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6.3.1: Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario I (Esercizi) - Matematica


Q6.3.1

Nel Esercizi 6.3.1-6.3.8 trova la soluzione generale sul punto ordinario x = 0. Trova inoltre un insieme fondamentale di soluzioni.

1. ((1+x^2)y''+6xy'+6y=0)

2. ((1+x^2)y''+2xy'-2y=0)

3. ((1+x^2)y''-8xy'+20y=0)

4. ((1-x^2)y''-8xy'-12y=0)

5. ((1+2x^2)y''+7xy'+2y=0)

6. ({(1+x^2)y''+2xy'+{1over4}y=0})

7. ((x+2)y''+xy'-y=0)

8. ((1+x^2)y''-10xy'+28y=0)

Q6.3.2

Nel Esercizi 6.3.11-6.3.13 trova (a_{0}, ..., a_{N}) per (N) almeno (7) nella soluzione della serie di potenze (y=sum _{n=0}^{ infty} a_{n}x^{n}) del problema del valore iniziale.

9. ((1+x^2)y''+xy'+y=0,quad y(0)=2,quad y'(0)=-1)

10. ((1+2x^2)y''-9xy'-6y=0,quad y(0)=1,quad y'(0)=-1)

11. ((1+8x^2)y''+2y=0,quad y(0)=2,quad y'(0)=-1)

Q6.3.3

Nel Esercizi 6.3.12-6.3.16 trova la serie di potenze in (x-x_{0}) per la soluzione generale.

12. (y''-y=0;quad x_0=3)

13. (y''-(x-3)y'-y=0;quad x_0=3)

14. ((1-4x+2x^2)y''+10(x-1)y'+6y=0;quad x_0=1)

15. ((11-8x+2x^2)y''-16(x-2)y'+36y=0;quad x_0=2)

16. ((5+6x+3x^2)y''+9(x+1)y'+3y=0;quad x_0=-1)

Q6.3.4

Nel Esercizi 6.3.17-6.3.22 trova (a_{0}, ... a_{N}) per (N) almeno (7) nella serie di potenze (y=sum_{n=0}^{infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}) per la soluzione del problema del valore iniziale. Prendi (x_{0}) come il punto in cui vengono imposte le condizioni iniziali.

17. ((x^2-4)y''-xy'-3y=0,quad y(0)=-1,quad y'(0)=2)

18. (y''+(x-3)y'+3y=0,quad y(3)=-2,quad y'(3)=3)

19. ((5-6x+3x^2)y''+(x-1)y'+12y=0,quad y(1)=-1,quad y'(1)=1)

20. ((4x^2-24x+37)y''+y=0,quad y(3)=4,quad y'(3)=-6)

21. ((x^2-8x+14)y''-8(x-4)y'+20y=0,quad y(4)=3,quad y'(4)=-4 )

22. ((2x^2+4x+5)y''-20(x+1)y'+60y=0,quad y(-1)=3,quad y'(-1)=- 3)

Q6.3.5

23.

  1. Trova una serie di potenze in (x) per la soluzione generale di [(1+x^2)y''+4xy'+2y=0. ag{A}]
  2. Usa (a) e la formula [{1over1-r}=1+r+r^2+cdots+r^n+cdots quad(-1
  3. Mostra che l'espressione ottenuta in (b) è in realtà la soluzione generale di (A) su ((-infty,infty)).

6.3.1: Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario I (Esercizi) - Matematica

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Editor di espressioni matematiche

Discutiamo la teoria relativa alle equazioni lineari non omogenee.

Equazioni lineari non omogenee

Consideriamo ora l'equazione lineare non omogenea del secondo ordine

dove la funzione di forzatura non è identicamente zero. Il prossimo teorema, un'estensione del Teorema thmtype:5.1.1, fornisce condizioni sufficienti per l'esistenza e l'unicità delle soluzioni di problemi ai valori iniziali per (eq:5.3.1). Omettiamo la dimostrazione, che esula dallo scopo di questo libro.

Per trovare la soluzione generale di (eq:5.3.1) su un intervallo dove , , e sono continui, è necessario trovare la soluzione generale dell'equazione omogenea associata

sopra . Chiamiamo (eq:5.3.2) il equazione complementare per (eq:5.3.1).

Il prossimo teorema mostra come trovare la soluzione generale di (eq:5.3.1) se conosciamo una soluzione di (eq:5.3.1) e un insieme fondamentale di soluzioni di (eq:5.3.2). chiamiamo a soluzione particolare di (eq:5.3.1) può essere qualsiasi soluzione che possiamo trovare, in un modo o nell'altro.

Dimostrazione Mostriamo dapprima che in (eq:5.3.5) è una soluzione di (eq:5.3.3) per qualsiasi scelta delle costanti e . Differenziando (eq:5.3.5) due volte si ottiene così

Ora mostreremo che ogni soluzione di (eq:5.3.3) ha la forma (eq:5.3.5) per qualche scelta delle costanti e . Supponiamo sia una soluzione di (eq:5.3.3). Mostreremo che è una soluzione di (eq:5.3.4), e quindi della forma , che implica (eq:5.3.5). Per vedere questo, calcoliamo

Diciamo che (eq:5.3.5) è la soluzione generale di on .

Se , , e sono continui e non hanno zeri su , allora Teorema thmtype:5.3.2 implica che la soluzione generale di

on è , dove è una particolare soluzione di (eq:5.3.6) on ed è un insieme fondamentale di soluzioni di on . Per vedere ciò, riscriviamo (eq:5.3.6) come e applichiamo il Teorema thmtype:5.3.2 con , , e .

Per evitare una formulazione scomoda in esempi ed esercizi, non specificheremo l'intervallo quando chiediamo la soluzione generale di una specifica equazione lineare del secondo ordine, o per un insieme fondamentale di soluzioni di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine. Siamo d'accordo che questo significa sempre che vogliamo la soluzione generale (o un insieme fondamentale di soluzioni, a seconda dei casi) su ogni intervallo aperto su cui , , e sono continui se l'equazione è della forma (eq:5.3.3 ), o su cui , , , e sono continui e non hanno zeri, se l'equazione è della forma (eq:5.3.6). Lasciamo a te il compito di identificare questi intervalli in esempi ed esercizi specifici.

Per completezza, segnaliamo che se , , , e sono tutti continui su un intervallo aperto , ma ha uno zero in , allora (eq:5.3.6) potrebbe non avere una soluzione generale on nel senso appena definito.

In questa sezione ci limiteremo alle applicazioni del Teorema thmtype:5.3.2 dove possiamo indovinare la forma della particolare soluzione.

item:5.3.1b L'imposizione della condizione iniziale in (eq:5.3.9) produce , quindi . Differenziare (eq:5.3.9) produce Imporre la condizione iniziale qui produce , quindi la soluzione di (eq:5.3.8) è La figura seguente mostra un grafico di questa soluzione.

item:5.3.2b L'imposizione della condizione iniziale in (eq:5.3.12) restituisce , quindi . Differenziando (eq:5.3.12) si ottiene e imponendo la condizione iniziale qui si ottiene , così . Quindi la soluzione di (eq:5.3.11) è La figura seguente mostra un grafico di questa soluzione.

Il principio di sovrapposizione

Il prossimo teorema ci consente di spezzare un'equazione non omogenea in parti più semplici, trovare una soluzione particolare per ciascuna parte e quindi combinare le loro soluzioni per ottenere una soluzione particolare del problema originale.

