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11.3: Tre angoli del triangolo


Proposta (PageIndex{1})

Siano ( riangle ABC) e ( riangle A'B'C') due triangoli nel piano neutro tali che (AC = A'C') e (BC = B'C' ). Quindi

(AB < A'B') se e solo se (|measuredangle ACB| < |measuredangle A'C'B'|).

Prova

Senza perdita di generalità, possiamo assumere che (A = A'), (C = C'), e (measuredangle ACB), (measuredangle ACB' ge 0). In questo caso dobbiamo dimostrare che

(AB < AB' Leftrightarrow measuredangle ACB < measuredangle ACB'.)

Scegli un punto (X) in modo che

(measuredangle ACX = dfrac{1}{2} cdot (measuredangle ACB + measuredangle ACB').)

Notare che

  • ((CX)) biseca (angle BCB').
  • ((CX)) è la bisettrice perpendicolare di ([BB']).
  • (A) e (B) giacciono dalla stessa parte di ((CX)) se e solo se

(measuredangle ACB < measuredangle ACB').

Dall'Esercizio 5.2.1, (A) e (B) giacciono dalla stessa parte di ((CX)) se e solo se (AB < AB'). Da qui il risultato.

Teorema (PageIndex{1})

Sia ( riangolo ABC) un triangolo nel piano neutro. Quindi

(|measuredangle ABC| + |measuredangle BCA| + |measuredangle CAB| le pi.)

La seguente dimostrazione è dovuta a Legendre [12], prove precedenti erano dovute a Saccheri [16] e Lambert [11].

Prova

Impostato

(egin{array} {rclcrclcrcl} {a} & = & {BC,} & & {b} & = & {CA,} & & {c} & = & {AB,} {alpha} & = & {measuredangle CAB,} & & {eta} & = & {measuredangle ABC,} & & {gamma} & = & {measuredangle BCA.} end{array})

Senza perdita di generalità, possiamo assumere che (alpha, eta, gamma ge 0).

Correggi un intero positivo (n). Considera i punti (A_0, A_1, ..., A_n) sulla semiretta ([BA)), tali che (BA_i = i cdot c) per ogni (i). (In particolare, (A_0 = B) e (A_1 = A).) Costruiamo i punti (C_1, C_2, ..., C_n), in modo che (measuredangle A_iA_{i- 1}C_i = eta) e (A_{i-1} C_i = a) per ogni (i).

Per SAS, abbiamo costruito n triangoli congruenti

( riangle ABC = riangle A_1A_0C_1 cong riangle A_2A_1C_2 cong ... cong riangle A_nA_{n-1} C_n.)

Impostare (d = C_1C_2) e (delta = measuredangle C_2A_1C_1). Notare che

[alpha + eta + delta = pi.]

Per la Proposizione 11.2.1, otteniamo che (Delta ge 0).

Per costruzione

( riangle A_1C_1C_2 cong riangle A_2C_2C_3 cong ... cong riangle A_{n - 1} C_{n - 1} C_n.)

In particolare, (C_i C_{i + 1} = d) per ogni (i).

Applicando ripetutamente la disuguaglianza triangolare, otteniamo che

(egin{array} {rcl} {n cdot c} & = & {A_0A_n le} {} & le & {A_0 C_1 + C_1 C_2 + cdots + C_{n - 1} C_n + C_n A_n =} {} & = & {a + (n - 1) cdot d + b.} end{array})

In particolare,

(c le d + dfrac{1}{n} cdot (a + b - d).)

Poiché (n) è un intero positivo arbitrario, quest'ultimo implica (c le d). Per la Proposizione (PageIndex{1}), è equivalente a

(gamma le delta.)

Da 11.3.1 segue il teorema.

Esercizio (PageIndex{1})

Sia (ABCD) un quadrilatero nel piano neutro. Supponiamo che gli angoli (DAB) e (ABC) siano retti. Mostra che (AB le CD).

Suggerimento

Poniamo (a = AB, b = BC, c = CD), e (d = DA); dovevamo mostrare che (c ge a).

Imita la dimostrazione del Teorema (PageIndex{1}) per la recinzione mostrata fatta da copie del quadrilatero (ABCD).


Matematica: come calcolare gli angoli in un triangolo rettangolo

Ogni triangolo ha tre lati e tre angoli all'interno. Questi angoli si sommano fino a 180° per ogni triangolo, indipendentemente dal tipo di triangolo. In un triangolo rettangolo, uno degli angoli è esattamente 90°. Tale angolo è chiamato angolo retto.

Per calcolare gli altri angoli abbiamo bisogno del seno, del coseno e della tangente. Infatti, seno, coseno e tangente di un angolo acuto possono essere definiti dal rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.

Triangolo rettangolo

Proprio come ogni altro triangolo, un triangolo rettangolo ha tre lati. Uno di questi è l'ipotenusa, che è il lato opposto all'angolo retto. Gli altri due lati sono identificati utilizzando uno degli altri due angoli. Gli altri angoli sono formati dall'ipotenusa e da un altro lato. Questo altro lato è chiamato lato adiacente. Quindi, c'è un lato a sinistra che si chiama il lato opposto. Quando guarderesti dalla prospettiva dell'altro angolo, il lato adiacente e quello opposto vengono capovolti.

Quindi, se guardi l'immagine sopra, l'ipotenusa è indicata con h. Quando osserviamo dalla prospettiva dell'angolo alfa, il lato adiacente si chiama b e il lato opposto si chiama a. Se guardassimo dall'altro angolo non retto, allora b è il lato opposto e a sarebbe il lato adiacente.

Seno, coseno e tangente

Il seno, il coseno e la tangente possono essere definiti utilizzando queste nozioni di ipotenusa, lato adiacente e lato opposto. Questo definisce solo il seno, il coseno e la tangente di un angolo acuto. Il seno, il coseno e la tangente sono definiti anche per gli angoli non acuti. Per dare la definizione completa, avrai bisogno del cerchio unitario. Tuttavia, in un triangolo rettangolo tutti gli angoli sono non acuti e non avremo bisogno di questa definizione.

Il seno di un angolo acuto è definito come la lunghezza del cateto opposto divisa per la lunghezza dell'ipotenusa.

Il coseno di un angolo acuto è definito come la lunghezza del cateto adiacente divisa per la lunghezza dell'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è definita come la lunghezza del lato opposto divisa per la lunghezza del lato adiacente.

O più chiaramente formulato:

Calcolo di un angolo in un triangolo rettangolo

Le regole sopra ci permettono di fare calcoli con gli angoli, ma per calcolarli direttamente abbiamo bisogno della funzione inversa. Una funzione inversa f -1 di una funzione f ha come input e output l'opposto della funzione f stessa. Quindi se f(x) = y allora f -1 (y) = x.

Quindi se sappiamo sin(x) = y allora x = sin -1 (y), cos(x) = y allora x = cos -1 (y) e tan(x) = y allora tan -1 (y) = X. Dal momento che queste funzioni si presentano spesso, hanno nomi speciali. L'inverso del seno, del coseno e della tangente sono l'arcoseno, l'arcocoseno e l'arcotangente.

Per maggiori informazioni sulle funzioni inverse e su come calcolarle, consiglio il mio articolo sulla funzione inversa.

Un esempio di calcolo degli angoli in un triangolo

Nel triangolo sopra calcoleremo l'angolo theta. Sia x = 3, y = 4. Allora per il teorema di Pitagora sappiamo che r = 5, poiché sqrt(3 2 + 4 2 ) = 5. Ora possiamo calcolare l'angolo theta in tre modi diversi.

Quindi theta = arcsin(3/5) = arccos(4/5) = arctan(3/4) = 36.87°. Questo ci permette di calcolare anche l'altro angolo non retto, perché questo deve essere 180-90-36,87 = 53,13°. Questo perché la somma di tutti gli angoli di un triangolo è sempre 180°.

