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13.1E: Esercizi per la Sezione 13.1 - Matematica


Introduzione alle funzioni con valori vettoriali

1) Fornisci le funzioni componente (x=f(t)) e (y=g(t)) per la funzione a valori vettoriali (vecs r(t)=3 sec t , hat{ mathbf{i}}+2 an t ,hat{mathbf{j}}).

Risposta:
Qui possiamo dire che (f(t)=3 sec t, quad g(t)=2 an t)

quindi abbiamo (x(t)=3 sec t, quad y(t)=2 an t).

2) Dato (vecs r(t)=3 sec t hat{mathbf{i}}+2 an t hat{mathbf{j}}), trova i seguenti valori (se possibile).

  1. (vecs r(frac{pi}{4}))
  2. (vecs r(pi))
  3. (vecs r(frac{pi}{2}))

3) Disegna la curva della funzione a valori vettoriali ( vecs r(t)=3 sec t hat{mathbf{i}}+2 an t hat{mathbf{j}}) e dai la orientamento della curva. Disegna gli asintoti come guida al grafico.

Risposta:

Limiti delle funzioni a valori vettoriali

4) Valuta (lim limits_{t o 0}left(e^t hat{mathbf{i}}+frac{sin t}{t} hat{mathbf{j}}+e ^{-t} hat{mathbf{k}} ight))

5) Data la funzione a valori vettoriali (vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩) trovare i seguenti valori:

  1. (lim limits_{t o frac{pi}{4}} vecs r(t))
  2. (vecs r(frac{pi}{3}))
  3. (vecs r(t)) è continuo in (t=frac{pi}{3})?
  4. Grafico (vecs r(t)).
Risposta:

un. (⟨frac{sqrt{2}}{2},frac{sqrt{2}}{2}⟩),
B. (⟨frac{1}{2},frac{sqrt{3}}{2}⟩),
C. Sì, il limite come T approcci (mathrm{frac{pi}{3}}) è uguale a (mathrm{r(frac{pi}{3})}),
D.

6) Data la funzione a valori vettoriali (vecs r(t)=⟨t,t^2+1⟩), trovare i seguenti valori:

  1. (lim limits_{t o -3} vecs r(t))
  2. (vecs r(-3))
  3. (vecs r(t)) è continuo in (x=−3)?
  4. (vecs r(t+2)-vecs r(t))

7) Sia (vecs r(t)=e^t hat{mathbf{i}}+sin t hat{mathbf{j}}+ln t hat{mathbf{k}}) . Trova i seguenti valori:

  1. (vecs r(frac{pi}{4}))
  2. (lim limits_{t o frac{pi}{4} } vecs r(t))
  3. (vecs r(t)) è continuo in (t=frac{pi}{4})?
Risposta:
un. ⟨(e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4}))⟩;
B. ⟨(e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4}))⟩;
C. sì

Per gli esercizi 8 - 13, trova il limite delle seguenti funzioni a valori vettoriali al valore indicato di (t).

8) (lim limits_{t o 4}⟨sqrt{t-3},frac{sqrt{t}-2}{t-4}, an(frac{pi}{t} )⟩)

9) (lim limits_{t o frac{pi}{2}} vecs r(t)) for (vecs r(t)=e^t hat{mathbf{i}} +sin t hat{mathbf{j}}+ln t hat{mathbf{k}})

Risposta:
(⟨e^{frac{pi}{2}},1,ln(frac{pi}{2})⟩)

10) (lim limits_{t o infty}⟨e^{−2t},frac{2t+3}{3t−1},arctan(2t)⟩)

11) (lim limits_{t o e^2}⟨t ln (t),frac{ln t}{t^2},sqrt{ln(t^2)⟩})

Risposta:
(2e^2 hat{mathbf{i}}+frac{2}{e^4}hat{mathbf{j}}+2hat{mathbf{k}})

12) (lim limits_{t o frac{pi}{6}}⟨cos 2t,sin 2t,1⟩)

13) (lim limits_{t o infty} vecs r(t)) for (vecs r(t)=2e^{-t} mathbf{ i}+e^{-t} cappello{mathbf{j}}+ln(t-1) hat{mathbf{k}})

Risposta:
Il limite non esiste perché il limite di (ln(t−1)) quando (t) tende all'infinito non esiste.

Dominio di una funzione a valori vettoriali

Per i problemi 14 - 17, trova il dominio delle funzioni a valori vettoriali.

14) Dominio: (vecs r(t)=⟨t^2,t,sin t⟩)

15) Dominio: (vecs r(t)=⟨t^2, an t,ln t⟩)

Risposta:
( ext{D}_{vecs r} = left { t ,|, t>0,t≠(2k+1)frac{pi}{2}, , ext{ dove} , k , ext{è un numero intero} ight })

16) Dominio: (vecs r(t)=⟨t^2,sqrt{t-3},frac{3}{2t+1}⟩)

17) Dominio: (vecs r(t)=⟨csc(t),frac{1}{sqrt{t-3}}, ln(t-2)⟩)

Risposta:
( ext{D}_{vecs r} = left { t ,|, t>3,t≠npi, , ext{dove} , n , ext{è qualsiasi numero intero} ight })

18) un. Trova il dominio di (vecs r(t)=2e^{-t} hat{mathbf{i}}+e^{-t}hat{mathbf{j}}+ln(t- 1)hat{mathbf{k}}).

B. Per quali valori di (t) è (vecs r(t)=2e^{-t} hat{mathbf{i}}+e^{-t}hat{mathbf{j}} +ln(t-1)hat{mathbf{k}}) continuo?

Risposta:
un. ( ext{D}_{vecs r}: ( 1, infty ))
B. Tutto (t) tale che (t∈(1,infty))

19) Dominio: (vecs r(t)=(arccos t) , hat{mathbf{i}} + sqrt{2t−1} , hat{mathbf{j}}+ln( t) , hat{mathbf{k}})

Risposta:
( ext{D}_{vecs r}: ig[ frac{1}{2}, 1 ig])

Visualizzazione di funzioni con valori vettoriali

20) Descrivi la curva definita dalla funzione a valori vettoriali (vecs r(t)=(1+t)hat{mathbf{i}}+(2+5t)hat{mathbf{j}}+( -1+6t)hat{mathbf{k}}).

21) Sia (vecs r(t)=⟨cos t,t,sin t⟩) e usiamolo per rispondere alle seguenti domande.

