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14.0: Introduzione - Matematica


Ordine del giorno della lezione di oggi (80 minuti)

  1. (20 minuti) Revisione del compito pre-classe

  2. (20 minuti) Trasformazioni affini

  3. (20 minuti) Frattali


Lezioni di matematica spaziale¶

Il pacchetto fornisce classi per rappresentare la posa e l'orientamento nello spazio 3D e 2D:

Le classi aggiuntive includono:

Quaternion un quaternione generale e classe genitore di UnitQuaternion

Plucker per rappresentare una linea nello spazio 3D

Piano per rappresentare un piano nello spazio 3D

Queste classi astraggono e implementano operazioni appropriate per i seguenti gruppi:

trasformazione a corpo rigido in 3D

trasformazione a corpo rigido in 2D

Oltre ai meriti delle classi sopra delineate, le classi assicurano che il valore numerico sia sempre valido perché i vincoli (es. ortogonalità, norma unitaria) vengono applicati quando l'oggetto viene costruito. Per esempio:

La sicurezza del tipo e la validità del tipo sono particolarmente importanti quando abbiamo a che fare con una sequenza di valori. Nella robotica abbiamo spesso a che fare con una molteplicità di oggetti (pose, macchine fotografiche), o una traiettoria di oggetti che si muovono nel tempo. Tuttavia un elenco di questi elementi, ad esempio:

ha l'elenco dei tipi e non è garantito che gli elementi siano omogenei, ad es. un elenco potrebbe contenere una combinazione di classi. Ciò richiede un'attenta codifica o un codice utente aggiuntivo per verificare la validità di tutti gli elementi nell'elenco. Potremmo creare un array NumPy di ​​questi oggetti, il vantaggio è che potrebbe essere più che unidimensionale, ma ancora una volta NumPy non impone l'omogeneità degli oggetti all'interno di un array (con dtype='O' ).

Il pacchetto Spatial Math fornisce un elenco di queste classi super poteri in modo che, ad esempio, un singolo oggetto SE3 possa contenere una sequenza di valori SE(3):

Le classi formano una ricca gerarchia

Alla fine ereditano tutti dalle collezioni. UserList e hanno tutte le funzionalità degli elenchi Python, e questo è discusso ulteriormente nella sezione Capacità elenco Gli oggetti posa sono una sottoclasse di elenco quindi possiamo indicizzarlo o affettarlo come faremmo con un elenco, ma il risultato appartiene sempre alla classe da cui è stata affettata.

Operatori per posa oggetti¶

Operazioni di gruppo¶

Le classi rappresentano gruppi matematici e vengono applicate le regole aritmetiche di gruppo. L'operatore * indica la composizione e il risultato sarà dello stesso tipo dell'operando:

L'implementazione della composizione dipende dalla classe:

per SO(n) e SE(n) la composizione è la moltiplicazione imatrice dei valori della matrice sottostante,

per la composizione unità-quaternioni è il prodotto di Hamilton del valore del vettore sottostante,

per i torsioni è il logaritmo del prodotto dell'elevamento a potenza dei due torsioni

L'operatore ** denota una composizione ripetuta, quindi l'esponente deve essere un numero intero. Se l'esponente negativo viene eseguita la moltiplicazione ripetuta, viene preso l'inverso.

Il gruppo inverso è dato dal metodo inv():

e / denota la moltiplicazione per l'inverso:

Trasformazione vettoriale¶

Le classi SE3 , SO3 , SE2 , SO2 e UnitQuaternion supportano la trasformazione del vettore durante la premoltiplicazione di un vettore (o un insieme di vettori per colonne in un array NumPy) utilizzando l'operatore *. Questa è o rotazione intorno all'origine (per SO3, SO2 e UnitQuaternion) o rotazione e traslazione (SE3, SE2). L'implementazione dipende dalla classe dell'oggetto coinvolto:

per UnitQuaternion questo viene eseguito direttamente utilizzando i prodotti Hamilton (q circ mathring circ q^<-1>) .

per SO3 e SO2 questo è un prodotto vettore matrice

per SE3 e SE2 questo è un prodotto matrice-vettore con i vettori che vengono prima convertiti in forma omogenea e il risultato riconvertito in forma euclidea.