Possiamo verificarlo usando nuovamente il seno, il coseno e la tangente. Allora chiamiamo l'angolo alfa:

Allora alfa = arcsin(4/5) = arccos(3/5) = arctan(4/3) = 53,13. Quindi questo è effettivamente uguale all'angolo che abbiamo calcolato con l'aiuto degli altri due angoli.

Possiamo anche fare il contrario. Quando conosciamo l'angolo e la lunghezza di un lato, possiamo calcolare gli altri lati. Diciamo che abbiamo uno scivolo lungo 4 metri e che scende con un angolo di 36°. Ora possiamo calcolare quanto spazio verticale e orizzontale occuperà questa diapositiva. Fondamentalmente siamo di nuovo nello stesso triangolo, ma ora sappiamo che theta è 36° e r = 4. Quindi per trovare la lunghezza orizzontale x possiamo usare il coseno. Noi abbiamo:

E quindi x = 4*cos(36) = 3,24 metri.

Per calcolare l'altezza della slitta possiamo usare il seno:

E quindi y = 4*sin(36) = 2,35 metri.

Ora possiamo verificare se tan(36) è effettivamente uguale a 2,35/3,24. Troviamo tan(36) = 0,73 e anche 2,35/3,24 = 0,73. Quindi in effetti abbiamo fatto tutto correttamente.

La secante, la cosecante e la cotangente

Il seno, il coseno e la tangente definiscono tre rapporti tra i lati. Ci sono tuttavia altri tre rapporti che potremmo calcolare. Se dividiamo la lunghezza dell'ipotenusa per la lunghezza del contrario è la cosecante. Dividendo l'ipotenusa per il cateto adiacente si ottiene la secante e il cateto adiacente diviso per il cateto opposto si ottiene la cotangente.

Ciò significa che queste quantità possono essere calcolate direttamente da seno, coseno e tangente. Vale a dire:

La secante, la cosecante e la cotangente sono usate molto raramente, perché con gli stessi input potremmo anche usare solo seno, coseno e tangente. Pertanto, molte persone non saprebbero nemmeno che esistono.

Il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è strettamente correlato ai lati dei triangoli rettangoli. È molto noto come a 2 + b 2 = c 2 . Ho scritto un articolo sul teorema di Pitagora in cui ho approfondito questo teorema e la sua dimostrazione.


Angoli in un triangolo Fogli di lavoro | Proprietà della somma degli angoli, teorema dell'angolo esterno

I fogli di lavoro sugli angoli in un triangolo contengono una moltitudine di pdf per trovare gli angoli interni ed esterni con misure offerte come numeri interi ed espressioni algebriche. Impara ad applicare la proprietà della somma degli angoli e il teorema dell'angolo esterno, risolvi per 'x' per determinare gli angoli interni ed esterni indicati. Questi esercizi stampabili sono personalizzati per gli studenti dalla prima media alla scuola superiore. Accedi gratuitamente ad alcuni di questi fogli di lavoro!

La proprietà della somma degli angoli afferma che gli angoli interni di un triangolo si sommano fino a 180°. Scopri se gli insiemi di angoli dati formano un triangolo sommandoli. Rispondi a ciascuno con "Sì" o "No".

Sottrai la somma dei due angoli da 180° per trovare la misura dell'angolo interno indicato in ciascun triangolo.

Applicando il teorema dell'angolo esterno, aggiungi i due angoli interni opposti per trovare l'angolo esterno sconosciuto di un triangolo.

In questi fogli di lavoro pdf, la misura di uno degli angoli interni di ciascun triangolo è presentata come un'espressione algebrica. Imposta un'equazione con la somma dei tre angoli, eguagliandola a 180° e risolvi per 'x'.

Uguaglia la somma dei due lati con l'angolo esterno rappresentato come espressione algebrica. Semplifica l'espressione e trova il valore di "x" in questa pila di fogli di lavoro stampabili per il grado 7 e il grado 8.

Risolvi per 'x', sostituiscilo nella/e espressione/i e trova la misura dell'angolo/i interno/i indicato/i. Le misure di due angoli sono offerte come espressioni algebriche nella parte A e tre angoli nella parte B.

Forma un'equazione con la somma degli angoli opposti con l'angolo esterno, semplifica e trova il valore di 'x'. Collegalo e calcola la misura dell'angolo indicato nella parte A e la misura di quattro angoli nella parte B.

Sfida gli studenti delle scuole superiori con i problemi di formato parola che coinvolgono triangoli composti contenenti triangoli retti, isosceli ed equilateri. Determina la dimensione degli angoli indicati applicando la proprietà della somma degli angoli e il teorema dell'angolo esterno.


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Lezione 1: Rette Parallele Tagliate da una Trasversale

Lezione 2: Teoremi degli angoli per i triangoli

Lezione 3: Somiglianza angolo-angolo

Esercitazione guidata – Rette parallele tagliate da una trasversale – Pagina n. 350

Usa la figura per gli esercizi 1–4.

Domanda 1.
∠UVY e ____ sono una coppia di angoli corrispondenti.
∠ _________

Spiegazione:
∠UVY e ∠ VWZ sono una coppia di angoli corrispondenti.
Quando due linee sono incrociate da Trasversale, gli angoli negli angoli corrispondenti sono chiamati angoli corrispondenti.

Domanda 2.
∠WVY e ∠VWT sono _________ angoli.
____________

Risposta:
∠WVY e ∠VWT sono angoli interni alternati.
Gli angoli interni alternativi sono una coppia di angoli sul lato interno di ciascuna di queste due linee ma sui lati opposti della trasversale.

Spiegazione:
∠WVY e ∠VWT sono angoli interni alternati.
Gli angoli interni alternativi sono una coppia di angoli sul lato interno di ciascuna di queste due linee ma sui lati opposti della trasversale.

Domanda 3.
Trova m∠SVW.
_________ °

Spiegazione:
∠SVW e ∠VWT sono gli stessi angoli interni laterali. Perciò,
m∠SVW + m∠VWT = 180º
4xº +5xº = 180º
9x = 180º
x = 180/9
x = 20
m∠SVW = 4xº = (4.20)º = 80º

Domanda 4.
Trova m∠VWT.
_________ °

Spiegazione:
∠SVW e ∠VWT sono gli stessi angoli interni laterali. Perciò,
m∠SVW + m∠VWT = 180º
4xº +5xº = 180º
9x = 180º
x = 180/9
x = 20
m∠VWT = 5xº = (5,20)º = 100º

Domanda 5.
Vocabolario Quando due rette parallele sono tagliate da una trasversale, gli angoli _______________ sono supplementari.
____________

Risposta:
Se due rette parallele sono tagliate da una trasversale, allora le coppie di angoli esterni alterni sono congruenti. Se due rette parallele sono tagliate da una trasversale, allora le coppie di angoli interni consecutivi sono supplementari.

DOMANDA ESSENZIALE CHECK-IN

Domanda 6.
Cosa puoi concludere sugli angoli interni formati quando due linee parallele sono tagliate da una trasversale?
Digita di seguito:
____________

Risposta:
Gli angoli interni alternativi sono congruenti gli angoli interni dello stesso lato sono supplementari.

Spiegazione:
Quando due rette parallele sono tagliate da una trasversale, gli angoli interni saranno gli angoli tra le due rette parallele. Gli angoli interni alterni saranno sui lati opposti della trasversale le misure di questi angoli sono le stesse.
Gli angoli interni dello stesso lato saranno sullo stesso lato della trasversale le misure di questi angoli saranno supplementari, aggiungendo fino a 180 gradi.

11.1 Pratica indipendente – Linee parallele tagliate da una trasversale – Pagina n. 351

Vocabolario Usa la figura per gli esercizi 7–10.