  1. Per quali valori di (t) (vecs r(t)) è continuo?
  2. Disegna il grafico di (vecs r(t)).
Risposta:
un. (vecs r) è continuo per tutti i numeri reali, cioè per (t in mathbb{R}).
B. Nota che dovrebbe esserci un (z) sull'asse verticale nella sezione trasversale nell'immagine (a) sotto invece del (y).

22) Produrre uno schizzo accurato del grafico di (vecs r(t) = t^2 , hat{mathbf{i}} + t , hat{mathbf{j}}).

Nelle domande 23 - 25, usa un'utilità grafica per disegnare ciascuna delle funzioni con valori vettoriali:

23) [T] (vecs r(t)=2 cos^2 t hat{mathbf{i}}+(2-sqrt{t})hat{mathbf{j}})

Risposta:

24) [T] (vecs r(t)=⟨e^{cos (3t)},e^{-sin(t)}⟩)

25) [T] (vecs r(t)=⟨2−sin (2t),3+2 cos t⟩)

Risposta:

Trovare le equazioni in (x) e (y) per il percorso tracciato dalle funzioni con valori vettoriali

Per le domande 26-33, eliminare il parametro (t), scrivere l'equazione in coordinate cartesiane, quindi tracciare il grafico delle funzioni a valori vettoriali.

26) (vecs r(t)=2that{mathbf{i}}+t^2 hat{mathbf{j}})
(Suggerimento: Sia (x=2t) e (y=t^2). Risolvi la prima equazione per (t) in termini di (x) e sostituisci questo risultato nella seconda equazione.)

27) (vecs r(t)=t^3 hat{mathbf{i}}+2t hat{mathbf{j}})

Risposta:

(y=2sqrt[3]{x}), una variazione della funzione radice cubica

28) (vecs r(t)=sin t,hat{mathbf{i}}+cos t,hat{mathbf{j}})

29) (vecs r(t)=3cos t,hat{mathbf{i}}+3sin t,hat{mathbf{j}})

Risposta:

(x^2+y^2=9), un cerchio centrato in ((0,0)) con raggio 3 e orientamento antiorario

30) (vecs r(t)=⟨ sin t,4 cos t⟩)

31) (vecs r(t)=2sin t,hat{mathbf{i}}-3cos t,hat{mathbf{j}})

Risposta:

(frac{x^2}{4}+frac{y^2}{9}=1), un'ellisse centrata in ((0,0)) con intercetta in (x = pm2 ) e (y =pm3), e un orientamento in senso orario

32) (vecs r(t)= an t,hat{mathbf{i}}-2sec t,hat{mathbf{j}})

33) (vecs r(t)=3sec t,hat{mathbf{i}}+4 an t,hat{mathbf{j}})

Risposta:

(frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1), un'iperbole centrata in ((0,0)) con (x)-intercette ((3, 0)) e ((-3, 0)), con orientamento mostrato

Trovare una funzione con valori vettoriali per tracciare il grafico di un'equazione in (x) e (y)

Per le domande 34 - 40, trova una funzione a valori vettoriali che traccia la curva data nella direzione indicata.

34) (4x^2+9y^2=36); in senso orario e antiorario

35) (y=x^2); da sinistra a destra

Risposta:
(vecs r(t)=⟨t,t^2⟩), dove (t) aumenta

36) La linea attraverso P e Q dove P è ((1,4,−2)) e Q è ((3,9,6))

37) Il cerchio, (x^2 + y^2 = 36), orientato in senso orario, con posizione ((-6, 0)) al tempo (t = 0).

Risposta:
(vecs r(t)=-6cos t,hat{mathbf{i}}+6sin t,hat{mathbf{j}})

38) L'ellisse, (x^2 + frac{y^2}{36} = 1), orientata in senso antiorario

Risposta:
(vecs r(t)=cos t,hat{mathbf{i}}+6sin t,hat{mathbf{j}})

39) L'iperbole, (frac{y^2}{36} - x^2 = 1), il pezzo superiore è orientato da sinistra a destra

Risposta:
(vecs r(t)= an t,hat{mathbf{i}}+6sec t,hat{mathbf{j}})

40) L'iperbole, (frac{x^2}{49} - frac{y^2}{64} = 1), il pezzo destro è orientato dal basso verso l'alto

Risposta:
(vecs r(t)=7sec t,hat{mathbf{i}}+8 an t,hat{mathbf{j}})

Parametrizzare un percorso a tratti

Per le domande 41 - 44, fornire una parametrizzazione per ogni percorso a tratti. Prova a scrivere una parametrizzazione che inizi con (t = 0) e prosegua attraverso i valori di (t) mentre ti sposti da un pezzo all'altro.

41)

Risposta:
un. (vecs r_1(t)= t,hat{mathbf{i}} + t^4 ,hat{mathbf{j}}) per (0 le t le 1)
(vecs r_2(t)= -t,hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{-t} ,hat{mathbf{j}}) per (-1 le t le 0)

Quindi una parametrizzazione a tratti di questo percorso è:
(vecs r(t) = egin{casi}
t,hat{mathbf{i}} + t^4 ,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 1
left(2-t ight),hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{2-t} ,hat{mathbf{j}}, & 1 lt tle 2
end{casi})

B. (vecs r_1(t)= t,hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{t} ,hat{mathbf{j}}) per (0 le t le 1)
(vecs r_2(t)= -t,hat{mathbf{i}} + (-t)^4 ,hat{mathbf{j}}) per (-1 le t le 0)

Quindi una parametrizzazione a tratti di questo percorso è:
(vecs r(t) = egin{casi}
t,hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{t} ,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 1
left(2-t ight),hat{mathbf{i}} + left(2-t ight)^4 ,hat{mathbf{j}}, & 1 lt t le 2
end{casi})

42)

43) a. B.

