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11.3: Coordinate polari - Matematica


obiettivi formativi

  • Individua i punti in un piano utilizzando le coordinate polari.
  • Converti punti tra coordinate rettangolari e polari.
  • Disegna curve polari da equazioni date.
  • Converti equazioni tra coordinate rettangolari e polari.
  • Identificare la simmetria nelle curve polari e nelle equazioni.

Il sistema di coordinate rettangolari (o piano cartesiano) fornisce un mezzo per mappare punti su coppie ordinate e coppie ordinate su punti. Questo si chiama a mappatura uno a uno da punti nel piano a coppie ordinate. Il sistema di coordinate polari fornisce un metodo alternativo per mappare i punti alle coppie ordinate. In questa sezione vediamo che in alcune circostanze le coordinate polari possono essere più utili delle coordinate rettangolari.

Definizione delle coordinate polari

Per trovare le coordinate di un punto nel sistema di coordinate polari, considera la Figura (PageIndex{1}). Il punto (P) ha coordinate cartesiane ((x,y)). Il segmento di linea che collega l'origine al punto (P) misura la distanza dall'origine a (P) e ha lunghezza (r). L'angolo tra l'asse x positivo e il segmento di linea ha misura (θ). Questa osservazione suggerisce una corrispondenza naturale tra la coppia di coordinate ((x,y)) ei valori (r) e (θ). Questa corrispondenza è alla base della sistema di coordinate polari. Si noti che ogni punto del piano cartesiano ha due valori (da cui il termine coppia ordinata) associati. Nel sistema di coordinate polari, ogni punto ha anche due valori associati: (r) e (θ).

Usando la trigonometria del triangolo rettangolo, le seguenti equazioni sono vere per il punto (P):

[cos =dfrac{x}{r} ext{ quindi }x=rcos θ]

[sin θ=dfrac{y}{r} ext{ quindi }y=rsin θ.]

Inoltre,

[r^2=x^2+y^2]

e

[ an θ=dfrac{y}{x}.]

Ogni punto ((x,y)) nel sistema di coordinate cartesiane può quindi essere rappresentato come una coppia ordinata ((r,θ)) nel sistema di coordinate polari. La prima coordinata si chiama coordinata radiale e la seconda coordinata si chiama coordinata angolare. Ogni punto del piano può essere rappresentato in questa forma.

Nota che l'equazione ( an θ=y/x) ha un numero infinito di soluzioni per ogni coppia ordinata ((x,y)). Tuttavia, se limitiamo le soluzioni a valori compresi tra (0) e (2π) allora possiamo assegnare un'unica soluzione al quadrante in cui si trova il punto originale ((x,y)). Allora il valore corrispondente di (r) è positivo, quindi (r^2=x^2+y^2).

Conversione di punti tra sistemi di coordinate

Dato un punto (P) nel piano con coordinate cartesiane ((x,y)) e coordinate polari ((r,θ)), valgono le seguenti formule di conversione:

[egin{align} x &=rcos θ label{eq1} [4pt] y &=rsin θ label{eq2}end{align}]

e

[egin{align} r^2 &= x^2+y^2 label{eq3}[4pt] an θ &=dfrac{y}{x} label{eq4}end{ allineare}.]

Queste formule possono essere utilizzate per convertire da coordinate rettangolari a polari o da coordinate polari a rettangolari. Nota che l'equazione ef{eq3} è la teorema di Pitagora. (Figura (PageIndex{1})).

Esempio (PageIndex{1}): Conversione tra coordinate rettangolari e polari

Converti ciascuno dei seguenti punti in coordinate polari.

  1. ((1,1))
  2. ((−3,4))
  3. ((0,3))
  4. ((5sqrt{3},-5))

Converti ciascuno dei seguenti punti in coordinate rettangolari.

  1. ((3,π/3))
  2. ((2,3π/2))
  3. ((6,−5π/6))

Soluzione

un. Usa (x=1) e (y=1) nell'equazione ef{eq3}:

[egin{align*} r^2 &=x^2+y^2 [4pt] &=1^2+1^2 r &=sqrt{2} end{align*} ]

e tramite l'equazione ef{eq4}

[egin{align*} an &= dfrac{y}{x} = dfrac{1}{1}=1 [4pt] θ &=dfrac{π}{4}. end{allinea*}]

Pertanto questo punto può essere rappresentato come ((sqrt{2},dfrac{π}{4})) in coordinate polari.

b. Usa (x=−3) e (y=4) nell'equazione ef{eq3}:

[egin{align*} r^2 &= x^2+y^2=(-3)^2+(4)^2 [4pt] r&=5 end{align*}]

e tramite l'equazione ef{eq4}

( an θ=dfrac{y}{x}=-dfrac{4}{3})

(θ=arctan(-dfrac{4}{3})+π≈2.21.)

Pertanto questo punto può essere rappresentato come ((5,2.21)) in coordinate polari.

c. Usa (x=0) e (y=3) nell'equazione ef{eq3}:

(r^2=x^2+y^2=(3)^2+(0)^2=9+0) (r=3)

e tramite l'equazione ef{eq4}

( an θ=dfrac{y}{x}=dfrac{3}{0}).

L'applicazione diretta della seconda equazione porta alla divisione per zero. Il grafico del punto ((0,3)) sul sistema di coordinate rettangolari rivela che il punto si trova sull'asse y positivo. L'angolo tra l'asse x positivo e l'asse y positivo è (dfrac{π}{2}). Pertanto questo punto può essere rappresentato come ((3,dfrac{π}{2})) in coordinate polari.

d. Usa (x=5sqrt{3}) e (y=−5) nell'equazione ef{eq3}:

(r^2=x^2+y^2=(5sqrt{3})^2+(-5)^2=75+25)

(r=10)

e tramite l'equazione ef{eq4}

( an θ=dfrac{y}{x}=dfrac{-5}{5sqrt{3}}=-dfrac{sqrt{3}}{3})

(θ=-dfrac{π}{6}).

Quindi questo punto può essere rappresentato come ((10,−dfrac{π}{6})) in coordinate polari.

e. Usa (r=3) e (θ=dfrac{π}{3}) nell'equazione ef{eq1}:

(x=rcos θ=3cos(dfrac{π}{3})=3(dfrac{1}{2})=dfrac{3}{2})

e

(y=rsin θ=3sin(dfrac{π}{3})=3(dfrac{sqrt{3}}{2})=dfrac{3sqrt{3}}{ 2}).