È facile generalizzare il Teorema thmtype:5.3.3 all'equazione

dove quindi, if è una particolare soluzione di on per , , …, , allora è una particolare soluzione di (eq:5.3.14) on . Inoltre, con una dimostrazione simile alla dimostrazione del Teorema thmtype:5.3.3 possiamo formulare il principio di sovrapposizione in termini di un'equazione lineare scritta nella forma cioè, se è una soluzione particolare di on ed è una soluzione particolare di on , allora è una soluzione di on .

Sorgente di testo

Trench, William F., "Equazioni differenziali elementari" (2013). Libri e CD scritti e modificati dalla Facoltà. 8. (CC-BY-NC-SA)


Equazioni differenziali: Tutorial Bank 1a edizione

L'accesso è subordinato all'utilizzo di questo libro di testo nell'aula del docente.

  • Capitolo 1: Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
    • 1.1: Introduzione (6)
    • 1.2: Costruzione di modelli (2)
    • 2.1: Esistenza e Unicità (2)
    • 2.2: Campi in pendenza (4)
    • 2.3: Analisi qualitativa delle equazioni autonome (2)
    • 2.4: Equazioni separabili e applicazioni (13)
    • 2.5: Equazioni lineari e applicazioni (11)
    • 2.6: Equazioni esatte (1)
    • 2.7: Equazioni omogenee (1)
    • 2.8: Metodi di soluzione per casi speciali (3)
    • 3.1: Esistenza e Unicità (2)
    • 3.2: Soluzioni fondamentali di equazioni omogenee Wronskiane (3)
    • 3.3: Riduzione dell'Ordine (1)
    • 3.4: Equazioni omogenee a coefficienti costanti (3)
    • 3.5: Vibrazioni meccaniche libere (10)
    • 3.6: Equazioni non omogenee (3)
    • 3.7: Metodo degli Annientatori (12)
    • 3.8: Metodo dei Coefficienti Indeterminati (9)
    • 3.9: Variazione dei Parametri (2)
    • 3.10: Vibrazioni meccaniche forzate (3)
    • 3.11: Reti Elettriche (3)
    • 4.1: Esistenza e Unicità (2)
    • 4.2: Soluzioni fondamentali di equazioni omogenee Wronskiana (6)
    • 4.3: Equazioni non omogenee a coefficienti costanti (4)
    • 4.4: Variazione dei parametri (1)
    • 5.1: Introduzione (15)
    • 5.2: Derivati ​​e problemi al valore iniziale (7)
    • 5.3: Funzioni a gradino e traslazione forzatura continua a tratti (12)
    • 5.4: Impulsi (2)
    • 5.5: Convoluzione (4)
    • 5.6: Applicazioni (5)
    • 6.1: Introduzione (6)
    • 6.2: Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario (5)
    • 6.3: Soluzioni in serie vicino a un punto singolare regolare (2)
    • 6.4: Metodo di Frobenius (4)
    • 7.1: Revisione: risoluzione dei sistemi utilizzando le matrici (11)
    • 7.2: Introduzione (6)
    • 7.3: Metodo degli autovalori e degli autovettori (4)
    • 7.4: Modellazione con sistemi di equazioni (2)
    • 8.1: Metodo di Eulero (3)
    • 8.2: Metodo Runge-Kutta (2)
    • 8.3: Confronto tra metodi (1)
    • 8.4: Metodo delle differenze finite (1)

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    6.3.1: Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario I (Esercizi) - Matematica

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    Sezione 2.1 (Metodo delle equazioni lineari dei fattori di integrazione) Note vuote Note completate
    Sezione 2.2 (Equazioni separabili) Note vuote Note completate
    Sezione 2.3 (Modellazione con equazioni del primo ordine) Note vuote Note completate
    Sezione 2.4 (Differenze tra equazioni lineari e non lineari) Note vuote Note completate
    Sezione 2.5 (Equazioni autonome) Note vuote Note completate
    Sezione 2.6 (Equazioni esatte e fattori di integrazione) Note vuote Note completate

    Sezione 3.1 (Equazioni omogenee a coefficienti costanti) Note vuote Note completate
    Sezione 3.2 (Soluzioni di equazioni lineari omogenee il Wronskiano) Note vuote Note completate
    Sezione 3.3 (Radici complesse dell'equazione caratteristica) Note vuote Note completate
    Sezione 3.4 (Riduzione delle radici ripetute dell'ordine) Note vuote Note completate
    Sezione 3.5 (Metodo delle equazioni non omogenee dei coefficienti sottodeterminati) Note vuote Note completate
    Sezione 3.6 (Variazione dei parametri) Note vuote Note completate
    Sezione 3.7 (Vibrazioni meccaniche ed elettriche) Note vuote Note completate
    Sezione 3.8 (Vibrazioni forzate) Note vuote Note completate

    Sezione 5.1 (Revisione delle serie di potenze) Note vuote Note completate
    Sezione 5.2 (Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario, Parte I) Note vuote Note completate
    Sezione 5.3 (Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario, Parte II) Note vuote Note completate

    Sezione 6.1 (Definizione della trasformata di Laplace) Note vuote Note completate
    Sezione 6.2 (Soluzione dei problemi di valore iniziale) Note vuote Note completate
    Sezione 6.3 (Funzioni passo) Note vuote Note quasi completate
    Sezione 6.4 (Equazione differenziale con funzioni di forzatura discontinue) Note vuote Note completate
    Sezione 6.5 (Funzioni impulsive) Note vuote Note completate
    Sezione 6.6 (L'integrale di convoluzione) Note vuote Note completate

    Sezione 7.1 (Introduzione) Note vuote Note completate
    Sezione 7.2 (Revisione delle matrici) Note vuote Note completate
    Paragrafo 7.3 (Equazioni algebriche lineari autovalori, autovettori) Note vuote Note completate
    Sezione 7.4 (Teoria di base dei sistemi di equazioni del primo ordine) Note vuote Note completate
    Sezione 7.5 (Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti) Note vuote Note completate
    Sezione 7.6 (Autovalori complessi) Note vuote Note completate
    Sezione 7.8 (Autovalori ripetuti) Note vuote Note completate
    Sezione 7.9 (Sistemi lineari non omogenei) Note vuote Note completate


    6.3.1: Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario I (Esercizi) - Matematica

    Nella sezione precedente abbiamo impiegato un po' di tempo per familiarizzare con le serie e abbiamo definito brevemente convergenza e divergenza. Prima di preoccuparci della convergenza e della divergenza di una serie, volevamo assicurarci di aver iniziato a prendere confidenza con la notazione coinvolta in serie e alcune delle varie manipolazioni di serie che, a volte, dovremo essere in grado di fare.

    Come notato nella sezione precedente, la maggior parte di ciò che stavamo facendo non sarà fatto molto in questo capitolo. Quindi, è ora di iniziare a parlare della convergenza e divergenza di una serie poiché questo sarà un argomento che tratteremo in un modo o nell'altro in quasi tutte le sezioni rimanenti di questo capitolo.

    Quindi, ricapitoliamo cosa è una serie infinita e cosa significa per una serie essere convergente o divergente. Inizieremo con una sequenza (left< <> giusto>_^infty ) e di nuovo si noti che stiamo iniziando la sequenza da (n = 1) solo per comodità e, in effetti, può essere qualsiasi cosa.

