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2.3.6: Equazioni polinomiali


obiettivi formativi

Alla fine di questa sezione sarai in grado di:

  • Usa la proprietà del prodotto zero
  • Risolvi equazioni quadratiche fattorizzando
  • Risolvi equazioni con funzioni polinomiali
  • Risolvi applicazioni modellate da equazioni polinomiali

Prima di iniziare, rispondi a questo quiz di preparazione.

  1. Risolvi: (5y-3=0).
    Se ti sei perso questo problema, rivedi [collegamento].
  2. Fattore completamente: (n^3−9n^2−22n).
    Se ti sei perso questo problema, rivedi [collegamento].
  3. Se (f(x)=8x−16), trova (f(3)) e risolvi (f(x)=0).
    Se ti sei perso questo problema, rivedi [collegamento].

Abbiamo impiegato molto tempo per imparare a fattorizzare i polinomi. Ora esamineremo le equazioni polinomiali e le risolveremo utilizzando la fattorizzazione, se possibile.

UN equazione polinomiale è un'equazione che contiene un'espressione polinomiale. Il grado dell'equazione polinomiale è il grado del polinomio.

EQUAZIONE POLINOMIALE

UN equazione polinomiale è un'equazione che contiene un'espressione polinomiale.

Il grado dell'equazione polinomiale è il grado del polinomio.

Abbiamo già risolto equazioni polinomiali di grado uno. Le equazioni polinomiali di primo grado sono equazioni lineari sono della forma (ax+b=c).

Andiamo ora a risolvere le equazioni polinomiali di grado due. Un'equazione polinomiale di secondo grado si chiama a equazione quadrata. Di seguito sono elencati alcuni esempi di equazioni quadratiche:

[x^2+5x+6=0 qquad 3y^2+4y=10 qquad 64u^2−81=0 qquad n(n+1)=42 onumber]

L'ultima equazione non sembra avere la variabile al quadrato, ma quando semplifichiamo l'espressione a sinistra otterremo (n^2+n).

La forma generale di un'equazione quadratica è (ax^2+bx+c=0), con (a eq 0). (Se (a=0), allora (0·x^2=0) e non ci rimane alcun termine quadratico.)

EQUAZIONE QUADRATA

Un'equazione della forma (ax^2+bx+c=0) è chiamata equazione quadratica.

[a,b, ext{ e }c ext{ sono numeri reali e }a eq 0 onumber]

Per risolvere le equazioni quadratiche abbiamo bisogno di metodi diversi da quelli che abbiamo usato per risolvere le equazioni lineari. Esamineremo un metodo qui e poi molti altri in un capitolo successivo.

Usa la proprietà del prodotto zero

Risolveremo prima alcune equazioni di secondo grado usando il Proprietà del prodotto zero. La proprietà del prodotto zero dice che se il prodotto di due quantità è zero, allora almeno una delle quantità è zero. L'unico modo per ottenere un prodotto uguale a zero è moltiplicare per zero se stesso.

ZERO PROPRIETÀ DEL PRODOTTO

Se (a·b=0), allora (a=0) o (b=0) o entrambi.

Useremo ora la proprietà del prodotto zero, per risolvere a to equazione quadrata.

Esempio (PageIndex{1}): come risolvere un'equazione quadratica utilizzando la proprietà del prodotto zero

Risolvi: ((5n-2)(6n-1)=0).

Risposta

Esempio (PageIndex{2})

Risolvi: ((3m−2)(2m+1)=0).

Risposta

(m=frac{2}{3},space m=-frac{1}{2})

Esempio (PageIndex{3})

Risolvi: ((4p+3)(4p−3)=0).

Risposta

(p=-frac{3}{4},space p=frac{3}{4})

UTILIZZARE LA PROPRIETÀ DEL PRODOTTO ZERO.

  1. Imposta ogni fattore uguale a zero.
  2. Risolvi le equazioni lineari.
  3. Dai un'occhiata.

Risolvi equazioni quadratiche mediante fattorizzazione

La proprietà Zero Product funziona molto bene per risolvere equazioni quadratiche. L'equazione quadratica deve essere fattorizzata, con lo zero isolato su un lato. Quindi siamo sicuri di iniziare con l'equazione quadratica in modulo standard, (ax^2+bx+c=0). Quindi fattoriamo l'espressione a sinistra.

Risolvi: (2y^2=13y+45).

Risposta

Esempio (PageIndex{5})

Risolvi: (3c^2=10c-8).

Risposta

(c=2,spazio c=frac{4}{3})

Esempio (PageIndex{6})

Risolvi: (2d^2−5d=3).

Risposta

(d=3,spazio d=-12)

RISOLVI UN'EQUAZIONE QUADRATICA FACTORING.

  1. Scrivi l'equazione quadratica in forma standard, (ax^2+bx+c=0).
  2. Fattorizzare l'espressione quadratica.
  3. Usa la proprietà del prodotto zero.
  4. Risolvi le equazioni lineari.
  5. Dai un'occhiata. Sostituisci ciascuna soluzione separatamente nell'equazione originale.

Prima di fattorizzare, dobbiamo assicurarci che il equazione quadrata è in modulo standard.

Risolvere equazioni quadratiche tramite fattorizzazione farà uso di tutte le tecniche di fattorizzazione che hai imparato in questo capitolo! Riconosci il modello speciale del prodotto nel prossimo esempio?

Esempio (PageIndex{7})

Risolvi: (169q^2=49).

Risposta

(egin{array} {ll} &169x^2=49 ext{Scrivi l'equazione quadratica in forma standard.} &169x^2−49=0 ext{Factor. È una differenza di quadrati. } &(13x-7)(13x+7)=0 ext{Utilizzare la proprietà Zero Product per impostare ogni fattore su }0. & ext{Risolvi ogni equazione.} &egin{array} { ll} 13x-7=0 &13x+7=0 13x=7 &13x=-7 x=frac{7}{13} &x=-frac{7}{13} end{array} fine{array})

Dai un'occhiata:

Lasciamo a voi il controllo.

Esempio (PageIndex{8})

Risolvi: (25p^2=49).

Risposta

(p=frac{7}{5},p=-frac{7}{5})

Esempio (PageIndex{9})

Risolvi: (36x^2=121).

Risposta

(x=frac{11}{6},x=-frac{11}{6})

Nel prossimo esempio, il lato sinistro dell'equazione viene fattorizzato, ma il lato destro non è zero. Per utilizzare il Proprietà del prodotto zero, un lato dell'equazione deve essere zero. Moltiplichiamo i fattori e poi scriveremo l'equazione in forma standard.

Esempio (PageIndex{10})

Risolvi: ((3x−8)(x−1)=3x).

Risposta

(egin{array} {ll} &(3x−8)(x−1)=3x ext{Moltiplica i binomi.} &3x^2−11x+8=3x ext{Scrivi il quadratico equazione in forma standard.} &3x^2−14x+8=0 ext{Fattore il trinomio.} &(3x-2)(x-4)=0 egin{array} {l} ext {Utilizzare la proprietà Zero Product per impostare ogni fattore su 0.} ext{Risolvi ogni equazione.} end{array} &egin{array} {ll} 3x-2=0 &x-4=0 3x=2 &x=4 x=frac{2}{3} & end{array} ext{Controlla le tue risposte.} & ext{La verifica è lasciata a te.} end{array })

Esempio (PageIndex{11})

Risolvi: ((2m+1)(m+3)=12m).

Risposta

(m=1,spazio m=frac{3}{2})

Esempio (PageIndex{12})

Risolvi: ((k+1)(k−1)=8).

Risposta

(k=3,spazio k=-3)

Nel prossimo esempio, quando fattorizziamo l'equazione quadratica otterremo tre fattori. Tuttavia il primo fattore è una costante. Sappiamo che il fattore non può essere uguale a 0.

Esempio (PageIndex{13})

Risolvi: (3x^2=12x+63).

Risposta

(egin{array} {ll} &3x^2=12x+63 ext{Scrivi l'equazione di secondo grado in forma standard.} &3x^2−12x−63=0 ext{Factor il massimo comun divisore prima.} &3(x^2−4x-21)=0 ext{Fattorizza il trinomio.} &3(x-7)(x+3)=0 egin{array} {l} ext {Utilizzare la proprietà Zero Product per impostare ogni fattore su 0.} ext{Risolvi ogni equazione.} end{array} &egin{array} {lll} 3 eq 0 &x−7=0 &x+3 =0 3 eq 0 &x=7 &x=-3 end{array} ext{Controlla le tue risposte.} & ext{La verifica è lasciata a te.} end{array})

Esempio (PageIndex{14})

Risolvi: (18a^2−30=−33a).

Risposta

(a=-frac{5}{2},a=frac{2}{3})

Esempio (PageIndex{15})

Risolvi: (123b=−6−60b^2)

Risposta

(b=-2,space b=-frac{1}{20})

Il Proprietà del prodotto zero vale anche per il prodotto di tre o più fattori. Se il prodotto è zero, almeno uno dei fattori deve essere zero. Possiamo risolvere alcune equazioni di grado maggiore di due utilizzando la proprietà del prodotto zero, proprio come abbiamo risolto le equazioni di secondo grado.

Esempio (PageIndex{16})

Risolvi: (9m^3+100m=60m^2)

Risposta

(egin{array} {ll} & 9m^3+100m=60m^2 ext{Porta tutti i termini da un lato in modo che l'altro lato sia zero.} &9m^3−60m^2+100m =0 ext{Scomponi prima il massimo comun divisore.} &m(9m^2−60m+100)=0 ext{Scomponi il trinomio.} &m(3m−10)^2=0 end{ array} egin{array} {l} ext{Usa la proprietà del prodotto zero per impostare ogni fattore su 0.} ext{Risolvi ogni equazione.} &egin{array} {lll} m=0 &3m−10=0 &{} m=0 &m=frac{10}{3} & {} end{array} ext{Controlla le tue risposte.} & ext{Il controllo è lasciato a tu.} end{array})

Esempio (PageIndex{17})

Risolvi: (8x^3=24x^2−18x).