Domanda 7.
Nomina tutte le coppie di angoli corrispondenti.
Digita di seguito:
____________

Risposta:
∠1 e ∠5
3 e ∠7
∠2 e ∠6
4 e ∠8

Spiegazione:
Gli angoli corrispondenti sono
∠1 e ∠5
3 e ∠7
∠2 e ∠6
4 e ∠8

Domanda 8.
Assegna un nome a entrambe le coppie di angoli esterni alternati.
Digita di seguito:
____________

Spiegazione:
Angoli esterni alternativi
∠1 e ∠8
2 e ∠7

Domanda 9.
Dai un nome alla relazione tra 3 e ∠6.
Digita di seguito:
____________

Risposta:
angoli interni alterni

Spiegazione:
∠3 e ∠6 sono angoli interni alternati.
Gli angoli interni alternativi sono una coppia di angoli sul lato interno di ciascuna di queste due linee ma sui lati opposti della trasversale.

Domanda 10.
Dai un nome alla relazione tra ∠4 e ∠6.
Digita di seguito:
____________

Risposta:
angoli interni dello stesso lato

Spiegazione:
∠4 e ∠6 sono angoli interni dello stesso lato.

Trova la misura di ogni angolo.

Domanda 11.
m∠AGE quando m∠FHD = 30°
_________ °

Spiegazione:
∠AGE e ∠FHD sono angoli esterni alternati.
Pertanto, m∠AGE = m∠FHD = 30°
m∠AGE = 30°

Domanda 12.
m∠AGH quando m∠CHF = 150°
_________ °

Spiegazione:
∠AGH e ∠CHF sono angoli corrispondenti.
Pertanto, m∠AGH = m∠CHF = 150°
m∠AGH = 150°

Domanda 13.
m∠CHF quando m∠BGE = 110°
_________ °

Spiegazione:
∠CHF e ∠BGE sono angoli esterni alternati.
Pertanto, m∠CHF = m∠BGE = 110°
m∠CHF = 110°

Domanda 14.
m∠CHG quando m∠HGA = 120°
_________ °

Spiegazione:
∠CHF e ∠HGA sono angoli interni dello stesso lato.
m∠CHG + m∠HGA = 180°
m∠CHG + 120° = 180°
m∠CHG = 180 – 120 = 60
m∠CHG = 60º

Domanda 15.
m∠BGH
_________ °

Spiegazione:
∠BGH e ∠GHD sono angoli interni dello stesso lato.
Quindi, BGH + ∠GHD = 180º
3x + (2x + 50)º = 180º
5x = 180º – 50º = 130º
x = 130/5 = 26º
∠BGH = 3xº = 3 × 26º = 78º
GHD = (2x + 50) += (2 × 26 + 50) = 102º

Domanda 16.
m∠GHD
_________ °

Spiegazione:
∠BGH e ∠GHD sono angoli interni dello stesso lato.
Quindi, BGH + ∠GHD = 180º
3x + (2x + 50)º = 180º
5x = 180º – 50º = 130º
x = 130/5 = 26º
∠BGH = 3xº = 3 × 26º = 78º
GHD = (2x + 50) += (2 × 26 + 50) = 102º

Domanda 17.
Il Cross Country Bike Trail segue una linea retta dove attraversa la 350a e la 360a strada. Le due strade sono parallele tra loro. Qual è la misura dell'angolo più grande formato all'intersezione tra la pista ciclabile e 360th Street? Spiegare.

_________ °

Risposta:
L'angolo più grande formato all'intersezione della pista ciclabile e 360th Street è 132º

Spiegazione:

L'angolo più grande formato all'intersezione della pista ciclabile e 360th Street è l'angolo 5 nel nostro schema. ∠5 e ∠3 sono angoli interni dello stesso lato. Pertanto, m∠5 + m∠3 = 180º
m∠5 + 48º = 180º
m∠5 = 180º – 48º
m∠5 = 132º

Domanda 18.
Pensiero critico Quanti angoli diversi sarebbero formati da una trasversale che interseca tre rette parallele? Quante diverse misure angolari ci sarebbero?
_________ angoli diversi
_________ diverse misure angolari

Risposta:
12 angoli diversi
2 diverse misure angolari

Spiegazione:
Ci sono 12 diversi angoli formati da una trasversale che interseca tre linee parallele.
Ci sono 2 diverse misure angolari:
m∠1 = m∠4 = m∠5 = m∠8 = m∠9 = m∠12
m∠2 = m∠3 = m∠6 = m∠7 = m∠10 = m∠11

Linee parallele tagliate da una trasversale – Pagina n. 352 No

Domanda 19.
Comunicare idee matematiche Nel diagramma a destra, supponiamo m∠6 = 125°. Spiega come trovare le misure di ciascuno degli altri sette angoli numerati.

Digita di seguito:
____________

Risposta:
m∠2 = m∠6 = 125º perché ∠2 e ∠6 sono angoli corrispondenti.
m∠3 = m∠2 = 125º perché ∠3 e ∠2 sono angoli verticali.
m∠7 = m∠3 = 125º perché ∠7 e ∠3 sono angoli corrispondenti.
∠4 e ∠6 sono angoli interni dello stesso lato.
Pertanto, m∠4 + m∠6 = 180º
m∠4 + 125º = 180º
m∠4 = 180º – 125º
m∠4 = 55º
m∠8 = m∠4 = 55º perché ∠8 e ∠4 sono angoli corrispondenti.
m∠1 = m∠4 = 55º perché ∠1 e ∠4 sono angoli verticali.
m∠5 = m∠1 = 55º perché ∠5 e ∠1 sono angoli corrispondenti.

CONCENTRATI SU UN PENSIERO DI ORDINE SUPERIORE

Domanda 20.
Trarre conclusioni In un diagramma che mostra due rette parallele tagliate da una trasversale, le misure di due angoli interni dello stesso lato sono entrambe date come 3x°. Senza scrivere e risolvere un'equazione, puoi determinare le misure di entrambi gli angoli? Spiegare. Quindi scrivi e risolvi un'equazione per trovare le misure.

Risposta:
m∠1 e m∠2 sono angoli interni dello stesso lato è 180º
Pertanto, m∠1 + m∠2 = 180º
3x + 3x = 180º
6x = 180º
x = 180/6 = 30
m∠1 = m∠2 = 3x = 3(30) = 90º

Domanda 21.
Fai una congettura Disegna due rette parallele e una trasversale. Scegli uno degli otto angoli che si formano. Quanti degli altri sette angoli sono congruenti all'angolo che hai selezionato? Quanti degli altri sette angoli sono supplementari al tuo? La tua risposta cambierà se selezioni un'angolazione diversa?
Digita di seguito:
____________

Risposta:

Dobbiamo selezionare una forma di otto angoli che si formano. Ci sono altri due angoli congruenti all'angolo ∠a. Altri due angoli sono ∠e e ∠g.
Non ci sono supplementi a ∠a.
Se selezioniamo un'angolazione diversa, anche la risposta cambierà.

Domanda 22.
Ragionamento critico Nel diagramma a destra, 2, 3, 5 e 8 sono tutti congruenti, e ∠1, 4, ∠6 e 7 sono tutti congruenti. Aiden dice che questa è un'informazione sufficiente per concludere che il diagramma mostra due linee parallele tagliate da una trasversale. Ha ragione? Giustifica la tua risposta.

____________

Risposta:
Queste informazioni non sono sufficienti per concludere che il diagramma mostra due linee parallele tagliate da una trasversale. Perché ∠2 e ∠3 sono angoli interni dello stesso lato. Ma ∠5 e ∠8 non sono congruenti tra loro. E ∠6 e ∠7 sono angoli interni dello stesso lato. Ma ∠1 e ∠4 non sono congruenti tra loro.

Esercitazione guidata – Teoremi degli angoli per i triangoli – Pagina n. 358

Trova ogni misura angolare mancante.