Pertanto questo punto può essere rappresentato come ((dfrac{3}{2},dfrac{3sqrt{3}}{2})) in coordinate rettangolari.

f. Usa (r=2) e (θ=dfrac{3π}{2}) nell'equazione ef{eq1}:

(x=rcos θ=2cos(dfrac{3π}{2})=2(0)=0)

e

(y=rsin θ=2sin(dfrac{3π}{2})=2(−1)=−2.)

Pertanto questo punto può essere rappresentato come ((0,−2)) in coordinate rettangolari.

g. Usa (r=6) e (θ=−dfrac{5π}{6}) nell'equazione ef{eq1}:

(x=rcos θ=6cos(-dfrac{5π}{6})=6(-dfrac{sqrt{3}}{2})=−3sqrt{3})

e

(y=rsin θ=6sin(−dfrac{5π}{6})=6(-dfrac{1}{2})=−3).

Pertanto questo punto può essere rappresentato come ((−3sqrt{3},−3)) in coordinate rettangolari.

Esercizio (PageIndex{1})

Converti ((−8,−8)) in coordinate polari e ((4,dfrac{2π}{3})) in coordinate rettangolari.

Suggerimento

Usa l'equazione ef{eq3} e l'equazione ef{eq1}. Assicurati di controllare il quadrante quando calcoli (θ).

Risposta

((8sqrt{2},dfrac{5π}{4})) e ((-2,2sqrt{3}))

La rappresentazione polare di un punto non è unica. Ad esempio, le coordinate polari ((2,dfrac{π}{3})) e ((2,dfrac{7π}{3})) rappresentano entrambe il punto ((1,sqrt {3})) nel sistema rettangolare. Inoltre, il valore di r può essere negativo. Pertanto, il punto con coordinate polari ((−2,dfrac{4π}{3})) rappresenta anche il punto ((1,sqrt{3})) nel sistema rettangolare, come si vede usando l'equazione ef{eq1}:

[x=rcos θ=−2cos(dfrac{4π}{3})=−2(−dfrac{1}{2})=1]

e

[y=rsin θ=−2sin(dfrac{4π}{3})=−2(−dfrac{sqrt{3}}{2})=sqrt{3}.]

Ogni punto del piano ha un numero infinito di rappresentazioni in coordinate polari. Tuttavia, ogni punto nel piano ha una sola rappresentazione nel sistema di coordinate rettangolari.

Si noti che la rappresentazione polare di un punto nel piano ha anche un'interpretazione visiva. In particolare, (r) è la distanza diretta che il punto si trova dall'origine e (θ) misura l'angolo che il segmento di linea dall'origine al punto forma con l'asse (x) positivo . Gli angoli positivi sono misurati in senso antiorario e gli angoli negativi sono misurati in senso orario. Il sistema di coordinate polari viene visualizzato in Figura (PageIndex{2}).

Il segmento di linea che parte dal centro del grafico andando verso destra (chiamato asse x positivo nel sistema cartesiano) è il asse polare. Il punto centrale è il palo, o origine, del sistema di coordinate e corrisponde a (r=0). Il cerchio più interno mostrato in Figura (PageIndex{2}) contiene tutti i punti a una distanza di 1 unità dal polo ed è rappresentato dall'equazione (r=1). Allora (r=2) è l'insieme dei punti a 2 unità dal polo, e così via. I segmenti di linea provenienti dal polo corrispondono ad angoli fissi. Per tracciare un punto nel sistema di coordinate polari, iniziare con l'angolo. Se l'angolo è positivo, misurare l'angolo dall'asse polare in senso antiorario. Se è negativo, misuralo in senso orario. Se il valore di r è positivo, sposta quella distanza lungo il raggio terminale dell'angolo. Se è negativo, spostati lungo il raggio opposto al raggio terminale dell'angolo dato.

Esempio (PageIndex{2}): Tracciare punti nel piano polare

Traccia ciascuno dei seguenti punti sul piano polare.

  1. ((2,dfrac{π}{4}))
  2. ((-3,dfrac{2π}{3}))
  3. ((4,dfrac{5π}{4}))

Soluzione

I tre punti sono tracciati nella Figura (PageIndex{3}).

Esercizio (PageIndex{2})

Traccia ((4,dfrac{5π}{3})) e ((−3,−dfrac{7π}{2})) sul piano polare.

Suggerimento

Inizia con (θ), quindi usa (r).

Risposta

Curve polari

Ora che sappiamo come tracciare i punti nel sistema di coordinate polari, possiamo discutere come tracciare le curve. Nel sistema di coordinate rettangolari, possiamo rappresentare graficamente una funzione (y=f(x)) e creare una curva nel piano cartesiano. In modo simile, possiamo rappresentare graficamente una curva generata da una funzione (r=f(θ)).

L'idea generale alla base della rappresentazione grafica di una funzione in coordinate polari è la stessa della rappresentazione grafica di una funzione in coordinate rettangolari. Inizia con un elenco di valori per la variabile indipendente ((θ) in questo caso) e calcola i valori corrispondenti della variabile dipendente (r). Questo processo genera un elenco di coppie ordinate, che possono essere tracciate nel sistema di coordinate polari. Infine, collega i punti e sfrutta eventuali schemi che possono apparire. La funzione può essere periodica, ad esempio, il che indica che è necessario solo un numero limitato di valori per la variabile indipendente.

Strategia di risoluzione dei problemi: tracciare una curva in coordinate polari

  1. Crea una tabella con due colonne. La prima colonna è per (θ) e la seconda colonna è per (r).
  2. Crea un elenco di valori per (θ).
  3. Calcola i corrispondenti valori (r) per ogni (θ).
  4. Traccia ogni coppia ordinata ((r,θ)) sugli assi delle coordinate.
  5. Collega i punti e cerca uno schema.

Esempio (PageIndex{3}): Rappresentazione grafica di una funzione in coordinate polari

Rappresentare graficamente la curva definita dalla funzione (r=4sin θ). Identificare la curva e riscrivere l'equazione in coordinate rettangolari.

Soluzione

Poiché la funzione è un multiplo di una funzione seno, è periodica con punto (2π), quindi utilizzare valori per (θ) compresi tra (0) e (2π). Il risultato dei passaggi 1-3 viene visualizzato nella tabella seguente. La figura (PageIndex{4}) mostra il grafico basato su questa tabella.