Risposta:
un. (vecs r_1(t)= t,hat{mathbf{i}} +0 ,hat{mathbf{j}}) per (0 le t le 2)
(vecs r_2(t)= -t,hat{mathbf{i}} + left(2 + t ight) ,hat{mathbf{j}}) per (-2 le t le -1)
(vecs r_3(t)= -t,hat{mathbf{i}} + left(-t ight)^3 ,hat{mathbf{j}}) per (- 1 le t le 0)

Quindi una parametrizzazione a tratti di questo percorso è:
(vecs r(t) = egin{casi}
t,hat{mathbf{i}}, & 0 le t le 2
left(4-t ight),hat{mathbf{i}} + left(t-2 ight) ,hat{mathbf{j}}, & 2 lt tle 3
left(4-t ight) , hat{mathbf{i}} + left(4-t ight)^3 ,hat{mathbf{j}}, & 3 lt t le 4
end{casi})

B. (vecs r_1(t)= t,hat{mathbf{i}} + t^3 ,hat{mathbf{j}}) per (0 le t le 1)
(vecs r_2(t)= t,hat{mathbf{i}} + left(2 - t ight) ,hat{mathbf{j}}) per (1 le t le 2)
(vecs r_3(t)= -t,hat{mathbf{i}} + 0 ,hat{mathbf{j}}) per (-2 le t le 0)

Quindi una parametrizzazione a tratti di questo percorso è:
(vecs r(t) = egin{casi}
t,hat{mathbf{i}} + t^3 ,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 1
t,hat{mathbf{i}} + left(2 - t ight) ,hat{mathbf{j}}, & 1 lt tle 2
left(4-t ight) , hat{mathbf{i}}, & 2 lt tle 4
end{casi})

44)

Domande aggiuntive sulle funzioni con valori vettoriali

Per le domande 45 - 48, considera la curva descritta dalla funzione a valori vettoriali (vecs r(t)=(50e^{-t}cos t)hat{mathbf{i}}+(50e^{ −t}sin t)hat{mathbf{j}}+(5-5e^{-t})hat{mathbf{k}}).

45) Qual è il punto iniziale del percorso corrispondente a (vecs r(0))?

Risposta:
((50,0,0))

46) Cos'è (lim limits_{t o infty} vecs r(t) )?

47) [T] Usa la tecnologia per disegnare la curva.

Risposta:

48) Eliminare il parametro T per mostrare che (z=5-frac{r}{10}) dove (r^2=x^2+y^2).

49) [T] Sia (vecs r(t)=cos t hat{mathbf{i}}+sin that{mathbf{j}}+0.3 sin (2t)hat{mathbf{k} }). Usa la tecnologia per rappresentare graficamente la curva (chiamata curva delle montagne russe) nell'intervallo ([0,2pi)). Scegli almeno due viste per determinare i picchi e le valli.

Risposta:

50) [T] Usa il risultato del problema precedente per costruire un'equazione di montagne russe con una ripida discesa dalla vetta e una ripida pendenza dalla "valle". Quindi, usa la tecnologia per rappresentare graficamente l'equazione.

51) Utilizzare i risultati dei due problemi precedenti per costruire un'equazione di un percorso di montagne russe con più di due punti di svolta (picchi e valli).

Risposta:

Una possibilità è (vecs r(t)=cos t hat{mathbf{i}}+sin that{mathbf{j}}+sin (4t)hat{mathbf{k }}). Aumentando il coefficiente di (t) nella terza componente, il numero di punti di svolta aumenterà.

52) Completa la seguente indagine.

  1. Traccia la curva (vecs r(t)=(4+cos(18t))cos(t)hat{mathbf{i}}+(4+cos (18t)sin (t)) hat{mathbf{j}}+0.3 sin(18t)hat{mathbf{k}}) utilizzando due angoli di visualizzazione a tua scelta per vedere la forma complessiva della curva.
  2. La curva assomiglia a un "slinky"?
  3. Quali modifiche all'equazione dovrebbero essere apportate per aumentare il numero di bobine dello slinky?

Contributori

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con molti autori che contribuiscono. Questo contenuto di OpenStax è concesso in licenza con una licenza CC-BY-SA-NC 4.0. Scaricalo gratuitamente su http://cnx.org.

Paul Seeburger (Monroe Community College) ha modificato gli esercizi per LaTeX e ha creato #12, 14, 19, 22, 30-33, 37-44.


Retta.

Se la linea che biseca l'angolo allora &theta = 45° o 135°.

cioè y = ±x è l'equazione richiesta.

Se la linea che taglia intercetta uguale allora a = b.

Quindi, x + y = 7 è l'equazione richiesta.

Quindi, x &ndash y + 4 = 0 è l'equazione richiesta.

Quindi, x + 2y = 18 è l'equazione richiesta.

Per domanda, a + b = 14 quindi b = 14 & ndash a.

L'equazione quando a = 6 e b = 8 è:

Di nuovo, l'equazione quando a = 7 e b = 7 è:

Quindi, 4x + 3y = 24 e x + y = 7 sono le equazioni richieste.

I punti finali sulla porzione della linea negli assi sono (a,0) e (0,b). Se il punto (&ndash5,4) divide la linea che unisce (a,0),(0,b) nel rapporto 1:2.

Quindi, 5y = 8x + 60 È l'equazione richiesta.

Siano A(&ndash2,0), B(2,&ndash4),C(4,1) i vertici del triangolo.

Siano AP, BQ,RC le mediane del triangolo.

L'equazione del lato AB è, y &ndash 4= $frac<<0 - 4>><< - 2 - 2>>$ (x &ndash 2)

L'equazione del lato BC è, y &ndash 4 = $frac<<1 - 4>><<4 - 2>>$(x &ndash 2)

L'equazione della CA laterale è, y &ndash 1 =$frac<<0 - 1>><< - 2 - 4>>$(x &ndash 4)

L'equazione dell'AP mediano è, y &ndash 0 = $frac< <2>- 0>><<3 + 2>>$(x + 2).

L'equazione del BQ mediano è, y &ndash 4 = $frac< <2>- 4>><<1 - 2>>$(x &ndash 2)

L'equazione del CR mediano è, y &ndash 1 = $frac<<2 - 1>><<0 - 4>>$(x &ndash 4)

Quindi, l'equazione dei lati è: x &ndash y + 2 = 0, 3x + 2y= 14

E l'equazione delle mediane è: x &ndash 2y + 2 =0, 7x &ndash 2y = 6.

Esprimendo l'equazione 2x + 3y + k = 0 nella forma $frac<< m>><< m>> + frac<< m>><< m>>$ = 1

Quindi il triangolo sarà formato con le coordinate

Sia (x,y) divide la linea nel rapporto m1 : m2.

Che si trova la linea 3x + y = 9

Risolvendo (i) e (ii), otteniamo x = 2, y = &ndash1.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (2, &ndash1).