Risposta

(x=0,spazio x=frac{3}{2})

Esempio (PageIndex{18})

Risolvi: (16y^2=32y^3+2y).

Risposta

(y=0,spazio y=14)

Risolvi equazioni con funzioni polinomiali

Man mano che il nostro studio sulle funzioni polinomiali continua, sarà spesso importante sapere quando la funzione avrà un certo valore o quali punti si trovano sul grafico della funzione. Il nostro lavoro con il Proprietà del prodotto zero ci aiuterà a trovare queste risposte.

Esempio (PageIndex{19})

Per la funzione (f(x)=x^2+2x−2),

trova (x) quando (f(x)=6)
trovare due punti che giacciono sul grafico della funzione.

Risposta


(egin{array} {ll} &f(x)=x^2+2x-2 ext{Sostituisci }6 ext{ per }f(x). &6=x^2+2x-2 ext{Metti la quadratica in forma standard.} &x^2+2x-8=0 ext{Fattorizza il trinomio.} &(x+4)(x-2)=0 egin{array } {l} ext{Usa la proprietà del prodotto zero.} ext{Risolvi.} end{array} &egin{array} {lll} x+4=0 & ext{o} &x-2 =0 x=-4 & ext{o} &x=2 end{array} ext{Check:} & & & & & & & & & egin{array} {lll} quad &hspace{3mm} f(x)=x^2+2x-2 &f(x)=x^2+2x-2 quad &f(−4)=(−4)^2+2(−4)−2 &f(2)=2^2+2·2−2 quad &f(−4)=16−8−2 &f(2)=4+4-2 quad &f(-4)=6checkmark &f(2)=6checkmark end{array} & end{array} )

ⓑ Poiché (f(−4)=6) e (f(2)=6), i punti ((−4,6)) e ((2,6)) giacciono sul grafico della funzione.

Esempio (PageIndex{20})

Per la funzione (f(x)=x^2−2x−8),

trova (x) quando (f(x)=7)
Trova due punti che giacciono sul grafico della funzione.

Risposta

ⓐ (x=−3) o (x=5)
ⓑ ((-3,7)spazio (5,7))

Esempio (PageIndex{21})

Per la funzione (f(x)=x^2−8x+3),

trova (x) quando (f(x)=−4)
Trova due punti che giacciono sul grafico della funzione.

Risposta

ⓐ (x=1) o (x=7)
ⓑ ((1,−4)spazio (7,−4))

Il Proprietà del prodotto zero ci aiuta anche a determinare dove la funzione è zero. Un valore di (x) dove la funzione è (0), è chiamato a zero della funzione.

ZERO DI UNA FUNZIONE

Per qualsiasi funzione (f), se (f(x)=0), allora (x) è a zero della funzione.

Quando (f(x)=0), il punto ((x,0)) è un punto sul grafico. Questo punto è un (x)-intercettare del grafico. Spesso è importante sapere dove il grafico di una funzione interseca gli assi. Vedremo alcuni esempi in seguito.

Esempio (PageIndex{22})

Per la funzione (f(x)=3x^2+10x−8), trova

gli zeri della funzione,
qualsiasi (x)-intercetta del grafico della funzione
qualsiasi (y)-intercetta del grafico della funzione

Risposta

ⓐ Per trovare gli zeri della funzione, dobbiamo trovare quando il valore della funzione è 0.
(egin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x-8 ext{Sostituisci }0 ext{ per}f(x). &0=3x^2+10x-8 ext{Scomponi il trinomio.} &(x+4)(3x-2)=0 egin{array} {l} ext{Usa la proprietà del prodotto zero.} ext{Risolvi.} end{array} &egin{array} {lll} x+4=0 & ext{o} &3x-2=0 x=-4 & ext{o} &x=frac{2}{ 3} end{array} end{array})

ⓑ Si verifica un'intercetta (x) quando (y=0). Poiché (f(-4)=0) e (f(frac{2}{3})=0), i punti ((-4,0)) e ((frac{ 2}{3},0)) giacciono sul grafico. Questi punti sono (x)-intercette della funzione.

ⓒ Si verifica un'intercetta (y) quando (x=0). Per trovare le intercettazioni (y) dobbiamo trovare (f(0)).
(egin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x-8 ext{Trova }f(0) ext{ sostituendo }0 ext{ per }x. &f(0 )=3·0^2+10·0-8 ext{Semplifica.} &f(0)=-8 end{array} )
Poiché (f(0)=−8), il punto ((0,−8)) giace sul grafico. Questo punto è l'intercetta (y) della funzione.

Esempio (PageIndex{23})

Per la funzione (f(x)=2x^2−7x+5), trova

gli zeri della funzione
qualsiasi (x)-intercetta del grafico della funzione
qualsiasi (y)-intercetta del grafico della funzione.

Risposta

ⓐ (x=1) o (x=frac{5}{2})
((1,0),space (frac{5}{2},0)) ⓒ ((0,5))

Esempio (PageIndex{24})

Per la funzione (f(x)=6x^2+13x−15), trova

gli zeri della funzione
qualsiasi (x)-intercetta del grafico della funzione
qualsiasi (y)-intercetta del grafico della funzione.

Risposta

ⓐ (x=−3) o (x=frac{5}{6})
ⓑ ((-3,0),space (frac{5}{6},0)) ⓒ ((0,−15))

Risolvi applicazioni modellate da equazioni polinomiali

La strategia di risoluzione dei problemi che abbiamo usato in precedenza per le applicazioni che si traducono in equazioni lineari funzionerà altrettanto bene per le applicazioni che si traducono in equazioni polinomiali. Copiamo qui la strategia di risoluzione dei problemi in modo da poterla utilizzare come riferimento.

UTILIZZARE UNA STRATEGIA DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI PER RISOLVERE I PROBLEMI DI PAROLE.

  1. Leggi il problema. Assicurati che tutte le parole e le idee siano comprese.
  2. Identificare Cosa stiamo cercando.
  3. Nome Cosa stiamo cercando. Scegli una variabile per rappresentare quella quantità.
  4. Tradurre in un'equazione. Può essere utile riformulare il problema in una frase con tutte le informazioni importanti. Quindi, traduci la frase inglese in un'equazione algebrica.
  5. Risolvere l'equazione utilizzando tecniche algebriche appropriate.
  6. Dai un'occhiata la risposta nel problema e assicurati che abbia senso.
  7. Risposta la domanda con una frase completa.

Inizieremo con un problema numerico per esercitarci a tradurre le parole in un'equazione polinomiale.

Esempio (PageIndex{25})

Il prodotto di due interi dispari consecutivi è 323. Trova gli interi.

Risposta

(egin{array} {ll} extbf{Fase 1. Leggi } ext{il problema.} & extbf{Fase 2. Identifica } ext{cosa stiamo cercando.} & ext{ Stiamo cercando due numeri interi consecutivi.} extbf{Fase 3. Nome} ext{ cosa stiamo cercando.} & ext{Lasciamo } n= ext{ il primo numero intero.} &n+2 = ext{ prossimo intero dispari consecutivo} egin{array} {l} extbf{Passaggio 4. Traduci } ext{in un'equazione. Riscrivi il}hspace{20mm} ext{problema in un frase.} end{array} &egin{array} {l} ext{Il prodotto di due dispari consecutivi} ext{interi è }323. end{array} &quad n( n+2)=323 extbf{Fase 5. Risolvi } ext{l'equazione.} n^2+2n=323 ext{Porta tutti i termini da parte.} &n^2+2n− 323=0 ext{Scomponi il trinomio.} &(n−17)(n+19)=0 egin{array} {l} ext{Usa la proprietà del prodotto zero.} ext {Risolvi le equazioni.} end{array} &egin{array} {ll} n−17=0 hspace{10mm}&n+19=0 n=17 &n=-19 end{array} fine{array} )
Ci sono due valori per (n) che sono soluzioni a questo problema. Quindi ci sono due serie di interi dispari consecutivi che funzioneranno.

(egin{array} {ll} ext{Se il primo intero è } n=17 hspace{60mm} & ext{Se il primo intero è } n=-19 ext{quindi il successivo dispari intero è} & ext{quindi il prossimo numero intero dispari è} hspace{53mm} n+2 &hspace{53mm} n+2 hspace{51mm} 17+2 &hspace{51mm} - 19+2 hspace{55mm} 19 &hspace{55mm} -17 hspace{51mm} 17,19 &hspace{51mm} -17,-19 extbf{Fase 6. Verifica } ext{la risposta.} & ext{I risultati sono numeri interi dispari consecutivi} & egin{array} {ll} 17,space 19 ext{ e }−19,space −17. & 17·19=323checkmark &−19(−17)=323checkmark end{array} & ext{Entrambe le coppie di numeri interi consecutivi sono soluzioni.} & extbf{Passaggio 7.Rispondi } ext{la domanda} & ext{Gli interi consecutivi sono }17, 19 ext{ e }−19,−17. end{array} )

Esempio (PageIndex{26})

Il prodotto di due interi dispari consecutivi è 255. Trova gli interi.

Risposta

(−15,−17) e (15, 17)

Esempio (PageIndex{27})

Il prodotto di due interi dispari consecutivi è 483 Trova gli interi.

Risposta

(-23,-21) e (21, 23)

Sei rimasto sorpreso dalla coppia di numeri interi negativi che è una delle soluzioni dell'esempio precedente? Il prodotto dei due interi positivi e il prodotto dei due interi negativi danno entrambi risultati positivi.

In alcune applicazioni, le soluzioni negative risulteranno dall'algebra, ma non saranno realistiche per la situazione.

Esempio (PageIndex{28})

Una camera da letto rettangolare ha una superficie di 117 piedi quadrati. La lunghezza della camera da letto è quattro piedi più della larghezza. Trova la lunghezza e la larghezza della camera da letto.