    Successivamente, definiamo le somme parziali della serie come,

    e questi formano una nuova sequenza, (left< <> giusto>_^infty ).

    Una serie infinita, o semplicemente una serie qui poiché quasi tutte le serie che vedremo saranno una serie infinita, è quindi il limite delle somme parziali. O,

    È importante ricordare che (sumlimits_^infty <> ) non è altro che una comoda notazione per (mathop limits_ sumlimits_^n <> ) quindi non è necessario continuare a scrivere il limite. Tuttavia, dobbiamo sempre ricordare a noi stessi che abbiamo davvero un limite lì!

    Se la successione delle somme parziali è una successione convergente (cioè il suo limite esiste ed è finito) allora la serie si chiama anche convergente e in questo caso se (mathop limits_ = s) quindi, (sumlimits_^infty <> = s). Allo stesso modo, se la successione delle somme parziali è una successione divergente (cioè il suo limite non esiste o è più o meno infinito) allora la serie è anche chiamata divergente.

    Diamo un'occhiata ad alcune serie e vediamo se possiamo determinare se sono convergenti o divergenti e vediamo se possiamo determinare il valore di qualsiasi serie convergente che troviamo.

    Per determinare se la serie è convergente dobbiamo prima mettere le mani su una formula per il termine generale nella sequenza delle somme parziali.

    Questa è una serie nota e si può dimostrare che il suo valore è,

    Non preoccuparti se non conoscevi questa formula (saremmo sorpresi se qualcuno la conoscesse…) perché non ti sarà richiesto di conoscerla nel mio corso.

    Quindi, per determinare se la serie è convergente dovremo prima vedere se la successione delle somme parziali,

    è convergente o divergente. Non è molto difficile in questo caso. Il limite dei termini di sequenza è,

    Pertanto, la sequenza delle somme parziali diverge a (infty ) e quindi anche la serie diverge.

    Quindi, come abbiamo visto in questo esempio, dovevamo conoscere una formula abbastanza oscura per determinare la convergenza di questa serie. In generale, trovare una formula per il termine generale nella sequenza delle somme parziali è un processo molto difficile. Infatti dopo la prossima sezione non faremo molto con le somme parziali delle serie a causa dell'estrema difficoltà incontrata nel trovare la formula generale. Ciò significa anche che non lavoreremo molto con il valore delle serie poiché per ottenere il valore dovremo anche conoscere la formula generale per le somme parziali.

    Tuttavia, continueremo con qualche altro esempio, poiché questo è tecnicamente il modo in cui determiniamo la convergenza e il valore di una serie. Inoltre, i restanti esempi che esamineremo in questa sezione ci porteranno a un fatto molto importante sulla convergenza delle serie.

    Quindi, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi.

    Questa è in realtà una delle poche serie in cui siamo in grado di determinare una formula per il termine generale nella sequenza delle frazioni parziali. Tuttavia, in questa sezione siamo più interessati all'idea generale di convergenza e divergenza e quindi rimandiamo la discussione del processo per trovare la formula alla sezione successiva.

    La formula generale per le somme parziali è,

    La successione delle somme parziali converge e quindi converge anche la serie e il suo valore è,

    In questo caso non abbiamo davvero bisogno di una formula generale per le somme parziali per determinare la convergenza di questa serie. Scriviamo solo le prime somme parziali.

    Quindi, sembra che la sequenza delle somme parziali sia,

    e questa sequenza diverge da (mathop limits_ ) non esiste. Pertanto, anche la serie diverge.

    Ecco la formula generale per le somme parziali per questa serie.

    Ancora una volta, non preoccuparti di conoscere questa formula. Questo non è qualcosa che ti verrà mai chiesto di sapere nella mia classe.

    In questo caso il limite della sequenza delle somme parziali è,

    La successione delle somme parziali è convergente e quindi anche la serie sarà convergente. Il valore della serie è

    Come abbiamo già notato, non eccitarti nel determinare la formula generale per la sequenza delle somme parziali. Ci sarà solo un tipo di serie in cui dovrai determinare questa formula e il processo in quel caso non è male. In effetti, sai già come svolgere la maggior parte del lavoro nel processo, come vedrai nella prossima sezione.

    Quindi, ora abbiamo determinato la convergenza di quattro serie. Due delle serie convergevano e due divergevano. Torniamo indietro ed esaminiamo i termini della serie per ciascuno di questi. Per ciascuna delle serie prendiamo il limite come (n) va all'infinito dei termini della serie (non le somme parziali!!).

    Si noti che per le due serie convergenti il ​​termine stesso della serie era zero nel limite. Questo sarà sempre vero per le serie convergenti e porta al seguente teorema.

    Teorema

    Se (somma <> ) converge quindi (mathop limits_ = 0).

    Prova

    Per prima cosa supponiamo che la serie inizi da (n = 1). In caso contrario, possiamo modificare le cose come appropriato di seguito. Allora le somme parziali sono,

    Successivamente, possiamo usare queste due somme parziali per scrivere,

    Ora perché sappiamo che (sum <> ) è convergente sappiamo anche che la successione (left< <> giusto>_^infty ) è anche convergente e che (mathop limits_ = s)per qualche valore finito (s). Tuttavia, poiché (n - 1 o infty ) as (n o infty ) abbiamo anche (mathop limits_ <>> = s).

    Attenzione a non abusare di questo teorema! Questo teorema ci dà un requisito per la convergenza ma non una garanzia di convergenza. In altre parole, NON è vero il contrario. Se (mathop limits_ = 0) la serie potrebbe effettivamente divergere! Considera le seguenti due serie.

    In entrambi i casi i termini della serie sono zero nel limite poiché (n) va all'infinito, ma solo la seconda serie converge. La prima serie diverge. Ci vorranno un paio di sezioni prima di poterlo dimostrare, quindi a questo punto, per favore, credici e sappi che sarai in grado di dimostrare la convergenza di queste due serie in un paio di sezioni.

    Di nuovo, come notato sopra, tutto ciò che questo teorema fa è darci un requisito per la convergenza di una serie. Affinché una serie converga, i termini della serie devono andare a zero nel limite. Se i termini della serie non vanno a zero nel limite, allora non c'è modo che la serie possa convergere poiché ciò violerebbe il teorema.

    Questo ci porta al primo di molti test per la convergenza/divergenza di una serie che vedremo in questo capitolo.

    Prova di divergenza

    Se (mathop limits_ e 0) quindi (sum <> ) diverge.

    Ancora una volta, NON abusare di questo test. Questo test dice solo che una serie è garantita per divergere se i termini della serie non vanno a zero nel limite. Se i termini della serie vanno a zero, la serie può o non può convergere! Ancora una volta, ricorda le seguenti due serie,

    Uno degli errori più comuni che fanno gli studenti quando entrano per la prima volta in una serie è presumere che se (mathop limits_ = 0) quindi (somma <> ) convergerà. Non c'è modo di garantire questo, quindi fai attenzione!

    Diamo una rapida occhiata a un esempio di come può essere utilizzato questo test.

    Con quasi tutte le serie che esamineremo in questo capitolo, la prima cosa da fare è dare un'occhiata ai termini della serie e vedere se vanno a zero o meno. Se è chiaro che i termini non vanno a zero, usa il test di divergenza e fai il problema.

    Il limite dei termini della serie non è zero e quindi per il test di divergenza la serie diverge.

