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1.1: Revisione delle funzioni


obiettivi formativi

  • Usa la notazione funzionale per valutare una funzione.
  • Determinare il dominio e l'intervallo di una funzione.
  • Disegna il grafico di una funzione.
  • Trova gli zeri di una funzione.
  • Riconoscere una funzione da una tabella di valori.
  • Crea nuove funzioni da due o più funzioni date.
  • Descrivere le proprietà di simmetria di una funzione.

In questa sezione, forniamo una definizione formale di una funzione ed esaminiamo diversi modi in cui le funzioni sono rappresentate, ovvero attraverso tabelle, formule e grafici. Studiamo la notazione formale e i termini relativi alle funzioni. Definiamo anche composizione di funzioni e proprietà di simmetria. La maggior parte di questo materiale sarà una recensione per te, ma serve come riferimento utile per ricordarti alcune delle tecniche algebriche utili per lavorare con le funzioni.

Funzioni

Dati due insiemi (A) e (B) un insieme con elementi che sono coppie ordinate ((x,y)) dove (x) è un elemento di (A) e (y ) è un elemento di (B,) è una relazione da (A) a (B). Una relazione da (A) a (B) definisce una relazione tra questi due insiemi. Una funzione è un tipo speciale di relazione in cui ogni elemento del primo insieme è correlato esattamente a un elemento del secondo insieme. L'elemento del primo insieme si chiama ingresso; l'elemento del secondo insieme si chiama produzione. Le funzioni sono sempre usate in matematica per descrivere le relazioni tra due insiemi. Per qualsiasi funzione, quando conosciamo l'input, l'output è determinato, quindi diciamo che l'output è una funzione dell'input. Ad esempio, l'area di un quadrato è determinata dalla lunghezza del suo lato, quindi diciamo che l'area (l'output) è una funzione della sua lunghezza del lato (l'input). La velocità di una palla lanciata in aria può essere descritta come una funzione della quantità di tempo in cui la palla è in aria. Il costo della spedizione di un pacco è una funzione del peso del pacco. Poiché le funzioni hanno così tanti usi, è importante avere definizioni e terminologia precise per studiarle.

Definizione: funzioni

UN funzione (f) consiste in un insieme di input, un insieme di output e una regola per assegnare ciascun input esattamente a un output. L'insieme degli ingressi è chiamato dominio della funzione. L'insieme delle uscite è chiamato gamma del funzione.

Ad esempio, considera la funzione (f), dove il dominio è l'insieme di tutti i numeri reali e la regola è di elevare al quadrato l'input. Quindi, l'input (x=3) viene assegnato all'output (3^2=9).

Poiché ogni numero reale non negativo ha una radice quadrata di valore reale, ogni numero non negativo è un elemento dell'intervallo di questa funzione. Poiché non esiste un numero reale con un quadrato negativo, i numeri reali negativi non sono elementi dell'intervallo. Concludiamo che l'intervallo è l'insieme dei numeri reali non negativi.

Per una funzione generale (f) con dominio (D), si usa spesso (x) per indicare l'input e (y) per indicare l'output associato a (x). Quando lo facciamo, ci riferiamo a (x) come variabile indipendente e (y) come variabile dipendente, perché dipende da (x). Usando la notazione della funzione, scriviamo (y=f(x)) e leggiamo questa equazione come "(y) uguale a (f) di (x.") Per la funzione di quadratura descritta in precedenza, scriviamo (f(x)=x^2).

Il concetto di funzione può essere visualizzato utilizzando Figure (PageIndex{1}) - (PageIndex{3}).

Possiamo anche visualizzare una funzione tracciando punti ((x,y)) nel piano delle coordinate dove (y=f(x)). Il grafico di una funzione è l'insieme di tutti questi punti. Ad esempio, si consideri la funzione (f), dove il dominio è l'insieme (D={1,2,3}) e la regola è (f(x)=3−x). Nella Figura (PageIndex{4}), tracciamo un grafico di questa funzione.

Ogni funzione ha un dominio. Tuttavia, a volte una funzione è descritta da un'equazione, come in (f(x)=x^2), senza un dominio specifico dato. In questo caso, il dominio è considerato l'insieme di tutti i numeri reali (x) per i quali (f(x)) è un numero reale. Ad esempio, poiché qualsiasi numero reale può essere al quadrato, se non viene specificato nessun altro dominio, consideriamo il dominio di (f(x)=x^2) come l'insieme di tutti i numeri reali. D'altra parte, la funzione radice quadrata (f(x)=sqrt{x}) fornisce un output reale solo se (x) è non negativo. Pertanto, il dominio della funzione (f(x)=sqrt{x}) è l'insieme dei numeri reali non negativi, talvolta chiamato dominio naturale.

Per le funzioni (f(x)=x^2) e (f(x)=sqrt{x}), i domini sono insiemi con un numero infinito di elementi. Chiaramente non possiamo elencare tutti questi elementi. Quando si descrive un insieme con un numero infinito di elementi, è spesso utile utilizzare il set-builder o la notazione a intervalli. Quando si usa la notazione set-builder per descrivere un sottoinsieme di tutti i numeri reali, indicato con (R), si scrive

[{x,|, extit{x ha qualche proprietà}}.]