Mettendo questo punto in (iii), otteniamo,

Quindi, le linee date sono concorrenti.

Risolvendo (i) e (ii), si ottiene x = $frac<<27>><<17>>$, y = $frac<<32>><<17>>$.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è ($frac<<27>><<17>>$,$< m<: >>frac<<32>><<17 >>$).

Mettendo questo punto in (iii), otteniamo,

Quindi, le linee date sono concorrenti.

Risolvendo (i) e (ii), otteniamo x = 10, y = 0

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (10,0).

Mettendo questo punto in (iii), otteniamo,

Quindi, le linee date sono concorrenti.

Risolvendo (i) e (ii), otteniamo x = 1, y = &ndash1.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (1, &ndash1).

Se le linee date sono concorrenti, il punto (1, &ndash1) deve soddisfare (ii).

E il punto di concorrenza = (1, &ndash1).

Risolvendo (i) e (ii), otteniamo x = 1, y = &ndash1.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (1, &ndash1).

L'equazione della linea che unisce (1, &ndash1) e (0,0) è:

Quindi, x + y = 0 è l'equazione richiesta.

L'equazione della linea che unisce (1,&ndash1) e (3,1) è:

Quindi, x &ndash y = 2 è l'equazione richiesta.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è $left( <7>< m<: >>,frac<4><7>> ight)$ .

Che passa per $left( <7>,frac<4><7>> ight)$, quindi

Sostituendo il valore di a in (iii) otteniamo,

cioè 7x + 7y = 9 è l'equazione richiesta.

P e Q sono due punti sulla retta x &ndash y + 1 = 0.

Dalla figura, OP = OQ = 5.

Sia OR perpendicolare a PQ.

Modificando l'equazione data x &ndash y + 1 = 0 nella forma xcos&alpha + ysin&alpha = p, quindi

PQ = 2 * QR = 2 * $frac<7><>$ = 7$sqrt 2 $.

Area del triangolo OPQ = $frac<1><2>$* PQ * OR.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (1,1).

Se la linea fa angolo uguale agli assi.

cioè m = tan45° e m = tan135°.

Ora, l'equazione delle rette passanti per (1,1) con pendenza m = 1 è y &ndash 1 = 1(x &ndash 1).

Di nuovo, l'equazione delle rette passanti per (1,1) con pendenza m = &ndash1 è y &ndash 1 = &ndash1 (x &ndash 1).

Quindi, le linee richieste sono x &ndash y = 0 e x + y = 2.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (1, &ndash1).

Ora l'equazione della retta passante (1, &ndash1) e pendenza = $frac<1><2>$ è:

Quindi, x &ndash 2y = 3 è la soluzione richiesta.

Quindi, il punto di intersezione di (i) e (ii) è (11,5).

Ora l'equazione della retta passante (11,5) e pendenza = $ - frac<2><3>$ è:


13.1E: Esercizi per la Sezione 13.1 - Matematica

Abbiamo già visto che un modo conveniente per descrivere una linea in tre dimensioni è fornire un vettore che "punta a" ogni punto della linea al variare di un parametro $t$, come $langle 1,2,3 angle +tlangle 1,-2,2 angle =langle 1+t,2-2t,3+2t angle.$ Tranne che questo dà un oggetto geometrico particolarmente semplice, non c'è niente di speciale nelle singole funzioni di $ t$ che compongono le coordinate di questo vettore&mdashany vettore con un parametro, come $langle f(t),g(t),h(t) angle$, descriveranno alcune curve in tre dimensioni al variare di $t$ tutti i valori possibili.

Esempio 13.1.1 Descrivere le curve $langle cos t,sin t,0 angle$, $langle cos t,sin t,t angle$ e $langle cos t,sin t ,2t angle$.

Al variare di $t$, le prime due coordinate di tutte e tre le funzioni tracciano i punti sul cerchio unitario, partendo da $(1,0)$ quando $t=0$ e procedendo in senso antiorario attorno al cerchio come $t$ aumenta. Nel primo caso, la coordinata $z$ è sempre 0, quindi questo descrive esattamente il cerchio unitario nel piano $x$-$y$. Nel secondo caso, le coordinate $x$ e $y$ descrivono ancora un cerchio, ma ora la coordinata $z$ varia, in modo che l'altezza della curva corrisponda al valore di $t$. Quando $t=pi$, ad esempio, il vettore risultante è $langle -1,0,pi angle$. Un po' di riflessione dovrebbe convincerti che il risultato è un'elica. Nel terzo vettore, la coordinata $z$ varia due volte più velocemente del parametro $t$, quindi otteniamo un'elica allungata. Entrambi sono mostrati nella figura 13.1.1. A sinistra c'è la prima elica, mostrata per $t$ tra 0 e $4pi$ a destra c'è la seconda elica, mostrata per $t$ tra 0 e $2pi$. Entrambi iniziano e finiscono nello stesso punto, ma la prima elica impiega due "giri" completi per arrivarci, perché la sua coordinata $z$ cresce più lentamente.

Un'espressione vettoriale della forma $langle f(t),g(t),h(t) angle$ è chiamata a funzione vettoriale è una funzione dai numeri reali $R$ all'insieme di tutti i vettori tridimensionali. Possiamo alternativamente pensarlo come tre funzioni separate, $x=f(t)$, $y=g(t)$ e $z=h(t)$, che descrivono punti nello spazio. In questo caso di solito ci riferiamo all'insieme delle equazioni come equazioni parametriche per la curva, proprio come per una linea. Sebbene il parametro $t$ in una funzione vettoriale possa rappresentare una qualsiasi di una serie di quantità fisiche, o essere semplicemente un "numero puro", è spesso conveniente e utile pensare a $t$ come rappresentante del tempo. La funzione vettoriale poi ti dice dove nello spazio si trova un particolare oggetto in qualsiasi momento.

Le funzioni vettoriali possono essere difficili da capire, ovvero difficili da rappresentare. Quando disponibile, il software per computer può essere molto utile. Quando si lavora a mano, un approccio utile è considerare le "proiezioni" della curva sui tre piani di coordinate standard. Lo abbiamo già fatto in parte: nell'esempio 13.1.1 abbiamo notato che tutte e tre le curve proiettano verso un cerchio in il piano $x$-$y$, poiché $langle cos t,sin t angle$ è una funzione vettoriale bidimensionale per il cerchio unitario.