    Il test di divergenza è il primo test di molti test che esamineremo nel corso delle prossime sezioni. Dovrai tenere traccia di tutti questi test, delle condizioni in cui possono essere utilizzati e delle loro conclusioni in un unico posto in modo da poterli consultare rapidamente quando necessario.

    Successivamente dovremmo rivisitare brevemente l'aritmetica delle serie e la convergenza/divergenza. Come abbiamo visto nella sezione precedente se (sum <> ) e (sum <> ) sono entrambe serie convergenti allora lo sono anche (sum <>> ) e (sumlimits_^infty pm > giusto)> ). Inoltre, queste serie avranno le seguenti somme o valori.

    Vedremo un esempio di questo nella prossima sezione dopo aver ottenuto alcuni altri esempi sotto la nostra cintura. A questo punto basta ricordare che una somma di serie convergenti è convergente e moltiplicare una serie convergente per un numero non cambierà la sua convergenza.

    Dobbiamo stare un po' attenti a questi fatti quando si tratta di serie divergenti. Nel primo caso se (sum <> ) è divergente allora (sum <>> ) sarà anche divergente (a condizione che (c) non sia zero ovviamente) poiché moltiplicando una serie di valore infinito o che non ha valore per un valore finito (cioè c) non cambierà il fatto che la serie abbia un valore infinito o nullo. Tuttavia, è possibile avere sia (sum <> ) e (sum <> ) essere una serie divergente e tuttavia avere (sumlimits_^infty pm > ight)> ) essere una serie convergente.

    Ora, poiché l'argomento principale di questa sezione è la convergenza di una serie, dovremmo menzionare un tipo di convergenza più forte. Una serie (somma <> ) si dice convergere assolutamente if (sum > ight|> ) converge anche. La convergenza assoluta è più forte rispetto alla convergenza, nel senso che una serie assolutamente convergente sarà anche convergente, ma una serie convergente può essere o non essere assolutamente convergente.

    Infatti se (sum <> )converge e (sum > ight|> ) diverge la serie (sum <> )si chiama condizionatamente convergente.

    A questo punto non abbiamo davvero gli strumenti a portata di mano per approfondire adeguatamente questo argomento né abbiamo gli strumenti in mano per determinare se una serie è assolutamente convergente o meno. Quindi non diremo altro su questo argomento per un po'. Quando finalmente avremo gli strumenti in mano per discutere questo argomento in modo più dettagliato, lo rivisiteremo. Fino ad allora non preoccuparti. L'idea è menzionata qui solo perché stavamo già discutendo della convergenza in questa sezione e si lega all'ultimo argomento che vogliamo discutere in questa sezione.

    Nella sezione precedente, dopo aver introdotto l'idea di una serie infinita, abbiamo commentato il fatto che non dovremmo pensare a una serie infinita come a una somma infinita nonostante il fatto che la notazione che usiamo per le serie infinite sembri implicare che è una somma infinita. È giunto il momento di discuterne brevemente.

    Per prima cosa, dobbiamo introdurre l'idea di a riarrangiamento. Una riorganizzazione di una serie è esattamente come potrebbe sembrare, è la stessa serie con i termini riorganizzati in un ordine diverso.

    Si consideri ad esempio la seguente serie infinita.

    Un riarrangiamento di questa serie è,

    Il problema che dobbiamo discutere qui è che per alcune serie ciascuna di queste disposizioni di termini può avere valori diversi nonostante utilizzino esattamente gli stessi termini.

    Ecco un esempio di questo. Si può dimostrare che,

    Poiché questa serie converge sappiamo che se la moltiplichiamo per una costante (c) il suo valore sarà moltiplicato anche per (c). Quindi, moltiplichiamo questo per (frac<1><2>) per ottenere,

    Ora, aggiungiamo uno zero tra ogni termine come segue.

    [inizio0 + frac<1> <2>+ 0 - frac<1> <4>+ 0 + frac<1> <6>+ 0 - frac<1> <8>+ 0 + frac<1 ><<10>> + 0 - frac<1><<12>> + 0 + cdots = frac<1><2>ln 2labelfine]

    Nota che questo non cambieràil valore della serie perché le somme parziali per questa serie saranno le somme parziali per (eqref) tranne che ogni termine verrà ripetuto. La ripetizione di termini in una serie non influirà comunque sul suo limite e quindi sia (eqref) e (eqref) sarà lo stesso.

    Sappiamo che se due serie convergono possiamo sommarle aggiungendo termine per termine e quindi aggiungere (eqref) e (eqref) ottenere,

    Si noti ora che i termini di (eqref) sono semplicemente i termini di (eqref) riorganizzato in modo che ogni termine negativo venga dopo due termini positivi. I valori però sono decisamente diversi nonostante i termini siano gli stessi.

    Nota anche che questo non è uno di quei "trucchi" che vedi occasionalmente in cui ottieni un risultato contraddittorio a causa di un errore matematico/logico difficile da individuare. Questo è un risultato molto reale e non abbiamo commesso errori/errori logici.

    Ecco una bella serie di fatti che governano questa idea di quando un riarrangiamento porterà a un diverso valore di una serie.

    Fatti

      Se (displaystyle sum <> ) è assolutamente convergente e il suo valore è (s) quindi qualsiasi riarrangiamento di (displaystyle sum <> ) avrà anche il valore (s).

    Ancora una volta, non abbiamo ancora gli strumenti in mano per determinare se una serie è assolutamente convergente e quindi non preoccuparti di questo a questo punto. Questo è qui solo per essere sicuri che tu capisca che dobbiamo stare molto attenti nel pensare a una serie infinita come una somma infinita. Ci sono momenti in cui possiamo (cioè la serie è assolutamente convergente) e ci sono momenti in cui non possiamo (cioè la serie è condizionatamente convergente).

    Come nota finale, il fatto sopra ci dice che la serie,

    deve essere condizionatamente convergente poiché due riarrangiamenti hanno dato due valori separati di questa serie. Alla fine sarà molto semplice dimostrare che questa serie è condizionatamente convergente.


    6.3.1: Soluzioni in serie vicino a un punto ordinario I (Esercizi) - Matematica

    Supponiamo di avere una funzione $f(x)$ e di voler trovare il più accuratamente possibile dove attraversa l'asse $x$, in altre parole, si vuole risolvere $f(x)=0$. Supponiamo di non conoscere alcun modo per trovare una soluzione esatta con una procedura algebrica, ma di essere in grado di utilizzare un'approssimazione, a condizione che possa essere fatta abbastanza vicina al valore vero. Il metodo di Newton è un modo per trovare una soluzione all'equazione con tutte le cifre decimali che vuoi. È quella che viene chiamata una "procedura iterativa", nel senso che può essere ripetuta più e più volte per ottenere una risposta di sempre maggiore precisione. Le procedure iterative come il metodo di Newton sono adatte alla programmazione per un computer. Il metodo di Newton utilizza il fatto che la linea tangente a una curva è una buona approssimazione alla curva vicino al punto di tangenza.