Lo leggiamo come l'insieme dei numeri reali (x) tale che (x) ha qualche proprietà. Ad esempio, se fossimo interessati all'insieme dei numeri reali maggiori di uno ma minori di cinque, potremmo denotare questo insieme utilizzando la notazione set-builder scrivendo

[{x,|,1

Un insieme come questo, che contiene tutti i numeri maggiori di (a) e minori di (b,) può essere indicato anche usando il notazione intervallo interval ((a,b)). Perciò,

[(1,5)={x,|,1

I numeri (1) e (5) sono chiamati gli estremi di questo insieme. Se vogliamo considerare l'insieme che include gli estremi, indicheremo questo insieme scrivendo

[[1,5]={x,|,1

Possiamo usare una notazione simile se vogliamo includere uno degli endpoint, ma non l'altro. Per denotare l'insieme dei numeri reali non negativi, useremmo la notazione set-builder

[{x,|,xge 0}.]

Il numero più piccolo in questo insieme è zero, ma questo insieme non ha un numero più grande. Usando la notazione dell'intervallo, useremmo il simbolo (∞,) che si riferisce all'infinito positivo e scriveremmo l'insieme come

[[0,∞)={x,|,xge 0}.]

È importante notare che (∞) non è un numero reale. È usato simbolicamente qui per indicare che questo insieme include tutti i numeri reali maggiori o uguali a zero. Allo stesso modo, se volessimo descrivere l'insieme di tutti i numeri non positivi, potremmo scrivere

[(-∞,0]={x,|,x≤0}.]

Qui, la notazione (−∞) si riferisce all'infinito negativo e indica che stiamo includendo tutti i numeri minori o uguali a zero, non importa quanto piccoli. Il set

[(−∞,∞)={ extit{x} ,|, extit{x è un qualsiasi numero reale}}]

si riferisce all'insieme di tutti i numeri reali. Alcune funzioni sono definite utilizzando equazioni diverse per parti diverse del loro dominio. Questi tipi di funzioni sono noti come funzioni definite a tratti. Ad esempio, supponiamo di voler definire una funzione (f) con un dominio che è l'insieme di tutti i numeri reali tale che (f(x)=3x+1) per (x≥2) e (f(x)=x^2) for( x<2). Denotiamo questa funzione scrivendo

[f(x)=egin{cases} 3x+1, & ext{if } x≥2 x^2, & ext{if } x<2 end{cases}]

Quando si valuta questa funzione per un input (x), l'equazione da utilizzare dipende da (x≥2) o (x<2). Ad esempio, poiché (5>2), usiamo il fatto che (f(x)=3x+1) per (x≥2) e vediamo che (f(5)=3(5 )+1=16). D'altra parte, per (x=−1), usiamo il fatto che (f(x)=x^2) per (x<2) e vediamo che (f(−1) =1).

Esempio (PageIndex{1}): Funzioni di valutazione

Per la funzione (f(x)=3x^2+2x−1), valuta:

  1. (f(-2))
  2. (f(sqrt{2}))
  3. (f(a+h))

Soluzione

Sostituisci il valore dato per (x) nella formula per (f(x)).

  1. (f(−2)=3(−2^)2+2(−2)−1=12−4−1=7)
  2. (f(sqrt{2})=3(sqrt{2})^2+2sqrt{x}−1=6+2sqrt{2}−1=5+2sqrt{2} )
  3. (f(a+h)=3(a+h)^2+2(a+h)−1=3(a^2+2ah+h^2)+2a+2h−1)(= 3a^2+6ah+3h^2+2a+2h−1)

Esercizio (PageIndex{1})

Per (f(x)=x^2−3x+5), valuta (f(1)) e (f(a+h)).

Suggerimento

Sostituisci (1) e (a+h) per (x) nella formula per (f(x)).

Risposta

(f(1)=3 ) e (f(a+h)=a^2+2ah+h^2−3a−3h+5)

Esempio (PageIndex{2}): ricerca di dominio e intervallo

Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare l'i. dominio e ii. gamma.

  1. (f(x)=(x-4)^2+5)
  2. (f(x)=sqrt{3x+2}−1)
  3. (f(x)=3x-2)

Soluzione

1. Considera (f(x)=(x−4)^2+5.)

1.Poiché (f(x)=(x-4)^2+5) è un numero reale per qualsiasi numero reale (x), il dominio di (f) è l'intervallo ((− ,∞)).

2. Poiché ((x-4)^2≥0), sappiamo (f(x)=(x-4)^2+5≥5). Pertanto, l'intervallo deve essere un sottoinsieme di ({y,|,y≥5}.) Per mostrare che ogni elemento in questo insieme è nell'intervallo, dobbiamo dimostrare che per un dato ( y) in quell'insieme esiste un numero reale (x) tale che (f(x)=(x-4)^2+5=y). Risolvendo questa equazione per (x,) vediamo che abbiamo bisogno di (x) tale che

((x-4)^2=y-5.)

Questa equazione è soddisfatta finché esiste un numero reale (x) tale che

(x-4=±sqrt{y-5})

Poiché (y≥5), la radice quadrata è ben definita. Concludiamo che per (x=4±sqrt{y-5},) (f(x)=y,) e quindi l'intervallo è ({y,|,y≥5 }.)

2. Considera (f(x)=sqrt{3x+2}−1).

1.Per trovare il dominio di (f), abbiamo bisogno dell'espressione (3x+2≥0). Risolvendo questa disuguaglianza, concludiamo che il dominio è ({x,|,x≥−2/3}.)