Operazioni non di gruppo¶

Addizione, sottrazione e moltiplicazione scalare non sono operazioni di gruppo definite, quindi il risultato sarà un array NumPy piuttosto che una classe. Le operazioni vengono eseguite elementwise, ad esempio:

oppure, nel caso di uno scalare, trasmettere a ciascun elemento:

L'eccezione è la classe Quaternion che li supporta poiché un quaternione è un anello non un gruppo:

Confronta questo con il caso del quaternione unitario:

Notando che i quaternioni unitari sono indicati da delimitatori di parentesi angolari doppie della loro parte vettoriale, mentre un quaternione generale utilizza parentesi angolari singole. Il prodotto di un quaternione generale e un quaternione unitario è sempre un quaternione generale.

Visualizzazione dei valori¶

Ogni classe ha una rappresentazione di testo compatta tramite il suo metodo __repr__ e il suo metodo str(). I metodi printline() stampano una riga singola per l'elenco tabulare nella console, file e restituisce una stringa:

Le classi SE3 , SO3 , SE2 e SO2 possono fornire un output di testo colorato alla console:

con elementi rotazionali in rosso, elementi traslazionali in blu e costanti in grigio.

I colori di primo piano e di sfondo possono essere controllati utilizzando le seguenti variabili di classe per le sottoclassi BasePoseMatrix

Colore di primo piano della sottomatrice di rotazione

Colore di primo piano della sottomatrice di rotazione

Colore di primo piano degli elementi costanti della matrice

Colore di sfondo della matrice

Primo piano, colore di sfondo del tag indice

Stringa di formato per ogni elemento della matrice

Sopprimere piccolo valori, impostati a zero

Soglia per piccolo valori in unità eps

Visualizza come matrice con parentesi

o per sopprimere il colore, magari per l'inclusione nella documentazione:

Grafica¶

Ogni classe ha un metodo di stampa che mostra la posa corrispondente come una cornice di coordinate, ad esempio:

e ci sono molte opzioni di visualizzazione.

Il metodo animate anima il movimento del fotogramma delle coordinate dalla posa nulla, ad esempio:

Costruttori¶

Il costruttore per ogni classe può accettare:

nessun argomento, nel qual caso viene creato l'elemento identità:

valori specifici della classe, ad es. SE2(x, y, theta) o SE3(x, y, z) , ad esempio:

un valore numerico per la classe come array NumPy o elenco 1D o tupla di cui verrà verificata la validità:

un elenco di valori numerici, ciascuno dei quali verrà verificato per la validità:

Altri costruttori sono implementati come metodi di classe e sono comuni a SE3 , SO3 , Twist3 , SE2 , SO2 Twist2 e UnitQuaternion e iniziano con una lettera maiuscola:

Rotazione pura attorno all'asse x

Rotazione pura attorno all'asse y

Rotazione pura attorno all'asse z

specificati come angoli di rollio-pitch-yaw

specificato come angoli di Eulero

specificato come asse di rotazione e angolo di rotazione

specificato come matrice se(2) o se(3)

Capacità di elenco¶

Ognuna di queste classi di oggetti ha UserList come classe base, il che significa che eredita tutte le funzionalità di una lista Python

dove ogni elemento è un oggetto della stessa classe da cui è stato estratto. È disponibile anche la notazione delle sezioni, ad es. R[0:-1:3] è una nuova istanza SO3 contenente ogni terzo elemento di R .