Domanda 1.

m∠M = _________ °

Spiegazione:
Dal teorema della somma dei triangoli,
m∠L + m∠N + m∠M = 180º
78º + 31º + m∠M = 180º
109º + m∠M = 180º
m∠M = 180º – 109º
m∠M = 71º

Domanda 2.

m∠Q = _________ °

Spiegazione:
Dal teorema della somma dei triangoli,
m∠Q + m∠S + m∠R = 180º
m∠Q + 24º + 126º = 180º
m∠Q + 150º = 180º
m∠Q = 180º – 150º
m∠Q = 30º

Usa il teorema della somma dei triangoli per trovare la misura di ciascun angolo in gradi.

Domanda 3.

m∠T = _________ °
m∠V = _________ °
m∠U = _________ °

Risposta:
m∠T = 88°
m∠V = 63°
m∠U = 29°

Spiegazione:
Dal teorema della somma dei triangoli,
m∠U + m∠T + m∠V = 180º
(2x + 5)º + (7x + 4)º + (5x + 3)º = 180º
2xº + 5º + 7xº + 4º + 5xº + 3º = 180º
14xº + 12º = 180º
14xº = 168º
x = 168/14 = 12
Sostituisci il valore x per trovare gli angoli
m∠U = (2x + 5)º = ((2 . 12) + 5)º = 29º
m∠U = 29º
m∠T = (7x + 4)º = ((7 . 12) + 4)º = 88º
m∠T = 88º
m∠V = (5x + 3)º = ((5 . 12) + 3)º = 63º
m∠V = 63º

Domanda 4.

m∠X = _________ °
m∠Y = _________ °
m∠Z = _________ °

Risposta:
m∠X = 90°
m∠Y = 45 °
m∠Z = 45°

Spiegazione:
Dal teorema della somma dei triangoli,
m∠X + m∠Y + m∠Z = 180º
nº + (1/2 . n)º + (1/2 . n)º = 180º
2nº = 180º
n = 90
Sostituisci n valori per trovare gli angoli
m∠X = nº = 90º
m∠X = 90º
m∠Y = (1/2 . n)º = (1/2 . 90)º = 45º
m∠Y = 45º
m∠Z = (1/2 . n)º = (1/2 . 90)º = 45º
m∠Z = 45º

Usa il teorema dell'angolo esterno per trovare la misura di ciascun angolo in gradi.

Domanda 5.

m∠C = _________ °
m∠D = _________ °

Spiegazione:
Dato m∠C = 4y°, m∠D = (7y + 6)°, m∠E = 116°
Usando il teorema dell'angolo esterno,
∠DEC + ∠DEF = 180°

DEC + 116° = 180°
E = ∠DEC = 180° – 116° = 64°
La somma degli angoli di un traingle = 180°
∠C + ∠D + ∠E = 180°
4a° + (7a + 6)°+ 64° = 180°
11y° + 70° = 180°
11y° = 180° – 70° = 110°
y = 10
∠C = 4y° = 4. 10 = 40°
∠D = (7y + 6)° = ((7 . 10) + 6)° = (70 + 6)° = 76°

Domanda 6.

m∠L = _________ °
m∠M = _________ °

Spiegazione:
Dato che m∠M = (5z – 3)°, m∠L = (18z + 3)°, m∠JKM = 161°
Dal teorema dell'angolo esterno,
m∠M + m∠L = m∠JKM
(5z – 3)° + (18z + 3)° = 161°
5z° – 3° + 18z° + 3° = 161°
23z° = 161°
z = 161/23 = 7
Sostituisci i valori z per trovare gli angoli
m∠M = (5z – 3)° = ((5 . 7) – 3)° = 32°
m∠L = (18z + 3)° = ((18 . 7) + 3)° = 129°
Dal teorema della somma dei triangoli,
m∠M + m∠L + m∠LKM = 180º
32º + 129º + m∠LKM = 180º
161º + m∠LKM = 180º
m∠LKM = 19º

DOMANDA ESSENZIALE CHECK-IN

Domanda 7.
Descrivi le relazioni tra le misure degli angoli di un triangolo.
Digita di seguito:
______________

Risposta:
La somma di tutte le misure degli angoli interni di un triangolo è 180°. La misura di un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei suoi angoli interni remoti.

11.2 Pratica indipendente – Teoremi degli angoli per i triangoli – Pagina n. 359

Trova la misura di ogni angolo.

Domanda 8.

m∠E = _________ °
m∠F = _________ °

Spiegazione:
m∠E = x°, m∠F = x°, m∠D = 98°
Dal Teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del traingle è 180°
m∠E + m∠D + m∠F = 180°
x + 98 + x = 180°
2x + 98 = 180°
2x = 82°
x = 41°
Quindi, m∠E = 41°
m∠F = 41°

Domanda 9.

m∠T = _________ °
m∠V = _________ °

Spiegazione:
m∠W = 90°, m∠T = 2x°, m∠V = x°
Dal Teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del traingle è 180°
m∠T + m∠V + m∠W = 180°
2x + x + 90 = 180°
3x = 90°
x = 30°
Quindi, m∠T = 2x° = 2 . 30° = 60°
m∠V = x° = 30°

Domanda 10.

m∠G = _________ °
m∠H = _________ °
m∠J = _________ °

Risposta:
m∠G = 75°
m∠H = 60°
m∠J = 45°

Spiegazione:
m∠G = 5x°, m∠H = 4x°, m∠J = 3x°
Dal Teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del traingle è 180°
m∠G + m∠H + m∠J = 180°
5x + 4x + 3x = 180°
12x = 90°
x = 15°
Quindi, m∠G = 5x° = 5 . 15° = 75°
m∠H = 4x° = 4. 15° = 60°
m∠J = 3x° = 3. 15° = 45°

Domanda 11.

m∠Q = _________ °
m∠P = _________ °
m∠QRP = _________ °

Risposta:
m∠Q = 98°
m∠P = 55°
m∠QRP = 27°

Spiegazione:
Dato che m∠Q = (3y + 5)°, m∠P = (2y – 7)°, m∠QRS = 153°
Dal teorema dell'angolo esterno,
QRS + ∠QRP = 180°
153° + QRP = 180°

m∠R = m∠QRP = 180° – 153° = 27°
Dal Teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del triangolo è 180°
m∠P + m∠Q + m∠R = 180°
(3a + 5)° + (2a – 7)°+ 27° = 180°
5y° + 25 = 180°
5y° = 155°
y = 31°
m∠Q = (3y + 5)° = ((3 . 31°) + 5)° = 98°
m∠P = (2y – 7)° = ((2. 31° – 7)° = 55°
m∠QRP = 27°

Domanda 12.

m∠ACB = _________ °
m∠DCE = _________ °
m∠BCD = _________ °

Risposta:
m∠ACB = 44°
m∠DCE = 35°
m∠BCD = 101°

Spiegazione:
In traingle ABC, m∠A = 78°, m∠B = 58°, m∠ACB = ?°
Dal Teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del triangolo è 180°
m∠A + m∠B + m∠ACB = 180°
78° + 58° + m∠ACB = 180°
m∠ACB = 180° – 136°
m∠ACB = 44°
In traingle CDE, m∠D = 85°, m∠E = 60°, m∠CDE = ?°
Dal Teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del triangolo è 180°
m∠D + m∠E + m∠CDE = 180°
85° + 60° + m∠CDE = 180°
m∠CDE = 180° – 145°
m∠CDE = 35°
Dal teorema dell'angolo esterno,
m∠ACB + m∠CDE + m∠BCD = 180°
44° + 35° + m∠BCD = 180°
m∠BCD = 180° – 79°
m∠BCD = 101°

Domanda 13.

