranno dagli assiomi della teoria. Questi sono chiamati teoremi della teoria.

Potrebbe esserci anche un'altra classe di frasi, le definizioni , che definiscono nuove espressioni in termini di vocabolario negli assiomi. Se una teoria contiene definizioni oltre agli assiomi, i teoremi della teoria includeranno tutte le frasi che seguono dagli assiomi, insieme alle definizioni.

2.2 Definizioni ponte

Supponiamo di avere due teorie, T 1 e T 2 , ognuno dei quali include un insieme di assiomi. Supponiamo inoltre, come di solito accade, che gli assiomi contengano un vocabolario privilegiato diverso. Che cosa deve essere per noi per poter dire che T 2 è riducibile a T 1 ?

Un pensiero naturale è che T 2 è riducibile a T 1 nel caso in cui ogni teorema di T 2 segue dagli assiomi di T 1 . Ciò significherebbe, in effetti, che tutto ciò che T 2 dice è dimostrabile dalle risorse di T 2 . Poiché tutti i teoremi di una teoria seguono dai suoi assiomi, per dimostrare che T 2 è riducibile a T 1 in questo senso basta mostrare che gli assiomi di T 2 seguire dagli assiomi di T 1 .

Ma a questo punto arriviamo a un problema. Tipicamente, gli assiomi della teoria da ridurre sono dati in un vocabolario diverso dagli assiomi della teoria riducente. Ma allora non c'è un modo ovvio per dimostrare gli assiomi dell'uno dagli assiomi dell'altro. Il caso che ci interessa, la riduzione dell'aritmetica alla logica, è calzante. Come vedremo, gli assiomi dell'aritmetica dicono cose sui numeri, come lo zero, e le relazioni tra i numeri, come la relazione di un numero che è il successore di un altro (cioè il numero dopo l'altro). Ma gli assiomi delle teorie logiche non dicono nulla su queste cose. Allora come possiamo dimostrare gli assiomi dell'aritmetica dagli assiomi della logica?

La risposta è che avremo bisogno di definizioni ponte, che traducano il vocabolario della teoria da ridurre nel vocabolario della teoria riducente. Ora possiamo vedere che la definizione di numeri data da Russell in termini di insiemi potrebbe svolgere questo ruolo. Se gli assiomi di qualche teoria logica menzionano gli insiemi e gli insiemi sono numeri, allora forse possiamo dimostrare le verità aritmetiche dagli assiomi logici, dopotutto.

Una domanda importante qui è: come possiamo dire se una definizione ponte è buona? Questa è una domanda sulla quale torneremo.

3 Riduzione di Russell dell'aritmetica alla logica

Abbiamo una certa comprensione delle definizioni dei numeri di Russell, e abbiamo una certa comprensione di cosa significhi per una teoria essere riducibile a un'altra. Vogliamo metterci in condizione di poter valutare l'affermazione che l'aritmetica è riducibile alla logica. Per fare ciò, dovremo chiarire meglio come sono le ‘teorie’ dell'aritmetica e della logica. E per fare questo, dovremo dire quali sono gli assiomi dell'aritmetica e della logica.

3.1 L'assiomatizzazione dell'aritmetica

3.2 I cinque assiomi di Peano

Nel capitolo 1, Russell dà la seguente affermazione degli assiomi dell'aritmetica di Peano:

(2) Il successore di qualsiasi numero è un numero.

(3) Non esistono due numeri con lo stesso successore.

(4) 0 non è il successore di nessun numero.

(5) Ogni proprietà che appartiene a 0, e anche al successore di ogni numero che ha la proprietà, appartiene a tutti i numeri.” (5-6)

Seguiremo Russell nel prendere questi come i cinque assiomi dell'aritmetica.

3.3 Addizione

Per comprendere meglio questi assiomi, può essere utile vedere come possono essere spiegate semplici operazioni aritmetiche utilizzandoli. Useremo l'esempio dell'addizione. La domanda è: come si possono dimostrare i fatti sull'addizione usando questi cinque assiomi?

L'addizione può essere definita utilizzando le seguenti due affermazioni (per qualsiasi x,y N ):

Come possono essere utilizzate queste due affermazioni per dimostrare che, ad esempio, 1+2=3? In che modo questa dimostrazione utilizza gli assiomi (1) e (2) di cui sopra?