In particolare supporta l'iterazione che consente il ciclo e la comprensione:

Le funzioni utili che possono essere utilizzate su tali oggetti includono

Cancella tutti gli elementi, l'oggetto ora ha lunghezza zero

Aggiungi un elenco di oggetti di posa dello stesso tipo

Restituisce il numero di elementi

Mappa una funzione di ogni elemento

Rimuovi il primo elemento e restituiscilo

Indice da un oggetto fetta

Vettorizzazione¶

Per la maggior parte dei metodi, se applicati a un oggetto che contiene N elementi, il risultato sarà il tipo di oggetto restituito appropriato con N elementi. In MATLAB questo è indicato come vettorizzazione e in NumPy come trasmissione.

La maggior parte delle operazioni binarie sono vettorializzate: * , *= , ** , / , /= , + , += , - , -= , == , != . Per il caso:

le lunghezze degli operandi e i risultati sono dati da

Qualsiasi altra combinazione di lunghezze non è consentita e genererà un'eccezione ValueError.

Gli oggetti Plucker supportano ^ e | operatori per testare rispettivamente l'intersezione e la parallelità.

Gli oggetti della sottoclasse SpatialVector supportano l'operatore ^ per indicare il prodotto incrociato del vettore spaziale.

Operazioni simboliche¶

Il Toolbox supporta SymPy che fornisce un potente supporto simbolico per Python e funziona bene insieme a NumPy, ad es. un array NumPy può contenere elementi simbolici. Molti metodi e funzioni di Toolbox contengono logica aggiuntiva per garantire che le operazioni simboliche funzionino come previsto. Anche se questo aumenta anche il sovraccarico, significa che per l'utente, lavorare con i simboli è facile come lavorare con i numeri. Per esempio:

SymPy consente di convertire qualsiasi espressione in codice eseguibile in una varietà di linguaggi tra cui C, Python e Octave/MATLAB.

Implementazione¶

__mul__ , __rmul__

__truediv__

__Inserisci__, __radd__

__sub__, __rsub__

Questa documentazione in linea include solo il metodo mostrato in grassetto. Gli altri metodi correlati invocano tutti quel metodo.


Matematica Major

Matricola
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 1011MATEMATICA 1664
MATEMATICA 1654Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3
INGLESE 1503Scelta delle scienze naturali Natural4
LIB 1601Scelta delle scienze sociali3
Scelta delle scienze naturali Natural4
elettivi3
16 14
secondo anno
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 2013MATEMATICA 266 o 2673-4
MATEMATICA 2654MATEMATICA 3174
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3INGLESE 2503
Scelta delle scienze sociali3Scelta delle scienze sociali3
elettivi3
16 13-14
Junior
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
Corso di sequenza di MATEMATICA I3Corso di sequenza di MATEMATICA II3
MATH 301 o 4143MATH 414 o 3013
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3Scelta della comunicazione3
Elettivi/Lingua mondiale6Elettivi/Lingua mondiale6
15 15
Anziano
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 300+3MATEMATICA 300+6
MATEMATICA 4922elettivi9
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3
elettivi6
14 15

Laurea in matematica con certificato di scienze attuariali

Matricola
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 1011MATEMATICA 1664
MATEMATICA 1654ECON 1023
INGLESE 1503STAT 2263
LIB 1601ACCT 2843
ECON 1013elettivi3
elettivi3
15 16
secondo anno
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 2013MATEMATICA 2403
MATEMATICA 2654MATEMATICA 3174
FIN 3013INGLESE 2503
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3PINNA 3203
elettivi3Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3
16 16
Junior
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
STAT 3414FIN 4243
STAT 301 o 3263-4STAT 3424
Scelta delle scienze naturali Natural4Scelta della comunicazione3
Elettivi/Lingua mondiale3Scelta delle scienze naturali Natural4
Elettivi/Lingua mondiale3
14-15 17
Anziano
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 4143MATEMATICA 4423
MATEMATICA 4413MATEMATICA 4922
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3Scelta delle scienze sociali3
elettivi6elettivi6
15 14

