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5.4: Combinazioni


obiettivi formativi

In questa sezione imparerai a:

  • Conta il numero di combinazioni di (mathrm{r}) su (mathrm{n}) elementi (selezioni indipendentemente dalla disposizione).
  • Utilizzare i fattoriali per eseguire calcoli che coinvolgono combinazioni.

Abilità Prerequisiti

Prima di iniziare, rispondi a questo quiz sui prerequisiti.

1. Calcola ogni espressione senza l'uso di una calcolatrice:

un. (4!)

B. (dfrac{5!}{3!})

Clicca qui per controllare la tua risposta

un. (4!=24)

B. (dfrac{5!}{3!}=20)

Se ti sei perso questo problema, rivedere la Sezione 5.3. (Nota che questo si aprirà in una nuova finestra.)

2. Calcola ogni espressione:

un. (5P2)

B. (12P3)

Clicca qui per controllare la tua risposta

un. (5P2=20)

B. (12P3=1320)

Se ti sei perso questo problema, rivedere la Sezione 5.3. (Nota che questo si aprirà in una nuova finestra.)

Supponiamo di avere un insieme di tre lettere { A, B, C } e ci venga chiesto di creare sequenze di parole di due lettere. Abbiamo le seguenti sei permutazioni.

AB BA BC CB AC CA

Ora supponiamo di avere un gruppo di tre persone { A, B, C } come Al, Bob e Chris, rispettivamente, e ci venga chiesto di formare comitati di due persone ciascuno. Questa volta abbiamo solo tre comitati, vale a dire,

AB BC AC

Quando si formano i comitati, l'ordine non è importante, perché il comitato che ha Al e Bob non è diverso dal comitato che ha Bob e Al. Di conseguenza, abbiamo solo tre comitati e non sei.

Formare sequenze di parole è un esempio di permutazioni, mentre formare comitati è un esempio di combinazioni - l'argomento di questa sezione.

Le permutazioni sono quelle disposizioni in cui l'ordine è importante, mentre le combinazioni sono quelle disposizioni in cui l'ordine non è significativo. D'ora in poi, questo è il modo in cui distingueremo permutazioni e combinazioni.

Nell'esempio sopra, c'erano sei permutazioni, ma solo tre combinazioni.

Proprio come il simbolo nPr rappresenta il numero di permutazioni di n oggetti presi r alla volta, nCr rappresenta il numero di combinazioni di n oggetti presi r alla volta.

Quindi nell'esempio sopra, 3P2 = 6 e 3C2 = 3.

Il nostro prossimo obiettivo è determinare la relazione tra il numero di combinazioni e il numero di permutazioni in una data situazione.

Nell'esempio sopra, se avessimo saputo che c'erano tre combinazioni, avremmo potuto trovare il numero di permutazioni moltiplicando questo numero per 2!. Questo perché ogni combinazione è composta da due lettere e questo fa 2! permutazioni.

Esempio (PageIndex{1})

Dato l'insieme delle lettere { A, B, C, D }. Scrivi il numero di combinazioni di tre lettere, quindi da queste combinazioni determina il numero di permutazioni.

Soluzione

Abbiamo le seguenti quattro combinazioni.

ABC BCD CDA BDA

Poiché ogni combinazione ha tre lettere, ce ne sono 3! permutazioni per ogni combinazione. Li elenchiamo di seguito.

[egin{array}{cccc}
mathrm{ABC} & mathrm{BCD} & mathrm{CDA} & mathrm{BDA}
mathrm{ACB} & mathrm{BDC} & mathrm{CAD} & mathrm{BAD}
mathrm{BAC} & mathrm{CDB} & mathrm{DAC} & mathrm{DAB}
mathrm{BCA} & mathrm{CBD} & mathrm{DCA} & mathrm{DBA}
mathrm{CAB} & mathrm{DCB} & mathrm{ACD} & mathrm{ADB}
mathrm{CBA} & mathrm{DBC} & mathrm{ADC} & mathrm{ABD}
end{array} onumber]