    Esempio 6.3.1 $ds sqrt<3>$ approssimativo. Poiché $ds sqrt<3>$ è una soluzione per $ds x^2=3$ o $ds x^2-3=0$, usiamo $ds f(x)=x^2- 3$. Iniziamo indovinando qualcosa di ragionevolmente vicino al valore vero questo di solito è facile da fare usiamo $ds sqrt3about2$. Ora usa la linea tangente alla curva quando $x=2$ come approssimazione alla curva, come mostrato nella figura 6.3.1. Poiché $f'(x)=2x$, la pendenza di questa retta tangente è 4 e la sua equazione è $y=4x-7$. La linea tangente è abbastanza vicina a $f(x)$, quindi attraversa l'asse $x$ vicino al punto in cui si incrocia $f(x)$, cioè vicino a $ds sqrt3$. È facile trovare dove la linea tangente interseca l'asse $x$: risolvi =4x-7$ per ottenere $x=7/4=1,75$. Questa è certamente un'approssimazione migliore di 2, ma diciamo non abbastanza vicina. Possiamo migliorarlo facendo di nuovo la stessa cosa: trova la linea tangente a $x=1.75$, trova dove questa nuova linea tangente interseca l'asse $x$ e usa quel valore come una migliore approssimazione. Possiamo continuare all'infinito, anche se diventa un po' noioso. Vediamo se possiamo abbreviare il processo. Supponiamo che la migliore approssimazione all'intercetta che abbiamo finora sia $ds x_i$. Per trovare un'approssimazione migliore faremo sempre la stessa cosa: trova la pendenza della retta tangente in $ds x_i$, trova l'equazione della retta tangente, trova l'intercetta $x$. La pendenza è $ds 2x_i$. La linea tangente è $ds y=(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$, utilizzando la formula punto-inclinazione per una linea. Infine, l'intercetta si trova risolvendo $ds 0 =(2x_i)(x-x_i)+(x_i^2-3)$. Con un po' di algebra questo diventa $ds x=(x_i^2+3)/(2x_i)$ questa è la prossima approssimazione, che chiamiamo naturalmente $ds x_$. Invece di eseguire l'intero calcolo della linea tangente ogni volta, possiamo semplicemente usare questa formula per ottenere tutte le approssimazioni che vogliamo. A partire da $ds x_0=2$, otteniamo $ds x_1=(x_0^2+3)/(2x_0)=(2^2+3)/4=7/4$ (la stessa approssimazione che abbiamo ottenuto sopra , ovviamente), $ds x_2=(x_1^2+3)/(2x_1)= ((7/4)^2+3)/(7/2)=97/56circa 1.73214$, $ ds x_3circa 1.73205$ e così via. Questo è ancora un po' noioso a mano, ma con una calcolatrice o, ancora meglio, un buon programma per computer, è abbastanza facile ottenere molte, molte approssimazioni. Potremmo già supporre che $ 1,73205 $ sia accurato a due cifre decimali, e in effetti risulta che è accurato a 5 posizioni.

    È possibile modificare la funzione qui, ad esempio in Math.sin(x) o Math.exp(x) o Math.pow(2,x) o 1-2/(x*x).

    Pensiamo a questo processo in termini più generali. Vogliamo approssimare una soluzione a $f(x)=0$. Iniziamo con un'ipotesi approssimativa, che chiamiamo $ds x_0$. Usiamo la tangente a $f(x)$ per ottenere una nuova approssimazione che speriamo sia più vicina al valore vero. Qual è l'equazione della retta tangente quando $ds x=x_0$? La pendenza è $ds f'(x_0)$ e la retta passa per $ds(x_0,f(x_0))$, quindi l'equazione della retta è $ y=f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0).$ Ora troviamo dove questo interseca l'asse $x$ sostituendo $y=0$ e risolvendo per $x$: $x= = x_0 - .$ Di solito vorremmo calcolare più di una di queste approssimazioni migliorate, quindi le numeriamo consecutivamente da $ds x_0$ abbiamo calcolato $ds x_1$: $x_1= = x_0 - ,$ e in generale da $ds x_i$ calcoliamo $ds x_$: $x_= = x_i - .$

    Esempio 6.3.2 Tornando all'esempio precedente, $ds f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$, e la formula diventa $ds x_=x_i - (x_i^2-3)/(2x_i)=(x_i^2+3)/(2x_i)$, come prima.

    In pratica, vale a dire, se hai bisogno di approssimare un valore nel corso della progettazione di un ponte, di un edificio o di una cellula, dovrai avere una certa sicurezza che l'approssimazione su cui ti stabilisci sia sufficientemente accurata. Come regola generale, una volta che un certo numero di posizioni decimali smette di cambiare da un'approssimazione all'altra è probabile che quelle posizioni decimali siano corrette. Tuttavia, questa potrebbe non essere una garanzia sufficiente, nel qual caso possiamo testare l'accuratezza del risultato.

    Esempio 6.3.3 Trovare la coordinata $x$ dell'intersezione delle curve $y=2x$ e $y= an x$, con precisione alla terza cifra decimale. Per mettere questo nel contesto del metodo di Newton, notiamo che vogliamo sapere dove $2x= an x$ o $f(x)= an x-2x=0$. Calcoliamo $ds f'(x)=sec^2 x - 2$ e impostiamo la formula: $x_ = x_i-< an x_i -2x_iover sec^2 x_i - 2>.$ Dal grafico in figura 6.3.2 indoviniamo $ds x_0=1$ come punto di partenza, quindi utilizzando la formula calcoliamo $ ds x_1=1.310478030$, $ds x_2=1.223929096$, $ds x_3=1.176050900$, $ds x_4=1.165926508$, $ds x_5=1.165561636$. So we guess that the first three places are correct, but that is not the same as saying $1.165$ is correct to three decimal places&mdash$1.166$ might be the correct, rounded approximation. How can we tell? We can substitute $1.165$, $1.1655$ and $1.166$ into $ an x - 2x$ this gives $-0.002483652$, $-0.000271247$, .001948654$. Since the first two are negative and the third is positive, $ an x - 2x$ crosses the $x$ axis between $1.1655$ and $1.166$, so the correct value to three places is $1.166$.