Risposta
Passaggio 1. Leggi il problema. In problemi che coinvolgono
figure geometriche, uno schizzo può aiutarti a visualizzare
la situazione.
Passaggio 2. Identificare cosa stai cercando.Cerchiamo la lunghezza e la larghezza.
Passaggio 3. Nome cosa stai cercando.Sia (w= ext{ la larghezza della camera da letto}).
La lunghezza è quattro piedi più della larghezza.(w+4= ext{ la lunghezza del giardino})
Passaggio 4. Traduci in un'equazione.
Riformula le informazioni importanti in una frase.L'area della camera da letto è di 117 piedi quadrati.
Usa la formula per l'area di un rettangolo.(A=l·w)
Sostituisci nelle variabili.(117=(w+4)w)
Passaggio 5. Risolvi l'equazione Distribuisci prima.(117=w^2+4w)
Ottieni zero da un lato.(117=w^2+4w)
Fattorizzare il trinomio.(0=w^2+4w−117)
Usa la proprietà del prodotto zero.(0=(w^2+13)(w-9))
Risolvi ogni equazione.(0=w+13quad 0=w-9)
Poiché (w) è la larghezza della camera da letto, non è così
ha senso che sia negativo. Eliminiamo quel valore per (w).
(cancel{w=−13}) (quad w=9)
(w=9) La larghezza è di 9 piedi.
Trova il valore della lunghezza.(w+4)
(9+4)
13 La lunghezza è di 13 piedi.
Passaggio 6. Verifica la risposta.
Ha senso la risposta?


Sì, questo ha senso.

Passaggio 7. Risposta la domanda.La larghezza della camera da letto è di 9 piedi e
la lunghezza è di 13 piedi.

Esempio (PageIndex{29})

Un segno rettangolare ha un'area di 30 piedi quadrati. La lunghezza del segno è un piede in più rispetto alla larghezza. Trova la lunghezza e la larghezza del segno.

Risposta

La larghezza è di 5 piedi e la lunghezza è di 6 piedi.

Esempio (PageIndex{30})

Un patio rettangolare ha un'area di 180 piedi quadrati. La larghezza del patio è di tre piedi inferiore alla lunghezza. Trova la lunghezza e la larghezza del patio.

Risposta

La lunghezza del patio è di 12 piedi e la larghezza di 15 piedi.

Nel prossimo esempio useremo il teorema di Pitagora ((a^2+b^2=c^2)). Questa formula fornisce la relazione tra i cateti e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Useremo questa formula per nel prossimo esempio.

Esempio (PageIndex{31})

La vela di una barca ha la forma di un triangolo rettangolo come mostrato. L'ipotenusa sarà lunga 17 piedi. La lunghezza di un lato sarà 7 piedi inferiore alla lunghezza dell'altro lato. Trova le lunghezze dei lati della vela.

Risposta
Passaggio 1. Leggi il problema
Passaggio 2. Identificare cosa stai cercando.Cerchiamo le lunghezze del
lati della vela.
Passaggio 3. Nome cosa stai cercando.
Un lato è 7 in meno dell'altro.
Sia (x= ext{ lunghezza di un lato della vela}).
(x-7= ext{ lunghezza dell'altro lato})
Passaggio 4. Traduci in un'equazione. Dal momento che questo è un
triangolo rettangolo possiamo usare il teorema di Pitagora.
(a^2+b^2=c^2)
Sostituisci nelle variabili.(x^2+(x-7)^2=17^2)
Passaggio 5. Risolvi l'equazione
Semplificare.
(x^2+x^2−14x+49=289)
(2x^2−14x+49=289)
È un'equazione quadratica, quindi ottieni zero su un lato.(2x^2−14x−240=0)
Fattorizzare il più grande fattore comune.(2(x^2−7x−120)=0)
Fattorizzare il trinomio.(2(x−15)(x+8)=0)
Usa la proprietà del prodotto zero.(2 eq 0quad x−15=0quad x+8=0)
Risolvere.(2 eq 0quad x=15quad x=-8)
Poiché (x) è un lato del triangolo, (x=−8) non lo fa
ha senso.
(2 eq 0quad x=15quad cancel{x=-8})
Trova la lunghezza dell'altro lato.
Se la lunghezza di un lato è
allora la lunghezza dell'altro lato è



8 è la lunghezza dell'altro lato.
Passaggio 6. Verifica la risposta nel problema
Hanno senso questi numeri?

Passaggio 7. Risposta la domandaI lati della vela sono 8, 15 e 17 piedi.

Esempio (PageIndex{32})

Justine vuole mettere un mazzo nell'angolo del suo cortile a forma di triangolo rettangolo. La lunghezza di un lato del ponte è 7 piedi in più rispetto all'altro lato. L'ipotenusa è 13. Trova le lunghezze dei due lati dell'impalcato.

Risposta

5 piedi e 12 piedi

Esempio (PageIndex{33})

Un giardino di meditazione ha la forma di un triangolo rettangolo, con una gamba 7 piedi. La lunghezza dell'ipotenusa è uno in più della lunghezza dell'altro cateto. Trova le lunghezze dell'ipotenusa e dell'altro cateto.

Risposta

24 piedi e 25 piedi

Il prossimo esempio usa la funzione che fornisce l'altezza di un oggetto in funzione del tempo quando viene lanciato da 80 piedi dal suolo.

Esempio (PageIndex{34})

Dennis sta per lanciare la sua palla elastica verso l'alto dalla cima di un edificio del campus. Quando lancia la palla elastica da 80 piedi dal suolo, la funzione (h(t)=−16t^2+64t+80) modella l'altezza, (h), della palla dal suolo come una funzione del tempo, (t). Trova:

ⓐgli zeri di questa funzione che ci dicono quando la palla tocca terra
quando la palla sarà a 80 piedi dal suolo
ⓒ l'altezza della palla a (t=2) secondi.

Risposta

ⓐ Gli zeri di questa funzione si trovano risolvendo (h(t)=0). Questo ci dirà quando la palla toccherà il suolo.
(egin{array} {ll} &h(t)=0 ext{Sostituisci nel polinomio }h(t). &−16t^2+64t+80=0 ext{Fattore il GCF, }−16. &−16(t^2−4t−5)=0 ext{Fattore il trinomio.} &−16(t−5)(t+1)=0 egin{ array} {l} ext{Usa la proprietà Zero Product.} ext{Risolvi.} end{array} &egin{array} {ll} t-5=0 &t+1=0 t =5 &t=−1 end{array} end{array} )

Il risultato (t=5) ci dice che la palla toccherà il suolo 5 secondi dopo essere stata lanciata. Poiché il tempo non può essere negativo, il risultato (t=−1) viene scartato.

ⓑ La palla sarà a 80 piedi dal suolo quando (h(t)=80).
(egin{array} {ll} &h(t)=80 ext{Sostituisci nel polinomio }h(t). &−16t^2+64t+80=80 ext{Sottrarre 80 da entrambi i lati.} &−16t^2+64t=0 ext{Factoring the GCF, }−16t. &−16t(t-4)=0 egin{array} {l} ext{ Usa la proprietà Zero Product.} ext{Solve.}end{array} &egin{array} {ll} −16t=0 &t−4=0 t=0 &t=4 end{array } & ext{La palla sarà a 80 piedi nel momento in cui Dennis} & ext{lancia la palla e poi 4 secondi dopo, quando} & ext{la palla sta cadendo.} end{ Vettore} )

ⓒ Per trovare l'altezza della palla a (t=2) secondi troviamo (h(2)).
(egin{array} {ll} &h(t)=−16t^2+64t+80 ext{Per trovare }h(2) ext{ sostituire }2 ext{ per }t. &h( 2)=−16(2)^2+64·2+80 ext{Semplifica.} &h(2)=144 & ext{Dopo 2 secondi, la palla sarà a 144 piedi.} fine{array})

Esempio (PageIndex{35})

Genevieve sta per lanciare un sasso dalla cima di un sentiero che si affaccia sull'oceano. Quando lancia la roccia verso l'alto da 160 piedi sopra l'oceano, la funzione (h(t)=−16t^2+48t+160) modella l'altezza, (h), della roccia sopra l'oceano come un funzione del tempo, (t). Trova:

gli zeri di questa funzione che ci dicono quando la roccia colpirà l'oceano
ⓑ quando la roccia sarà a 160 piedi sopra l'oceano.
l'altezza della roccia a (t=1,5) secondi.

Risposta

ⓐ 5 ⓑ 0;3 ⓒ 196

Esempio (PageIndex{36})

Calib sta per lanciare il suo centesimo fortunato dal suo balcone su una nave da crociera. Quando lancia il penny verso l'alto da 128 piedi dal suolo, la funzione (h(t)=−16t^2+32t+128) modella l'altezza, (h), del penny sopra l'oceano come un funzione del tempo, (t). Trova:

gli zeri di questa funzione che è quando il centesimo colpirà l'oceano
ⓑ quando il centesimo sarà di 128 piedi sopra l'oceano.
ⓒ l'altezza del centesimo sarà a (t=1) secondi che è quando il centesimo sarà nel suo punto più alto.

Risposta

ⓐ 4 ⓑ 0;2 ⓒ 144

Accedi a questa risorsa online per ulteriori istruzioni e per esercitarti con le equazioni quadratiche.

  • Iniziare l'algebra e risolvere le quadratiche con la proprietà zero

Concetti chiave

  • Equazione polinomiale: Un'equazione polinomiale è un'equazione che contiene un'espressione polinomiale. Il grado dell'equazione polinomiale è il grado del polinomio.
  • Equazione quadrata: Un'equazione della forma (ax^2+bx+c=0) è chiamata equazione quadratica.

    [a,b,c ext{ sono numeri reali e } a eq 0 onumber]

  • Proprietà del prodotto zero: Se (a·b=0), allora (a=0) o (b=0) o entrambi.
  • Come utilizzare la proprietà del prodotto zero
    1. Imposta ogni fattore uguale a zero.
    2. Risolvi le equazioni lineari.
    3. Dai un'occhiata.
  • Come risolvere un'equazione di secondo grado tramite fattorizzazione.
    1. Scrivi l'equazione quadratica in forma standard, (ax^2+bx+c=0).
    2. Fattorizzare l'espressione quadratica.
    3. Usa la proprietà del prodotto zero.
    4. Risolvi le equazioni lineari.
    5. Dai un'occhiata. Sostituisci ciascuna soluzione separatamente nell'equazione originale.
  • Zero di una funzione: Per qualsiasi funzione (f), se (f(x)=0), allora (x) è uno zero della funzione.
  • Come utilizzare una strategia di problem solving per risolvere problemi di parole.
    1. Leggi il problema. Quindi, traduci la frase inglese in un'equazione algebrica.
    2. Risolvere l'equazione utilizzando tecniche algebriche appropriate.
    3. Dai un'occhiata la risposta nel problema e assicurati che abbia senso.
    4. Risposta la domanda con una frase completa.