2. Per trovare l'intervallo di (f), notiamo che poiché (sqrt{3x+2}≥0,) (f(x)=sqrt{3x+2}−1≥−1 ). Pertanto, l'intervallo di (f) deve essere un sottoinsieme dell'insieme ({y,|,y≥−1}). Per mostrare che ogni elemento in questo insieme è nell'intervallo di (f), dobbiamo mostrare che per tutti i (y) in questo insieme, esiste un numero reale (x) nel dominio tale che (f(x)=y.) Sia (y≥−1.) Allora, (f(x)=y) se e solo se

(sqrt{3x+2}−1=y.)

Risolvendo questa equazione per (x,) vediamo che (x) deve risolvere l'equazione

(sqrt{3x+2}=y+1.)

Poiché (y≥−1), tale (x) potrebbe esistere. Elevando al quadrato entrambi i lati di questa equazione, abbiamo (3x+2=(y+1)^2.)

Pertanto, abbiamo bisogno

(3x=(y+1)^2-2,)

il che implica

(x=frac{1}{3}(y+1)^2-frac{2}{3}.)

Dobbiamo solo verificare che (x) sia nel dominio di (f). Poiché il dominio di (f) consiste di tutti i numeri reali maggiori o uguali a (frac{−2}{3}), e

(frac{1}{3}(y+1)^2-frac{2}{3}≥-frac{2}{3},)

esiste un (x) nel dominio di (f). Concludiamo che l'intervallo di (f) è ({y,|,y≥−1}.)

3. Considera (f(x)=dfrac{3}{x-2}.)

1.Poiché (3/(x-2)) è definito quando il denominatore è diverso da zero, il dominio è ({x,|,x≠2}.)

2.Per trovare l'intervallo di (f,) dobbiamo trovare i valori di (y) tali che esista un numero reale (x) nel dominio con la proprietà che

(frac{3}{x}-2=y.)

Risolvendo questa equazione per (x,) troviamo che

(x=frac{3}{y}+2.)

Pertanto, finché (y≠0), esiste un numero reale (x) nel dominio tale che (f(x)=y). Pertanto, l'intervallo è ({y,|,y≠0}.)

Esercizio (PageIndex{2})

Trova il dominio e l'intervallo per (f(x)=sqrt{4-2x}+5.)

Suggerimento

Usa (4−2x≥0).

Risposta

Dominio = ({x,|,x≤2}) e intervallo = ({y,|,y≥5})

Funzioni di rappresentazione

In genere, una funzione viene rappresentata utilizzando uno o più dei seguenti strumenti:

  • Un tavolo
  • un grafico
  • Una formula

Possiamo identificare una funzione in ciascuna forma, ma possiamo anche usarle insieme. Ad esempio, possiamo tracciare su un grafico i valori di una tabella o creare una tabella da una formula.

Tabelle

Funzioni descritte utilizzando a tabella dei valori si verificano frequentemente nelle applicazioni del mondo reale. Considera il seguente semplice esempio. Possiamo descrivere la temperatura in un dato giorno in funzione dell'ora del giorno. Supponiamo di registrare la temperatura ogni ora per un periodo di 24 ore a partire dalla mezzanotte. Lasciamo che la nostra variabile di input (x) sia il tempo dopo la mezzanotte, misurato in ore, e la variabile di output (y) sia la temperatura (x) ore dopo la mezzanotte, misurata in gradi Fahrenheit. Registriamo i nostri dati nella Tabella (PageIndex{1}).

Tabella (PageIndex{1}): Temperatura in funzione dell'ora del giorno
Un'ora dopo la mezzanotteTemperatura (°F)Un'ora dopo la mezzanotteTemperatura (°F)
0581284
1541385
2531485
3521583
4521682
5551780
6601877
7641974
8722069
9752165
10782260
11802358

Possiamo vedere dalla tabella che la temperatura è una funzione del tempo, e la temperatura diminuisce, poi aumenta e poi diminuisce di nuovo. Tuttavia, non possiamo ottenere un'immagine chiara del comportamento della funzione senza rappresentarla graficamente.

Grafici

Data una funzione (f) descritta da una tabella, possiamo fornire un'immagine visiva della funzione sotto forma di grafico. Il grafico delle temperature elencate nella Tabella (PageIndex{1}) può darci un'idea migliore della loro fluttuazione durante il giorno. La figura (PageIndex{5}) mostra il grafico della funzione temperatura.

Dai punti tracciati sul grafico in Figura (PageIndex{5}), possiamo visualizzare la forma generale del grafico. Spesso è utile collegare i punti nel grafico, che rappresentano i dati della tabella. In questo esempio, sebbene non possiamo trarre alcuna conclusione definitiva su quale fosse la temperatura in qualsiasi momento per cui la temperatura non è stata registrata, dato il numero di punti dati raccolti e l'andamento in questi punti, è ragionevole sospettare che le temperature a altre volte hanno seguito uno schema simile, come possiamo vedere in Figura (PageIndex{6}).

Formule algebriche

A volte non ci vengono dati i valori di una funzione in forma di tabella, piuttosto ci vengono dati i valori in una formula esplicita. Le formule sorgono in molte applicazioni. Ad esempio, l'area di un cerchio di raggio (r) è data dalla formula (A(r)=πr^2). Quando un oggetto viene lanciato verso l'alto da terra con una velocità iniziale (v_{0}) ft/s, la sua altezza dal suolo dal momento in cui viene lanciato fino a quando colpisce il suolo è data dalla formula (s( t)=−16t^2+v_{0}t). Quando (P) dollari sono investiti in un conto a un tasso di interesse annuo (r) composto continuamente, la quantità di denaro dopo (t) anni è data dalla formula (A(t)=Pe^ {rt}). Le formule algebriche sono strumenti importanti per calcolare i valori delle funzioni. Spesso rappresentiamo anche queste funzioni visivamente in forma di grafico.