Perché, intuitivamente, sono necessari gli assiomi (3)-(5)?

Per dimostrare che l'aritmetica è riducibile alla logica, dovremo dimostrare che questi cinque assiomi sono dimostrabili sulla base di verità logiche. Quindi il nostro prossimo passo è esaminare il sistema logico con cui Russell sta lavorando.

3.4 Il sistema logico di Russell

Seguiremo Soames (p. 140 ss.) nel presentare prima una versione semplificata del sistema di Russell, e poi aggiungere complicazioni in risposta ai problemi con esso.

Il sistema logico di Russell estende i normali sistemi logici aggiungendo il simbolo primitivo ‘ ’, che intuitivamente significa ‘è un elemento di’ o ‘è un membro di.’ Il sistema logico di Russell contiene tre assiomi che includono questo simbolo:

    Lo schema assioma della comprensione.

Vale la pena notare, tra l'altro, che l'insieme nullo non è una nuova primitiva nel sistema di Russell. È definibile come l'insieme tale che tutto non ne fa parte. ( = la S : x ( x S ))

3.5 Definizioni dei termini aritmetici

Come notato in precedenza nella nostra discussione sulle riduzioni di una teoria a un'altra, ciò che vogliamo è una prova degli assiomi dell'aritmetica sulla base degli assiomi del sistema logico di Russell. Ma, poiché i due hanno vocabolari primitivi diversi, avremo bisogno di una traduzione del vocabolario dell'uno nel vocabolario dell'altro. Vedremo ora come il tipo di definizione dei numeri descritta da Russell nel capitolo che abbiamo letto possa essere adattata a questo scopo.

I principali concetti aritmetici coinvolti negli assiomi di Peano sono zero, successore e numero naturale. Questi possono essere definiti come segue:

Zero è l'insieme il cui unico membro è l'insieme vuoto.

Il successore di un insieme a è quell'insieme che contiene ogni insieme che contiene un membro x tale che, se x viene eliminato da quell'insieme, ciò che rimane è un insieme che è membro di a .

Quindi il successore di zero è l'insieme che contiene ogni insieme con la seguente caratteristica: contiene un membro tale che, quando quel membro viene eliminato dall'insieme, l'insieme rimanente è membro di zero. Ma c'è solo un membro di zero: l'insieme vuoto. Quindi il successore di zero è un insieme che contiene tutti gli insiemi che contiene un membro che, una volta eliminato dall'insieme, produce l'insieme vuoto. Ma questo è solo l'insieme di tutti gli insiemi a un membro Gli insiemi a un membro sono quelli che hanno un membro che, una volta eliminato, produce l'insieme vuoto. Quindi il successore di zero - cioè il numero 1 - è l'insieme di tutti gli insiemi uni membri. Il numero 2 è definito come il successore di 1 e così via.

È importante notare che questa definizione non è circolare. Tutto ciò che abbiamo usato sono state le definizioni di zero e successore, e nessuna di queste presuppone concetti aritmetici. Per vedere questo, nota prima le seguenti tre nozioni dalla teoria degli insiemi:

Complemento. Il complemento di un insieme S è l'insieme di tutte le cose che non sono membri di S . ‘Il complemento di S ’ si scrive ‘Comp( S ).’

Unione. L'unione di due insiemi è l'insieme di tutte le cose in entrambi gli insiemi. ‘L'unione di S e T ’ si scrive ‘ S T .’

Intersezione. L'intersezione di due insiemi è l'insieme di tutte le cose che sono membri di entrambi gli insiemi. ‘L'intersezione di S e T ’ è scritta ‘ S T .’

Dati questi, possiamo dare la seguente definizione del successore di 0 (cioè, 1):

0’ = l'insieme di tutti gli insiemi S che soddisfano la seguente condizione: x ( x S & [ S Comp( < x >) 0])

cioè, data la nostra definizione di zero come l'insieme il cui unico membro è l'insieme vuoto,

0’ = l'insieme di tutti gli insiemi S che soddisfano la seguente condizione: x ( x S & [ S Comp( < x >) < >])

(Il ‘trucco’ qui è che l'insieme ottenuto rimuovendo un termine x da un insieme S è l'intersezione di S con il complemento dell'insieme il cui unico membro è x (cioè, < x >).

Definizione di numero naturale

N = il più piccolo insieme contenente zero e chiuso per successore.