Laurea Magistrale in Matematica con Applicazioni

Matricola
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 1011MATEMATICA 1664
MATEMATICA 1654Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3
INGLESE 1503Scelta delle scienze naturali Natural4
LIB 1601Scelta delle scienze sociali3
Scelta delle scienze naturali Natural4Area di specializzazione Prereq.3
Area di specializzazione Prereq.3
16 17
secondo anno
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 2013MATEMATICA 266 o 2673-4
MATEMATICA 2654MATEMATICA 3174
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3INGLESE 2503
Scelta delle scienze sociali3Scelta delle scienze sociali3
Area di specializzazione Prereq.3
16 13-14
Junior
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATH 300+ o MATH 3043MATH 300+ o MATH 3143
Area di specializzazione 300+3Area di specializzazione 300+3
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3Scelta della comunicazione3
Elettivi/Lingua mondiale6Elettivi/Lingua mondiale6
15 15
Anziano
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 300+3MATEMATICA 300+3
Area di specializzazione 300+3MATEMATICA 4922
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3Area di specializzazione 300+3
elettivi6elettivi6
15 14

Matematica Major per la preparazione degli insegnanti

Matricola
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 1011MATEMATICA 1664
MATEMATICA 1654STAT 2014
INGLESE 1503EDUC 2031
LIB 1601EDUC 2191
PSYCH 230 o HD FS 1023EDUC 280J1
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3Scelta delle arti e delle discipline umanistiche6
15 17
secondo anno
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 2013MATEMATICA 266 o 2673-4
MATEMATICA 2654MATEMATICA 3174
INGLESE 2503PSICHIA 3333
EDUC 2043COM S 107, 207 o 2273-4
EDUC 3031Scelta delle scienze naturali Natural4
Scelta delle scienze naturali Natural4
18 17-19
Junior
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 3013MATEMATICA 3973
MATEMATICA 3414MATEMATICA 4363
MATEMATICA 4353EDUC 280A1-2
EDUC 4063EDUC 4031
Scelta della comunicazione3SP ED 4013
Scelta delle scienze sociali3
16 14-15
Anziano
AutunnoCreditiPrimaveraCrediti
MATEMATICA 4143EDUC 417C0
MATEMATICA 4973
EDUC 3953
EDUC 480C0.5-2
Scelta delle arti e delle discipline umanistiche3
12.5-14 0

Contenuti

Quando la divisione è spiegata a livello di aritmetica elementare, è spesso considerata come la suddivisione di un insieme di oggetti in parti uguali. Ad esempio, considera di avere dieci cookie e questi cookie devono essere distribuiti equamente a cinque persone a un tavolo. Ogni persona riceverà 10 5 = 2 <5>>=2> cookie. Allo stesso modo, se ci sono dieci cookie e solo una persona al tavolo, quella persona riceverà 10 1 = 10 <1>>=10> cookie.

Quindi, dividendo per zero, qual è il numero di cookie che ogni persona riceve quando 10 cookie sono distribuiti equamente tra 0 persone a un tavolo? Alcune parole possono essere individuate nella domanda per evidenziare il problema. Il problema con questa domanda è il "quando". Non c'è modo di distribuire 10 cookie a nessuno. Quindi 10 0 <0>>> , almeno nell'aritmetica elementare, si dice che sia privo di significato o indefinito.

Il Brāhmasphuasiddhānta di Brahmagupta (c. 598-668) è il primo testo a trattare lo zero come un numero a sé stante e a definire operazioni che coinvolgono lo zero. [3] L'autore non ha saputo spiegare la divisione per zero nei suoi testi: si può facilmente dimostrare che la sua definizione conduce ad assurdità algebriche. Secondo Brahmagupta,

Un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione con lo zero come denominatore. Lo zero diviso per un numero negativo o positivo è zero o è espresso come frazione con zero come numeratore e la quantità finita come denominatore. Zero diviso zero è zero.