m∠K = _________ °
m∠L = _________ °
m∠KML = _________ °
m∠LMN = _________ °

Spiegazione:
m∠K = 2x°, m∠L = 3x°, m∠KML = x°
Quindi, dal teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del triangolo è 180°.
m∠K + m∠L + m∠KML = 180°
2x° + 3x° + x° = 180°
6x° = 180°
x= 30°
KML = x = 30°
∠L = 3x = 3 . 30° = 90°
∠K = 2x = 2 . 30° = 60°
Dal teorema dell'angolo esterno,
KML + ∠LMN = 180°
LMN = 180° – 30° = 150°

Domanda 14.
Multistep Il secondo angolo in un triangolo è cinque volte più grande del primo. Il terzo angolo è grande due terzi del primo. Trova le misure degli angoli.
La misura del primo angolo: _________ °
La misura del secondo angolo: _________ °
La misura del terzo angolo: _________ °

Risposta:
La misura del primo angolo: 27°
La misura del secondo angolo: 135°
La misura del terzo angolo: 18°

Spiegazione:
Chiamiamo gli angoli di un triangolo come ∠1, ∠2, ∠3.
Considera 1 come x.
2 è 5 volte più grande del primo.
2 = 5x
Inoltre, 3 = 2/3. X
Quindi, dal teorema della somma dei triangoli, la somma degli angoli del triangolo è 180°.
x+ 5x + (2/3 . x) = 180°
20x = 540°
x = 27°
Quindi, ∠1 = x = 27°
2 = 5x = 5 . 27° = 135°
3 = 2/3. x = 2/3. 27° = 18°
La misura del primo angolo: 27°
La misura del secondo angolo: 135°
La misura del terzo angolo: 18°

Teoremi degli angoli per i triangoli – Pagina n. 360

Domanda 15.
Analizza le relazioni Un triangolo può avere due angoli ottusi? Spiegare.
___________

Risposta:
No un triangolo NON può avere due angoli ottusi

Spiegazione:
La misura di un angolo ottuso è maggiore di 90°. Due angoli ottusi e il terzo angolo avrebbero una somma maggiore di 180°

CONCENTRATI SU UN PENSARE DI ORDINE SUPERIORE

Domanda 16.
Pensiero critico Spiega come puoi usare il teorema della somma dei triangoli per trovare le misure degli angoli di un triangolo equilatero.
Digita di seguito:
___________

Risposta:
Tutti gli angoli hanno la stessa misura in un triangolo equilatero

Spiegazione:
Usando il teorema della somma dei triangoli,
x + ∠x + ∠x = 180°
3∠x = 180°
x = 60°
Tutti gli angoli hanno la stessa misura in un triangolo equilatero

Domanda 17.
un. Traccia Conclusioni Trova la somma delle misure degli angoli nel quadrilatero ABCD. (Suggerimento: disegna la diagonale (overline < AC >). Come puoi usare le cifre che hai formato per trovare la somma?)

Somma: _________ °

Domanda 17.
b. Fare una congettura Scrivi un "teorema della somma quadrilatera". Spiega perché pensi che sia vero.
Digita di seguito:
___________

Risposta:
La somma delle misure degli angoli di un quadrilatero è 360°
Qualsiasi quadrilatero può essere diviso in due triangoli (180 + 180 = 360)

Domanda 18.
Comunicare idee matematiche Descrivi due modi in cui un angolo esterno di un triangolo è correlato a uno o più angoli interni.
Digita di seguito:
___________

Risposta:
Un angolo esterno ed è 8217 un angolo interno adiacente uguale a 180°
Un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni remoti.

Esercitazione guidata – Somiglianza angolo-angolo – Pagina n. 366

Domanda 1.
Spiega se i triangoli sono simili. Indica le misure degli angoli nella figura.

Digita di seguito:
___________
△ABC ha misure di angoli _______ e △DEF ha misure di angoli ______. Poiché _______ in un triangolo sono congruenti a ______ nell'altro triangolo, i triangoli sono _____.

Risposta:
△ABC ha le misure dell'angolo 40°, 30° e 109° e △DEF ha le misure dell'angolo 41°, 109° e 30°. Poiché i 2∠ in un triangolo sono congruenti nell'altro triangolo, i triangoli sono simili.

Domanda 2.
Un pennone proietta un'ombra lunga 23,5 piedi. Alla stessa ora del giorno, la signora Gilbert, che è alta 5,5 piedi, proietta un'ombra lunga 7,5 piedi. Quanto è alto in piedi il pennone? Arrotonda la tua risposta al decimo più vicino.

_________ piedi

Spiegazione:
In triangoli simili, le lunghezze dei lati corrispondenti sono proporzionali.
5,5/7,5 = h/23,5
h (7,5) = 129,25
h = 129.25/7.5
h = 17,23
Arrotondamento al decimo più vicino
h = 17,2 piedi

Domanda 3.
Due trasversali intersecano due rette parallele come mostrato. Spiega se △ABC e △DEC sono simili.

∠BAC e ∠EDC sono ___________ poiché sono ___________.
∠ABC e ∠DEC sono ___________ poiché sono ___________.
Per ________, △ABC e △DEC sono ___________.
Digita di seguito:
___________

Risposta:
∠BAC e ∠EDC sono congruenti poiché sono alt. interni
∠ABC e ∠DEC sono congruenti poiché sono alt. interno s.
Per somiglianza AA, △ABC e △DEC sono simili.

DOMANDA ESSENZIALE CHECK-IN

Domanda 4.
Come si può determinare quando due triangoli sono simili?
Digita di seguito:
___________

Risposta:
Se 2 angoli di un triangolo sono congruenti a 2 angoli di un altro triangolo, i triangoli sono simili per il Postulato di Somiglianza Angolo-Angolo

11.3 Pratica indipendente – Somiglianza angolo-angolo – Pagina n. 367

Usa i diagrammi per gli esercizi 5-7.

Domanda 5.
Trova le misure degli angoli mancanti nei triangoli.
Digita di seguito:
___________

Risposta:
m∠B = 42°
m∠F = 69°
m∠H = 64°
m∠K = 53°

Spiegazione:
Usando il teorema della somma dei triangoli,
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
85° + m∠B + 53° = 180°
138° + m∠B = 180°
m∠B = 180° – 138°
m∠B = 42°
Usando il teorema della somma dei triangoli,
m∠D + m∠E + m∠F = 180°
Sostituiamo le misure degli angoli date e risolviamo per m∠F
64° + 47° + m∠F = 180°
111° + m∠F = 180°
m∠F = 180° – 111°
m∠F = 69°
Usando il teorema della somma dei triangoli,
m∠G + m∠H + m∠J = 180°
Sostituiamo le misure degli angoli date e risolviamo per m∠H
47° + m∠H + 69° = 180°
116° + m∠H = 180°
m∠H = 180° – 116°
m∠H = 64°
Usando il teorema della somma dei triangoli,
m∠J + m∠K + m∠L = 180°
Sostituiamo le misure degli angoli date e risolviamo per m∠K
85° + m∠K + 42° = 180°
127° + m∠K = 180°
m∠K = 180° – 127°
m∠K = 53°

Domanda 6.
Quali triangoli sono simili?
Digita di seguito:
___________

Risposta:
△ABC e △JKL sono simili perché i loro angoli corrispondenti sono congruenti. Inoltre, △DEF e △GHJ sono simili perché il loro corrispondente è congruente.

Domanda 7.
Analizza le relazioni Determina quali angoli sono congruenti agli angoli in ABC.
A ≅ ∠ ________
∠B ≅ ∠ ________
C ≅ ∠ ________

Spiegazione:
△JKL ha misure angolari uguali a quelle di ABC
A ≅ ∠ J
∠B ≅ ∠ L
∠C ≅ ∠ K
Pertanto, sono congruenti.