3.6 Una dimostrazione degli assiomi dell'aritmetica nel sistema logico di Russell

Finora abbiamo esposto gli assiomi del sistema di Russell, e abbiamo mostrato come, all'interno di quel sistema, possiamo dare definizioni dei termini primitivi usati nell'assiomatizzazione dell'aritmetica. We are now in a position to test those definitions by trying to prove the five axioms of arithmetic on the basis of Russell’s three logical axioms, plus the definitions of zero, successor, and natural number.

(A more in depth version of these proofs is provided in Soames, pp. 146 ff.)

Proof that zero is a natural number

Given the definition of natural number above, this is trivially true.

Proof that the successor any number is a number

This is also trivial, given the definitional claim that the set of natural numbers is closed under successor.

Proof that zero is not the successor of any number

We can prove this by reductio ad absurdum. (To prove some proposition p by reductio ad absurdum is to show that p is true by reducing the negation of p to absurdity -- i.e., to show that p implies a contradiction.)

Proof that no two different numbers have the same successor

To prove this, we show that whenever x,y have the same successor, x = y . This can be proved in two stages.

1. First, suppose that the successor x,y is not the empty set. Then it - call it S - is a set with members. The definition of successor tells us that if S is the successor of x , then if we take any member m of S and eliminate one of its members, the resultant set m ' is a member of x . Parallel reasoning shows that m ' is a member of y . But we know from the definition of the numbers that if x, are numbers and have a member in common, then x = y .

2. How about the other possibility - that the successor of x,y is the empty set? To see why this is worth considering, it is important to see what would have to be true for the successor of some number to be the empty set. Recall that, e.g., the number 23 is the set of all 23-membered sets. (This is not the definition of the number - which is given in terms of successor - but it is equivalent to what the definition says.) Now suppose that there were only 23 objects in the universe. What would the successor of 23 be? The set of all 24-membered sets. But, if there are only 23 objects in the universe, there are no 24-membered sets. That means that the successor of 23, i.e. 24, would be the empty set. Then what would the success of 24 be? The set of all 25-membered sets. But, again, in the scenario being considered, there are none. So 25 would be the empty set, just like 24. So in this scenario, 23 ' = 24 ' , even though 2324. But this conflicts with the axiom of arithmetic which we are trying to prove. Hence this scenario is one which must be ruled out by some axiom of Russell’s logical system. And it is: by axiom 3, the Axiom of Infinity. This axiom says that the empty set is not a member of the set of natural numbers. Now you can see why this strange-sounding axiom is called the Axiom of Infinity: it in effect guarantees that there are infinitely many objects in the universe.

Proof of the validity of mathematical induction

(We will not be discussing the proof of this in class. A brief discussion may be found in Soames, pp. 147-148.)

4 The axiom of infinity, pt. 1

We have shown that the axioms of arithmetic are provable in Russell’s logical system given what we said above about the relations between the axioms and theorems of a theory, this suffices to show that the theorems of arithmetic are also provable in this system.

But you might still have the following doubt about the reduction: is Russell’s system of logic really just a system of logic? This doubt is connected with the Axiom of Infinity. Perhaps it is true that there are infinitely many objects but it does not seem to be a truth of logic that there are. How could we know on the basis of knowledge of logic alone how many things there are?

A response to this problem: iterated sets.

5 Russell’s paradox and the axiom schema of comprehension

But there is a further problem, which Russell was the first to discover, with another of the axioms of the logical systems presented above. This problem is known as Russell’s paradox .

Consider axiom 1, the Axiom Schema of Comprehension. Intuitively, this says that for any way which an object can be (i.e., for any property which an object can have), there is a set of those objects which are that way (i.e., there is a set of just those objects with that property).

Consider first the property of being a member of oneself. Intuitively, this is a property which some sets have, and some sets do not have. The set of all abstract objects, for example, is a member of itself, since sets are abstract objects and the set of all abstract objects is a set. But the set of red things is not a member of itself, since it is not red. So far, so good there is this property of being a member of oneself which some sets have and some do not so presumably there is a set of all those sets which are a member of themselves.

Now consider the opposite property: the property of not being a member of oneself. Since this too appears to be a way that some sets are and some are not, we should be able to talk about the set of all sets which are not a member of themselves. Call this set S :

S = the set of all sets which are not members of themselves.