(θ)(r=4peccato θ)(θ)(r=4peccato θ)
00(π)0
(dfrac{π}{6})2(dfrac{7π}{6})(-2)
(dfrac{π}{4})(2sqrt{2}≈2.8)(dfrac{5π}{4})(-2sqrt{2}≈-2,8)
(dfrac{π}{3})(2sqrt{3}≈3.4)(dfrac{4π}{3})(-2sqrt{3}≈-3.4)
(dfrac{π}{2})4(dfrac{3π}{2})(-4)
(dfrac{2π}{3})(2sqrt{3}≈3.4)(dfrac{5π}{3})(-2sqrt{3}≈-3.4)
(dfrac{3π}{4})(2sqrt{2}≈2.8)(dfrac{7π}{4})(-2sqrt{2}≈-2,8)
(dfrac{5π}{6})2(dfrac{11π}{6})−2
(2π)0

Questo è il grafico di un cerchio. L'equazione (r=4sin θ) può essere convertita in coordinate rettangolari moltiplicando prima entrambi i membri per (r). Questo dà l'equazione (r^2=4rsin θ.) Quindi usa i fatti che (r^2=x^2+y^2) e (y=rsin θ). Questo dà (x^2+y^2=4y). Per mettere questa equazione in forma standard, sottrai (4y) da entrambi i lati dell'equazione e completa il quadrato:

[egin{align*} x^2+y^2−4y &= 0 [4pt] x^2+(y^2−4y) &= 0 [4pt] x^2+(y ^2−4y+4) &= 0+4 [4pt] x^2+(y-2)^2&=4 end{align*}]

Questa è l'equazione di un cerchio con raggio 2 e centro ((0,2)) nel sistema di coordinate rettangolari.

Esercizio (PageIndex{3})

Creare un grafico della curva definita dalla funzione (r=4+4cos θ).

Suggerimento

Segui la strategia di risoluzione dei problemi per creare un grafico in coordinate polari.

Risposta

Il nome di questa forma è un cardioide, che studieremo più avanti in questa sezione.

Il grafico nell'esempio (PageIndex{3}) era quello di un cerchio. L'equazione del cerchio può essere trasformata in coordinate rettangolari utilizzando le formule di trasformazione delle coordinate in Equation ef{eq1}. L'esempio (PageIndex{4}) fornisce altri esempi di funzioni per la trasformazione da coordinate polari a rettangolari.

Esempio (PageIndex{4}): Trasformazione di equazioni polari in coordinate rettangolari

Riscrivi ciascuna delle seguenti equazioni in coordinate rettangolari e identifica il grafico.

  1. (θ=dfrac{π}{3})
  2. (r=3)
  3. (r=6cos θ−8sin θ)

Soluzione:

un. Prendi la tangente di entrambi i lati. Questo dà ( an θ= an(π/3)=sqrt{3}). Poiché ( an θ=y/x) possiamo sostituire il lato sinistro di questa equazione con ( y/x). Questo dà (y/x=sqrt{3}), che può essere riscritto come (y=xsqrt{3}). Questa è l'equazione di una retta passante per l'origine con pendenza (sqrt{3}). In generale, qualsiasi equazione polare della forma (θ=K) rappresenta una retta passante per il polo con pendenza uguale a ( an K).

b. Per prima cosa, quadra entrambi i lati dell'equazione. Questo dà (r^2=9.) Quindi sostituisci (r^2) con (x^2+y^2). Questo dà l'equazione (x^2+y^2=9), che è l'equazione di un cerchio centrato nell'origine con raggio 3. In generale, qualsiasi equazione polare della forma (r=k) dove K è una costante positiva rappresenta un cerchio di raggio K centrata nell'origine. (Nota: quando si quadrano entrambi i membri di un'equazione è possibile introdurre nuovi punti involontariamente. Questo dovrebbe essere sempre preso in considerazione. Tuttavia, in questo caso non introduciamo nuovi punti. Ad esempio, ((−3,dfrac {π}{3})) è lo stesso punto di ((3,dfrac{4π}{3})).)

c. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per (r). Questo porta a (r^2=6rcos θ−8rsin θ). Quindi usa le formule

(r^2=x^2+y^2,x=rcos ,y=rsin θ.)

Questo da

(r^2=6(rcos )−8(rsin θ))

(x^2+y^2=6x-8y.)

Per mettere questa equazione in forma standard, sposta prima le variabili dal lato destro dell'equazione al lato sinistro, quindi completa il quadrato.

(x^2+y^2=6x-8y)

(x^2−6x+y^2+8y=0)

((x^2−6x)+(y^2+8y)=0)

((x^2−6x+9)+(y^2+8y+16)=9+16)

((x-3)^2+(y+4)^2=25.)

Questa è l'equazione di un cerchio con centro in ((3,−4)) e raggio 5. Notare che il cerchio passa per l'origine poiché il centro è a 5 unità di distanza.

Esercizio (PageIndex{4})

Riscrivi l'equazione (r=sec θ an θ) in coordinate rettangolari e identifica il suo grafico.

Suggerimento

Converti in seno e coseno, quindi moltiplica entrambi i membri per il coseno.

Risposta

(y=x^2), che è l'equazione di una parabola che si apre verso l'alto.

Abbiamo ora visto diversi esempi di disegno di grafici di curve definite da equazioni polari. Un riepilogo di alcune curve comuni è fornito nelle tabelle seguenti. In ogni equazione, un e b sono costanti arbitrarie.

UN cardioide è un caso speciale di a limaçon (pronunciato "lee-mah-son"), in cui (a=b) o (a=-b). Il rosa ioè una curva molto interessante. Nota che il grafico di (r=3sin 2θ) ha quattro petali. Tuttavia, il grafico di (r=3sin 3θ) ha tre petali come mostrato.

Se il coefficiente di (θ) è pari, il grafico ha il doppio dei petali del coefficiente. Se il coefficiente di (θ) è dispari, il numero di petali è uguale al coefficiente. Sei incoraggiato a esplorare il motivo per cui ciò accade. Grafici ancora più interessanti emergono quando il coefficiente di (θ) non è un intero. Ad esempio, se è razionale, la curva è chiusa; cioè, alla fine finisce dove è iniziato (Figura (PageIndex{8a})). Tuttavia, se il coefficiente è irrazionale, la curva non si chiude mai (Figura (PageIndex{8b})). Sebbene possa sembrare che la curva sia chiusa, un esame più attento rivela che i petali appena sopra l'asse x positivo sono leggermente più spessi. Questo perché il petalo non corrisponde del tutto al punto di partenza.