Nell'830, Mahāvīra tentò senza successo di correggere l'errore di Brahmagupta nel suo libro in Ganita Sara Samgraha: "Un numero rimane invariato quando diviso per zero." [3]

Le quattro operazioni di base - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione - applicate ai numeri interi (interi positivi), con alcune restrizioni, nell'aritmetica elementare vengono utilizzate come struttura per supportare l'estensione del regno dei numeri a cui si applicano. Ad esempio, per poter sottrarre un numero intero da un altro, il regno dei numeri deve essere esteso all'intero insieme di interi per incorporare gli interi negativi. Allo stesso modo, per supportare la divisione di qualsiasi intero per qualsiasi altro, il regno dei numeri deve espandersi ai numeri razionali. Durante questo graduale ampliamento del sistema di numerazione, si ha cura di garantire che le "operazioni estese", quando applicate ai numeri più vecchi, non producano risultati diversi. In parole povere, poiché la divisione per zero non ha significato (è non definito) nell'impostazione del numero intero, ciò rimane vero poiché l'impostazione si espande ai numeri reali o addirittura complessi.

Man mano che il regno dei numeri a cui possono essere applicate queste operazioni si espande, cambiano anche le modalità di visualizzazione delle operazioni. Ad esempio, nel regno degli interi, la sottrazione non è più considerata un'operazione di base poiché può essere sostituita dall'aggiunta di numeri con segno. [4] Allo stesso modo, quando il regno dei numeri si espande per includere i numeri razionali, la divisione viene sostituita dalla moltiplicazione per alcuni numeri razionali. In linea con questo cambio di prospettiva, la domanda: "Perché non possiamo dividere per zero?", diventa "Perché un numero razionale non può avere denominatore zero?". Rispondere a questa domanda rivista richiede precisamente un attento esame della definizione di numeri razionali.

Nell'approccio moderno alla costruzione del campo dei numeri reali, i numeri razionali appaiono come una tappa intermedia nello sviluppo che si fonda sulla teoria degli insiemi. In primo luogo, i numeri naturali (incluso lo zero) sono stabiliti su una base assiomatica come il sistema di assiomi di Peano e poi questo viene espanso all'anello degli interi. Il passo successivo è definire i numeri razionali tenendo presente che ciò deve essere fatto utilizzando solo gli insiemi e le operazioni già stabilite, ovvero addizione, moltiplicazione e interi. Partendo dall'insieme di coppie ordinate di interi, <(un, B) > con B ≠ 0 , definisci una relazione binaria su questo insieme da (un, B) ≃ (C, D) se e solo se anno Domini = avanti Cristo . Questa relazione viene mostrata come una relazione di equivalenza e le sue classi di equivalenza vengono quindi definite come i numeri razionali. È nella prova formale che questa relazione è una relazione di equivalenza che è necessario il requisito che la seconda coordinata non sia zero (per verificare la transitività). [5] [6] [7]

La spiegazione di cui sopra può essere troppo astratta e tecnica per molti scopi, ma se si assume l'esistenza e le proprietà dei numeri razionali, come si fa comunemente nella matematica elementare, la "ragione" per cui non è consentita la divisione per zero è nascosta alla vista. Tuttavia, in questo contesto può essere fornita una giustificazione (non rigorosa).

Divisione come inverso della moltiplicazione Modifica

Il concetto che spiega la divisione in algebra è che è l'inverso della moltiplicazione. Ad esempio, [9]


Astratto

Le prime abilità matematiche dei bambini si sviluppano in modo cumulativo le abilità fondamentali costituiscono una base per l'acquisizione di abilità successive. Tuttavia, anche fattori non matematici come la memoria di lavoro e le abilità linguistiche sono stati collegati allo sviluppo matematico a un livello ampio. Sfortunatamente, sono state condotte poche ricerche per valutare le relazioni specifiche di questi due fattori non matematici con aspetti individuali della prima matematica. Pertanto, l'obiettivo di questo studio era determinare se la memoria di lavoro e il linguaggio fossero correlati solo a singoli aspetti della prima matematica o correlati a molti componenti delle prime abilità matematiche. Un totale di 199 bambini della scuola materna e dell'asilo di età compresa tra 4 e 6 anni sono stati valutati su una batteria di compiti di matematica precoci, nonché su misurazioni della memoria di lavoro e del linguaggio. I risultati hanno indicato che la memoria di lavoro ha una relazione specifica solo con poche, ma di fondamentale importanza, abilità matematiche iniziali e il linguaggio ha un'ampia relazione con quasi tutte le abilità matematiche precoci.