Domanda 8.
Multistep Un albero proietta un'ombra lunga 6 metri. Frank è alto un metro e ottanta e mentre è in piedi vicino all'albero proietta un'ombra lunga quattro piedi.

un. Quanto è alto l'albero?
h = ________ piedi

Spiegazione:
In triangoli simili, le lunghezze dei lati corrispondenti sono proporzionali.
20/4 = h/6
5 = h/6
h = 30
L'albero è alto 30 piedi.

Domanda 8.
b. Quanto è più alto l'albero di Frank?
________ piedi

Spiegazione:
30 – 6 = 24
L'albero è 24 piedi più alto di Frank.

Domanda 9.
Represent Real-World Problems Sheila is climbing on a ladder that is attached against the side of a jungle gym wall. She is 5 feet off the ground and 3 feet from the base of the ladder, which is 15 feet from the wall. Draw a diagram to help you solve the problem. How high up the wall is the top of the ladder?
________ ft

3/15 = 5/h
15 ×3 = 3h
75 = 3h
h = 75/3 = 25

Question 10.
Justify Reasoning Are two equilateral triangles always similar? Explain.
______________

Answer:
yes two equilateral triangles are always similar.
Each angle of an equilateral triangle is 60°. Since both triangles are equilateral then they are similar.

Angle-Angle Similarity – Page No. 368

Question 11.
Critique Reasoning Ryan calculated the missing measure in the diagram shown. What was his mistake?

(frac<3.4><6.5>=frac<19.5>)
19.5 × (frac<3.4><6.5>=frac<19.5>) × 19.5
(frac<66.3><6.5>) = h
10.2cm = h
Type below:
___________

Answer:
In the first line, Ryan did not take the sum of 6.5 and 19.5 to get the denominator on the right.
The denominator on the right should be 26 instead of 19.5
the correct value for h
3.4/6.5 = h/26
h = (3.4/6.5) × 26
h = 13.6cm

FOCUS ON HIGHER ORDER THINKING

Question 12.
Communicate Mathematical Ideas For a pair of triangular earrings, how can you tell if they are similar? How can you tell if they are congruent?
Type below:
___________

Answer:
The earrings are similar if two angle measures of one are equal to two angle measures of the other.
The earrings are congruent if they are similar and if the side lengths of one are equal to the side lengths of the other.

Question 13.
Critical Thinking When does it make sense to use similar triangles to measure the height and length of objects in real life?
Type below:
___________

Answer:
If the item is too tall or the distance is too long to measure directly, similar triangles can help with measuring.

Question 14.
Justify Reasoning Two right triangles on a coordinate plane are similar but not congruent. Each of the legs of both triangles are extended by 1 unit, creating two new right triangles. Are the resulting triangles similar? Explain using an example.
___________

Answer:
Two triangles are similar if their corresponding angles are congruent and the lengths of their corresponding sides are proportional. If each of the legs of both triangles is extended by 1 unit, the ratio between proportional sides does not change. Therefore, the resulting triangles are similar.

Ready to Go On? – Model Quiz – Page No. 369

11.1 Parallel Lines Cut by a Transversal

In the figure, line p || line q. Find the measure of each angle if m∠8 = 115°.

Explanation:
According to the exterior angle theorem,
m∠7 + m∠8 = 180°
m∠7 + 115° = 180°
m∠7 = 180° – 115°
m∠7 = 65°

Explanation:
From the given figure, Line P is parallel to line Q. So, the angles given in line P is equal to the angles in line Q. They are corresponding angles.
So, m∠8 is parallel is m∠6 or m∠8 = m∠6 = 115°

Explanation:
∠1 and ∠6 are alternative exterior angles.
So, m∠1 = m∠6 = 115°

11.2 Angle Theorems for Triangles

Find the measure of each angle.

Explanation:
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
4y° + (3y + 22)° + 74° = 180°
7y = 180 – 96 = 84
y = 12°
m∠A = 4y° = 4 (12°) = 48°
m∠B = (3y + 22)° = (3(12°) + 22)° = 58°

Explanation:
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
4y° + (3y + 22)° + 74° = 180°
7y = 180 – 96 = 84
y = 12°
m∠A = 4y° = 4 (12°) = 48°
m∠B = (3y + 22)° = (3(12°) + 22)° = 58°

Question 6.
m∠BCA = _________ °

Explanation:
m∠BCD + m∠BCA = 180°
106° + m∠BCA = 180°
m∠BCA = 180° – 106°
m∠BCA = 74°
So, m∠BCA = 74°

11.3 Angle-Angle Similarity

Triangle FEG is similar to triangle IHJ. Find the missing values.

Explanation:
In similar triangles, corresponding side lengths are proportional.
HJ/EG = IJ/FG
(x + 12)/42 = 40/60
(x + 12)/42 = 4/6
6x = 96
x = 16

Explanation:
In similar triangles, corresponding side lengths are congruent.
m∠HJI = m∠EGF
(5y + 7)° = 52°
5y° + 7° = 52°
5y° = 45°
y = 9

Explanation:
Using the Triangle Sum Theorem,
m∠E + m∠F + m∠G = 180°
We substitute the given angle measures and we solve for m∠E
m∠E + 36° + 52° = 180°
m∠E + 88° = 180°
m∠E = 92°
In similar angles, corresponding side lengths are congruent
m∠H = m∠E
m∠H = 92°

ESSENTIAL QUESTION

Question 10.
How can you use similar triangles to solve real-world problems?
Type below:
____________

Answer:
we know that if two triangles are similar, then their corresponding angles are congruent and the lengths of their corresponding sides are proportional. We can use this to determine values that we cannot measure directly. For example, we can calculate the length of the tree if we measure its shadow and our shadow on a sunny day.

Selected Response – Mixed Review – Page No. 370

Use the figure for Exercises 1 and 2.

Question 1.
Which angle pair is a pair of alternate exterior angles?
Options:
A. ∠5 and ∠6
B. ∠6 and∠7
C. ∠5 and ∠4
D. ∠5 and ∠2

Explanation:
∠5 and ∠4 are alternate exterior angles

Question 2.
Which of the following angles is not congruent to ∠3?
Options:
A. ∠1
B. ∠2
C. ∠6
D. ∠8

Explanation:
∠2 and ∠3 are same-side interior angles. They are not congruent instead their sum is equal to 180°

Question 3.
The measures, in degrees, of the three angles of a triangle are given by 2x + 1, 3x – 3, and 9x. What is the measure of the smallest angle?
Options:
A. 13°
B. 27°
C. 36°
D. 117°

Explanation:
From the Triangle Sum Theorem, the sum of the angles of the triangle is 180°
m∠1 + m∠2 + m∠3 = 180°
(2x + 1)° + (3x – 3)° + (9x)° = 180°
2x° + 1° + 3x° – 3° + 9x° = 180°
14x° – 2° = 180°
14x° = 178°
x = 13
Substitute the value of x to find the m∠1, m∠2, and m∠3
m∠1 = (2x + 1)° = (2(13) + 1)° = 27°
m∠2 = (3x – 3)° = (3(13) – 3)° = 36°
m∠3 = (9x)° = (9(13))° = 117°
The smallest angle is 27°

Question 4.
Which is a possible measure of ∠DCA in the triangle below?

Options:
A. 36°
B. 38°
C. 40°
D 70°

Explanation:
Using the Exterior Angle Theorem
m∠A + m∠B = m∠DCA
m∠A + 40° = m∠DCA
m∠DCA will be greater than 40°. The only suitable option is D, 70°.