Poiché la curva definita dal grafico di (r=3sin(πθ)) non si chiude mai, la curva mostrata in Figura (PageIndex{8b}) è solo una rappresentazione parziale. In effetti, questo è un esempio di a curva di riempimento dello spazio. Una curva che riempie lo spazio è quella che di fatto occupa un sottoinsieme bidimensionale del piano reale. In questo caso la curva occupa il cerchio di raggio 3 centrato nell'origine.

Esempio (PageIndex{5}): descrizione di una spirale

ricorda il nautilus a camera introdotto nel capitolo preludio. Questa creatura mostra una spirale quando metà del guscio esterno viene tagliata. È possibile descrivere una spirale utilizzando coordinate rettangolari. La figura (PageIndex{9}) mostra una spirale in coordinate rettangolari. Come possiamo descrivere matematicamente questa curva?

Soluzione

Come il punto P percorre la spirale in senso antiorario, la sua distanza d dall'origine aumenta. Assumiamo che la distanza d sia un multiplo costante k dell'angolo (θ) che il segmento OP forma con l'asse x positivo. Quindi (d(P,O)=kθ), dove (O) è l'origine. Ora usa la formula della distanza e un po' di trigonometria:

(d(P,O)=kθ)

(sqrt{(x−0)^2+(y−0)^2}=karctan(dfrac{y}{x}))

(sqrt{x^2+y^2}=karctan(dfrac{y}{x}))

(arctan(dfrac{y}{x})=dfrac{sqrt{x^2+y^2}}{k})

(y=x an(dfrac{sqrt{x^2+y^2}}{k})).

Sebbene questa equazione descriva la spirale, non è possibile risolverla direttamente per nessuno dei due X o y. Tuttavia, se usiamo le coordinate polari, l'equazione diventa molto più semplice. In particolare, (d(P,O)=r), e (θ) è la seconda coordinata. Pertanto l'equazione per la spirale diventa (r=kθ). Nota che quando (θ=0) abbiamo anche (r=0), quindi la spirale emana dall'origine. Possiamo rimuovere questa restrizione aggiungendo una costante all'equazione. Quindi l'equazione per la spirale diventa (r=a+kθ) per le costanti arbitrarie (a) e (k). Questo è indicato come an Spirale di Archimede, dal matematico greco Archimede.

Un altro tipo di spirale è la spirale logaritmica, descritta dalla funzione (r=a⋅b^θ). Un grafico della funzione (r=1,2(1,25^θ)) è riportato in Figura (PageIndex{10}). Questa spirale descrive la forma a conchiglia del nautilus a camera.

Supponiamo che una curva sia descritta nel sistema di coordinate polari tramite la funzione (r=f(θ)). Poiché abbiamo formule di conversione da coordinate polari a rettangolari date da

[x=rcos ]

[y=rsin θ],

è possibile riscrivere queste formule utilizzando la funzione

[x=f(θ)cos θ]

[y=f(θ)sin θ.]

Questo passaggio fornisce una parametrizzazione della curva in coordinate rettangolari utilizzando (θ) come parametro. Ad esempio, la formula a spirale (r=a+bθ) dalla figura diventa

[x=(a+bθ)cos θ]

[y=(a+bθ)sin θ.]

Lasciando che (θ) vada da (−∞) a (∞) si genera l'intera spirale.

Simmetria in coordinate polari

Quando si studia simmetria di funzioni in coordinate rettangolari (cioè nella forma (y=f(x))), si parla di simmetria rispetto alla -asse e simmetria rispetto all'origine. In particolare, se (f(−x)=f(x)) per ogni (x) nel dominio di (f), allora (f) è una funzione pari e il suo grafico è simmetrico con rispetto al -asse. Se (f(−x)=−f(x)) per tutti X nel dominio di (f), allora f è una funzione dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine. Determinando quali tipi di simmetria mostra un grafico, possiamo imparare di più sulla forma e l'aspetto del grafico. La simmetria può anche rivelare altre proprietà della funzione che genera il grafico. La simmetria nelle curve polari funziona in modo simile.

Simmetria in curve polari ed equazioni

Consideriamo una curva generata dalla funzione (r=f(θ)) in coordinate polari.

  1. La curva è simmetrica rispetto all'asse polare se per ogni punto ((r,θ)) sul grafico, il punto ((r,−θ)) è anche sul grafico. Allo stesso modo, l'equazione (r=f(θ)) rimane invariata sostituendo (θ) con (−θ).
  2. La curva è simmetrica rispetto al polo se per ogni punto ((r,θ)) sul grafico, il punto ((r,π+θ)) è anche sul grafico. Allo stesso modo, l'equazione (r=f(θ)) rimane invariata quando si sostituisce (r) con (−r), o (θ) con (π+θ.)
  3. La curva è simmetrica rispetto alla retta verticale (θ=dfrac{π}{2}) se per ogni punto ((r,θ)) sul grafico, il punto ((r,π−θ) ) è anche sul grafico. Allo stesso modo, l'equazione (r=f(θ)) rimane invariata quando (θ) viene sostituito da (π−θ).

La tabella seguente mostra esempi di ogni tipo di simmetria.

Esempio (PageIndex{6}): Utilizzo della simmetria per rappresentare graficamente un'equazione polare

Trova la simmetria della rosa definita dall'equazione (r=3sin(2θ)) e crea un grafico.