Pubblicato da

PRESH TALWALKAR

Gestisco il canale MindYourDecisions su YouTube, che ha oltre 1 milione di iscritti e 200 milioni di visualizzazioni. Sono anche l'autore di The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Thinking e molti altri libri disponibili su Amazon.

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Passando alla storia, ho aperto il blog Mind Your Decisions nel 2007 per condividere un po' di matematica, finanza personale, pensieri personali e teoria dei giochi. È stato un bel viaggio! Ringrazio tutti coloro che hanno condiviso il mio lavoro e sono molto grato per la copertura nella stampa, inclusi gli Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics e molti altri punti vendita popolari.

Ho studiato Economia e Matematica alla Stanford University.

La gente spesso mi chiede come faccio i video. Come molti YouTuber, utilizzo software popolari per preparare i miei video. Puoi cercare tutorial sui software di animazione su YouTube per imparare a realizzare video. Preparati: l'animazione richiede tempo e il software può essere costoso!

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I migliori trucchi di matematica mentale insegna come puoi sembrare un genio della matematica risolvendo i problemi nella tua testa (valutato 4,2/5 stelle su 57 recensioni)


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Puzzle matematici Volume 2 è un libro sequel con più grandi problemi. (valutato con 4,3/5 stelle su 21 recensioni)

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Come si ricava l'equazione relativa all'inclinazione di una retta rispetto al pendio (m = tan θ)

Considera la figura seguente. Punto (x1, 0) interseca l'asse x e (x2, sì2) è un altro punto sulla linea.

Se m = 0, θ = 0 poiché la linea è orizzontale. Pertanto, il risultato è vero per le linee orizzontali poiché m = 0 = tan 0.

Se la linea ha una pendenza positiva, allora

Combinando l'equazione I e l'equazione II, otteniamo m = tan θ

Considera la figura seguente. Punto (x1, 0) interseca l'asse x e (x2, sì2) è un altro punto sulla linea.

Concetto chiave: è l'angolo di riferimento per
Pertanto, sin( θ ) = sin( θ )

ad esempio, sin (120 gradi) = sin(60 gradi) = 0,8660254038

Se sin( θ ) = sin( θ ), allora tan( θ ) = tan( θ )


Arrotondamento dei decimali al decimo più vicino

L'arrotondamento di un numero decimale o l'arrotondamento dei decimali si effettua prendendo in considerazione la cifra al centesimo. La cifra al posto di questo centesimo può avere due variazioni. Innanzitutto, se quel numero è 4 o meno, rimuovi tutte le cifre a destra della decima cifra e la parte rimanente è il risultato desiderato. Ma se quel numero è 5 o più, dobbiamo aumentare la cifra del decimo posto di 1, quindi rimuovere tutte le cifre a destra della cifra dei decimi.

Ad esempio, proviamo ad arrotondare 765.27446 ai decimi. Come possiamo vedere, la centesima cifra in 765.27446 è 7. Ora, poiché 7>5, quindi, per arrotondare questo numero al decimo posto più vicino, aggiungiamo uno alla decima cifra e cancelliamo il resto. Quindi, quando arrotondiamo 765,27446 ai decimi più vicini, il risultato sarà 765,3.