Teorema del Resto

Quando una funzione polinomiale f è divisa per x-k, il resto r è f(k).

Ok, ora in inglese. Se dividi un polinomio per un fattore lineare, x-k, il resto è il valore che otterresti se avessi inserito x=k nella funzione e valutato.

Ora, collegalo a ciò che abbiamo appena detto sopra. Se il resto è zero, allora hai scomposto con successo il polinomio. Se il resto della divisione per (x-k) è zero, allora la funzione valutata in x=k è zero e hai trovato uno zero o una radice del polinomio. Inoltre, ora hai un polinomio fattorizzato (il quoziente) che è un grado in meno rispetto al polinomio originale. Se il quoziente è ridotto a un fattore quadratico o lineare, puoi risolvere e trovare le altre soluzioni.


Contenuti

Il termine "equazione algebrica" ​​risale all'epoca in cui il problema principale dell'algebra era risolvere equazioni polinomiali univariate. Questo problema è stato completamente risolto nel corso del XIX secolo vedi Teorema fondamentale dell'algebra, teorema di Abel-Ruffini e teoria di Galois.

Da allora, l'ambito dell'algebra è stato notevolmente ampliato. In particolare, comprende lo studio di equazioni che coinvolgono radici n-esime e, più in generale, espressioni algebriche. Questo rende il termine equazione algebrica ambiguo al di fuori del contesto del vecchio problema. Quindi il termine equazione polinomiale è generalmente preferito quando può verificarsi questa ambiguità, specialmente quando si considerano equazioni multivariate.

Lo studio delle equazioni algebriche è probabilmente antico quanto la matematica: i matematici babilonesi, già nel 2000 aC, potevano risolvere alcuni tipi di equazioni quadratiche (visualizzate su tavolette di argilla dell'Antico Babilonese).

Le equazioni algebriche univariate sui razionali (cioè con coefficienti razionali) hanno una storia molto lunga. Gli antichi matematici volevano le soluzioni sotto forma di espressioni radicali, come x = 1 + 5 2 >><2>>> per la soluzione positiva di x 2 − x − 1 = 0 -x-1=0> . Gli antichi egizi sapevano risolvere in questo modo equazioni di grado 2. Il matematico indiano Brahmagupta (597–668 d.C.) descrisse esplicitamente la formula quadratica nel suo trattato Brāhmasphuṭasiddhānta pubblicato nel 628 d.C., ma scritto in parole anziché in simboli. Nel IX secolo Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi e altri matematici islamici derivarono la formula quadratica, la soluzione generale delle equazioni di grado 2, e riconobbero l'importanza del discriminante. Durante il Rinascimento nel 1545, Gerolamo Cardano pubblicò la soluzione di Scipione del Ferro e Niccolò Fontana Tartaglia alle equazioni di grado 3 e quella di Lodovico Ferrari per le equazioni di grado 4. Infine Niels Henrik Abel dimostrò, nel 1824, che le equazioni di grado 5 e superiore non hanno soluzioni generali usando i radicali. La teoria di Galois, che prende il nome da Évariste Galois, ha mostrato che alcune equazioni di almeno grado 5 non hanno nemmeno una soluzione idiosincratica nei radicali e ha fornito criteri per decidere se un'equazione è effettivamente risolvibile usando i radicali.

Le equazioni algebriche sono alla base di una serie di aree della matematica moderna: La teoria algebrica dei numeri è lo studio delle equazioni algebriche (univariate) sui razionali (cioè con coefficienti razionali). La teoria di Galois è stata introdotta da Évariste Galois per specificare i criteri per decidere se un'equazione algebrica può essere risolta in termini di radicali. Nella teoria dei campi, un'estensione algebrica è un'estensione tale che ogni elemento è una radice di un'equazione algebrica sul campo base. La teoria dei numeri trascendentali è lo studio dei numeri reali che non sono soluzioni di un'equazione algebrica sui razionali. Un'equazione diofantea è un'equazione polinomiale (di solito multivariata) a coefficienti interi per la quale si è interessati alle soluzioni intere. La geometria algebrica è lo studio delle soluzioni in un campo algebricamente chiuso di equazioni polinomiali multivariate.

Un'equazione polinomiale sui razionali può sempre essere convertita in una equivalente in cui i coefficienti sono interi. Ad esempio, moltiplicando per 42 = 2·3·7 e raggruppando i suoi termini nel primo membro, la già citata equazione polinomiale y 4 + xy 2 = x 3 3 − xy 2 + y 2 − 1 7 +<2>>=><3>>-xy^<2>+y^<2>-<7>>> diventa

Poiché seno, elevamento a potenza e 1/T non sono funzioni polinomiali,

è non un'equazione polinomiale nelle quattro variabili X, , z, e T sui numeri razionali. Tuttavia, è un'equazione polinomiale nelle tre variabili X, , e z sul campo delle funzioni elementari nella variabile T.

Polinomi Modifica

Data un'equazione in incognita x

con coefficienti in un campo K , si può equivalentemente dire che le soluzioni di (E) in K sono le radici in K del polinomio

Si può dimostrare che un polinomio di grado n in un campo ha al massimo n radici. L'equazione (E) ha quindi al massimo n soluzioni.

Se K' è un'estensione di campo di K , si può considerare (E) un'equazione a coefficienti in K e le soluzioni di (E) in K sono anche soluzioni in K' (in generale non vale il viceversa). È sempre possibile trovare un'estensione di campo di K nota come campo di rottura del polinomio P , in cui (E) ha almeno una soluzione.

Esistenza di soluzioni di equazioni reali e complesse Modifica

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo dei numeri complessi è chiuso algebricamente, cioè tutte le equazioni polinomiali con coefficienti complessi e grado almeno uno hanno soluzione.

Ne segue che tutte le equazioni polinomiali di grado 1 o più con coefficienti reali hanno a complesso soluzione. D'altra parte, un'equazione come x 2 + 1 = 0 +1=0> non ha una soluzione in R > (le soluzioni sono le unità immaginarie i e –i ).

Mentre le soluzioni reali delle equazioni reali sono intuitive (sono le coordinate x dei punti in cui la curva = P(X) interseca l'asse x), l'esistenza di soluzioni complesse di equazioni reali può essere sorprendente e meno facile da visualizzare.

Tuttavia, un polinomio monic di grado dispari deve necessariamente avere una radice reale. La funzione polinomiale associata in x è continua e si avvicina a − ∞ quando x si avvicina a − ∞ e + ∞ quando x si avvicina a + ∞ < displaystyle +infty >. Per il teorema del valore intermedio, deve quindi assumere il valore zero in corrispondenza di qualche x reale, che è quindi una soluzione dell'equazione polinomiale.

Collegamento alla teoria di Galois Modifica

Esistono formule che danno le soluzioni di polinomi reali o complessi di grado minore o uguale a quattro in funzione dei loro coefficienti. Abele ha mostrato che non è possibile trovare una tale formula in generale (usando solo le quattro operazioni aritmetiche e prendendo radici) per equazioni di grado cinque o superiore. La teoria di Galois fornisce un criterio che permette di determinare se la soluzione di una data equazione polinomiale può essere espressa usando i radicali.

Approccio Modifica

La soluzione esplicita di un'equazione reale o complessa di grado 1 è banale. Risolvere un'equazione di grado n maggiore si riduce alla fattorizzazione del polinomio associato, cioè riscrivendo (E) nella forma

Questo approccio si applica più in generale se i coefficienti e le soluzioni appartengono a un dominio integrale.

Tecniche generali Modifica

Factoring Modifica

Se un'equazione P(X) = 0 di grado n ha una radice razionale α , il polinomio associato può essere fattorizzato per dare la forma P(X) = (X – α)Q(X) (dividendo P(X) di X – α o scrivendo P(X) – P(α) come combinazione lineare di termini della forma X k – α K , e scomporre X – α. Risolvere P(X) = 0 si riduce quindi a risolvere il grado n – 1 equazione Q(X) = 0. Vedi ad esempio il caso n = 3 .

Eliminazione del termine sottodominante Modifica

Per risolvere un'equazione di grado n ,

un passo preliminare comune è eliminare il termine n - 1 di grado: impostando x = y - a n - 1 n a n ><>>>> , l'equazione (E) diventa

Leonhard Euler ha sviluppato questa tecnica per il caso n = 3 ma è applicabile anche al caso n = 4 , per esempio.

Equazioni quadratiche Modifica

Per risolvere un'equazione quadratica della forma a x 2 + b x + c = 0 +bx+c=0> si calcola il discriminante Δ definito da Δ = b 2 − 4 a c -4ac> .

Se il polinomio ha coefficienti reali, ha:

Equazioni cubiche Modifica

Il metodo più noto per risolvere le equazioni cubiche, scrivendo le radici in termini di radicali, è la formula di Cardano.

Equazioni in quartina Modifica

Per discussioni dettagliate su alcuni metodi di soluzione, vedere:

    (metodo generale, successo non garantito) (metodo generale, successo non garantito) (soluzioni per il grado 4) (soluzioni per il grado 4) (soluzioni per il grado 4) (soluzioni per il grado 2 o 4)

Alcune equazioni cubiche e quartiche possono essere risolte usando la trigonometria o le funzioni iperboliche.

Equazioni di grado superiore Modifica

Évariste Galois e Niels Henrik Abel hanno mostrato indipendentemente che in generale un polinomio di grado 5 o superiore non è risolvibile usando i radicali. Alcune equazioni particolari hanno soluzioni, come quelle associate ai polinomi ciclotomici di grado 5 e 17.

Charles Hermite, d'altra parte, ha mostrato che i polinomi di grado 5 sono risolvibili utilizzando funzioni ellittiche.