Soluzione

Supponiamo che il punto ((r,θ)) sia sul grafico di (r=3sin(2θ).)

io. Per verificare la simmetria rispetto all'asse polare, prova prima a sostituire (θ) con (−θ). Questo dà (r=3sin(2(−θ))=−3sin(2θ)). Poiché questo cambia l'equazione originale, questo test non è soddisfatto. Tuttavia, tornando all'equazione originale e sostituendo (r) con (−r) e (θ) con (π−θ) si ottiene

[ egin{align*} −r&=3sin(2(π−θ)) [4pt] −r &=3sin(2π−2θ) [4pt] −r &=3 sin(−2θ) [4pt] −r &=−3sin2θ. end{allinea*}]

Moltiplicando entrambi i membri di questa equazione per (−1) si ottiene (r=3sin 2θ), che è l'equazione originale. Ciò dimostra che il grafico è simmetrico rispetto all'asse polare.

ii. Per verificare la simmetria rispetto al polo, sostituire prima (r) con (−r), che restituisce (−r=3sin(2θ)). Moltiplicando entrambi i membri per (−1) si ottiene (r=−3sin(2θ)), che non concorda con l'equazione originale. Pertanto l'equazione non supera il test per questa simmetria. Tuttavia, tornando all'equazione originale e sostituendo (θ) con (θ+π) si ottiene

[ egin{align*} r&=3sin(2(θ+π)) [4pt] &=3sin(2θ+2π) [4pt] &=3(sin 2θ cos 2π + cos 2θ sin 2π) [4pt] &=3sin 2θ. end{allinea*}]

Poiché questo concorda con l'equazione originale, il grafico è simmetrico rispetto al polo.

ii. Per verificare la simmetria rispetto alla linea verticale (θ=dfrac{π}{2}), prima sostituisci sia (r) con (−r) che (θ) con (− ).

[ egin{align*} −r &=3sin(2(−θ)) [4pt] −r &=3sin(-2θ) [4pt] −r &=−3 peccato 2θ. Pertanto il grafico è simmetrico rispetto alla linea verticale (θ=dfrac{π}{2}).

Questo grafico ha simmetria rispetto all'asse polare, all'origine e alla linea verticale che passa per il polo. Per rappresentare graficamente la funzione, tabulare i valori di (θ) tra (0) e (π/2) e quindi riflettere il grafico risultante.

00
(dfrac{π}{6})(dfrac{3sqrt{3}}{2}≈2.6)
(dfrac{π}{4})3
(dfrac{π}{3})(dfrac{3sqrt{3}}{2}≈2.6)
(dfrac{π}{2})0

Questo dà un petalo della rosa, come mostrato nel grafico seguente.

Riflettendo questa immagine negli altri tre quadranti si ottiene l'intero grafico come mostrato.

Esercizio (PageIndex{5})Simmetria

Determinare la simmetria del grafico determinata dall'equazione (r=2cos(3θ)) e creare un grafico.

Suggerimento

Usa nota.

Risposta

Simmetrico rispetto all'asse polare.

Concetti chiave

  • Il sistema di coordinate polari fornisce un modo alternativo per individuare i punti nel piano.
  • Converti i punti tra coordinate rettangolari e polari usando le formule

[x=rcos θ ext{ e } y=rsin θ]

e

[r=sqrt{x^2+y^2} ext{ e} an θ=dfrac{y}{x}.]

  • Per tracciare una curva polare da una data funzione polare, creare una tabella di valori e sfruttare le proprietà periodiche.
  • Utilizzare le formule di conversione per convertire equazioni tra coordinate rettangolari e polari.
  • Identificare la simmetria nelle curve polari, che può verificarsi attraverso il polo, l'asse orizzontale o l'asse verticale.

Glossario

coordinata angolare
(θ) l'angolo formato da un segmento di linea che collega l'origine a un punto nel sistema di coordinate polari con l'asse radiale positivo (x), misurato in senso antiorario
cardioide
una curva piana tracciata da un punto sul perimetro di un cerchio che sta rotolando attorno ad un cerchio fisso dello stesso raggio; l'equazione di un cardioide è (r=a(1+sin θ)) o (r=a(1+cos θ))
limaçon
il grafico dell'equazione (r=a+bsin θ) o (r=a+bcos θ.) Se (a=b) allora il grafico è un cardioide
asse polare
l'asse orizzontale nel sistema di coordinate polari corrispondente a (r≥0)
sistema di coordinate polari
un sistema per localizzare i punti nel piano. Le coordinate sono (r), la coordinata radiale, e (θ), la coordinata angolare
equazione polare
un'equazione o una funzione che mette in relazione la coordinata radiale con la coordinata angolare nel sistema di coordinate polari
palo
il punto centrale del sistema di coordinate polari, equivalente all'origine di un sistema cartesiano
coordinata radiale
(r) la coordinata nel sistema di coordinate polari che misura la distanza da un punto nel piano al polo
rosa
grafico dell'equazione polare (r=acos 2θ) o (r=asin 2θ) per una costante positiva (a)
curva che riempie lo spazio
una curva che occupa completamente un sottoinsieme bidimensionale del piano reale

Dimostrazione delle equazioni di Cauchy Riemann in coordinate polari

Come si potrebbe dimostrare che la versione polare delle equazioni di Cauchy Riemann è sufficiente per ottenere la differenziabilità di una funzione a valori complessi che ha derivate parziali continue?

Non ho trovato alcuna prova di ciò in linea.

Una delle mie idee era scrivere $r$ e $ heta$ in termini di $x$ e $y$, quindi prendere le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e mostrare le equazioni di Cauchy Riemann nel cartesiano sistema di coordinate sono soddisfatti. Un problema con questo approccio è che i derivati ​​diventano disordinati.

Quali sono altri modi per farlo?


Matematica PreCalculus Matematica in Nebraska

Il sistema di coordinate con cui abbiamo più familiarità è chiamato sistema di coordinate cartesiane, un piano rettangolare diviso in quattro quadranti da assi orizzontali e verticali. Le coordinate cartesiane identificano un punto su questo piano in base a quanto lontano si trova a sinistra oa destra dall'origine (la coordinata (x)) e quanto si trova sopra o sotto l'origine (la coordinata (y)).

Nei capitoli precedenti, abbiamo trovato le coordinate cartesiane di un punto sul cerchio unitario a un dato angolo dall'asse orizzontale positivo. A volte un angolo, insieme alla distanza di un punto dall'origine, fornisce un modo più utile per descrivere la posizione del punto rispetto alle coordinate cartesiane convenzionali.

Sottosezione Coordinate polari

I di un punto sono costituiti da una coppia ordinata, ((r, heta) ext<,>) dove (r) è la distanza dal punto all'origine e ( heta) è l'angolo misurato in posizione standard.

Nota che se dovessimo "grigliare" il piano per le coordinate polari, apparirebbe come il grafico qui sotto, con cerchi a raggi incrementali e raggi disegnati ad angoli incrementali.

Esempio 77

Traccia il punto polare (displaystyle left(3,frac<5pi><6> ight))

Questo punto sarà una distanza di 3 dall'origine ad un angolo di (5pi/6 ext<.>) Tracciando questo punto otteniamo il grafico mostrato sotto.