Data una formula algebrica per una funzione (f), il grafico di (f) è l'insieme dei punti ((x,f(x))), dove (x) è nel dominio di (f) e (f(x)) è compreso nell'intervallo. Per rappresentare graficamente una funzione data da una formula, è utile iniziare utilizzando la formula per creare una tabella di input e output. Se il dominio di (f) è costituito da un numero infinito di valori, non possiamo elencarli tutti, ma poiché elencare alcuni degli input e degli output può essere molto utile, spesso è un buon modo per iniziare.

Quando creiamo una tabella di input e output, in genere controlliamo per determinare se zero è un output. Quei valori di (x) dove (f(x)=0) sono chiamati zeri di una funzione. Ad esempio, gli zeri di (f(x)=x^2−4) sono (x=±2). Gli zeri determinano dove il grafico di (f) interseca l'asse (x), che ci fornisce maggiori informazioni sulla forma del grafico della funzione. Il grafico di una funzione non può mai intersecare l'asse (x) o può intersecare più (o anche infinite) volte.

Un altro punto di interesse è l'intercetta (y), se esiste. L'intercetta (y) è data da ((0,f(0))).

Poiché una funzione ha esattamente un output per ogni input, il grafico di una funzione può avere al massimo un'intercetta (y). Se (x=0) è nel dominio di una funzione (f,) allora (f) ha esattamente un'intercetta (y). Se (x=0) non è nel dominio di (f,) allora (f) non ha intercetta (y). Allo stesso modo, per qualsiasi numero reale (c,) se (c) è nel dominio di (f), c'è esattamente un output (f(c),) e la riga (x= c) interseca il grafico di (f) esattamente una volta. Se invece (c) non è nel dominio di (f,) (f(c)) non è definito e la retta (x=c) non interseca il grafico di (f). Questa proprietà è riassunta nel test della linea verticale.

Test della linea verticale

Data una funzione (f), ogni linea verticale tracciabile interseca il grafico di (f) non più di una volta. Se una qualsiasi linea verticale interseca un insieme di punti più di una volta, l'insieme di punti non rappresenta una funzione.

Possiamo usare questo test per determinare se un insieme di punti tracciati rappresenta il grafico di una funzione (Figura (PageIndex{7})).

Esempio (PageIndex{3}): ricerca di zeri e (y)-intercette di una funzione

Considera la funzione (f(x)=−4x+2.)

  1. Trova tutti gli zeri di (f).
  2. Trova l'intercetta (y) (se presente).
  3. Disegna un grafico di (f).

Soluzione

1. Per trovare gli zeri, risolvere (f(x)=−4x+2=0). Scopriamo che (f) ha uno zero in (x=1/2).

2. L'intercetta (y) è data da ((0,f(0))=(0,2).)

3. Dato che (f) è una funzione lineare della forma (f(x)=mx+b) che passa per i punti ((1/2,0)) e ((0, 2)), possiamo tracciare il grafico di (f) (Figura (PageIndex{8})).

Esempio (PageIndex{4}): utilizzo di zeri e (y)-intercettazioni per tracciare un grafico

Considera la funzione (f(x)=sqrt{x+3}+1).

  1. Trova tutti gli zeri di (f).
  2. Trova l'intercetta (y) (se presente).
  3. Disegna un grafico di (f).

Soluzione

1.Per trovare gli zeri, risolvi (sqrt{x+3}+1=0). Questa equazione implica (sqrt{x+3}=−1). Poiché (sqrt{x+3}≥0) per ogni (x), questa equazione non ha soluzioni, e quindi (f) non ha zeri.

2. L'intercetta (y) è data da ((0,f(0))=(0,sqrt{3}+1)).

3.Per rappresentare graficamente questa funzione, creiamo una tabella di valori. Poiché abbiamo bisogno di (x+3≥0), dobbiamo scegliere i valori di (x≥−3). Scegliamo valori che rendono la funzione radice quadrata facile da valutare.

(X)-3-21
(f(x))123

Facendo uso della tabella e sapendo che, essendo la funzione una radice quadrata, il grafico di (f) dovrebbe essere simile al grafico di (y=sqrt{x}), tracciamo il grafico (Figura (PageIndex{9})).

Esercizio (PageIndex{4})

Trova gli zeri di (f(x)=x^3−5x^2+6x.)

Suggerimento

Fattorizzare il polinomio.

Risposta

(x=0,2,3)

Esempio (PageIndex{5}): Trovare l'altezza di un oggetto in caduta libera

Se una palla viene fatta cadere da un'altezza di 100 piedi, la sua altezza s al tempo (t) è data dalla funzione (s(t)=−16t^2+100), dove s è misurato in piedi e (t) è misurato in secondi. Il dominio è limitato all'intervallo ([0,c],) dove (t=0) è il momento in cui la palla viene lasciata cadere e (t=c) è il momento in cui la palla colpisce il suolo .