6.6 Dividere i polinomi

Nell'ultima sezione, hai imparato a dividere un monomio per un monomio. Man mano che continui a sviluppare la tua conoscenza dei polinomi, la procedura successiva consiste nel dividere un polinomio di due o più termini per un monomio.

Il metodo che utilizzeremo per dividere un polinomio per un monomio si basa sulle proprietà dell'addizione di frazioni. Quindi inizieremo con un esempio per rivedere l'aggiunta di frazioni.

Ora lo faremo al contrario per dividere una singola frazione in frazioni separate.

Dichiareremo qui la proprietà di addizione della frazione così come l'hai imparata e al contrario.

Addizione di frazioni

Usiamo la forma a sinistra per sommare le frazioni e usiamo la forma a destra per dividere un polinomio per un monomio.

Usiamo questa forma di addizione di frazioni per dividere polinomi per monomi.

Divisione di un polinomio per un monomio

Per dividere un polinomio per un monomio, dividi ogni termine del polinomio per il monomio .

Esempio 6.77

Trova il quoziente: 7 y 2 + 21 7 . 7 e 2 + 21 7 .

Soluzione

Trova il quoziente: 8 z 2 + 24 4 . 8z 2 + 24 4 .

Trova il quoziente: 18 z 2 − 27 9 . 18z 2 − 27 9 .

Ricorda che la divisione può essere rappresentata come una frazione. Quando ti viene chiesto di dividere un polinomio per un monomio e non è già in forma frazionaria, scrivi una frazione con il polinomio al numeratore e il monomio al denominatore.

Esempio 6.78

Trova il quoziente: ( 18 x 3 − 36 x 2 ) ÷ 6 x . ( 18 x 3 − 36 x 2 ) ÷ 6 x .

Soluzione

Trova il quoziente: ( 27 b 3 − 33 b 2 ) ÷ 3 b . ( 27 b 3 − 33 b 2 ) ÷ 3 b .

Trova il quoziente: ( 25 y 3 − 55 y 2 ) ÷ 5 y . ( 25 anni 3 − 55 anni 2 ) ÷ 5 anni .

Quando dividiamo per un negativo, dobbiamo stare molto attenti ai segni.

Esempio 6.79

Trova il quoziente: 12 d 2 − 16 d −4 . 12 giorni 2 − 16 giorni -4 .

Soluzione

Trova il quoziente: 25 y 2 − 15 y -5 . 25 anni 2 − 15 anni -5 .

Trova il quoziente: 42 b 2 − 18 b −6 . 42 b 2 − 18 b − 6 .

Esempio 6.80

Trova il quoziente: 105 y 5 + 75 y 3 5 y 2 . 105 anni 5 + 75 anni 3 5 anni 2 .

Soluzione

Trova il quoziente: 60 d 7 + 24 d 5 4 d 3 . 60 giorni 7 + 24 giorni 5 4 giorni 3 .

Trova il quoziente: 216 p 7 − 48 p 5 6 p 3 . 216 p 7 − 48 p 5 6 p 3 .

Esempio 6.81

Trova il quoziente: ( 15 x 3 y − 35 x y 2 ) ÷ ( -5 x y ) . ( 15 x 3 y − 35 x y 2 ) ÷ ( −5 x y ) .

Soluzione

Trova il quoziente: ( 32 a 2 b − 16 a b 2 ) ÷ ( -8 a b ) . ( 32 a 2 b − 16 a b 2 ) ÷ ( -8 a b ) .

Trova il quoziente: ( −48 a 8 b 4 − 36 a 6 b 5 ) ÷ ( -6 a 3 b 3 ) . ( −48 a 8 b 4 − 36 a 6 b 5 ) ÷ ( −6 a 3 b 3 ) .

Esempio 6.82

Trova il quoziente: 36 x 3 y 2 + 27 x 2 y 2 − 9 x 2 y 3 9 x 2 y . 36 x 3 anni 2 + 27 x 2 anni 2 − 9 x 2 anni 3 9 x 2 anni .

Soluzione

Trova il quoziente: 40 x 3 y 2 + 24 x 2 y 2 − 16 x 2 y 3 8 x 2 y . 40 x 3 anni 2 + 24 x 2 anni 2 − 16 x 2 anni 3 8 x 2 anni .

Trova il quoziente: 35 a 4 b 2 + 14 a 4 b 3 − 42 a 2 b 4 7 a 2 b 2 . 35 a 4 b 2 + 14 a 4 b 3 − 42 a 2 b 4 7 a 2 b 2 .

Esempio 6.83

Trova il quoziente: 10 x 2 + 5 x − 20 5 x . 10 x 2 + 5 x − 20 5 x .

Soluzione

Trova il quoziente: 18 c 2 + 6 c − 9 6 c . 18 do 2 + 6 c − 9 6 c .

Trova il quoziente: 10 d 2 − 5 d − 2 5 d . 10 giorni 2 - 5 giorni - 2 5 giorni .

Dividere un polinomio per un binomio

Per dividere un polinomio per un binomio, seguiamo una procedura molto simile alla divisione lunga dei numeri. Quindi esaminiamo attentamente i passaggi che facciamo quando dividiamo un numero a 3 cifre, 875, per un numero a 2 cifre, 25.

Scriviamo la divisione lunga
Dividiamo le prime due cifre, 87, per 25.
Moltiplichiamo 3 per 25 e scriviamo il prodotto sotto 87.
Ora sottraiamo 75 da 87.
Quindi abbassiamo la terza cifra del dividendo, 5.
Ripeti il ​​processo, dividendo 25 in 125.

Controlliamo la divisione moltiplicando il quoziente per il divisore.

Se abbiamo fatto la divisione correttamente, il prodotto dovrebbe essere uguale al dividendo.

Ora dividiamo un trinomio per un binomio. Mentre leggi l'esempio, nota quanto siano simili i passaggi all'esempio numerico sopra.

Esempio 6.84

Trova il quoziente: ( x 2 + 9 x + 20 ) ÷ ( x + 5 ) . ( x 2 + 9 x + 20 ) ÷ ( x + 5 ) .

Soluzione

Scrivilo come un problema di divisione lunga.
Assicurati che il dividendo sia in forma standard.
Dividere X 2 da X. Potrebbe essere utile chiedersi: "Di cosa ho bisogno per moltiplicare? X da per ottenere X 2 ?"
Metti la risposta, X, nel quoziente su X termine.
Moltiplicare X volte X + 5. Allinea i termini simili sotto il dividendo.
Sottrarre X 2 + 5X a partire dal X 2 + 9X.

Quindi abbassa l'ultimo termine, 20.
Dividi 4X di X. Potrebbe essere utile chiedersi: "Di cosa ho bisogno?
moltiplicare X per ottenere 4X?"
Metti la risposta, 4, nel quoziente sul termine costante.
Moltiplica 4 volte X + 5.
Sottrai 4X + 20 da 4X + 20.
Dai un'occhiata:
Moltiplica il quoziente per il divisore.
(X + 4)(X + 5)
Dovresti ottenere il dividendo.
X 2 + 9X + 20✓

Trova il quoziente: ( y 2 + 10 y + 21 ) ÷ ( y + 3 ) . ( si 2 + 10 si + 21) ÷ ( si + 3 ) .

Trova il quoziente: ( m 2 + 9 m + 20 ) ÷ ( m + 4 ) . ( m2 + 9 m + 20 ) ÷ ( m + 4 ) .

Quando il divisore ha il segno di sottrazione, dobbiamo fare molta attenzione quando moltiplichiamo il quoziente parziale e poi sottraiamo. Potrebbe essere più sicuro mostrare che cambiamo i segni e poi aggiungiamo.

Esempio 6.85

Trova il quoziente: ( 2 x 2 − 5 x − 3 ) ÷ ( x − 3 ) . ( 2 x 2 − 5 x − 3 ) ÷ ( x − 3 ) .

Soluzione

Scrivilo come un problema di divisione lunga.
Assicurati che il dividendo sia in forma standard.
Dividi 2X 2 da X.
Metti la risposta, 2X, nel quoziente su X termine.
Moltiplica 2X volte X − 3. Allineare i termini simili sotto il dividendo.
Sottrai 2X 2 − 6X da 2X 2 − 5X.
Cambia i segni e poi aggiungi.
Quindi abbattere l'ultimo termine.
Dividere X di X.
Metti la risposta, 1, nel quoziente sul termine costante.
Moltiplica 1 volte X − 3.
Sottrarre X − 3 da X − 3 cambiando i segni e aggiungendo.
Per verificare, moltiplicare (X − 3)(2X + 1).
Il risultato dovrebbe essere 2X 2 − 5X − 3.

Trova il quoziente: ( 2 x 2 − 3 x − 20 ) ÷ ( x − 4 ) . ( 2 x 2 − 3 x − 20 ) ÷ ( x − 4 ) .

Trova il quoziente: ( 3 x 2 − 16 x − 12 ) ÷ ( x − 6 ) . ( 3 x 2 − 16 x − 12 ) ÷ ( x − 6 ) .

Quando abbiamo diviso 875 per 25, non avevamo resto. Ma a volte la divisione dei numeri lascia un resto. Lo stesso vale quando dividiamo i polinomi. Nell'Esempio 6.86 avremo una divisione che lascia un resto. Scriviamo il resto come frazione con il divisore al denominatore.

Esempio 6.86

Trova il quoziente: ( x 3 − x 2 + x + 4 ) ÷ ( x + 1 ) . ( x 3 − x 2 + x + 4 ) ÷ ( x + 1 ) .