Il numero di permutazioni è 3! volte il numero di combinazioni; questo è

4P3 = 3! (cdot) 4C3

o

[4 mathrm{C} 3=frac{4 mathrm{P} 3}{3 !} onumber]

In generale, [mathrm{nCr}=frac{mathrm{nPr}}{mathrm{r} !} onumber]

Poiché [mathrm{nPr}=frac{mathrm{n} !}{(mathrm{n}-mathrm{r}) !} onumber]

Abbiamo, [mathrm{nCr}=frac{mathrm{n} !}{(mathrm{n}-mathrm{r}) ! mathrm{r} !} onumber]

Riassumendo,

Definizione: combinazioni

UN combinazione di un insieme di elementi è una disposizione in cui ogni elemento viene utilizzato una volta e l'ordine non è importante.

Il numero di combinazioni di n oggetti presi r alla volta

[mathrm{nCr}=frac{mathrm{n} !}{(mathrm{n}-mathrm{r}) ! mathrm{r} !} ]

dove (mathrm{n}) e (mathrm{r}) sono numeri naturali.

Esempio (PageIndex{2})

Calcolare:

  1. 5C3
  2. 7C3

Soluzione

Usiamo la formula sopra.

[5 mathrm{C} 3=frac{5 !}{(5-3) ! 3 !}=frac{5 !}{2 ! 3 !}=10 on numero]

[7 mathrm{C} 3=frac{7 !}{(7-3) ! 3 !}=frac{7 !}{4 ! 3 !}=35 onnumero]

Esempio (PageIndex{3})

In quanti modi diversi uno studente può scegliere di rispondere a cinque domande da un test che ha sette domande, se l'ordine della selezione non è importante?

Soluzione

Poiché l'ordine non è importante, è un problema di combinazione e la risposta è

7C5 = 21

Esempio (PageIndex{4})

Quanti segmenti di linea si possono tracciare collegando due dei sei punti che si trovano sulla circonferenza di un cerchio?

Soluzione

Poiché la linea che va dal punto A al punto B è uguale a quella che va da B ad A, questo è un problema di combinazione.

È una combinazione di 6 oggetti presi 2 alla volta. Pertanto, la risposta è

[6 mathrm{C} 2=frac{6 !}{4 ! 2 !}=15 onnumero]

Esempio (PageIndex{5})

Ci sono dieci persone a una festa. Se tutti si stringono la mano, quante strette di mano sono possibili?

Soluzione

Nota che tra due persone qualsiasi c'è solo una stretta di mano. Pertanto, abbiamo

10C2 = 45 strette di mano.

Esempio (PageIndex{6})

L'area commerciale di una città ha la forma di una piazza che è di 5 isolati per 5 isolati. Quanti percorsi diversi può fare un tassista per andare da un angolo della zona commerciale all'angolo opposto del catering?

Soluzione

Supponiamo che il tassista guidi dal punto A, l'angolo in basso a sinistra, al punto B, l'angolo in alto a destra come mostrato nella figura sottostante.

B
UN

Per raggiungere la sua destinazione, deve percorrere dieci isolati; cinque orizzontali e cinque verticali. Quindi se dei dieci blocchi ne sceglie cinque orizzontali, gli altri cinque dovranno essere i blocchi verticali e viceversa.

Pertanto, tutto ciò che deve fare è scegliere 5 su dieci come blocchi orizzontali

La risposta è 10C5, o 252.

In alternativa, il problema può essere risolto mediante permutazioni con elementi simili.

Il percorso del tassista è composto da cinque blocchi orizzontali e cinque verticali. Se chiamiamo un blocco orizzontale H e un blocco verticale a V, allora un possibile percorso potrebbe essere il seguente.

HHHHHVVVVV

Chiaramente ci sono (frac{10!}{5!5!}= 252) permutazioni.

Si noti inoltre che per definizione 10C5 = (frac{10!}{5! 5!}).

Esempio (PageIndex{7})

Se una moneta viene lanciata sei volte, in quanti modi può cadere quattro teste e due croci?