Question 5.
Kaylee wrote in her dinosaur report that the Jurassic period was 1.75 × 10 8 years ago. What is this number written in standard form?
Options:
A. 1,750,000
B. 17,500,000
C. 175,000,000
D. 17,500,000,000

Explanation:
1.75 × 10 8 standard form
Move the decimal point to 8 right places.
175,000,000

Question 6.
Given that y is proportional to x, what linear equation can you write if y is 16 when x is 20?
Options:
A. y = 20x
B. y = (frac<5><4>) x
C. y = (frac<4><5>)x
D. y = 0.6x

Explanation:
Y=4/5x
16=4/5(20)
4/5×20/1=80/5
80/5=16

Question 7.
Two transversals intersect two parallel lines as shown.

un. What is the value of x?
x = ________

Explanation:
m ∠ J K L = m ∠ L N M
6x + 1 = 25
6x = 24
x = 4

Question 7.
b. What is the measure of ∠LMN?
_________°

Explanation:
m∠LMN = 3x + 11 = 3(4) + 11 = 12 + 11 = 23

Question 7.
c. What is the measure of ∠KLM?
∠KLM = _________°

Explanation:
∠KLM exterior angle of the triangle LMN
m∠KLM = m∠LNM + m∠LMN
= 25 + 23 = 48

Question 7.
D. Which two triangles are similar? How do you know?
Type below:
_____________

Answer:
triangle JKL = triangle LNM
triangle KJL = triangle LMN

Explanation:
triangle JLK and triangle LNM are similar.
triangle JKL = triangle LNM
triangle KJL = triangle LMN

Summary:

The solutions provided in the Go Math Grade 8 Answer Key Chapter 11 Angle Relationships in Parallel Lines and Triangles are made by the professionals. Practice all the math questions available on the 8th Grade Text Book and learn how to solve the questions in a simple way. Hope the information provided in this article is beneficial for all the students of grade 8. Keep in touch with our website to get the pdfs of all the Go Math Grade 8 Answer Key Chapterwise.


Classifying triangles

Triangles are often classified by their angles and sides, as shown in the tables below.

By angles:

TypeAnglesFigure
Acute all interior angles < 90°
Obtuse 1 interior angle > 90°
Right 1 angle = 90°
Equiangular each interior angle = 60°

By sides:

TypeSidesFigure
Scalene no 2 sides are congruent
Isosceles 2 congruent sides
Equilateral all sides are congruent

Fibonacci Fractals

Now we will explore the formation of spirals in more detail, and discover some more interesting and useful facts about Fibonacci Numbers. We will be examining the concept of periodicity, which we'll also learn about in the Mandelbrot Set, but which is also important in a large number of natural systems.

Perhaps the simplest, most elegant example of a spiral in nature is a seashell. The organism that creates the shell just repeats a simple process again and again to form the spiral shell. It keeps adding wedges to its shell in a very simple fashion: Each wedge is rotated by the same angle, and each wedge is the same proportion larger than the one before it. This is all that is required to make a logarithmic spiral. Notice that you could choose any angle or proportion, as long as you keep repeating the same values at each iteration.

We're going to explore what happens when we change the angle that generates the spiral. Play with the Angle slider in the Spiralizer applet below:

At very low angles, the applet creates a simple spiral. But as you increase the angle, all sorts of interesting patterns emerge. It can become difficult to determine the order of the dots. Click on "Connect Dots" to make the connections easier to see.

If you set the angle to 180 degrees, the point will rotate to the other side, and then back again at the next iteration, and so on, oscillating with a period of 2. If you set the angle to be 90 degrees, The dots will grow in a square pattern, that is, with a period of 4. The periodicity can be determined by dividing the angle of a full circle, 360 degrees, by the rotation angle. For example, 360 / 90 = 4. The progression of the points is just 0, 90, 180, 270 degrees. Then it returns to 360, which is the same as 0 degrees, and the pattern begins again.

There is another angle that will generate period-4 patterns: 270 degrees. This is 360 degrees - 90 degrees. We can see why this works by examining the progression of the angles. Start with iteration 0 at at 0 degrees. The first iteration takes the point 3/4 of the way around the circle or 270 degrees. Then the second iteration adds 270 degrees, which is 540 degrees. This is the same as 360 + 180, so it's halfway around the circle. The next iteration takes the point to 810 degrees, which is the same angle as 720 + 90, or 2 and 1/4 times around the circle.

In general, the periodicity P = 360 / A, where is the angle around the circle. If we want to find a specific periodicity, we can rearrange the equation to solve for A = 360 / P .

One interesting thing to observe is that when the angle is set exactly to a value that repeats perfectly, such as 90 degrees, the points line up in straight lines. But if you adjust the angle just a tiny bit larger or smaller than one of these perfect values, then the dots start to twist into spirals. You can nudge the angle 0.1 degrees at a time with the arrow keys to see the effect of perturbing the angle just slightly.

Questions:
Find an angle that generates a perfect triangle pattern (period 3): [ ]
Find another angle that generates a perfect triangle pattern: [ ]

Find an angle that generates a perfect pentagon pattern (period 5): [ ]
Find another angle that generates a perfect pentagon pattern: [ ]

Find an angle that generates a perfect hexagon pattern (period 6): [ ]
Find another angle that generates a perfect hexagon pattern: [ ]

There are many other higher-order periodicities that emerge in between the simple angles that create triangles, square, pentagons and hexagons, and we will explore the more complex details in the next section, when we relate this behavior to the periodicities of the Mandelbrot Set.

Fibonacci Packing

A sunflower pattern can be created by a simple repetitive process similar to how the spiralizer forms its patterns. Imagine the flower operating like the Spiralizer. It creates a seed at the origin, and then it rotates by a certain angle and creates another seed. Then it rotates again by the same angle and forms a third seed. It keeps rotating by the same angle and adding seeds, which all keep growing in scale and distance from the center.

How does the angle affect the outcome of the pattern of seeds? As we saw with the spiralizer, when you set the angle to be a simple fraction of the whole way around the circle, the dots (or seeds) line up in radial arms. This is a simple pattern, but it is NOT the most efficient way to pack a lot of seeds into a given area. You can see the percentage of space filled by dots at the bottom of the Spiralizer. For instance, when the angle of rotation is 90 degrees, the dots fall in a period-4 pattern, and the percentage of the space filled by dots is 11.436%. This is a relatively small proportion, and is a poor use of space.

When the angle of rotation is not simple like 1/2, 1/3, or 1/4, but instead is an irrational fraction of the circle, then the angle never quite repeats itself, and much more complex patterns are possible. Sometimes these arrangements alloiw a much more efficient packing of seeds into a given area.

When the angle of rotation is set to be the 360/&phi that is, the fraction of the circle correspinding to the Golden Ratio, then the seeds pack in the most efficient way possible. Try it with the Spiralizer above! What is the "Golden Angle" for this optimal packing? 360 / 1.61803399 is approximately equal to 222.5 degrees.

Set the angle in the Spiralizer to 222.5 (you might need to use the arrow keys to set it precisely), turn the drawing speed down about half way, and click "Connect Dots" to illustrate how a sunflower arranges its seeds.

One amazing thing to observe is that in systems that use this packing system (many flowers, pinecones, strawberries, pineapples, artichokes, etc) you can often find the Fibonacci Sequence. This is illustrated in the picture of the sunflower above. The pattern forms intersecting spirals where the number of seeds in the counter-clockwise spiral is part of the Fibonacci Sequence, and the number of seeds in the clockwise spiral is the next highest Fibonacci Number. This is often difficult to count, and sometimes it is not exactly correct, but in general the ratio of the seeds counted in one direction to the number of seeds in the other direction is close to the Golden Ratio &phi.

Questions:
What percentage of the space is filled with dots for the Golden Angle: [ ] (Make sure "Connect Dots" is off.)

What percentage of the space is filled for the period-8 arrangement of dots? [ ]

What angle is the LEAST efficient for packing dots (i.e fills up the lowest proportion of space)? [ ]

In the sunflower image above, how many seeds are in the counter-clockwise spiral highlighted in blue? [ ]


Answers and Replies

I think M is any point on the line connecting K and L. Using M, we can construct another line segment JM that connects J and M.

so the line segment JM has a length of JM and the KM and LM line segments have lengths of KM and LM respectively.