Esempio 13.1.2 Rappresentare graficamente le proiezioni di $langle cos t,sin t,2t angle$ sul piano $x$-$z$ e sul piano $y$-$z$. La funzione vettoriale bidimensionale per la proiezione sul piano $x$-$z$ è $langle cos t, 2t angle$, oppure in forma parametrica, $x=cos t$, $z=2t$. Eliminando $t$ otteniamo l'equazione $x=cos(z/2)$, la curva familiare mostrata a sinistra nella figura 13.1.2. Per la proiezione sul piano $y$-$z$ si parte dalla funzione vettoriale $langle sin t, 2t angle$, che è la stessa di $y=sin t$, $z=2t$ . Eliminando $t$ si ottiene $y=sin(z/2)$, come mostrato a destra nella figura 13.1.2.


Appunti di matematica della classe IX

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Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Deve essere realizzata una scatola di plastica lunga 1,5 m, larga 1,25 m e profonda 65 cm. È aperto in alto. Ignorando lo spessore del foglio di plastica, determinare
(i) L'area del foglio necessaria per realizzare la scatola.
(ii) Il costo del telo per esso, se un telo di 1m2 costa ₹20.
Soluzione:
(i) Qui, lunghezza (l) = 1,5 m, pane th(b) = 1 ,25 m
e altezza (h) = 65 cm = (frac < 65 >< 100 >) m = 0,65 m

∵ È aperto dall'alto.
∴ La sua superficie
= [Superficie laterale] + [Superficie base]
= [2(1 + b)h] + [libbre]
= [2(1,50 + 1,25)0,65] m2 + [1,50 x 1,25] m2
= [2 x 2,75 x 0,65] m2 + [1.875] m2
= 3.575 m2 + 1.875 m2 = 5,45 m2
∴ Area del telo necessaria per la realizzazione della scatola = 5,45 m 2

(ii) Costo del foglio da 1 m 2 = Rs. 20
Costo del foglio di 5,45 m 2 = Rs. (20x5.45)
= Rs. 109
Quindi, costo del foglio richiesto = Rs. 109

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 2.
La lunghezza, la larghezza e l'altezza di una stanza sono rispettivamente di 5 m, 4 me 3 m. Calcola il costo dell'imbiancatura delle pareti della stanza e del soffitto al tasso di ₹ 17,50 al m 2 .
Soluzione:
Lunghezza della stanza (l) = 5 m
Larghezza della stanza (b) = 4 m
Altezza della stanza (h) = 3 m
La stanza è come un parallelepipedo le cui quattro pareti (superficie laterale) e il soffitto devono essere imbiancati.
∴ Area per il lavaggio del bianco
= [Superficie laterale] + [Area del soffitto]
= [2(l + b)h] + [l x b]
= [2(5 + 4) x 3] m2 + [5 x 4] m2 = 54 m2 + 20 m2 = 74 m2
Costo del bucato per 1 m2 di superficie = Rs. 7.50
∴ Costo del bucato per 74 m 2 di superficie = Rs. (7,50 x 74) = Rs. 555
Pertanto, il costo richiesto per il lavaggio bianco = Rs. 555

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Il pavimento di un'aula rettangolare ha un perimetro di 250 m. Se il costo per dipingere le quattro pareti al ritmo di 10 per m 2 è di ₹ 15000, trova l'altezza della sala.
[Suggerimento: Area delle quattro pareti = Area della superficie laterale]
Soluzione:
Una sala rettangolare significa un parallelepipedo.
Sia l e b rispettivamente la lunghezza e la larghezza della sala.
∴ Perimetro del pavimento = 2(l + b)
2(l + b) = 250 m
∵ Area delle quattro pareti = Area laterale = 2(1 + b) x h, dove h è l'altezza della sala = 250 h m 2
Costo per dipingere le quattro pareti
= Rs. (10 x 250 ore) = Rs. 2500h
2500 h = 15000 ⇒ h = (frac < 15000 >< 2500 >) = 6
Quindi, l'altezza richiesta della sala = 6 m

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 4.
La vernice in un determinato contenitore è sufficiente per dipingere un'area pari a 9,375 m 2 . Quanti mattoni di dimensioni 22,5 cm x 10 cm x 7,5 cm possono essere dipinti da questo contenitore.
Soluzione:
Superficie totale verniciabile = 9,375 m 2
Qui, Lunghezza di un mattone (l) = 22,5 cm
Larghezza di un mattone (b) = 10 cm
Altezza di un mattone (h) = 7,5 cm
Poiché un mattone è come un parallelepipedo, allora
Superficie totale di un mattone = 2[lb + bh + hl]
= 2[(225 x 1(0) + (10 x 7,5) + (7,5 x 22,5)] cm 2
= 2[(225) + (75) + (168,75)] cm2
= 2[468,75] cm2 = 937,5 cm2 = (frac < 937,5 >< 10000 >) m2
Lascia che il numero richiesto di mattoni sia n
∴ Superficie totale di n mattoni = n x (frac < 937.5 >< 10000 >) m 2

Pertanto, il numero richiesto di mattoni = 100

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Una scatola cubica ha ogni lato 10 cm e un'altra scatola cubica è lunga 12,5 cm, larga 10 cm e alta 8 cm.
(i) Quale scatola ha la superficie laterale maggiore e di quanto?
(ii) Quale scatola ha la superficie totale più piccola e di quanto?
Soluzione:
Per la scatola cubica con bordo (a) = 10 cm
Superficie laterale = 4a 2 = 4 x 10 2 cm 2
= 400 cm2
Superficie totale = 6a 2 = 6 x 10 2 cm 2
= 600 cm2
Per la scatola cubica con dimensioni,
Lunghezza (l) = 12,5 cm,
Larghezza (b) = 10 cm,
Altezza (h) = 8 cm
∴ Superficie laterale = 2[l + b] x h = 2[12,5 + 10] x 8 cm 2 = 360 cm 2
Superficie totale = 2[lb + bh + hl]
= 2[(12,5 x 10) + (10 x 8) + (8 x 12,5)] cm 2
= 2[125 + 80 + 100] cm2
= 2[305] cm2
= 610 cm2
(i) Una scatola cubica ha la superficie laterale maggiore di (400 – 360) cm 2 = 40 cm 2 .
(ii) La superficie totale di una scatola cubica è minore della scatola cubica di (610 – 600) cm 2 = 10 cm 2 .