Soluzione

Scrivilo come un problema di divisione lunga.
Assicurati che il dividendo sia in forma standard.
Dividere X 3 da X.
Metti la risposta, X 2 , nel quoziente su X 2 termine.
Moltiplicare X 2 volte X + 1. Allinea i termini simili sotto il dividendo.
Sottrarre X 3 + X 2 da X 3 − X 2 cambiando i segni e aggiungendo.
Quindi abbassa il termine successivo.
Dividi -2X 2 da X.
Metti la risposta, -2X, nel quoziente su X termine.
Moltiplicare -2X volte X + 1. Allinea i termini simili sotto il dividendo.
Sottrai -2X 2 − 2X da -2X 2 + X cambiando i segni e aggiungendo.
Quindi abbattere l'ultimo termine.
Dividi 3X di X.
Metti la risposta, 3, nel quoziente sul termine costante.
Moltiplica 3 volte X + 1. Allinea i termini simili sotto il dividendo.
Sottrai 3X + 3 da 3X + 4 cambiando i segni e aggiungendo.
Scrivi il resto come frazione con il divisore al denominatore.
Per verificare, moltiplica ( x + 1 ) ( x 2 − 2 x + 3 + 1 x + 1 ) . ( x + 1 ) ( x 2 − 2 x + 3 + 1 x + 1 ) .
Il risultato dovrebbe essere x 3 − x 2 + x + 4 x 3 − x 2 + x + 4 .

Trova il quoziente: ( x 3 + 5 x 2 + 8 x + 6 ) ÷ ( x + 2 ) . ( x 3 + 5 x 2 + 8 x + 6 ) ÷ ( x + 2 ) .

Trova il quoziente: ( 2 x 3 + 8 x 2 + x − 8 ) ÷ ( x + 1 ) . ( 2 x 3 + 8 x 2 + x − 8 ) ÷ ( x + 1 ) .

Guarda indietro ai dividendi nell'Esempio 6.84, nell'Esempio 6.85 e nell'Esempio 6.86. I termini sono stati scritti in ordine decrescente di gradi e non c'erano gradi mancanti. Il dividendo nell'Esempio 6.87 sarà x 4 − x 2 + 5 x − 2 x 4 − x 2 + 5 x − 2 . Manca un termine x 3 x 3. Aggiungeremo 0 x 3 0 x 3 come segnaposto.

Esempio 6.87

Trova il quoziente: ( x 4 − x 2 + 5 x − 2 ) ÷ ( x + 2 ) . ( x 4 − x 2 + 5 x − 2 ) ÷ ( x + 2 ) .

Soluzione

Scrivilo come un problema di divisione lunga. Assicurati che il dividendo sia in formato standard con segnaposto per i termini mancanti.
Dividere X 4 da X.
Metti la risposta, X 3 , nel quoziente su X 3 termine.
Moltiplicare X 3 volte X + 2. Allinea i termini simili.
Sottrai e poi riduci il termine successivo.
Dividi -2X 3 da X.
Metti la risposta, -2X 2 , nel quoziente su X 2 termine.
Moltiplicare -2X 2 volte X + 1. Allinea i termini simili.
Sottrai e riduci il termine successivo.
Dividi 3X 2 da X.
Metti la risposta, 3X, nel quoziente su X termine.
Moltiplica 3X volte X + 1. Allinea i termini simili.
Sottrai e riduci il termine successivo.
Dividi −X di X.
Metti la risposta, −1, nel quoziente sul termine costante.
Moltiplica −1 volte X + 1. Allinea i termini simili.
Cambia i segni, aggiungi.
Per verificare, moltiplicare ( x + 2 ) ( x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 ) ( x + 2 ) ( x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 ) .
Il risultato dovrebbe essere x 4 − x 2 + 5 x − 2 x 4 − x 2 + 5 x − 2 .

Trova il quoziente: ( x 3 + 3 x + 14 ) ÷ ( x + 2 ) . ( x 3 + 3 x + 14 ) ÷ ( x + 2 ) .

Trova il quoziente: ( x 4 − 3 x 3 − 1000 ) ÷ ( x + 5 ) . ( x 4 − 3 x 3 − 1000 ) ÷ ( x + 5 ) .

Esempio 6.88

Trova il quoziente: ( 8 a 3 + 27 ) ÷ ( 2 a + 3 ) . ( 8 a 3 + 27 ) ÷ ( 2 a + 3 ) .

Soluzione

Questa volta mostreremo la divisione tutta in un passaggio. Dobbiamo aggiungere due segnaposto per dividere.

Per verificare, moltiplica ( 2 a + 3 ) ( 4 a 2 − 6 a + 9) ( 2 a + 3 ) ( 4 a 2 − 6 a + 9 ) .

Il risultato dovrebbe essere 8 a 3 + 27 8 a 3 + 27 .

Trova il quoziente: ( x 3 − 64 ) ÷ ( x − 4 ) . ( x 3 − 64 ) ÷ ( x − 4 ) .

Trova il quoziente: ( 125 x 3 − 8 ) ÷ ( 5 x − 2 ) . ( 125 x 3 − 8 ) ÷ ( 5 x − 2 ) .

Media

Accedi a queste risorse online per ulteriori istruzioni ed esercitazioni con la divisione dei polinomi:

Sezione 6.6 Esercizi

La pratica rende perfetti

Negli esercizi seguenti, dividi ogni polinomio per il monomio.

( 63 a 2 b 3 + 72 a b 4 ) ÷ ( 9 a b ) ( 63 a 2 b 3 + 72 a b 4 ) ÷ ( 9 a b )

( 45 x 3 y 4 + 60 x y 2 ) ÷ ( 5 x y ) ( 45 x 3 y 4 + 60 x y 2 ) ÷ ( 5 x y )

52 p 5 q 4 + 36 p 4 q 3 − 64 p 3 q 2 4 p 2 q 52 p 5 q 4 + 36 p 4 q 3 − 64 p 3 q 2 4 p 2 q

49 c 2 d 2 − 70 c 3 d 3 − 35 c 2 d 4 7 c d 2 49 c 2 d 2 − 70 c 3 d 3 − 35 c 2 d 4 7 c d 2

66 x 3 a 2 − 110 x 2 a 3 − 44 x 4 a 3 11 x 2 a 2 66 x 3 a 2 − 110 x 2 a 3 − 44 x 4 a 3 11 x 2 a 2

72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3 − 96 r 3 s 5 12 r 2 s 2 72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3 − 96 r 3 s 5 12 r 2 s 2

36 p 3 + 18 p 2 − 12 p 6 p 2 36 p 3 + 18 p 2 − 12 p 6 p 2

63 a 3 − 108 a 2 + 99 a 9 a 2 63 a 3 − 108 a 2 + 99 a 9 a 2

Dividere un polinomio per un binomio

Negli esercizi seguenti, dividi ogni polinomio per il binomio.

Matematica di tutti i giorni

Costo medio Pictures Plus produce album digitali. Il costo medio dell'azienda (in dollari) per realizzare x x album è dato dall'espressione 7 x + 500 x 7 x + 500 x .

  1. Trova il quoziente dividendo il numeratore per il denominatore.
  2. ⓑ Quale sarà il costo medio (in dollari) per produrre 20 album?

strette di mano In una riunione aziendale, ogni dipendente stringe la mano a ogni altro dipendente. Il numero di strette di mano è dato dall'espressione n 2 − n 2 n 2 − n 2 , dove n n rappresenta il numero dei dipendenti. Quante strette di mano ci saranno se ci sono 10 dipendenti alla riunione?

Esercizi di scrittura

Autocontrollo

ⓐ Dopo aver completato gli esercizi, utilizza questa lista di controllo per valutare la tua padronanza degli obiettivi di questa sezione.

ⓑ Dopo aver esaminato questa lista di controllo, cosa farai per acquisire fiducia in tutti gli obiettivi?

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    • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editore/sito web: OpenStax
    • Titolo del libro: Elementary Algebra 2e
    • Data di pubblicazione: 22 aprile 2020
    • Località: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL della sezione: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/6-6-divide-polynomials

    © Jan 22, 2021 OpenStax. Il contenuto del libro di testo prodotto da OpenStax è concesso in licenza con una licenza Creative Commons Attribution License 4.0. Il nome OpenStax, il logo OpenStax, le copertine dei libri OpenStax, il nome OpenStax CNX e il logo OpenStax CNX non sono soggetti alla licenza Creative Commons e non possono essere riprodotti senza il previo ed espresso consenso scritto della Rice University.


    MathHelp.com

    Di solito l'unica parte difficile nella valutazione è tenere traccia dei segni "meno". Consiglio vivamente di usare le parentesi liberamente, soprattutto quando sei appena agli inizi.

    Valutare un 2 B per un = &ndash2 , B = 3 , C = &ndash4 , e D = 4 .

    Per trovare la mia risposta, inserisco semplicemente i valori forniti, facendo attenzione a usare le parentesi, in particolare attorno ai segni "meno". Soprattutto quando sono appena agli inizi, disegnare prima le parentesi può essere utile:

    Nota come l'uso delle parentesi mi ha aiutato a tenere traccia del segno "meno" sul valore di un . Questo era importante, perché altrimenti avrei potuto elevare al quadrato solo il 2 , finendo con &ndash4 , il che sarebbe stato sbagliato.

    A proposito, si è scoperto che non avevamo bisogno dei valori per le variabili C e D . Quando ti viene data una grande serie di espressioni da valutare, dovresti aspettarti che spesso ci sarà una o l'altra delle variabili che non saranno incluse in nessun particolare esercizio nel set.

    Valutare un &ndash cd per un = &ndash2 , B = 3 , C = &ndash4 , e D = 4 .

    In questo esercizio mi hanno fornito ulteriori informazioni. Non c'è B nell'espressione che vogliono che valuti, quindi posso ignorare questo valore nel mio lavoro:

    Valutare (B + D) 2 per un = &ndash2 , B = 3 , C = &ndash4 , e D = 4 .

    Devo stare attento a non cercare di "distribuire" l'esponente tra parentesi. Gli esponenti NON si distribuiscono sull'addizione! Non dovrei mai provare a dirlo (B + D) 2 è uguale a B 2 + D 2 . Non sono la stessa cosa! Devo valutare l'espressione così com'è:

    Valutare B 2 + D 2 per un = &ndash2 , B = 3 , C = &ndash4 , e D = 4 .

    In questa espressione, la quadratura è su ciascuna delle variabili singolarmente.

    Si noti che quest'ultima risposta sopra non corrisponde alla risposta alla valutazione precedente. Ciò dimostra direttamente il fatto che gli esponenti non distribuiscono sull'addizione come fa la moltiplicazione.