    6.3.1: Series Solutions Near an Ordinary Point I (Exercises) - Mathematics

    d"C&*H,+.tZ=eXNe R=]:u^%K]fS`P)IH#@%[email protected]"?7SZ :akSr&ub&,p7]% N'U$R)>Ee'[email protected],fKE3EkCr-3G48)^AdBZlCVUiLoGWDSCf4qBG)l bP6db0-iK1C.c7/j6glbV$V8bie)b>]1G--+eK N?op 7)"tmQ.g1-pE?ZEq3OhPG*ot-Sm1?Qi7c=1rL=8S683mrZ`C"glJ8aVifI9/^"u [email protected],R48c`5iKc3'G$"'s1Nm!.lsP2B l0h3RHn`VL%5P,!lTV$r> i%fPXbKZc_3GSu_F=cAR'gc+RW1/2POr&fi%[email protected] mO`e9OgMu% "]"AD6ibal=.`577k79!,p=V$ !Ba95?aF*gc.OY36D45lrBl=?bS[bfBM+FVWi`1`OB+([,+prfu6sD1[QEg0)clB BAFVA-D:[email protected])QYcbQ)VABoGh&/ehmQmP7B!m)l!XVb80^"A%?%"TptD[>4/=Y YsLjk8(Q3UE^RE`pZ-82)k_Vo9NF(i)2c=W_56]n%u%5L=iqL>29Fd:u(5C*&7uN Fis _`Ajd0Z7qlj&= hs:qn_JJu$sbWMTXILWOGm)MJ>Yb4/uqLb ,O.`#cq2&Bj:=-7>[email protected])WC[L&WM=8]`1I7%CY_1bACK5d?+g-TRj.E IqFU#!"hi0.Gl_TG808V^Z./R)E6tjBh_fagSX (O$6DYeKI3eu1FfQtTVehc)-"Ge^c# &(+h,BINL]FG%Gb.HK,[email protected]"_]>XP0=hJ,7*V=rhPWd>G_]"'qi3=9(sG O%JsB7,W!Bb1emZFtl'P$gQEBXPpgCFh'+`5Y?5#]Z,,MZQH5mjF [email protected]?OTm?lFU]HZDhlCH+ufrXl(oKn9pO!*QR E6DgJ^!X_FNRbtTAX'aj-?N=dH`@a:1Yph=[[ZOD)2G s'j]D*K*CkFhuQoX0o=N[d`3]@iP-^^,P[Iol_4d `KL>m][email protected](Pqf.u4E]*l>me#*Y1Sf ZE%.lb]3(j9Ig`[3=N"Q[LI69 Q4a3_=h&[[email protected]*>J n(U#7)nKBS^)0(7jasPg-D"gZ0N+:-9r7Op'q`9dV 7(pCU4d`GFH f/]^^oB.i7kNG]4j'9_Km>2KM.eQ>7WK ^*QhYaoeN?)[email protected]:pdJQ[[email protected], IaXd4Jdr^6?(+,DQEQ$jh jWtZ-!J>^8NWfr.XBd:^ 2dbS(1`k:^X^,*@[email protected]")h`dF``LN=([email protected]$X$S_' M!di1]-nYc[JJ`"lSAXPgD^%@/&IF,s+&M!FPT[`A JfI:aU12U.g-b>5:[email protected][gshN(l^J3r?l_D#sR`WF1Mo $1]"N0eLJme9lJs"nV*0R6p)mp` (TniVDsHX,&FpOPWKV([email protected]#NmX.ipscqOs5]P"1pfjsj4FtA)B+M.g54+" S4MjS0ZHjEG$i&'$214WLb3^bqIV=fYcK/b4!9p5rTf85#?]p&KoGY&g ?7TWs%'VUhX_>`3lh7^!Fo @-b1VmI,7_0To)9i$8t-?1/+FH[QV'.Eg9ZICrPnkZ=R0k/Z0hIn50OSe.aF1e> 8?[85V*%7VUpjUf3cRJpBXMQDbJm_[+DXlNW.36gd^>?rJ^/'cjQUj:LY$LmBmn" (ja.9qA=76Mh$K!ZnK'?!YQ.+Fm f!1j8H+B XLFr["5b38'QKpCFmfW 95IG/OKe5/Ed+lLLY0` 4F_Nhjl0Kid+d2_g=lVY4X`)"2]ilT">fA(=mQ++W].1gE([ff&[/7 pHAM&$[8%&FI_A0>HXcQI0=/[email protected](i%0R*!eC_kA>Hk)5?UajP= ZC&&+aCaT.Gp#N_BG)RAaU=G.?Q./ldr>>q.?g:d:T_9L2Q)HrUhX6jBhG#R-N(O /i7!S$68Z+MFuW4:bIRPP8J6AIn^?L$='- ]M13foV M7(eC=D$dA[SOChY8qHM1)C/ GENCQj M/TufldP9,l_^s5&i-6]$q%KBDSQ)Yn[5t4?$:6ap":phf8oC/^. "6:+Vj'A&L6>"oA,"UGg&GBWhd[fKB]:We[e/tR/) :$n#1qbuPu-/UiTF+mijbE^S8=LT`[email protected] L[G3353q-0!>q%4C%([email protected]!oI5JHdtT_2- ^:`/ 4!)r)e$:mOFp`M$9IRT/4q>[email protected]%_S4[_r1(@[7h(Im/ZK:Mr)aj)e7C'n_NS [email protected],Q2,EI'!dt12.O'EiNcnE"Y0!(*LL/3_YAZjHiC7rHL>"tSM9eF hTlrQZh fh8mTGlhu>?$f?hi (mgE1h5 N##R"PEq'U[Bamdj24(I :%KZco$L2pi)]!PohRUOCE_4H1$(moa)"[email protected]#Z^bJ8UU NR/(V^qgrBU(f5O%sNpUcL:21bjKQ[ENCKG4]1+6IGSs+ 61b3#)K>J/DQZ5/6m==[. !jEgt3q`_UJBY`V+d1)[email protected]#([email protected]:5B1fhLVWL#.oW lu+6+jc-nS+S9nG$h3,hK#/Rud[_[`_%RNmH$chrP/.Lq]2VfTdHhn:=(gDPD,4' .2.eFL:a=!^6*Q>CKTO[d0mP*Rihg]Xo9hVe!CB&PB"=M_%VPpRIKT#nna0!UG85 Mjhl7D=85jO?o>M!Y#i`Eh(FJ6/[email protected]$egC)Vu6!=E3+JG)a+lm8A2'52 qjcINOi.(:QS>T$Qt[oEHKjt%aJU1_l>NDkq5[?6kX1/e"%Ta H40/o:,`[email protected]]SHOC+]2:3`[email protected]#9!Ulo.ql^Ijk^90qGe7K[oah+g Ec]U-*Q2BM?(8Mu)ARj4X_-1]*L+EIJcV#2Lj0pU`gcW/Gg:E2-fuM#rV6!) rrW6-IC]+

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    Interchangeability of Limits and Probability of Increasing or Decreasing Sequence of Events

    A sequence of events $_$ is said to be increasing if it satisfies the ascending condition
    [E_1 subset E_2 subset cdots subset E_n subset cdots.] Also, a sequence $_$ is called decrescente if it satisfies the descending condition
    [E_1 supset E_2 supset cdots supset E_n supset cdots.]

    When $_$ is an increasing sequence, we define a new event denoted by $lim_ E_n$ by
    [lim_ E_n := igcup_^ E_n.]

    Also, when $_$ is a decreasing sequence, we define a new event denoted by $lim_ E_n$ by
    [lim_ E_n := igcap_^ E_n.]

    (1) Suppose that $_$ is an increasing sequence of events. Then prove the equality of probabilities
    [lim_ P(E_n) = Pleft(lim_ E_n ight).] Hence, the limit and the probability are interchangeable.

    (2) Suppose that $_$ is a decreasing sequence of events. Then prove the equality of probabilities
    [lim_ P(E_n) = Pleft(lim_ E_n ight). ]


    6.3.1: Series Solutions Near an Ordinary Point I (Exercises) - Mathematics

    We are not going to be doing a whole lot with Taylor series once we get out of the review, but they are a nice way to get us back into the swing of dealing with power series. By time most students reach this stage in their mathematical career they’ve not had to deal with power series for at least a semester or two. Remembering how Taylor series work will be a very convenient way to get comfortable with power series before we start looking at differential equations.

    Taylor Series

    If (f(x)) is an infinitely differentiable function then the Taylor Series of (f(x)) about (x = ) is,

    Let’s take a look at an example.

    This is probably one of the easiest functions to find the Taylor series for. We just need to recall that,

    The Taylor series for this example is then,

    Of course, it’s often easier to find the Taylor series about (x=0) but we don’t always do that.

    This problem is virtually identical to the previous problem. In this case we just need to notice that,

    The Taylor series for this example is then,

    Let’s now do a Taylor series that requires a little more work.