Esempio 78

Traccia il punto polare (displaystyle left(2,-frac<4> ight))

Questo punto sarà una distanza di 2 dall'origine ad un angolo di (-pi/4 ext<.>) Tracciando questo punto otteniamo il grafico mostrato sotto.

Nota 79

Nell'esempio precedente, abbiamo tracciato il punto polare ((2,-pi/4) ext<.>) Notare che il punto risultante sul grafico è lo stesso del punto polare

Qualsiasi punto cartesiano può essere rappresentato da un numero infinito di diverse coordinate polari aggiungendo o sottraendo rotazioni complete al valore ( heta) di questi punti. Ad esempio, lo stesso punto potrebbe anche essere rappresentato come

Il numero di modi diversi per rappresentare un punto polare è infinito.

Sottosezione Conversione tra coordinate polari e cartesiane

Per convertire tra coordinate polari e coordinate cartesiane, possiamo usare le relazioni trigonometriche che abbiamo incontrato nel Capitolo 1.

Per convertire tra le coordinate polari ((r, heta)) e cartesiane ((x,y)), possiamo usare le seguenti relazioni

Da queste relazioni e dalla nostra conoscenza del cerchio unitario, se (r=1) e ( heta=pi/3 ext<,>) le coordinate polari sarebbero

e le corrispondenti coordinate cartesiane sarebbero

Nota 80

Ricordare i valori del cerchio unitario sarà molto utile durante la conversione tra coordinate cartesiane e polari.

Esempio 81

Trova le coordinate cartesiane di un punto con le coordinate polari

Usando le relazioni di cui sopra, le coordinate (x) e (y) del punto sono

Quindi, le coordinate cartesiane sono

Nota che poiché (2pi/3) è un angolo comune sul cerchio unitario, possiamo trovare le coordinate cartesiane invece di usare una calcolatrice per trovare valori approssimativi per (x) e (y ext<. >)

Esempio 82

Trova le coordinate cartesiane di un punto con le coordinate polari

Usando le relazioni di cui sopra, le coordinate (x) e (y) del punto sono

Poiché ( heta=4.3) radianti non è un angolo comune sul cerchio unitario, dobbiamo usare le nostre calcolatrici per trovare valori approssimativi per (x) e (y ext<.>) Usando le nostre calcolatrici , noi abbiamo

Quindi, le coordinate cartesiane sono

Esempio 83

Trova le coordinate polari di un punto con le coordinate cartesiane

Iniziamo tracciando il punto ((x,y)=(3,-4)) su un grafico e utilizzando il teorema di Pitagora per trovare il raggio corrispondente del punto. Lo capiamo

Ora che conosciamo il raggio, possiamo trovare l'angolo usando una qualsiasi delle tre relazioni trigonometriche. Tieni presente che potrebbe esserci più di una soluzione quando risolvi per ( heta) e dovremo considerare il quadrante in cui si trova il nostro punto ((x,y)) per decidere quale soluzione utilizzare.

Usando la funzione coseno, otteniamo che

Poiché questo valore del coseno non corrisponde a un angolo comune sul cerchio unitario, dobbiamo usare la funzione del coseno inverso per risolvere ( heta ext<,>) che ci dà

Poiché (0.927) è maggiore di 0 e minore di (pi/2 about 1.571 ext<,>) sappiamo che ( heta=0.927) si trova nel quadrante I. Poiché il punto ( (x,y)=(3,-4)) si trova nel quadrante IV, dobbiamo trovare l'altro angolo sul cerchio unitario con (cos( heta) = 0.6)

Ricordiamo dalle funzioni trigonometriche inverse che possiamo usare la simmetria del cerchio unitario per trovare questo secondo angolo. Per simmetria, le grandezze dei due angoli mostrati sotto sono uguali. Quindi, ( heta=-0.927) è un altro angolo che soddisfa (cos( heta) = 0.6)

Pertanto, le coordinate polari del punto sono

Esempio 84

Trova le coordinate polari di un punto con le coordinate cartesiane

Iniziamo tracciando il punto ((x,y)=(-4sqrt<2>,4sqrt<2>)) su un grafico e utilizzando il teorema di Pitagora per trovare il raggio corrispondente del punto. Lo capiamo

Ora che conosciamo il raggio, possiamo trovare l'angolo usando una qualsiasi delle tre relazioni trigonometriche. Tieni presente che potrebbe esserci più di una soluzione quando risolvi per ( heta) e dovremo considerare il quadrante in cui si trova il nostro punto ((x,y)) per decidere quale soluzione utilizzare.

Usando la funzione seno, otteniamo che

Poiché (y=sqrt<2>/2) corrisponde a un angolo comune sulla circonferenza unitaria, possiamo trovare un angolo esatto. I due angoli che hanno un valore seno di (sqrt<2>2) sul cerchio unitario sono

Poiché il punto ((x,y)=(-4sqrt<2>,4sqrt<2>)) si trova nel quadrante II, possiamo determinare che ( heta=3pi/4 text<.>) Quindi, le coordinate polari sono

Esempio 85

Converti le coordinate polari ((r, heta)=(2,pi)) in coordinate cartesiane.

Converti le coordinate cartesiane ((x,y)=(0,-4)) in coordinate polari.

Usando le relazioni di cui sopra, le coordinate (x) e (y) del punto sono

Pertanto le coordinate cartesiane sono ((x,y)=(2,0) ext<.>)

Iniziamo tracciando il punto ((x,y)=(0,-4)) su un grafico.

Curve di sottosezione descritte utilizzando le equazioni polari

Proprio come un'equazione cartesiana come (y=x^2) descrive una relazione tra i valori (x) e (y) su una griglia cartesiana, un'equazione polare può essere scritta descrivendo una relazione tra (r ) e ( heta) su una griglia polare.

Esistono molti tipi di curve che possono essere tracciate utilizzando le funzioni trigonometriche. In questa sezione, ci concentriamo sul disegno di cerchi e raggi.

Esempio 86

Disegna un grafico dell'equazione polare (r=2 ext<.>)

Recall that when a variable does not show up in the equation, it does not matter what value that variable has. The output for the equation will remain the same.

For example, the Cartesian equation (y=2) describes all the points where (y=2 ext<,>) no matter what the (x) values are, which produces a horizontal line.

Likewise, this polar equation describes all points at a distance of 2 from the origin, no matter the value of angle ( heta ext<.>) Therefore, this equation produces a circle of radius 2 on a polar graph.