  1. Crea una tabella che mostri l'altezza s(t) quando (t=0,, 0,5,, 1,, 1,5,, 2,) e (2,5). Utilizzando i dati della tabella, determinare il dominio per questa funzione. Cioè, trova il tempo (c) in cui la palla colpisce il suolo.
  2. Disegna un grafico di (s).

Soluzione

(t)00.511.522.5
(s(t))100968464360

Poiché la palla colpisce il suolo quando (t=2.5), il dominio di questa funzione è l'intervallo ([0,2.5]).

2.

Definizione: aumento e diminuzione in un intervallo

Diciamo che una funzione (f) è crescente sull'intervallo (I) if for all (x_{1},, x_{2}∈I,)

(f(x_{1})≤f(x_{2})) quando (x_{1}

Diciamo che (f) è strettamente crescente sull'intervallo (I) se per tutti (x_{1},x_{2}∈I,)

(f(x_{1})

Diciamo che una funzione (f) è decrescente sull'intervallo (I) se per tutti (x_{1},x_{2}∈I,)

(f(x_{1})≥f(x_{2})) if (x_{1}

Diciamo che una funzione (f) è strettamente decrescente sull'intervallo (I) se per ogni (x_{1},x_{2}∈I),

(f(x_{1})>f(x_{2})) if (x_{1}

Ad esempio, la funzione (f(x)=3x) aumenta nell'intervallo ((-∞,∞)) perché (3x_{1}<3x_{2}) ogni volta che (x_{1 }−x^3_ {2}) ogni volta che (x_{1}

Combinazione di funzioni

Ora che abbiamo esaminato le caratteristiche di base delle funzioni, possiamo vedere cosa succede a queste proprietà quando combiniamo le funzioni in modi diversi, utilizzando operazioni matematiche di base per creare nuove funzioni. Ad esempio, se il costo per un'azienda di produrre (x) articoli è descritto dalla funzione (C(x)) e il ricavo creato dalla vendita di (x) articoli è descritto dalla funzione (R(x)), allora il profitto sulla produzione e vendita di (x) articoli è definito come (P(x)=R(x)−C(x)). Usando la differenza tra due funzioni, abbiamo creato una nuova funzione.

In alternativa, possiamo creare una nuova funzione componendo due funzioni. Ad esempio, date le funzioni (f(x)=x^2) e (g(x)=3x+1), la funzione composta (f∘g) è definita in modo tale che

[(f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2=(3x+1)^2.]

La funzione composta (g∘f) è definita in modo tale che

[(g∘f)(x)=g(f(x))=3f(x)+1=3x^2+1.]

Si noti che queste due nuove funzioni sono diverse l'una dall'altra.

Combinazione di funzioni con operatori matematici

Per combinare le funzioni utilizzando operatori matematici, scriviamo semplicemente le funzioni con l'operatore e semplifichiamo. Date due funzioni (f) e (g), possiamo definire quattro nuove funzioni:

((f+g)(x)=f(x)+g(x))Somma
((f-g)(x)=f(x)-g(x))Differenza
((f·g)(x)=f(x)g(x))Prodotto
((frac{f}{g})(x)=frac{f(x)}{g(x)}) per(g(x)≠0)Quoziente

Esempio (PageIndex{6}): combinazione di funzioni mediante operazioni matematiche

Date le funzioni (f(x)=2x−3) e (g(x)=x^2−1), trova ciascuna delle seguenti funzioni e indica il suo dominio.

  1. ((f+g)(x))
  2. ((f-g)(x))
  3. ((f·g)(x))
  4. (left(dfrac{f}{g} ight)(x))

Soluzione

1. ((f+g)(x)=(2x−3)+(x^2−1)=x^2+2x−4.)

Il dominio di questa funzione è l'intervallo ((−∞,∞)).

2.((f−g)(x)=(2x−3)−(x^2−1)=−x^2+2x−2.)

Il dominio di questa funzione è l'intervallo ((−∞,∞)).

3. ((f·g)(x)=(2x−3)(x^2−1)=2x^3−3x^2−2x+3.)

Il dominio di questa funzione è l'intervallo ((−∞,∞)).

4. (left(dfrac{f}{g} ight)(x)=dfrac{2x−3}{x^2−1}).

Il dominio di questa funzione è ({x,|,x≠±1}.)

Esercizio (PageIndex{6})

Per (f(x)=x^2+3) e (g(x)=2x−5), trova ((f/g)(x)) e indica il suo dominio.

Suggerimento

La nuova funzione ((f/g)(x)) è un quoziente di due funzioni. Per quali valori di (x) il denominatore è zero?

Risposta

(left(dfrac{f}{g} ight)(x)=frac{x^2+3}{2x-5}.) Il dominio è ({x,|, x≠frac{5}{2}}.)

Composizione delle funzioni

Quando componiamo funzioni, prendiamo una funzione di una funzione. Ad esempio, supponiamo che la temperatura (T) in un dato giorno sia descritta in funzione del tempo (t) (misurato in ore dopo la mezzanotte) come in Tabella. Supponiamo che il costo (C), per riscaldare o raffreddare un edificio per 1 ora, possa essere descritto in funzione della temperatura (T). Combinando queste due funzioni, possiamo descrivere il costo del riscaldamento o del raffrescamento di un edificio in funzione del tempo valutando (C(T(t))). Abbiamo definito una nuova funzione, denotata (CT), che è definita in modo tale che ((C∘T)(t)=C(T(t))) per ogni (t) nel dominio di (T). Questa nuova funzione è chiamata funzione composta. Notiamo che poiché il costo è una funzione della temperatura e la temperatura è una funzione del tempo, ha senso definire questa nuova funzione ((C∘T)(t)). Non ha senso considerare ((T∘C)(t)), perché la temperatura non è una funzione del costo.