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 6.
Una piccola serra da interno (erbario) è composta interamente da lastre di vetro (compresa la base) tenute insieme con del nastro adesivo. È lungo 30 cm, largo 25 cm e alto 25 cm.
(i) Qual è l'area del vetro?
(ii) Quanto nastro adesivo è necessario per tutti i 12 bordi?
Soluzione:
L'erbario è come un cuboide.
Qui, lunghezza (l) = 30 cm,
larghezza (b) = 25 cm,
altezza (h) = 25 cm
(i) Superficie dell'erbario (vetro)
= 2[lb + bh + hl]
= 2[(30 x 25) + (25 x 25) + (25 x 30)] cm 2 – 2[750 + 625 + 750] cm 2
= 2[2125] cm2
= 4250 cm2
Pertanto, l'area richiesta del vetro = 4250 cm 2

(ii) Lunghezza totale di 12 spigoli = 4l + 4b + 4h
= 4(l + b + h)
= 4(30 + 25 + 25) cm
= 4 x 80 cm = 320 cm
Pertanto, la lunghezza del nastro richiesta = 320 cm

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Shanti Sweets Stall stava ordinando per fare scatole di cartone per imballare i loro dolci. Erano necessarie due dimensioni di scatole. La maggiore di dimensioni 25 cm x 20 cm x 5 cm e la minore di dimensioni 15 cm x 12 cm x 5 cm. Per tutti i sormonti è richiesto un supplemento del 5% della superficie totale. Se il costo del cartone è ₹4 per 1000 cm², trova il costo del cartone necessario per fornire 250 scatole di ogni tipo.
Soluzione:
Per scatola più grande:
Lunghezza (l) = 25 cm,
Larghezza (b) = 20 cm,
Altezza (h) = 5 cm
Superficie totale di una scatola = 2(lb + bh + hl)
= 2[(25 x 20) + (20 x 5) + (5 x t25)] cm 2
= 2 [500 + 100 + 125] cm2
= 2[725] cm2
= 1450 cm2
Superficie totale 250 scatole = (250 x 1450) cm 2 = 362500 cm 2

Per scatola più piccola:
l = 15 cm, b = 12 cm, h = 5 cm
Superficie totale di una scatola = 2 [lb + bh + hl]
= 2[(15 x 12) + (12 x 5) + (5 x 15)] cm2
= 2[180 + 60 + 75] cm2 = 2[315] cm2 = 630 cm2
∴ Superficie totale di 250 scatole = (250 x 630) cm 2 = 157500 cm 2
Ora, superficie totale di entrambi i tipi di scatole = 362500 cm 2 +157500 cm 2 = 520000 cm 2 Area per sormonti = 5% di [superficie totale]
= (frac < 5 >< 100 >) x 520000 cm2 = 26000 cm2
∴ Superficie totale del cartone richiesta = [Superficie totale 250 scatole per tipologia] + [Superficie per sormonti]
= 520000 cm2 + 26000 cm2 = 546000 cm2
∵ Costo di 1000 cm 2 di cartone = Rs. 4
∴ Costo cartone da 546000 cm 2
= Rs.(frac < 4 imes 546000 >< 1000 >) = Rs. 2184

Ex 13.1 Classe 9 Matematica Domanda 8.
Parveen ha voluto realizzare un riparo temporaneo, per la sua auto, realizzando una struttura scatolare con telone che copre tutti e quattro i lati e la parte superiore dell'auto (con la faccia anteriore come un lembo che può essere arrotolato). Assumendo che i margini di cucitura siano molto piccoli e quindi trascurabili, quanto telo occorrerebbe per realizzare la pensilina di altezza 2,5 m, con dimensioni di base 4 m x 3 m?
Soluzione:
Qui, lunghezza (l) = 4 m,
larghezza (b) = 3m
e altezza (h) = 2,5 m
La struttura è come un parallelepipedo.
∴ La superficie del parallelepipedo, esclusa la base
=[Superficie laterale] + [Area del soffitto]
= [2(l + b)h] + [lb]
= [2(4 + 3) x 2,5] m2 + [4 x 3] m2
= 35 m2 + 12 m2 = 47 m2
Pertanto, sarebbe necessario un telone di 47 m 2 .

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi (hindi medio) Ex 13.1








Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.2

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 1.
La superficie curva di un cilindro circolare retto di altezza 14 cm è 88 cm 2 . Trova il diametro della base del cilindro.
Soluzione:
Sia r il raggio del cilindro.
Qui, altezza (h) = 14 cm e superficie curva = 88 cm 2
Superficie curva di un cilindro = 2πrh
⇒ 2πrh = 88
⇒ 2 x (frac < 22 >< 7 >) x r x 14 = 88
⇒ r = (frac < 88 imes 7 >< 2 imes 22 imes 14 >) = 1 cm
∴ Diametro = 2 x r = (2 x 1) cm = 2 cm

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 2.
È necessario realizzare un serbatoio cilindrico chiuso di altezza 1 me diametro di base 140 cm da una lamiera. Quanti metri quadrati di lastra sono necessari per la stessa?
Soluzione:
Qui, altezza (h) = 1 m
Diametro della base = 140 cm = 1,40 m
Raggio (r) = (frac < 1,40 >< 2 >)m = 0,70 m
Superficie totale del cilindro = 2πr (h + r)
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 0,70(1 + 0,70)m2
= 2 x 22 x 0,10 x 1,70 m2
= 2 x 22 x (frac < 10 >< 100 >) x (frac < 170 >< 100 >)m 2
= (frac < 748 >< 100 >)m2 = 7,48m2
Quindi, il foglio richiesto = 7,48 m 2

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Un tubo di metallo è lungo 77 cm. Il diametro interno ft di una sezione trasversale è di 4 cm, il diametro esterno è di 4,4 cm (vedi figura). Trova la sua
(i) superficie interna curva.
(ii) superficie curva esterna.
(iii) superficie totale.