Note that we graphed the polar equation (r=2) on a polar grid. However, polar graphs are often graphed on a Cartesian coordinate system, as shown below. We will use both types of graphs in future examples.

Example 87

Sketch a graph of the polar equation

Like the previous example, this polar equation involves only one variable, ( heta ext<.>) Therefore, ( heta=pi/3) describes all points at an angle of (pi/3) from the origin, regardless of the value of the radius, (r ext<.>) This equation produces a ray through the origin which makes an angle of (pi/3) with the positive horizontal axis.

Subsection Describing Regions with Polar Inequalities

In addition to graphing polar equations, we can also write polar inequalities to describe regions in the plane. Sometimes, this is not easily done with Cartesian coordinates.

Example 88

Shade the region described by the polar inequalities

In the shaded region below, ( heta) is restricted to be between (pi/6) and (pi/3) (including those angles). Within that range for ( heta ext<,>) all positive (r) values are allowed. Thus, the shaded region shown below is represented by the polar inequalities

Example 89

Shade the region described by the polar inequalities

In the shaded region below, (r) is restricted to be between (1) and (2.5 ext<.>) Notice that we do not want to include the points corresponding to (r=1) and (r=2.5) so we use dashed lines instead of solid ones. Any value of ( heta) between (0) and (2pi) is allowed. Thus, the washer shaped region shaded below is represented by the polar inequalities

Example 90

Write a set of polar inequalities to describe the shaded region shown below.

The shaded region begins at the origin and has an outer radius of 2. Therefore,

The shaded region stretches from the angle (pi/2) to the angle (4pi/3 ext<,>) so

Putting together these bounds for (r) and ( heta) gives us the polar inequalities

Example 91

Write a set of polar inequalities to describe the shaded region shown below.

The shaded region has an inner radius of 2 and an outer radius of 3. Since there are dotted lines at these two radii, we need to use strict inequalities. Perciò,

The shaded region stretches from the angle (3pi/2) to the angle (5pi/6 ext<.>) However, (3pi/2) is greater than (5pi/6 ext<,>) so in order to describe the shaded region, ( heta) cannot be greater than (3pi/2) and less than (5pi/6 ext<.>) Instead, we can use the angle (-pi/2) as our lower bound. This gives us the inequality

Notice that ( heta) can equal (-pi/2) and (5pi/6 ext<,>) as represented by the solid lines. Putting together the bounds for (r) and ( heta) gives us the polar inequalities


Difference Between Cartesian Coordinates and Polar Coordinates

In Geometry, a coordinate system is a reference system, where numbers (or coordinates) are used to uniquely determine the position of a point or other geometric element in space. The coordinate systems allow the geometrical problems to be converted into a numerical problem, which provides the basis for Analytic Geometry.

Cartesian coordinate system and the Polar coordinate systems are two of the common coordinate systems used in mathematics.

Cartesian Coordinates

Cartesian coordinate system uses the real number line as the reference. In one dimension, the number line extends from negative infinity to positive infinity. Considering the point 0 as the start, the length to each point can be measured. This provides a unique way of identifying a position on the line, with a single number.

The concept can be extended into two and three dimensions where number lines perpendicular to each other are used. They all share the same point 0 as the start. The number lines are termed as axes, and often called X axis, Y axis, and Z axis. The distance to a point along each axis starting from (0, 0, 0), which is also known as the origin, and given as a tuple is known as the coordinate of the point. A general point in this space can be represented by the coordinate (x,y,z). In a plane system where there are only two axes, coordinates are given as (x,y). A plane created by the axes are known as a Cartesian plane, and often referred to by the letters of the axes. Per esempio. XY plane.

This general point can be used to describe different geometrical elements by constraining the general point to behave in specific ways. For example, equation x^2+y^2=a^2 represents a circle. Rather than drawing a circle with radius a it is possible to denote the circle with more abstract way shown above.

Polar Coordinates

Polar coordinates use a difference reference system to denote a point. Polar coordinates system uses the counter clockwise angle from the positive direction of x axis and the straight line distance to the point as the coordinates.

The polar coordinates can be represented as above in the two dimensional Cartesian coordinates system.

The transformation between polar and Cartesian systems is given by following relations:

r = √(x 2 + y 2 ) ↔ x = r cosθ, y = r sinθ

What is the difference between Cartesian and Polar Coordinates?

• Cartesian coordinates use number lines as the axes, and it can be used in one, two or three dimensions. Therefore has the ability to represent linear, planar, and solid geometries.

• Polar coordinates use an angle and a length as the coordinates, and it can represent only linear and planar geometries, though it can be developed into cylindrical coordinates system, to represent solid geometries.


Polar Plots

When plotting in polar, we typically take (r) to be a function of ( heta) . In doing so, we get curves that are tanto different than the curves we get as functions of (x) in rectangular coordinates. Here are a couple examples animated as ( heta) goes from (0) to (2pi) (you won't be responsible for knowing these):

Let's start more simply by just consider what happens when we plot the curves corresponding to equations of the form (r = ext<[constant]>) and ( heta = ext<[constant]>) .

Example 4

Consider the equation (r=3) . We want to plot all the points in the plane with an (r) -coordinate of 3. Since (r) measures distance from the origin, this means that we want all points that are 3 units from the origin: its a circle. Below, (r=3) is plotted and animated as ( heta) goes from (0) to (2pi) .

Example 5

What if we set ( heta) equal to a constant, say, ( heta=pi/6) ? Then we want all points of the form ((r,pi/6)) , where (r) can be any value, positive or negative. In this case, we get a line. Below, ( heta = pi / 6) is plotted and animated as (r) goes from (-4) to (4) .

Example 6

Now let's look at some functions of ( heta) . For example, consider (r = 2cos heta) . Let's start by making a table of some values.

( heta) r
(0) 2
(pi/6) (sqrt3)
(pi/4) (sqrt2)
(pi/3) (1)
(pi/2) (0)
(2pi/3) (-1)
(3pi/4) (-sqrt2)
(5pi/6) (-sqrt3)
(pi) (-2)

Notice that we're already back to where we started! If we carefully plot these points we get the following picture:

Here I've animated the graph for (0leq hetaleq 2pi) , so it goes around the circle twice. This will be important when we talk about integrating functions in polar.