But now consider the question: is S a member of itself? Suppose first that it is. If it is, then S must not be a member of itself, since this is what it takes to be a member of S . But this is a contradiction. So it must be the case that S is not a member of itself. But then it must be a member of itself, since everything which is not a mmber of itself is in S . But this too is a contradiction. So S cannot exist. But this is shows that the unrestricted axiom schema of comprehension is false.

We can give the same argument more formally as follows.

Since (3) follows from (1), and (3) is a contradiction, (1) is false.

Russell’s solution to this problem: the theory of logical types.

6 The axiom of infinity, pt. 2

The problem that the theory of logical types poses for our understanding of the Axiom of Infinity. Why it shows that the Axiom of Infinity requires the existence of infinitely many objects which are not sets.

7 The paradox of analysis

The epistemological and metaphysical aims of the logicist reduction as dependent on the claim to have captured the meaning of arithmetical statements. A problem with this view the paradox of analysis.

Analyses as opposed to ‘explications,’ which attempt to replace one concept with another, less problematic one which can do the same theoretical work. Some evidence that Russell, at the time of writing Introduction to Mathematical Philosophy , thought of his definitions of the numbers as explications rather than straightforward analyses:

“But when we come to the actual definition of numbers we cannot avoid what must at first sight seem a paradox, though this impression will soon wear off. We naturally think that the class of couples (for example) is something different from the number 2. But there is no doubt about the class of couples: it is indubitable and not difficult to define, whereas the number 2, in any other sense, is a metaphysical entity about which we can never feel sure that it exists or that we have tracked it down. It is therefore more prudent to content ourselves with the class of couples, which we are sure of, than to hunt for a problematical number 2 which must always remain elusive.

. At the expense of a little oddity, this definition secures definiteness and indubitableness and it is not difficult to prove that numbers so defined have all the properties that we expect numbers to have.” (18)


Logical axiom

In a logical system, a logical axiom (sometimes called an axiom for short) is a logically valid (well-formed) formula used in a deductive system (particularly an axiom system) to deduce other logically valid formulas. By a logically valid formula, we mean the formula is true in every interpretation of the logical system. For example, in the classical first-order logic with equality, the formula

may be considered a logical axiom, since it is true in every model. Similarly, the formula

may also be considered a logical axiom, since its interpretation “if for all x the formula A is true, then the formula A is true for an arbitrarily picked x ” is also logically valid.

A logical axiom is to be contrasted from a non-logical axiom, which is a formula that is valid depending on its interpretation. For example, in the first-order theory of abelian groups (with one binary function symbol ⋅ ), the formula x ⋅ y = y ⋅ x is a non-logical axiom. But it fails to be an axiom in the first-order theory of groups.

As discussed above, logical axioms are logically valid formulas set up to deduce other logically valid formulas (called theorems of the system) via certain rules, called rules of inference , for the logical system. These rules have the property that they preserve logical validity. A logical system in which all theorems are logically valid is said to be sound. Conversely, if a logical system in which any logically valid formula is a theorem is said to be complete .

Example . (Classical propositional logic ) Formulas of the following forms can be easily verified to be logicaly valid using the truth-valuation semantics of the logical system:

( a → ( b → c ) ) → ( ( a → b ) → ( a → c ) )

where → is a binary logical connective and ¬ is a unary logical connective, and a , b , c are any (well-formed) formulas. Let us take these formulas as axioms.

Next, we pick a rule of inference. The popular choice is the rule “modus ponens ”, which states that from formulas A and A → B , one my deduce B . It is easy to see that this rule preserves logical validity.

The axioms, together with modus ponens, form a sound deductive system for the classical propositional logic. In addition , it is also complete.

Note that in the above set, we are actually looking at three smaller sets, each set containing formulas of a specific form. For example, the first sets of axioms above is:

Any such a set of axioms is called an axiom scheme, or axiom schema, and a collection of axiom schemas is called the axiom schemata.

Remark . Note that the deductive system in the example above is not unique for classical propositional logic. The idea is that one may take an axiom schema (or schemata), and swap it with a logically equivalent set of schema (or schemata). The resulting schemata, together with the rules, gives a deductive system equivalent to the original one. The following schemata, together with modus ponens, also produces a sound and complete deductive system:


What's So Logical about the “Logical” Axioms?



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