Soluzione:
Lunghezza del tubo metallico = 77 cm
Ha la forma di un cilindro.
∴ Altezza del cilindro (h) = 77 cm
Diametro interno = 4 cm
Raggio interno (r) = (frac < 4 >< 2 >) cm = 2 cm
Diametro esterno = 4,4 cm
⇒ Raggio esterno (R) = (frac < 4.4 >< 2 >) cm = 2.2 cm

(i) Superficie curva interna = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 2 x 77 cm 2
= 2 x 22 x 2 x 11 cm 2 = 968 cm 2

(ii) Superficie curva esterna = 2πRh

(iii) Area della superficie totale = [Area della superficie curva interna] + [Area della superficie curva esterna] + [Area di due estremità circolari]
= [2πrh] + [2πRh] + 2[π(R 2 – r 2 )]
= [968 cm 2 ] + [1064.8 cm 2 ]

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Il diametro di un rullo è di 84 cm e la sua lunghezza è di 120 cm. Sono necessarie 500 rivoluzioni complete per spostarsi una volta per livellare un parco giochi. Trova l'area del parco giochi in m 2 .
Soluzione:
Il rullo ha la forma di un cilindro di diametro = 84 cm
⇒ Raggio del rullo(r) = (frac < 84 >< 2 >) cm = 42 cm
Lunghezza del rullo (h) = 120 cm
Superficie curva del rullo = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 42 x 120 cm 2
= 2 x 22 x 6 x 120 cm 2 = 31680 cm 2
Ora, l'area del parco giochi livellata in un giro del rullo = 31680 cm 2
= (frac < 31680 >< 10000 >)m2
∴ Area del parco giochi livellata in 500
giri = 500 x (frac < 31680 >< 10000 >)m 2 = 1584m 2

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Un pilastro cilindrico ha un diametro di 50 cm e un'altezza di 3,5 m. Trova il costo della verniciatura della superficie curva del pilastro al tasso di ₹ 12,50 per m 2 .
Soluzione:
Diametro del pilastro = 50 cm
∴ Raggio (r) = (frac < 50 >< 2 >)m = 25 m = (frac < 1 >< 4 >)m
e altezza (h) = 3,5 m
Superficie curva di un pilastro = 2πrh

∴ Superficie curva da verniciare = (frac < 11 >< 2 >)m 2
∴ Costo della verniciatura del pilastro di 1 m 2 = Rs. 12.50
∴ Costo della verniciatura del pilastro (frac < 11 >< 2 >) m 2
= Rs. ( (frac < 11 >< 2 >) x 12,50 )
= Rs. 68.75.

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 6.
La superficie curva di un cilindro circolare retto è di 4,4 m2. Se il raggio della base del cilindro è 0,7 m, trova la sua altezza. L'area della superficie curva di un cilindro circolare retto è 4,4 m2. Se il raggio della base del cilindro è 0,7 m, trova la sua altezza.
Soluzione:
Raggio (r) = 0,7 m
Sia l'altezza del cilindro h m
Superficie curva di un cilindro = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x (frac < 7 >< 10 >) x hm 2
Ma la superficie curva è di 4,4 m 2 . [Dato]

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Il diametro interno di un pozzo circolare è di 3,5 m. È profondo 10 m. Trova
(i) la sua superficie curva interna.
(ii) il costo dell'intonacatura di questa superficie curva in ragione di 40 per m 2 .
Soluzione:
Hans Diametro interno del pozzo = 3,5 m
Raggio del pozzo (r) = (frac < 3.5 >< 2 >)
Altezza del pozzo (h) = 10 m
(i) Superficie curva interna = 2πrh

(ii) Costo dell'intonacatura per m 2 = Rs. 40
∴ Costo totale di intonacatura dell'area 110 m 2
= Rs. (110 x 40) = Rs. 4400

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 8.
In un impianto di riscaldamento ad acqua calda è presente un tubo cilindrico di lunghezza 28 me diametro 5 cm. Trova la superficie radiante totale nel sistema.
Soluzione:
USD Lunghezza del tubo cilindrico (h) = 28 m
Diametro del tubo = 5 cm
∴ Raggio (r) = (frac < 5 >< 2 >) cm = (frac < 5 >< 200 >) m
Superficie curva di un cilindro = 2πrh

Pertanto, la superficie radiante totale è di 4,4 m 2 .

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 9.
Trova
i) la superficie laterale o curva di un serbatoio cilindrico chiuso di stoccaggio della benzina avente un diametro di 4,2 m e un'altezza di 4,5 m.
(ii) quanto acciaio è stato effettivamente utilizzato, se (frac < 1 >< 12 >) dell'acciaio effettivamente utilizzato è stato sprecato nella realizzazione del serbatoio.
Soluzione:
Il serbatoio di stoccaggio ha la forma di un cilindro.
∴ Diametro del serbatoio = 4,2 m
⇒ Raggio (r) = (frac < 4.2 >< 2 >) = 2,1 m
Altezza (h) = 4,5 m
Ora,
(i) Superficie laterale (o curva) del serbatoio = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 2,1 x 4,5 m 2
= 2 x 22 x 0,3 x 4,5 m2 59,4 m2

(ii) Superficie totale del serbatoio = 2πr(r + h)
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 2.1(2.1 + 4.5)m 2
= 44 x 0,3 x 6,6 m2 = 87,13 m2
Sia l'area effettiva dell'acciaio utilizzato x m ​​2 m
∴ Area di acciaio sprecata = (frac < 1 >< 12 >) x x m
= (frac < x >< 12 >)m 2
Area di acciaio utilizzata = x – (frac < x >< 12 >) m 2


Pertanto, l'area richiesta dell'acciaio effettivamente utilizzato è 95,04 m 2 .

Ex 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 10.
In figura vedete la cornice di un paralume. Deve essere coperto con un panno decorativo. Il telaio ha un diametro di base di 20 cm e un'altezza di 30 cm. Lasciare un margine di 2,5 cm per piegarlo sulla parte superiore e inferiore del telaio. Trova quanta stoffa è necessaria per coprire il paralume.

Soluzione:
Il paralume è a forma di cilindro,
dove raggio (r) = (frac < 20 >< 2 >) cm = 10 cm
e altezza = 30 cm.
Un margine di 2,5 cm deve essere aggiunto alla parte superiore e inferiore del telaio.
∴ Altezza totale del cilindro, (h)
= 30 cm + 2,5 cm + 2,5 cm = 35 cm
Ora, superficie curva = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 10 x 35 cm 2
= 2200 cm2
Pertanto, l'area richiesta del tessuto = 2200 cm 2

Es 13.2 Classe 9 Matematica Domanda 11.
Agli studenti di una Vidyalaya è stato chiesto di partecipare a un concorso per realizzare e decorare portapenne a forma di cilindro con base, utilizzando del cartone. Ogni portapenne doveva avere raggio 3 cm e altezza 10,5 cm. Il Vidyalaya doveva rifornire i concorrenti di cartone. Se i concorrenti erano 35, quanto cartone era necessario acquistare per la competizione?
Soluzione:
Qui, i portapenne sono a forma di cilindro.
Raggio di un portapenne (r) = 3 cm
Altezza di un portapenne (h) = 10,5 cm
Poiché, un portapenne deve essere aperto dall'alto.
Ora, superficie di un portapenne = [Superficie laterale] + [Area base]
= [2πr] + [πr 2 ]


∴ Superficie di 35 portapenne
= 35 x (frac < 1584 >< 7 >) cm2 = 7920 cm2
Pertanto, è stato necessario acquistare 7920 cm 2 di cartone.