We can show that this is definitely a circle by manipulating the equation (r = 2cos heta) a bit. First, multiply both sides by (r) . Poi abbiamo

We saw earlier that (r^2 = x^2 + y^2) and (rcos heta = x) . So we have:

This is the equation for a circle with radius 1, centered at (1,0).

Generalizing a bit, we'll find that any equation of the form (r = acos heta) creates a circle centered at ((a/2, 0)) with radius (a/2) .

Example 7

A similar thing happens when we consider equations of the form (r = asin heta) . For example, let consider (r = -2 sin heta) . Repeating our multiply by (r) and complete the square trick, we get

Here it is plotted and animated:

Again, we go around the circle due volte over (0leq hetaleq 2pi) .

Example 8: Cardioid

One important polar curve that you've probably never encountered before is the Cardioid. Consider the equation (r = 1 + cos heta) . Let's start by plotting some points:

( heta) r
(0) 2
(pi/6) (1+sqrt3/2)
(pi/4) (1+sqrt2/2)
(pi/3) (3/2)
(pi/2) (1)
(2pi/3) (1/2)
(3pi/4) (1-sqrt2/2)
(5pi/6) (1-sqrt3/2)
(pi) (0)

Because (cos heta) is even (i.e (cos- heta = cos heta) ), we'll get the mirror images of these points over the (y) -axis. Here it is plotted and animated for (0leq hetaleq 2pi) .

Generalizing: cardioids take the form (r=a(1+cos heta)) and (r=a(1+sin heta))

An application: The cardioid is a common polar pattern in microphones. The polar pattern of a microphone describes how sensitive it is to sound coming from various angles.


How do you convert rectangular coordinates to polar coordinates?

Basically, if you are given an #(r,theta)# -a polar coordinate- , you can plug your #r# and #theta# into your equation for #x=rcos theta # and #y=rsin theta# to get your #(x,y)# .

The same holds true for if you are given an #(x,y)# -a rectangular coordinate- instead. You can solve for #r# in #r^2=x^2+y^2# to get #r=sqrt(x^2+y^2)# and solve for #theta# in #tan theta= y/x# to get #theta=arctan (y/x)# (arctan is just tan inverse, or #tan^-1# ). Note that there can be infinitely many polar coordinates that mean the same thing. For example, #(5, pi/3)=(5,-5pi/3)=(-5,4pi/3)=(-5,-2pi/3)# . However, by convention, we are always measuring positive #theta# COUNTERCLOCKWISE from the x-axis, even if our #r# is negative.

Let's look at a couple examples.

( 1)Convert #(4,2pi/3)# into Cartesian coordinates.

So we just plug in our #r=4# and #theta= 2pi/3# into

#x=4cos 2pi/3=-2#
#y=4sin 2pi/3=2sqrt3#

The cartersian coordinate is #(-2,2sqrt3)#

(2) Convert #(1,1)# into polar coordinates. ( since there are many posibilites of this, the restriction here is that #r# must be positive and #theta# must be between 0 and #pi# )

So, #x=1# and #y=1# . We can find # r# and #theta# from:
#r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2#
#theta=arctan (y/x)=arctan(1)=pi/4#


11.3: Polar Coordinates - Mathematics

There are two directions: the r direction is the direction of a vector from the origin to the point in question
a unit vector in this direction has representation:

tur = io cos+ j sin

thedirection is normal to this:

tu = -io sin + j cos

The vector r is represented in this coordinate system by r = rtur , where r = (x 2 +y 2 ) 1/2
since we have

r(t) = x(t) io + y(t) j

Taking derivatives we find

verify by differentiating yourself that

We can compute the second derivative in polar coordinates by continued accurate use of the product and chain rules and

The second and fourth terms here are sometimes referred to in physics as the centrifugal and Coriolis forces. Thus if an object is subject to no external force, so that

you will find that it obeys

The former causes the radial velocity to grow if there is angular motion: the latter slows down the angular motion if the object is moving away from the origin.


Coolidge: Origin of Polar Coordinates

Polar coordinates were used for special purposes and for the study of particular curves before they were appreciated as a general geometrical tool. The first writer to employ them was Bonaventura Cavalieri, who used them to find the area within an Archimedian spiral by relating it to that outside a parabola. Pascal used the same transformation to calculate the length of a parabolic are, a problem previously solved by Roberval, but his solution was not universally accepted as valid. James Gregory had a similar transformation between two individual curves, where the areas were related, while Pierre Varignon used a slightly different transformation for the study of spirals.

The first writer who looked on polar coordinates as a means of fixing any point in the plane was Newton. He, however, considered them alongside Cartesian, bipolar, and other systems, his only interest at that point being to show how the tangent could be determined when the equation of the curve was given in the one or the other system. A deeper interest was shown by Jacob Bernoulli, who went so far as to write the expression for the radius of curvature when the equation of the curve was given in polar form.

The first writer to think of polar coordinates in 3 -space was Clairaut, but he merely mentions the possibility of such things. The first to develop them was Euler to whom we owe both polar and radio-angular coordinates. An interesting modification of the latter was developed by Ossian Bonnet.


Convert Polar to Cartesian Coordinates

To convert a point from the polar coordinate system to cartesian coordinate system the trigonometric functions sine and cosine are used to solve for the and coordinate of the point. A point in the polar coordinate system is in the form of and a point in the cartesian coordinate system is in the form of . The formulas for the conversion are shown below:

Note, by convention, radians are used to measure angles in polar coordinates. A full rotation in radians is equal to (tau) radians and a full rotation in degrees is equal to . The substitution can be used to translate between the two systems.


AIUTO! integral using polar coordinates

I am not sure why there is a question mark at the end of the 1st line. Also, what is a pudding in this problem?

Can you please post the exact question? A picture of the problem would be best.

Also if you want help you need to follow the posting guidelines by showing us your work so we know what type of help you need. Grazie!

Mknoow

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LCKurtz

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I have made a couple of assumptions about what you really want and plugged it into a Maple worksheet. It calculates the volume of a single cake 2cm high with the shape given (which is my best guess at what you want):


Edit, added: I was thinking this was a real world problem, not a homework problem. If I'm wrong, c'est la vie.

Mknoow

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I have made a couple of assumptions about what you really want and plugged it into a Maple worksheet. It calculates the volume of a single cake 2cm high with the shape given (which is my best guess at what you want):

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Edit, added: I was thinking this was a real world problem, not a homework problem. If I'm wrong, c'est la vie.


Guarda il video: Coordinate polari (Ottobre 2021).