Definizione: funzioni composite

Si consideri la funzione (f) con dominio (A) e intervallo (B), e la funzione (g) con dominio (D) e intervallo (E). Se (B) è un sottoinsieme di (D), allora la funzione composta ((g∘f)(x)) è la funzione con dominio (A) tale che

[(g∘f)(x)=g(f(x))]

Una funzione composta (g∘f) può essere visualizzata in due passaggi. Innanzitutto, la funzione (f) mappa ogni input (x) nel dominio di (f) al suo output (f(x)) nell'intervallo di (f). In secondo luogo, poiché l'intervallo di (f) è un sottoinsieme del dominio di (g), l'output (f(x)) è un elemento nel dominio di (g), e quindi è mappato su un output (g(f(x))) nell'intervallo di (g). Nella Figura (PageIndex{11}), vediamo un'immagine visiva di una funzione composta.

Esempio (PageIndex{7}): Composizioni di funzioni definite da formule

Considera le funzioni (f(x)=x^2+1) e (g(x)=1/x).

  1. Trova ((g∘f)(x)) e indica il suo dominio e l'intervallo.
  2. Valuta ((g∘f)(4),) ((g∘f)(−1/2)).
  3. Trova ((f∘g)(x)) e indica il suo dominio e l'intervallo.
  4. Valuta ((f∘g)(4),) ((f∘g)(−1/2)).

Soluzione

1. Possiamo trovare la formula per ((g∘f)(x)) in due modi diversi. Potremmo scrivere

((g∘f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1)=dfrac{1}{x^2+1}).

In alternativa, potremmo scrivere

((g∘f)(x)=g(f(x))=dfrac{1}{f(x)}=dfrac{1}{x^2+1}.)

Poiché (x^2+1≠0) per tutti i numeri reali (x,) il dominio di ((g∘f)(x)) è l'insieme di tutti i numeri reali. Poiché (0<1/(x^2+1)≤1), l'intervallo è, al massimo, l'intervallo ((0,1]). Per mostrare che l'intervallo è l'intero intervallo, poniamo (y=1/(x^2+1)) e risolvi questa equazione per (x) per mostrare che per tutti i (y) nell'intervallo ((0,1]), esiste un numero reale (x) tale che (y=1/(x^2+1)). Risolvendo questa equazione per (x,) vediamo che (x^2+1=1/y ), il che implica che

(x=±sqrt{frac{1}{y}−1})

Se (y) è nell'intervallo ((0,1]), l'espressione sotto il radicale è non negativa, e quindi esiste un numero reale (x) tale che (1/(x^2 +1)=y). Concludiamo che l'intervallo di (g∘f) è l'intervallo ((0,1].)

2. ((g∘f)(4)=g(f(4))=g(4^2+1)=g(17)=frac{1}{17})

((g∘f)(-frac{1}{2})=g(f(-frac{1}{2}))=g((-frac{1}{2})^2 +1)=g(frac{5}{4})=frac{4}{5})

3. Possiamo trovare una formula per ((f∘g)(x)) in due modi. Per prima cosa, potremmo scrivere

((f∘g)(x)=f(g(x))=f(frac{1}{x})=(frac{1}{x})^2+1.)

In alternativa, potremmo scrivere

((f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2+1=(frac{1}{x})^2+1.)

Il dominio di (f∘g) è l'insieme di tutti i numeri reali (x) tali che (x≠0). Per trovare l'intervallo di (f,) dobbiamo trovare tutti i valori (y) per i quali esiste un numero reale (x≠0) tale che

(left(dfrac{1}{x} ight)^2+1=y.)

Risolvendo questa equazione per (x,) vediamo che abbiamo bisogno di (x) per soddisfare

(left(dfrac{1}{x} ight)^2=y-1,)

che semplifica a

(dfrac{1}{x}=±sqrt{y-1})

Infine, otteniamo

(x=±dfrac{1}{sqrt{y-1}}.)

Poiché (1/sqrt{y−1}) è un numero reale se e solo se (y>1,) l'intervallo di (f) è l'insieme ({y,| ,y≥1}.)

4.((f∘g)(4)=f(g(4))=f(frac{1}{4})=(frac{1}{4})^2+1=frac {17}{16})

((f∘g)(-frac{1}{2})=f(g(-frac{1}{2}))=f(-2)=(-2)^2+1= 5)

Nell'esempio, possiamo vedere che ((f∘g)(x)≠(g∘f)(x)). Questo ci dice, in termini generali, che l'ordine in cui componiamo le funzioni è importante.

Esercizio (PageIndex{7})

Sia (f(x)=2−5x). Sia (g(x)=sqrt{x}.) Trova ((f∘g)(x)).

Soluzione

((f∘g)(x)=2−5sqrt{x}.)

Esempio (PageIndex{8}): Composizione di funzioni definite da tabelle

Considera le funzioni (f) e (g) descritte da

(X)-3-2-101234
(f(x))0424-20-24
(X)-4-2024
(g(x))10305
  1. Valuta ((g∘f)(3)),((g∘f)(0)).
  2. Indica il dominio e l'intervallo di ((g∘f)(x)).
  3. Valuta ((f∘f)(3)),((f∘f)(1)).
  4. Indica il dominio e l'intervallo di ((f∘f)(x)).