    This time there is no formula that will give us the derivative for each (n) so let’s start taking derivatives and plugging in (x = 0).

    Once we reach this point it’s fairly clear that there is a pattern emerging here. Just what this pattern is has yet to be determined, but it does seem fairly clear that a pattern does exist.

    Let’s plug what we’ve got into the formula for the Taylor series and see what we get.

    So, every other term is zero.

    We would like to write this in terms of a series, however finding a formula that is zero every other term and gives the correct answer for those that aren’t zero would be unnecessarily complicated. So, let’s rewrite what we’ve got above and while were at it renumber the terms as follows,

    With this “renumbering” we can fairly easily get a formula for the Taylor series of the cosine function about (x = 0).

    For practice you might want to see if you can verify that the Taylor series for the sine function about (x = 0) is,

    We need to look at one more example of a Taylor series. This example is both tricky and very easy.

    There’s not much to do here except to take some derivatives and evaluate at the point.

    [iniziofleft( x ight) & = 3 - 8x + 2 & hspace<0.25in>fleft( 2 ight) & = - 2 f'left( x ight) & = 6x - 8 & f'left( 2 ight) & = 4 f''left( x ight) & = 6 & hspace<0.25in>f''left( 2 ight) & = 6 >left( x ight) & = 0,,,n ge 3 & hspace<0.25in>>left( 2 ight) & = 0,,,n ge 3end]

    So, in this case the derivatives will all be zero after a certain order. That happens occasionally and will make our work easier. Setting up the Taylor series then gives,

    In this case the Taylor series terminates and only had three terms. Note that since we are after the Taylor series we do not multiply the 4 through on the second term or square out the third term. All the terms with the exception of the constant should contain an (x - 2).

    Note in this last example that if we were to multiply the Taylor series we would get our original polynomial. This should not be too surprising as both are polynomials and they should be equal.

    We now need a quick definition that will make more sense to give here rather than in the next section where we actually need it since it deals with Taylor series.

    Definition

    A function, (f(x)), is called analytic at (x = a) if the Taylor series for (f(x)) about x=a has a positive radius of convergence and converges to (f(x)).

    We need to give one final note before proceeding into the next section. We started this section out by saying that we weren’t going to be doing much with Taylor series after this section. While that is correct it is only correct because we are going to be keeping the problems fairly simple. For more complicated problems we would also be using quite a few Taylor series.


    NCERT Solutions for Class 10 Maths

    In this page, each and every question originate with a step-wise solution. Working on NCERT Solutions for Class 10 will help students to get an idea about how to solve the problems. With the help of these NCERT Solutions for Class 10 Maths you can easily grasp basic concepts better and faster. Moreover, it is a perfect guide to help you to score good marks in CBSE board examination. Just click on the chapter wise links given below to practice the NCERT Solutions for the respective chapter.

    With the aim of imbibing skills and hard work among the students, the 10th class maths NCERT solutions have been designed. It contains previous years’ questions along with answers except those which are not included in the CBSE 10 maths syllabus.

    CBSE NCERT solutions for class 10 maths will help the students in acquiring adequate practice to do their CBSE Class 10th exam with confidence.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

    Real Numbers Class 10 has total of four exercises consists of 18 Problems. Prove Irrational, Problems based on Euclid’s division lemma, HCF and LCM and Divisibility are mostly asked topics in previous board exams. Other topics included are Fundamental Theorem of Arithmetic, important properties of positive integers, fraction to decimals and decimals to a fraction.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials

    Polynomials Class 10 has total of four exercises consists of 13 Questions. Problems related to finding polynomials, Properties zeros and coefficient, long division of polynomials, finding a quadratic polynomial, finding zeros of polynomials are scoring topics.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables

    Pair of Linear Equations Class 10 has total of seven exercises consists of 55 Problems. The problems will be based on concepts like linear equations in two variables, algebraic methods for solving linear equations, elimination method, cross-multiplication method Time and Work, Age, Boat Stream and equations reducible to a pair of linear equations these answers will give you ease in solving problems related to linear equations.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations

    Quadratic Equations Class 10 has total of four exercises consists of 24 Problems. The Questions are related to find roots of quadratic equations and convert world problem into quadratic equations are easily scoring topics in board exams.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions

    Arithmetic Progressions Class 10 has total of four exercises consists of 49 Problems. find the nth terms and the sum of n consecutive terms are important topics in this chapter 5.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles

    Triangles Class 10 has total of six exercises consists of 64 Problems. The Questions are based on properties of triangles and 9 important theorems which are important in scoring good marks in CBSE Class 10 Exams.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

    Coordinate Geometry Class 10 has total of four exercises consists of 33 Problems. The Questions related to finding the distance between two points using their coordinates, Area of Triangle, Line divided in Ratio (Section Formula) are important models in class 10 boards.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 Introduction to Trigonometry

    Introduction to Trigonometry Class 10 has total of four exercises consists of 27 Problems. The questions based on trigonometric ratios of specific angles, trigonometric identities and trigonometric ratios of complementary angles are the main topics you will learn in this chapter. Trigonometry Formulas plays important role in getting 100% marks in Board Exams.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry

    Some Applications of Trigonometry Class 10 has one exercise consists of 16 Problems. In this chapter, you will be studying about real life applications of trigonometry and questions are based on the practical applications of trigonometry.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 Circles

    Circle Class 10 has total of two exercises consists of 17 Problems. Understand concepts such as tangent, secant, number tangents from a point to a circle and more.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 Constructions

    Constructions Class 10 has total of four exercises consists of 14 Problems. The Questions are based on drawing tangents and draw similar triangles are important topics.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 Areas Related to Circles

    Areas Related to Circles Class 10 has total of three exercises consists of 35 Problems. Solve problems related to ‘Perimeter and Area of a Circle’, ‘Areas of Combinations of Plane Figures’ and ‘Areas of Sector and Segment of a Circle’.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes

    Surface Areas and Volumes Class 10 has total of five exercises consists of 36 Problems. In CBSE class 10 Maths, the ‘Surface Areas and Volumes’ chapter is a part of mensuration unit. The problems are based on finding areas and volumes of different solids such as cube, cuboid and cylinder, frustum, combination of solids.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics

    Statistics Class 10 has total of four exercises consists of 25 Problems. Problems related to find mean, mode or median of grouped data will be studied in this chapter. Solve questions by understanding the concept of cumulative frequency distribution.

    NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 Probability

    Probability Class 10 has total of two exercises consists of 30 Problems. Questions based on the concept of theoretical probability will be studied in this chapter.

    Advantages of Solving NCERT Solutions for Class 10 Maths From LearnCBSE.in

    • All the Class 10 Maths NCERT Solutions provided in this page are clear and concise in nature.
    • NCERT Solutions for Class 10 Mathematics are solved in easily understandable language to help students to grasp everything on the go.
    • Accessible to everyone at any time anywhere without any difficulty.
    • All the questions are solved strictly based on the NCERT (CBSE) Syllabus and Books. So mastering these solutions will definitely help students to score good marks in the examination.
    • NCERT Solutions for Class 10 Maths PDF given in this page are of free of cost.

    CBSE Class 10 Maths Unit-wise Weightage 2019-2020.

    UNIT No Name of the Unit Scoring Marks
    1 Number Systems 6
    2 Algebra 20
    3 Coordinate Geometry 6
    4 Geometry 15
    5 Trigonometry 12
    6 Mensuration 10
    7 Statistics and Probability 11
    Total 80

    FAQs for NCERT Solutions for Class 10 Maths

    How to master in Class 10 Maths CBSE?