Soluzione

Per prima cosa risolviamo questo problema usando le permutazioni tecniche della sezione 6.5 con elementi simili.

Abbiamo bisogno di 4 teste e 2 croci, cioè

HHHHTT

Ci sono (frac{6!}{4!2!}= 15) permutazioni.

Ora risolviamo questo problema usando le combinazioni.

Supponiamo di avere sei punti su cui mettere le monete. Se scegliamo quattro punti per testa, gli altri due saranno automaticamente croce. Quindi il problema è semplicemente

6C4 = 15.

Per inciso, avremmo potuto facilmente scegliere le due code, invece. In tal caso, avremmo ottenuto

6C2 = 15.

Osserva inoltre che per definizione

[6 mathrm{C} 4=frac{6 !}{2 ! 4 !} on numero]

e

[6 mathrm{C} 2=frac{6 !}{4 ! 2 !} on numero]

Il che implica 6C4 = 6C2.

Finora abbiamo risolto il problema di combinazione di base di (mathrm{r}) oggetti scelti da n oggetti diversi. Ora considereremo alcune varianti di questo problema.

Esempio (PageIndex{8})

Quanti comitati di cinque persone composti da 2 uomini e 3 donne possono essere scelti su un totale di 4 uomini e 4 donne?

Soluzione

Elenchiamo 4 uomini e 4 donne come segue:

[M_1M_2M_3M_4W_1W_2W_3W_4 umero]

Poiché vogliamo comitati di 5 persone composti da 2 uomini e 3 donne, prima formeremo tutti i possibili comitati di due uomini e tutti i possibili comitati di tre donne. Chiaramente ci sono 4C2 = 6 comitati da due uomini, e 4C3 = 4 comitati da tre donne, li elenchiamo come segue:

Comitati di 2 uomini

Comitati 3-Donne

[egin{array}{l}
mathrm{M}_{1} mathrm{M}_{2}
mathrm{M}_{1} mathrm{M}_{3}
mathrm{M}_{1} mathrm{M}_{4}
mathrm{M}_{2} mathrm{M}_{3}
mathrm{M}_{2} mathrm{M}_{4}
mathrm{M}_{3} mathrm{M}_{4}
end{array} onumber]

[egin{array}{l}
mathrm{W}_{1} mathrm{W}_{2} mathrm{W}_{3}
mathrm{W}_{1} mathrm{W}_{2} mathrm{W}_{4}
mathrm{W}_{1} mathrm{W}_{3} mathrm{W}_{4}
mathrm{W}_{2} mathrm{W}_{3} mathrm{W}_{4}
end{array} onumber]

Per ogni comitato di 2 uomini ci sono quattro comitati di 3 donne che possono essere scelti per formare un comitato di 5 persone. Se scegliamo (M_1M_2) come nostro comitato di 2 uomini, allora possiamo scegliere uno qualsiasi tra (W_1W_2W_3), (W_1W_2W_4), (W_1W_3W_4), o (W_2W_3W_4) come nostro comitato di 3 donne comitati. Di conseguenza, otteniamo

[ scatolato{M_1M_2}W_1W_2W_3, scatolato{M_1M_2} W_1W_2W_4, scatolato{M_1M_2} W_1W_3W_4, scatolato{M_1M_2} W_2W_3W_4 onumber]

Allo stesso modo, se scegliamo (M_1M_3) come nostro comitato di 2 uomini, allora, di nuovo, possiamo scegliere uno qualsiasi tra (W_1W_2W_3), (W_1W_2W_4), (W_1W_3W_4), o (W_2W_3W_4) come i nostri comitati di 3 donne.

[scatolato{M_1M_3}W_1W_2W_3, scatolato{M_1M_3} W_1W_2W_4, scatolato{M_1M_3}W_1W_3W_4, scatolato{M_1M_3}W_2W_3W_4 onumber]

E così via.

Poiché ci sono sei comitati di 2 uomini, e per ogni comitato di 2 uomini ci sono quattro comitati di 3 donne, ci sono complessivamente (6 cdot 4 = 24) comitati di cinque persone.