Soluzione:

1. ((g∘f)(3)=g(f(3))=g(-2)=0)

((g∘f)(0)=g(4)=5)

2.Il dominio di (g∘f) è l'insieme ({−3,−2,−1,0,1,2,3,4}.) Poiché l'intervallo di (f ) è l'insieme ({−2,0,2,4},) l'intervallo di (g∘f) è l'insieme ({0,3,5}.)

3. ((f∘f)(3)=f(f(3))=f(-2)=4)

((f∘f)(1)=f(f(1))=f(-2)=4)

4.Il dominio di (f∘f) è l'insieme ({−3,−2,−1,0,1,2,3,4}.) Poiché l'intervallo di (f ) è l'insieme ({−2,0,2,4},) l'intervallo di (f∘f) è l'insieme ({0,4}.)

Esempio (PageIndex{9}): Applicazione che coinvolge una funzione composita

Un negozio sta pubblicizzando una vendita del 20% su tutta la merce. Caroline ha un coupon che le dà diritto a un ulteriore 15% di sconto su qualsiasi articolo, inclusa la merce in saldo. Se Caroline decide di acquistare un articolo con un prezzo originale di (x) dollari, quanto finirà per pagare se applica il suo coupon al prezzo di vendita? Risolvi questo problema utilizzando una funzione composta.

Soluzione

Poiché il prezzo di vendita è del 20% in meno rispetto al prezzo originale, se un articolo è (x) dollari, il suo prezzo di vendita è dato da (f(x)=0,80x). Poiché il coupon dà diritto a uno sconto del 15% sul prezzo di qualsiasi articolo, se un articolo è (y) dollari, il prezzo, dopo aver applicato il coupon, è dato da g(y)=0.85y. Pertanto, se il prezzo è originariamente (x) dollari, il suo prezzo di vendita sarà (f(x)=0,80x) e quindi il suo prezzo finale dopo il coupon sarà (g(f(x))= 0,85(0,80x)=0,68x).

Esercizio (PageIndex{9})

Se gli articoli sono in vendita con uno sconto del 10% sul prezzo originale e un cliente ha un coupon per un ulteriore sconto del 30%, quale sarà il prezzo finale per un articolo che originariamente è di (x) dollari, dopo aver applicato il coupon a il prezzo di vendita?

Suggerimento

Il prezzo di vendita di un articolo con un prezzo originale di (x) dollari è (f(x)=0.90x). Il prezzo del coupon per un articolo che è (y) dollari è (g(y)=0,70y).

Soluzione

((g∘f)(x)=0.63x)

Simmetria delle funzioni

I grafici di alcune funzioni hanno proprietà di simmetria che ci aiutano a capire la funzione e la forma del suo grafico. Ad esempio, si consideri la funzione (f(x)=x^4-2x^2-3) mostrata in Figura (PageIndex{12a}). Se prendiamo la parte della curva che si trova a destra dell'asse (y) e la capovolgiamo sull'asse (y), si trova esattamente sopra la curva a sinistra dell'asse ( y)-asse. In questo caso si dice che la funzione ha simmetria rispetto all'asse (y). Si consideri invece la funzione (f(x)=x^3−4x) mostrata in Figura (PageIndex{12b}). Se prendiamo il grafico e lo ruotiamo di (180°) intorno all'origine, il nuovo grafico avrà esattamente lo stesso aspetto. In questo caso si dice che la funzione ha simmetria sull'origine.

Se ci viene dato il grafico di una funzione, è facile vedere se il grafico ha una di queste proprietà di simmetria. Ma senza un grafico, come possiamo determinare algebricamente se una funzione (f) ha simmetria? Guardando nuovamente la Figura, vediamo che poiché (f) è simmetrico rispetto all'asse (y), se il punto ((x,y)) è sul grafico, il punto ((-x) ,y)) è sul grafico. In altre parole, (f(-x)=f(x)). Se una funzione (f) ha questa proprietà, diciamo che (f) è una funzione pari, che ha simmetria rispetto all'asse (y). Ad esempio, (f(x)=x^2) è pari perché

(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).)

Al contrario, guardando di nuovo la Figura, se una funzione (f) è simmetrica rispetto all'origine, allora ogni volta che il punto ((x,y)) è sul grafico, il punto ((-x,−y )) è anche sul grafico. In altre parole, (f(-x)=-f(x)). Se (f) ha questa proprietà, diciamo che (f) è una funzione dispari, che ha simmetria rispetto all'origine. Ad esempio, (f(x)=x^3) è dispari perché

(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).)

Definizione: funzioni pari e dispari

  • Se (f(x)=f(-x)) per tutti i (x) nel dominio di (f), allora (f) è un anche funzione. Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse (y).
  • Se (f(-x)=-f(x)) per tutti i (x) nel dominio di (f), allora (f) è un dispari funzione. Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine.

Esempio (PageIndex{10}): Funzioni pari e dispari

Determina se ciascuna delle seguenti funzioni è pari, dispari o nessuna.

  1. (f(x)=-5x^4+7x^2-2)
  2. (f(x)=2x^5−4x+5)
  3. (f(x)=frac{3x}{x^2+1})

Soluzione

Per determinare se una funzione è pari o dispari, valutiamo (f(-x)) e la confrontiamo con (f(x)) e (-f(x)).