    Dovresti aspettarti almeno un esercizio simile ai due precedenti nel prossimo test e anche nell'esame finale. Questa tendenza a cercare di distribuire un esponente (piuttosto che una moltiplicazione) sull'addizione è un errore comune degli studenti e il tuo insegnante vorrà sicuramente ricordartelo di frequente! &mdash della differenza tra il quadrato di una somma e la somma di due quadrati. Non confonderli!

    Valutare avanti Cristo 3 &ndash anno Domini per un = &ndash2 , b = 3 , c = &ndash4 , e d = 4 .

    In questo esercizio, devo utilizzare i valori di tutte e quattro le variabili. Ma devo stare attento nel mio posizionamento, perché questa espressione non usa le variabili in ordine alfabetico.

    Il tipo più comune di "espressione" che probabilmente dovrai valutare saranno i polinomi. Per valutare un polinomio, prendi quel polinomio e inserisci la variabile (di solito X ) qualunque numero ti abbiano dato.

    Valutare X 4 + 3X 3 &ndash X 2 + 6 per X = &ndash3 .

    Questo è il mio primo polinomio da valutare, quindi ricomincerò con parentesi vuote, mostrandomi dove deve essere posizionato il valore della variabile.

    Valuta 3X 2 & ndash 12X + 4 per X = &ndash2 .

    Sono contento di aver fatto pratica con le parentesi per rendere chiare le mie sostituzioni. In questo caso, quelle parentesi mi aiuteranno a tenere traccia dei segni "meno".

    Valutare sì = 4X &ndash 3 a X = &ndash1 .

    Questo è diverso. Mi hanno dato un'equazione con due variabili, ma mi hanno dato un valore solo per una delle variabili. Immagino che mi vogliano collegare per X e calcolare il valore risultante per .

    Allora la mia risposta è l'equazione:

    Nota: in quest'ultimo esercizio sopra, stavamo inserendo un valore per una delle variabili e semplificando per trovare il valore dell'altra variabile. Inoltre, la parte a cui ci stavamo collegando era stata impostata uguale a un nome, . Per questo motivo, non stavamo solo valutando un'espressione, ma in realtà stavamo valutando una funzione polinomiale. Il risultato del nostro plug-n-chug significa che il punto (X, ) = (&ndash1, &ndash7) è in linea = 4X &ndash 3 cioè, questo punto è sul grafico della funzione polinomiale.

    Puoi utilizzare il widget Mathway di seguito per esercitarti a valutare le espressioni per determinati valori di variabili. Prova l'esercizio inserito o digita il tuo esercizio. Quindi fai clic sul pulsante per confrontare la tua risposta con quella di Mathway. (Oppure continua con la pagina successiva di questa lezione.)

    (Fai clic su "Tocca per visualizzare i passaggi" per essere portato direttamente al sito Mathway per un aggiornamento a pagamento.)


    Trovare le Radici delle Funzioni

    Ricordiamo che qualsiasi polinomio con una variabile è una funzione e può essere scritto nella forma,

    f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0

    Una radice Un valore nel dominio di una funzione che risulta zero. di una funzione è un valore nel dominio che risulta zero. In altre parole, le radici si verificano quando la funzione è uguale a zero, f ( x ) = 0 .

    Esempio 8

    Trova le radici: f ( x ) = ( x + 2 ) 2 − 4 .

    Per trovare le radici impostiamo la funzione uguale a zero e risolviamo.

    f ( x ) = 0 ( x + 2 ) 2 − 4 = 0 x 2 + 4 x + 4 − 4 = 0 x 2 + 4 x = 0 x ( x + 4 ) = 0

    Quindi, imposta ogni fattore uguale a zero e risolvi.

    Possiamo mostrare che questi X-valori sono radici valutando.

    f ( 0 ) = ( 0 + 2 ) 2 − 4 f ( − 4 ) = ( − 4 + 2 ) 2 − 4 = 4 − 4 = ( − 2 ) 2 − 4 = 0 ✓ = 4 − 4 = 0 ✓

    Risposta: le radici sono 0 e -4.

    Se graficiamo la funzione nell'esempio precedente vedremo che le radici corrispondono a X-intercette della funzione. Qui la funzione f è una parabola base spostata di 2 unità a sinistra e di 4 unità in basso.

    Esempio 9

    Trova le radici: f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 .

    Per trovare le radici impostiamo la funzione uguale a zero e risolviamo.

    f ( x ) = 0 x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 4 ) = 0 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) = 0

    Quindi, imposta ogni fattore uguale a zero e risolvi.

    x + 1 = 0 oppure x − 1 = 0 oppure x + 2 = 0 oppure x − 2 = 0 x = − 1 x = 1 x = − 2 x = 2

    Risposta: Le radici sono -1, 1, -2 e 2.

    Rappresentare graficamente la funzione precedente non rientra negli scopi di questo corso. Il grafico è comunque riportato di seguito:

    Si noti che il grado del polinomio è 4 e abbiamo ottenuto quattro radici. In generale, per qualsiasi funzione polinomiale con una variabile di grado n, il teorema fondamentale dell'algebra Garantisce che ci saranno tante (o meno) radici di una funzione polinomiale con una variabile quanto il suo grado. garanzie n radici reali o meno. Abbiamo visto che molti polinomi non fattorizzano. Ciò non implica che le funzioni che coinvolgono questi polinomi non fattorizzabili non abbiano radici reali. In effetti, molte funzioni polinomiali che non fattorizzano hanno soluzioni reali. Impareremo come trovare questi tipi di radici mentre proseguiamo nel nostro studio dell'algebra.

    Esempio 10

    Trova le radici: f ( x ) = − x 2 + 10 x − 25 .

    Per trovare le radici impostiamo la funzione uguale a zero e risolviamo.

    f ( x ) = 0 − x 2 + 10 x − 25 = 0 − ( x 2 − 10 x + 25 ) = 0 − ( x − 5 ) ( x − 5 ) = 0

    Quindi, imposta ogni fattore variabile uguale a zero e risolvi.

    x − 5 = 0 oppure x − 5 = 0 = 5 x = 5

    Una soluzione ripetuta due volte è detta radice doppia Una radice ripetuta due volte. . In questo caso, c'è solo una soluzione.

    L'esempio precedente mostra che una funzione di grado 2 può avere una radice. Dalla fase di fattorizzazione, vediamo che la funzione può essere scritta

    In questa forma, possiamo vedere una riflessione sul X-asse e uno spostamento a destra di 5 unità. Il vertice è il X-intercept, che illustra il fatto che esiste una sola radice.

    Prova questo! Trova le radici di f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − x − 3 .

    Esempio 11

    Assumendo condizioni stradali asciutte e tempi medi di reazione, la distanza di sicurezza in piedi è data da d ( x ) = 1 20 x 2 + x , dove X rappresenta la velocità dell'auto in miglia orarie. Determina la velocità di sicurezza dell'auto se prevedi di fermarti tra 40 piedi.

    Ci viene chiesto di trovare la velocità X dove la distanza di arresto di sicurezza d ( x ) = 40 piedi.

    d ( x ) = 40 1 20 x 2 + x = 40

    Per risolvere X, riscrivi l'equazione risultante in forma standard. In questo caso, prima moltiplichiamo entrambi i membri per 20 per cancellare la frazione.

    20 ( 1 20 x 2 + x ) = 20 ( 40 ) x 2 + 20 x = 800 x 2 + 20 x − 800 = 0

    Fattore successivo e quindi impostare ciascun fattore uguale a zero.

    x 2 + 20 x − 800 = 0 ( x + 40 ) ( x − 20 ) = 0 x + 40 = 0 o x − 20 = 0 x = − 40 x = 20

    La risposta negativa non ha senso nel contesto di questo problema. Considera x = 20 miglia orarie come l'unica soluzione.


    Rappresentazione grafica delle funzioni polinomiali

    Per rappresentare graficamente una funzione polinomiale:
    1. Trovare la X-intercetta.
    2. Crea una tabella di valori intorno a X-intercetta.
    3. Traccia i punti.
    4. Disegna una curva uniforme attraverso i punti assicurandoti che il comportamento finale sia corretto.

    Esempio 8: Rappresentazione grafica di una funzione polinomiale

    Grafico f(X) = −X 3 + 4X.

    Soluzione

    Trovare la X-intercetta ponendo la funzione uguale a zero e scomponendo.

    0 = −X(X − 2)(X + 2)

    X = 0 o X − 2 = 0 o X + 2 = 0

    X = 0 o X = 2 o X = −2

    Il X-intercette sono (-2, 0), (0, 0) e (2, 0). Crea una tabella di valori intorno a X-intercetta.

    X &meno4 &meno3 &meno2 &meno1 0 1 2 3 4
    48 15 0 −3 0 3 0 −15 −48

    Traccia i punti e disegna una curva liscia. Il coefficiente principale è negativo (-1) e il grado è dispari (3), quindi il comportamento finale dovrebbe salire a sinistra e scendere a destra.

    Figura 8: f(X) = −X 3 + 4X

    Provalo 5
    Risposta

    Accedi a queste risorse online per ulteriori istruzioni e per esercitarti con le funzioni di potenza e polinomio.