The question wants you answer what angle must J be such that:

JM * JM = KM * LM for any point M on the KL line segment

where the asterisk is simply real number multiplication and JM, KM, and LM are length measures.

I think M is any point on the line connecting K and L. Using M, we can construct another line segment JM that connects J and M.

so the line segment JM has a length of JM and the KM and LM line segments have lengths of KM and LM respectively.

The question wants you answer what angle must J be such that:

JM * JM = KM * LM for any point M on the KL line segment

where the asterisk is simply real number multiplication and JM, KM, and LM are length measures.

This makes it a lot easier. Only one thing is it really does not specify M is the mid point. But it won't work if it doesn't.

This is my work, let me know whether I am right. It's not hard after I understand the question.

I don't get use to angle J or angle K. I am more used to angle KJL and angle JKL. That would be a lot clearer.

If M is not the mid point, it's going to be harder to find.

Seems like if M is not the mid point, you can make the equation work with any angle less than 180deg. I don't know how to proof it, but there should be some length of the sides of the triangle to make the equation fit. So all the answers are correct in the problem. But I don't know how to proof it.

I tried to use cosine law, but there's too many variables. Anyone know of a way to proof this if M is not a mid point?

If the question means that for any point M between K and L it holds ##JM^2=KMcdot LM## then you have solve it because since it holds for any point, it holds for the mid point as well and from that you proved that J is 90. So J is 90 the only correct answer.

However I am not sure that the question means that. I think it means that there exists a point M (not necessarily the mid point ) such that ##JM^2=KMcdot LM##. Then it is totally different. Then 90 degrees is one possible answers but there might others as well and your answer is incomplete.

BTW in the last line of your work you meant to write that ##KJL=eta+gamma ## right?

Seems like if M is not the mid point, you can make the equation work with any angle less than 180deg. I don't know how to proof it, but there should be some length of the sides of the triangle to make the equation fit. So all the answers are correct in the problem. But I don't know how to proof it.

I tried to use cosine law, but there's too many variables. Anyone know of a way to proof this if M is not a mid point?

If it were my test question, I'd check all of them as I agree the angle can be any from 0 to 180 if the point M is anywhere along the segment KL. If you have access to Mathematica, perhaps you can study the code below with KL=1 and as the parameters "t" (angle of MJ on the circle -- the red line) and "a" (length of MJ) are varied we always have red^2=(green)(blue) and since we can scale it for any length KL then we can adjust the triangle with the angle at J to be 0 to 180. Then perhaps formulate it into a proof.

Well, I’m going to add my two pennies worth…

The question is incomplete. It is easy to construct a counter-example to demonstrate that - unless M is the midpoint - m∠J can have a wide range of values. This means m∠J can not be limited to one of the values in the given list.

Counter example:
Point K is at (0,0). Point L is at (10,0). Point M is (say) at (1, 0).
This gives KM = 1 and LM = 9 so that KM•LM = 1•9 = 9.
JM² = KM•LM = 1•9 = 9 which gives JM = 3.
Point J can therefore be anywhere on a circle centred on M and radius 3. A range of values for m∠J is therefore possible.

However if M is the midpoint of KL, then let r = KM = LM.
JM² = KM•LM = r² which gives JM = r.
This mean KL is the diameter of a circle centred on M and radius r, and J lies on this circle. ∠J is the angle subtended by a diameter and is therefore 90º (Thales’ theorem):
https://www.cut-the-knot.org/Outline/Geometry/AngleOnDiameter.jpg

So it seems most likely that the question neglected to state that M is the midpoint of KL.


What are the Angles of a Triangle?

The angle of a triangle is the space formed between two side lengths of a triangle. A triangle contains interior angles and exterior angles. Interior angles are three angles found inside a triangle. Exterior angles are formed when the sides of a triangle are extended to infinity.

Therefore, exterior angles are formed outside a triangle between one side of a triangle and the extended side. Each exterior angle is adjacent to an interior angle. Adjacent angles are angles with a common vertex and side.

The figure below shows the angle of a triangle. The interior angles are a, b and c, while exterior angles are d, e, and f.


Triangles Side and Angles

Triangles are one of the most fundamental geometric shapes and have a variety of often studied properties including:

Rule 1: Interior Angles sum up to $ 180^0 $ Rule 2: Sides of Triangle -- Triangle Inequality Theorem : This theorem states that the sum of the lengths of any 2 sides of a triangle must be greater than the third side. ) Rule 3: Relationship between measurement of the sides and angles in a triangle: The largest interior angle and side are opposite each other. The same rule applies to the smallest sized angle and side, and the middle sized angle and side. Rule 4 Remote Extior Angles -- This Theorem states that the measure of a an exterior angle $ angle A$ equals the sum of the remote interior angles' measurements. more)

What's the difference between interior and exterior angles of a triangle?

This question is answered by the picture below. You create an exterior angle by extending any side of the triangle.

Interior Angles of a Triangle Rule

This may be one the most well known mathematical rules-The sum of all 3 interior angles in a triangle is $180^ $. As you can see from the picture below, if you add up all of the angles in a triangle the sum must equal $180^ $.

To explore the truth of this rule, try Math Warehouse's interactive triangle, which allows you to drag around the different sides of a triangle and explore the relationship between the angles and sides. No matter how you position the three sides of the triangle, the total degrees of all interior angles (the three angles inside the triangle) is always 180°.

This property of a triangle's interior angles is simply a specific example of the general rule for any polygon's interior angles.

Interior Angles Interactive Demonstration

Practice Problems (interior angles rule)

Problem 1

What is m$angle$LNM in the triangle below?

m$ angle $ LNM +m$ angle $ LMN +m$ angle $ MLN =180°
m$ angle $ LNM +34° + 29° =180°
m$ angle $ LNM +63° =180°
m$ angle $ LNM = 180° - 63° = 117°

Problem 2

A triangle's interior angles are $ angle $ HOP, $ angle $ HPO and $ angle $ PHO. $ angle $ HOP is 64° and m$ angle $ HPO is 26°.
What is m$ angle $ PHO?

m$ angle $ PHO = 180° - 26° -64° = 90°

Relationship --Side and Angle Angle Measurements

  • the largest interior angle is opposite the largest side
  • the smallest interior angle is opposite the smallest side
  • the middle-sized interior angle is opposite the middle-sized side

To explore the truth of the statements you can use Math Warehouse's interactive triangle, which allows you to drag around the different sides of a triangle and explore the relationships betwen the measures of angles and sides. No matter how you position the three sides of the triangle, you will find that the statements in the paragraph above hold true.

(All right, the isosceles and equilateral triangle are exceptions due to the fact that they don't have a single smallest side or, in the case of the equilateral triangle, even a largest side. Nonetheless, the principle stated above still holds true. !)


11.3: Three angles of triangle

Input 3 triangle side lengths (A, B and C), then click "ENTER". This calculator will determine whether those 3 sides will form an equilateral, isoceles, acute, right or obtuse triangle or no triangle at all.

Without Using The Calculator
When given 3 triangle sides, to determine if the triangle is acute, right or obtuse:

2) Sum the squares of the 2 shortest sides.

3) Compare this sum to the square of the 3rd side.

if sum > 3rd side²   Acute Triangle

if sum = 3rd side²   Right Triangle

sum of the squares of the short sides = 25 + 36 = 61

3, 4 and 5 Squaring each side = 9, 16 and 25

sum of the squares of the short sides = 9 + 16 = 25

3, 7 and 9 Squaring each side = 9, 49 and 81

sum of the squares of the short sides = 9 + 49 = 58

58 For determining if the 3 sides can even form a triangle, the triangle inequality theorem states that the longest side must be shorter than the sum of the other 2 sides.