1. (f(−x)=−5(−x)^4+7(−x)^2−2=−5x^4+7x^2−2=f(x).) Pertanto, (f) è pari.

2.(f(−x)=2(−x)^5−4(−x)+5=−2x^5+4x+5.) Ora, (f(−x)≠f(x ).) Inoltre, notando che (−f(x)=−2x^5+4x−5), vediamo che (f(−x)≠−f(x)). Pertanto, (f) non è né pari né dispari.

3.(f(−x)=3(−x)/((−x)2+1))(=−3x/(x^2+1)=)(−[3x/( x^2+1)]=−f(x).) Pertanto, (f) è dispari.

Esercizio (PageIndex{10})

Determina se (f(x)=4x^3−5x) è pari, dispari o nessuno dei due.

Suggerimento

Confronta (f(-x)) con (f(x)) e (-f(x)).

Risposta

(f(x)) è dispari.

Una funzione simmetrica che si verifica frequentemente è la funzione valore assoluto, scritto come (|x|). La funzione valore assoluto è definita come

[f(x)=egin{cases} -x, & ext{if }x<0 x, & ext{if } x≥0 end{cases}]

Alcuni studenti descrivono questa funzione affermando che "rende tutto positivo". Dalla definizione della funzione valore assoluto, vediamo che se (x<0), allora (|x|=−x>0,) e se (x>0), allora (|x |=x>0.) However, for (x=0,) (|x|=0.) Therefore, it is more accurate to say that for all nonzero inputs, the output is positive, but if (x=0), the output (|x|=0). We conclude that the range of the absolute value function is ({y,|,y≥0}.) In Figure (PageIndex{13}), we see that the absolute value function is symmetric about the (y)-axis and is therefore an even function.

Example (PageIndex{11}): Working with the Absolute Value Function

Find the domain and range of the function (f(x)=2|x−3|+4).

Soluzione

Since the absolute value function is defined for all real numbers, the domain of this function is ((−∞,∞)). Since (|x−3|≥0) for all (x), the function (f(x)=2|x−3|+4≥4). Therefore, the range is, at most, the set ({y,|,y≥4}.) To see that the range is, in fact, this whole set, we need to show that for (y≥4) there exists a real number (x) such that

(2|x−3|+4=y)

A real number (x) satisfies this equation as long as

(|x−3|=frac{1}{2}(y−4))

Since (y≥4), we know (y−4≥0), and thus the right-hand side of the equation is nonnegative, so it is possible that there is a solution. Furthermore,

(|x−3|=egin{cases} −(x−3), & ext{if } x<3x−3, & ext{if } x≥3end{cases})

Therefore, we see there are two solutions:

(x=±frac{1}{2}(y−4)+3).

The range of this function is ({y,|,y≥4}.)

Exercise (PageIndex{11}): Domain and Range

For the function (f(x)=|x+2|−4), find the domain and range.

Suggerimento

(|x+2|≥0) for all real numbers (x).

Risposta

Domain = ((−∞,∞)), range = ({y,|,y≥−4}.)

Concetti chiave

  • A function is a mapping from a set of inputs to a set of outputs with exactly one output for each input.
  • If no domain is stated for a function (y=f(x),) the domain is considered to be the set of all real numbers (x) for which the function is defined.
  • When sketching the graph of a function (f,) each vertical line may intersect the graph, at most, once.
  • A function may have any number of zeros, but it has, at most, one (y)-intercept.
  • To define the composition (g∘f), the range of (f) must be contained in the domain of (g).
  • Even functions are symmetric about the (y)-axis whereas odd functions are symmetric about the origin.

Equazioni chiave

  • Composition of two functions

((g∘f)(x)=gig(f(x)ig))

  • Absolute value function

(f(x)=egin{cases}−x, & ext{if } x<0x, & ext{if } x≥0end{cases})

Glossario

absolute value function
(f(x)=egin{cases}−x, & ext{if } x<0x, & ext{if } x≥0end{cases})
composite function
given two functions (f) and (g), a new function, denoted (g∘f), such that ((g∘f)(x)=g(f(x)))
decreasing on the interval (I)
a function decreasing on the interval (I) if, for all (x_1,,x_2∈I,;f(x_1)≥f(x_2)) if (x_1
dependent variable
the output variable for a function
domain
the set of inputs for a function
even function
a function is even if (f(−x)=f(x)) for all (x) in the domain of (f)
function
a set of inputs, a set of outputs, and a rule for mapping each input to exactly one output
graph of a function
the set of points ((x,y)) such that (x) is in the domain of (f) and (y=f(x))
increasing on the interval (I)
a function increasing on the interval (I) if for all (x_1,,x_2∈I,;f(x_1)≤f(x_2)) if (x_1
independent variable
the input variable for a function
odd function
a function is odd if (f(−x)=−f(x)) for all (x) in the domain of (f)
range
the set of outputs for a function
symmetry about the origin
the graph of a function (f) is symmetric about the origin if ((−x,−y)) is on the graph of (f) whenever ((x,y)) is on the graph
symmetry about the (y)-axis
the graph of a function (f) is symmetric about the (y)-axis if ((−x,y)) is on the graph of (f) whenever ((x,y)) is on the graph
table of values
a table containing a list of inputs and their corresponding outputs
vertical line test
given the graph of a function, every vertical line intersects the graph, at most, once
zeros of a function
when a real number (x) is a zero of a function (f,;f(x)=0)


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