    Funzioni polinomiali:

    Permettere n essere un numero intero non negativo. A è una funzione che può essere scritta nella forma

    f(X) = unnx n + &ctdot + un2X 2 + un1X + un0

    • Ogni unio è a e può essere qualsiasi numero reale.
    • unn ≠ 0.
    • Ogni prodotto unioXio è a di una funzione polinomiale.
    Terminologia delle funzioni polinomiali
    • : I termini sono scritti dall'esponente più alto a quello più basso sulla variabile.
    • : Esponente più alto sulla variabile.
    • : Coefficiente del termine contenente il massimo esponente della variabile.
    Grafici di polinomi
    1. Il -intercetta è il punto in cui il grafico incrocia il -asse e può essere trovato sostituendo X = 0.
    2. Il X-le intercettazioni sono i punti in cui il grafico incrocia il X-asse e può essere trovato rendendo la funzione uguale a zero e risolvendo per X.
      • Ci sono al massimo lo stesso numero di X-intercette come grado della funzione.
      • Il X-le intercettazioni rivelano molte altre cose sulla funzione.
        1. Se f(K) = 0, quindi K è uno zero di f.
        2. Se K è uno zero, allora è una soluzione a f(X) = 0.
        3. Se K è uno zero, allora (XK) è un fattore di f.
        4. Se K è uno zero reale, allora (K, 0) è a X-intercettare.
        • Se il grafico incrocia il X-axis, allora lo zero e il fattore si verificano un numero dispari di volte.
        • Se il grafico tocca il X-asse senza attraversarlo, allora lo zero e il fattore si verificano un numero pari di volte.
        • Il numero di volte in cui si verificano lo zero e il fattore è chiamato zero. La molteplicità totale dovrebbe essere uguale al grado della funzione.
        Per rappresentare graficamente una funzione polinomiale:
        1. Trovare la X-intercetta.
        2. Crea una tabella di valori intorno a X-intercetta.
        3. Traccia i punti.
        4. Disegna una curva uniforme attraverso i punti assicurandoti che il comportamento finale sia corretto.

        Algebra

        Usa il teorema della radice razionale per elencare tutte le possibili radici razionali per l'equazione. X^3+2x-9=0. Usa il teorema della radice razionale per elencare tutte le possibili radici razionali per l'equazione. 3X^3+9x-6=0. Una funzione polinomiale P(x) con

        Trova un'equazione quadratica con coefficienti integrali con radici 1/2 e -5/2.

        Algebra

        se un'equazione quadratica con coefficienti reali ha un discriminante di 10, che tipo di radici ha? A-2 radici reali, razionali B-2 radici reali, irrazionali C-1 radici reali, irrazionali D-2 radici immaginarie

        Un portagioie è progettato in modo tale che la sua lunghezza sia il doppio della sua larghezza e la sua profondità sia di 2 pollici inferiore alla sua larghezza. Il volume della scatola è di 64 pollici cubi. Usa la divisione sintetica per trovare le radici dell'equazione polinomiale. Siamo

        Una funzione polinomiale a coefficienti razionali ha i seguenti zeri. Trova tutti gli zeri aggiuntivi. 2, -2 + ã10

        Algebra

        Trova un'equazione quadratica con coefficienti interi le cui radici sono 2 e7.

        Algebra

        Radicale e Esponente Razionale trova radici radici quadrate di 12a^3/25=6a^3 -3-radici quadrate 18/-6=-1 controlla questo per me trova le radici del problema.

        Trova il discriminante per l'equazione quadratica f(x) = 5x^2 - 2x + 7 e descrivi la natura delle radici. discriminante è 144, un discriminante radice reale è -136, due radici complesse

        Polinomi

        Riesci a trovare il polinomio di quarto grado a coefficienti interi che ha dato radici per 2i e 4-i

        Algebra

        Qualcuno sa dirmi come ha avuto la risposta? Trova un'equazione polinomiale con coefficienti reali che abbia le radici date. 4i, sqrt5 la mia risposta: x^4-22x^2+80=0 risposta corretta: x^4+11x^2-80=0

        Dato che l'equazione x(x-2p)=q(x-p) ha radici reali per tutti i valori reali di peq. Se q=3, trova un valore diverso da zero per p in modo che le radici siano razionali.

        Pre-calcolo

        Elenca le possibili radici razionali di ciascuna equazione. Quindi determinare le radici razionali. 6x^4+35x^3-x^2-7x-1 La risposta alla fine del libro è: -1/3 e 1/2 So che dovrei usare la regola dei segni di Cartesio. l'ho trovato


        MathHelp.com

        Eccellente! Così X = 1 è uno degli zeri. Provando X = &ndash1 , ottengo:

        1 &ndash 9 + 11 + 22 &ndash 9 + 11 + 21 = 48 =

        Ok, quindi uno non è uno zero. Ma, per ridurre il mio polinomio di un fattore corrispondente a questo zero, farò la mia prima divisione sintetica:

        Quindi il mio polinomio ridotto è l'equazione:

        Questo è così brutto. proverò il trucco con X = 1 di nuovo, nel caso in cui sia una radice due volte:

        Bello! Ok, ecco la mia seconda divisione sintetica:

        Tutto a posto. La mia nuova equazione polinomiale ora è:

        Tutti i coefficienti sono positivi, quindi +1 non può essere di nuovo zero. Ora è il momento del test sulle radici razionali:

        Hm. Ho già grattato direttamente ±1. Poiché tutti i coefficienti sono positivi, allora so che anche +3, +7 e +21 sono fuori. Preferirei rimanere piccolo, se posso, quindi proverò &ndash3 dopo:

        Quindi ora la mia equazione polinomiale è:

        Da questo polinomio ridotto, posso vedere che posso depennare &ndash21 e &ndash3 dall'elenco delle possibili radici che chiaramente non funzioneranno in questo polinomio ridotto. Quindi immagino di essere rimasto con &ndash7 :

        E ora sono ridotto a un quadratico, che posso facilmente risolvere:

        Poiché c'è un meno all'interno del radicale, so che le soluzioni di questo quadratico sono numeri complessi che non ha zeri reali. Poiché hanno chiesto solo le radici a valori reali del polinomio originale, posso ignorare questi ultimi due zeri. Allora la mia risposta è:

        Non ho controllato il grafico quando ho fatto quanto sopra, ma conferma la mia risposta:

        Le intercettazioni a X = &ndash7 e at X = &ndash3 sono chiari. L'intercettazione a X = 1 è chiaramente ripetuto, a causa di come la curva rimbalza sul X -axis a questo punto, e torna indietro nel modo in cui è venuto.

        Nota: il grafico di questo polinomio è così ripido in alcuni punti che a volte è scomparso nel mio software di grafica. Ho dovuto giocherellare con i valori degli assi e le dimensioni della finestra per visualizzare l'intera curva. Quando usi la calcolatrice, non limitarti solo alla schermata predefinita per i grafici che giocano con i valori degli assi finché non ottieni un'immagine utile.

        Fattore completamente: 2X 5 e poi 3X 4 e poi 9X 3 + 3X 2 e 11X + 6

        Mi hanno dato un'espressione piuttosto che un'equazione e mi hanno detto di fattorizzare. Quindi troverò fattori piuttosto che X -valori, e dovrò tenere traccia di tutto ciò che tiro fuori, dall'inizio alla fine.

        Non esiste un fattore comune a tutti i termini, quindi non c'è ancora nulla da tirare fuori. Controllerò gli zeri dell'equazione polinomiale associata (impostando l'espressione originale uguale a zero) e vedrò cosa riesco a trovare. Quindi convertirò gli zeri in fattori e li tirerò fuori.

        Per prima cosa, proverò la solita scorciatoia con ±1 prima positiva:

        Nessuna gioia. ora provo con il negativo:

        È anche peggio. Ok, ora userò il Rational Roots Test per creare un elenco di valori forse-soluzione:

        So già che posso ignorare ±1 . La regola dei segni di Cartesio mi dice che ci saranno quattro, due o zero radici positive e una radice negativa (definita). Quindi inizierò con gli interi negativi:

        Ok, l'ho trovato X = &ndash2 è una radice, il che significa che X + 2 è un fattore. Inoltre, ho ridotto l'espressione che deve ancora essere scomposta in fattori:

        Il termine costante è 3 , quindi so che ±2 non può essere una soluzione a ciò che resta, né può ±6 . Inoltre, ho già trovato l'uno zero negativo. Quindi questo mi lascia con:

        Sto cercando di evitare le frazioni, quindi proverò l'ultima possibilità intera:

        L'ultima riga sopra è un polinomio a quattro termini che sembra possa essere scomposto in coppie:

        Il fattore quadratico è la somma dei quadrati, quindi non è fattorizzabile. Ciò significa che ho finito e la mia fattorizzazione completa è:

        Il metodo per rispondere ai due esercizi sopra è il metodo che ho imparato, ai tempi antichi, quando i dinosauri governavano il mondo e le calcolatrici erano fatte con pelli d'orso e coltelli di pietra. Probabilmente è almeno simile al metodo che hai visto nel tuo libro, e il tuo istruttore probabilmente si aspetta che tu mostri un lavoro sulla falsariga di quello che ho fatto sopra.

        Tuttavia, se hai una calcolatrice grafica (e quasi tutti lo fanno, al giorno d'oggi), puoi evitare di sprecare così tanto tempo su valori forse-soluzione che si rivelano non funzionare.

        Trova tutti gli zeri di sì = 8X 5 & ​​ndash 58X 4 + 137X 3 e 118X 2 + 33X + 18

        Prima di fare qualsiasi altra cosa, farò un rapido grafico:

        Guardando il grafico, so per controllare X = 3 due volte:

        Il polinomio originale era di grado cinque. Ho trovato uno zero di molteplicità due, che lascia al massimo altri tre zeri. Guardando il polinomio rappresentato dall'ultima riga sopra, il Test delle Radici Razionali dice che gli eventuali zeri "nice" rimanenti saranno tra questi:

        Chiaramente, non ci sono altri zeri positivi. Sul lato negativo, il grafico suggerisce che l'unico valore rimasto che dovrei probabilmente controllare è:

        Ora posso vedere che c'è un fattore comune di quattro che può essere diviso e scartato, lasciandomi con:

        Mi hanno chiesto tutti gli zeri, non solo quelli a valori reali, quindi devo includere queste due radici che non compaiono sul grafico. Tuttavia, controllando prima il grafico, sono stato in grado di risparmiare molto tempo nell'arrivare alla mia risposta:

        Esiste una variante di questi esercizi, in cui forniscono uno o più fattori (di un'espressione) o zeri (di un'equazione o una funzione) e vogliono che tu trovi il resto. Ho esempi di come funziona nell'ultima pagina della lezione sulla divisione sintetica. Vari esercizi sono spesso un po' più complicati e, per rispondere, ci si aspetta che tu abbia una comprensione più profonda di come la Formula Quadratica generi soluzioni a coppie, a causa del " ± ". Altrimenti, funzionano più o meno allo stesso modo.


        Guarda il video: Equazioni polinomiali e problemi esercizi svolti (Settembre 2021).