    Students who are seeking for tips and tricks to master in class 10 maths, can go for the latest NCERT Class 10 Maths Solutions Books and prepare effectively. Just referring to the CBSE NCERT Solutions is enough to master in Class 10 Maths.

    How do I solve Class 10 Mathematics problems easily?

    If you prepare the latest CBSE Class 10 Maths Syllabus with the help of NCERT Solutions Pdf for Maths, then you can solve any type of problems in the final board examination.

    Where can I download CBSE Class 10 NCERT Mathematics PDF Solutions?

    You can quickly get Class 10 Mathematics NCERT Solutions Pdf from our page to access. So, make use of the available quick links over here and download CBSE Class 10 NCERT Solutions PDF for Maths, it helps you to prepare at your required time & easily understand the concepts of Class 10 Maths.

    How these NCERT Solutions for class 10 Maths will be beneficial for CBSE Students?

    Here are the few benefits of NCERT Solutions for Class 10 mathematics:

    • It helps you to build a strong base of maths and increase confidence to face all boards and competitive exams in the future.
    • With Class Maths NCERT Solutions, you can easily perceive and learn the steps to resolve some tough kind of problems.
    • Moreover, it is a perfect guide to complete your homework and aid you to score better marks in the CBSE board examinations.

    What are the concepts explained in the solutions of NCERT Class 10 Maths Textbook?

    NCERT Maths Solutions assists all CBSE Class 10 Students in offering some helpful tricks and tips to solve math problems at the end of each chapter. Class 10 maths is having 15 chapters to learn by the students in this academic year. All 15 chapters included in CBSE Class 10 Maths NCERT Solutions PDF are explained by subject experts. So, get the NCERT Class 10 Mathematics Solutions Pdf from our page and check out the list of 15 chapters contained in the syllabus.

    How to use NCERT Solutions for scoring in class 10 maths CBSE Board Exams?

    • First of all, download the NCERT Solutions for Class 10 Maths Pdf which are designed by subject experts as per the latest CBSE Maths Syllabus curriculum 2020.
    • Then, Go to the chapter that you wish to learn.
    • Tap on the link provided for that particular chapter of class 10 maths.
    • Now, it will open the chapter page with solutions of NCERT class 10 maths.
    • Check the solved and unsolved questions and solutions presented in the NCERT class 10 maths & score the highest marks in the exam.

    Why NCERT solutions for class 10 maths are important?

    NCERT Solutions are designed in a way that every student can quickly understand the concept into their minds and clarifies all their doubts within a few seconds. The book is self-explanatory and helps students to innovate and explore in maths. Also, aspirants can assess their learning abilities with the solutions of NCERT Maths Books for their Class 10 board exam preparation.

    Which book is best for Class 10 maths?

    As per the survey conducted by educational analysts, around 78% of CBSE Class 10 students prefers NCERT Textbook solutions for their maths exams.

    Which guide is best for Class 10 CBSE?

    NCERT Solutions provided by LearnCBSE.in is the best guide for Class 10 CBSE. You will get all the NCERT Solutions for Class 10.

    Is NCERT enough for Class 10 boards Maths 2021?

    NCERT Class 10 Maths is Textbook and Solutions prepared by LearnCBSE Expert Teachers is enough for preparing your first class 10 board examination.

    What are the best reference books for class 10 CBSE?
    Best Reference Books for Class 10 Maths, Science and SST are:

    • RD Sharma Class 10 Maths Textbook – Student Friendly, Healthy Explanation of Concepts, Variety of Problems Improves Student Analytical Skills. RD Sharma Helps you to solve Level 3 Questions asks in the board questions and for compelling HOTS. You can check RD Sharma Class 10 Solutions prepared by LearnCBSE.in Expert Teachers for Solving Problems easily. RD sharma Class 10 Maths Textbook covers entire CBSE Class 10 Maths Syllabus compare to RS Aggarwal Class 10 Maths.
    • RS Aggarwal Class 10 Maths Textbook – Students must Start with NCERT Class 10 Maths Textbook before getting solving any reference book. RS Aggarwal has questions that are a level below those of the RD Sharma. If you crack the RD Sharma Problems, you’ll easily do the RS Aggarwal Maths Solutions. If you’re looking for questions that are on moderate level then you should practice from the RS Aggarwal. If you want to challenge yourself with math, pick up the RD Sharma Solutions.
    • Lakhmir Singh and Manjith Kaur is Best Reference book for Solving NCERT Class 10 Science (Physics, Chemistry and Biology)

    How do you get maximum marks in maths?

    In Class 10 Maths NCERT Textbook 15 Chapters given as per CBSE Class 10 Maths Syllabus. Algebra (20 Marks), Trigonometry (12 Marks) , Statistics and Probability (11 Marks) are easy scoring topics from class 10 Board Maths Marking Scheme. Trigonometry formulas, Surface Area and Volume Formulas, Algebra Identities, Proving Rational Number, Long Division of Polynomials helps you to get maximum marks in maths.

    NCERT Solutions

    We hope the NCERT Solutions for Class 10 Maths provided in this page helps in your board exam preparation. If you have any questions, ping us through the comment section below and we will get back to you as soon as possible.


    Example Method of Least Squares

    The given example explains how to find the equation of a straight line or a least square line by using the method of least square, which is very useful in statistics as well as in mathematics.

    Fit a least square line for the following data. Also find the trend values and show that $sum left( ight) = 0$.

    The equation of least square line $Y = a + bX$

    Normal equation for ‘un $sum Y = na + bsum X< ext< >>25 = 5a + 15b$ —- (1)

    Normal equation for ‘b $sum XY = asum X + bsum < ext< >>88 = 15a + 55b$ —-(2)

    Eliminate $a$ from equation (1) and (2), multiply equation (2) by 3 and subtract from equation (2). Thus we get the values of $a$ and $b$.

    Here $a = 1.1$ and $b = 1.3$, the equation of least square line becomes $Y = 1.1 + 1.3X$.

    For the trends values, put the values of $X$ in the above equation (see column 4 in the table above).

    3 Comments

    RITUMUA MUNEHALAPEKE-220040311
    July 2 @ 2:56 am

    The table below shows the annual rainfall (x 100 mm) recorded during the last decade at the Goabeb Research Station in the Namib Desert
    Year Rainfall (mm)
    2004 3.0
    2005 4.2
    2006 4.8
    2007 3.7
    2008 3.4
    2009 4.3
    2010 5.6
    2011 4.4
    2012 3.8
    2013 4.1

    Determine the least squares trend line equation, using the sequential coding method with 2004 = 1 . (10)

    Aanchal kumari
    September 26 @ 10:28 am

    If in the place of Y Index no. Is given so what should be the method to solve the question

    Akuebionwu Elizabeth chisom
    March 9 @ 12:43 am

    The table below shows the average daily number of cheques cleared at Port Harcourt banker’s clearing houses for the period
    1970|140
    1971|258
    1972|426
    1973|594
    1974|707
    1975|786
    1976|846
    1977|957
    1978|924
    Obtain the trend line equation Y=a+by
    Using the least squared method.


    Guarda il video: Լեզուների խնդիրը Տեքստային խնդիրներ Վիդեո 1 (Ottobre 2021).