In sostanza, stiamo applicando l'assioma della moltiplicazione alle diverse combinazioni.

Esempio (PageIndex{9})

Un club di scuola superiore è composto da 4 matricole, 5 studenti del secondo anno, 5 junior e 6 senior. In quanti modi si può scegliere un comitato di 4 persone che includa

  1. Uno studente per ogni classe?
  2. Tutti juniores?
  3. Due matricole e 2 anziani?
  4. Niente matricole?
  5. Almeno tre anziani?

Soluzione

un. Applicando l'assioma della moltiplicazione alle combinazioni coinvolte, si ottiene

( 4C1 ) ( 5C1 ) ( 5C1 ) ( 6C1 ) = 600

B. Stiamo scegliendo tutti e 4 i membri dei 5 junior e nessuno degli altri.

5C4 = 5

C. 4C2 (cdot) 6C2 = 90

D. Dal momento che non vogliamo matricole nel comitato, dobbiamo scegliere tutti i membri dai restanti 16. Cioè

16C4 = 1820

e. Delle 4 persone del comitato, vogliamo almeno tre anziani. Questo può essere fatto in due modi. Potremmo avere tre anziani e uno non senior, o tutti e quattro gli anziani.

( 6C3 ) ( 14C1 ) + 6C4 = 295

Esempio (PageIndex{10})

Quante sequenze di parole di cinque lettere composte da 2 vocali e 3 consonanti possono essere formate dalle lettere della parola INTRODURRE?

Soluzione

Per prima cosa selezioniamo un gruppo di cinque lettere composto da 2 vocali e 3 consonanti.
Poiché ci sono 4 vocali e 5 consonanti, abbiamo

( 4C2 ) ( 5C3 )

Poiché il nostro prossimo compito è creare sequenze di parole con queste lettere, moltiplichiamo queste per 5!.

( 4C2 ) ( 5C3 ) ( 5! ) = 7200.

Esempio (PageIndex{11})

Un mazzo di carte da gioco standard ha 52 carte composte da 4 semi ciascuno con 13 carte. In quanti modi diversi si può pescare una mano di 5 carte composta da quattro carte di un seme e una carta di un altro seme?

Soluzione

Risolveremo il problema utilizzando i seguenti passaggi.
Passaggio 1. Seleziona un abito.
Passaggio 2. Scegli quattro carte di questo seme.
Passaggio 3. Seleziona un altro seme.
Passaggio 4. Scegli una carta di quel seme.

Applicando l'assioma della moltiplicazione, abbiamo

Modi per selezionare il primo seme

Modi per selezionare 4 carte di questo seme

Modi per selezionare il prossimo seme

Modi per selezionare una carta di quel seme

4C1

13C4

3C1

13C1

( 4C1 ) ( 13C4 ) ( 3C1 ) ( 13C1 ) = 111.540.

UN MAZZO STANDARD DI 52 CARTE DA GIOCO

Come nell'esempio precedente, molti esempi e problemi con i compiti in questo libro si riferiscono a un mazzo standard di 52 carte da gioco. Prima di concludere questa sezione, ci prendiamo un minuto per descrivere un mazzo di carte da gioco standard, poiché alcuni lettori potrebbero non conoscerlo.

Un mazzo standard di 52 carte da gioco ha 4 semi con 13 carte in ogni seme.

Ad ogni seme è associato un colore, nero (picche, fiori) o rosso (quadri, cuori).

Ogni seme contiene 13 tagli (o valori) per le carte:

un Asso (A), nove numeri 2, 3, 4, …., 10 e Fante(J), Regina (Q), Re (K).

Il fante, la regina e il re sono chiamati "carte con figure" perché hanno delle immagini. Quindi un mazzo standard ha 12 figure: (3 valori J, Q, K ) x (4 semi ♦, ♥, ♠, ♣ )

Possiamo visualizzare le 52 carte dal seguente display

Completo da uomo

Colore

Valori (denominazioni)

Diamanti

rosso

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

Cuori

rosso

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

picche

Nero

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

Club

Nero

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K


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