Guarda anche

  1. "algebra". Dizionario di etimologia in linea . http://www.etymonline.com/index.php?term=algebra&allowed_in_frame=0 .  
  2. ↑ (Boyer 1991, "Origins" p. 7) "È stato suggerito che sia la geometria indiana che quella egizia possano derivare da una fonte comune - una protogeometria che è collegata ai riti primitivi in ​​qualche modo allo stesso modo in cui la scienza si è sviluppata dalla mitologia e filosofia dalla teologia. Bisogna tener presente che la teoria dell'origine della geometria in una secolarizzazione della pratica rituale non è affatto stabilita. Lo sviluppo della geometria può anche essere stato stimolato dalle esigenze pratiche della costruzione e del rilevamento o da una sensazione estetica per il design e l'ordine."
  3. ↑ 3.03.13.23.3 (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "Non è certo che i termini al-jabr e muqabala significare, ma la solita interpretazione è simile a quella implicita nella traduzione sopra. La parola al-jabr presumibilmente significava qualcosa come "restauro" o "completamento" e sembra riferirsi alla trasposizione di termini sottratti all'altro lato di un'equazione, che è evidente nel trattato la parola muqabala si dice che si riferisca a "riduzione" o "bilanciamento" - cioè, la cancellazione di termini simili sui lati opposti dell'equazione".
  4. ↑ (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.180) "Si è detto che si possono riconoscere tre fasi dello sviluppo storico dell'algebra: (1) la retorica o fase iniziale, in cui tutto è scritto completamente in parole (2) uno stato sincopato o intermedio, in cui vengono adottate alcune abbreviazioni e (3) uno stadio simbolico o finale.Una tale divisione arbitraria dello sviluppo dell'algebra in tre stadi è, naturalmente, una facile semplificazione eccessiva, ma può servire efficacemente come prima approssimazione a quanto accaduto""
  5. ↑ (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 32) "Fino ai tempi moderni non si pensava di risolvere un'equazione quadratica della forma , dove p e q sono positivi, poiché l'equazione non ha radice positiva. Di conseguenza, le equazioni quadratiche in epoca antica e medievale - e anche nel primo periodo moderno - sono state classificate in tre tipi: (1) (2) (3)"
  6. ↑ Victor J. Katz, Bill Barton (ottobre 2007), "Fasi nella storia dell'algebra con implicazioni per l'insegnamento", Studi educativi in ​​matematica (Springer Paesi Bassi) 66 (2): 185–201, doi:10.1007/s10649-006-9023-7  
  7. Struik, Dirk J. (1987). Una concisa storia della matematica. New York: Pubblicazioni di Dover.  
  8. ↑ 8.08.18.28.38.4 (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 30) "I matematici babilonesi non esitarono a interpolare per parti proporzionali per approssimare valori intermedi. L'interpolazione lineare sembra essere stata una procedura comune nell'antica Mesopotamia e la notazione posizionale si prestava convenientemente al gioco del tre. [. ] una tavola essenziale nell'algebra babilonese questo argomento raggiunse un livello considerevolmente più alto in Mesopotamia che in Egitto. Molti testi problematici del periodo antico babilonese mostrano che la soluzione del quadratico completo a tre termini L'equazione non offriva ai babilonesi alcuna seria difficoltà, poiché erano state sviluppate operazioni algebriche flessibili: potevano trasporre termini in un'equazione aggiungendo uguali a uguali e potevano moltiplicare entrambi i membri per quantità uguali per rimuovere frazioni o eliminare fattori. (a - b) 2 potevano ottenere (a + b) 2 perché avevano familiarità con molte forme semplici di fattorizzazione. [. ] L'algebra egiziana era stata molto confusa cercato con equazioni lineari, ma i babilonesi evidentemente trovavano queste troppo elementari per molta attenzione. [. ] In un altro problema in un testo antico babilonese troviamo due equazioni lineari simultanee in due incognite, chiamate rispettivamente "primo anello d'argento" e "secondo anello d'argento"."
  9. Joyce, David E. (1995). Plimpton 322 . http://aleph0.clarku.edu/


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