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.3

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Il diametro della base di un cono è 10,5 cm e la sua altezza obliqua è 10 cm. Trova la sua superficie curva.
Soluzione:
Qui, diametro della base = 10,5 cm
⇒ Raggio (r) = (frac < 10.5 >< 2 >) cm
e altezza inclinata (l) =10 cm
Superficie curva del cono = πrl
= (frac < 22 >< 7 >) x (frac < 10.5 >< 2 >) x 10 cm 2
= 11 x 15 x 1 cm 2 = 165 cm 2

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 2.
Trova la superficie totale di un cono, se la sua altezza obliqua è 21 m e il diametro della sua base è 24 m.
Soluzione:
Qui, diametro = 24 m 24
∴ Raggio (r) = (frac < 24 >< 2 >) m = 12 m
e altezza inclinata (l) = 21 m
∴ Superficie totale di un cono = πr(r +1)

Ex 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 3.
La superficie curva di un cono è di 308 cm² e la sua altezza inclinata è di 14 cm. Trova
(i) raggio della base e
(ii) superficie totale del cono.
Soluzione:
Qui, superficie curva = πrl = 308 cm 2
Altezza inclinata (l) = 14 cm

(i) Sia il raggio della base ‘r’ cm
πrl = 308 ⇒ (frac < 22 >< 7 >) x r x 14 = 308
r = (frac < 308 imes 7 >< 22 imes 14 >) = 7cm
Quindi, il raggio del cono è 7 cm

(ii) Area di base = πr 2 = (frac < 22 >< 7 >) x 7 2 cm 2
= 22 x 7 cm 2 = 154 cm 2
e superficie curva = 308 cm 2 [Dato]
∴ Superficie totale del cono
= [Superficie curva] + [Area base] = 308 cm 2 + 154 cm 2
= 462 cm2

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Una tenda conica è alta 10 m e il raggio della sua base è 24 m. Trova
(i) altezza di inclinazione della tenda.
(ii) costo della tela necessaria per realizzare la tenda, se il costo di 1 m 2 di tela è ₹ 70.
Soluzione:
Qui, altezza della tenda (h) = 10 m
Raggio della base (r) = 24 m

(i) L'altezza dell'inclinazione, l = (sqrt < < r >^< 2 >-< h >^ < 2 >>)
= (sqrt < < 24 >^< 2 >+< 10 >^ < 2 >>) m = (sqrt < 576+100 >) m = (sqrt < 676 >) m = 26 m
Pertanto, l'altezza di inclinazione richiesta della tenda è di 26 m.

(ii) Area della superficie curva del cono = πrl
∴ Area della tela richiesta

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Quale lunghezza di telone di 3 m di larghezza sarà necessaria per realizzare una tenda conica di altezza 8 m e raggio di base 6 m? Supponiamo che la lunghezza extra del materiale che sarà richiesta per i margini di cucitura e lo spreco nel taglio sia di circa 20 cm. (Usa π = 3,14)
Soluzione:
Qui, raggio base (r) = 6 m
Altezza (h) = 8 m
∴ Altezza inclinata (l) = (sqrt < < r >^< 2 >-< h >^ < 2 >>) = (sqrt < < 6 >^< 2 >-< 8 >^ < 2 >>) m
= (sqrt < 36+64 >) m
= (sqrt < 100 >)m = 10 m
Ora, superficie curva = πrl
= 3,14 x 6 x 10 m 2
= (frac < 314 >< 100 >) x 6 x 10 m2 = 1884 m2
Pertanto, l'area del telone necessaria per realizzare la tenda = 188,4 m 2
Sia la lunghezza del telone L m
Lunghezza x Larghezza = 188.4
L x 3 = 188,4 ⇒ L = (frac < 188,4 >< 3 >) = 62,8
Lunghezza extra del telone necessaria per i margini = 20 cm = (frac < 20 >< 100 >) m = 0,2 m
Quindi, lunghezza totale del telone richiesta = 62,8 m + 0,2 m = 63 m

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 6.
L'altezza inclinata e il diametro di base di una tomba conica sono rispettivamente di 25 me 14 m. Trova il costo di imbiancare la sua superficie curva al tasso di ₹ 210 per 100 m 2 .
Soluzione:
Qui, raggio base (r) = (frac < 14 >< 2 >) m = 7 m
Altezza inclinata (l) = 25 m
∴ Superficie curva = πrl
= (frac < 22 >< 7 >) x 7 x 25 m2 = 550 m2
Costo dell'imbiancatura per un'area di 100 m 2 = Rs. 210
∴ Costo dell'imbiancatura per una superficie di 550 mq 2
= Rs. (frac < 210 >< 100 >) x 550 = Rs. 1155

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Un berretto da jolly ha la forma di un cono circolare retto di raggio base 7 cm e altezza 24 cm. Trova l'area del foglio necessaria per realizzare 10 di questi cappucci.
Soluzione:
Raggio della base (r) = 7 cm e altezza (h) = 24 cm
Altezza inclinazione (l) = (sqrt < < h >^< 2 >-< r >^ < 2 >>) = (sqrt < < 24 >^< 2 >-< 7 >^ < 2 > >)cm
= (sqrt < 576+49 >)cm = (sqrt < 625 >) cm = 25 cm
∴Superficie laterale = πrl = (frac < 22>< 7 >) x 7 x 25 cm 2 = 550 cm 2
∴ Superficie laterale di 10 cappucci = 10 x 550 cm 2
= 5500 cm2
Pertanto, l'area richiesta del foglio = 5500 cm 2

Es 13.3 Classe 9 Matematica Domanda 8.
Una fermata dell'autobus è barricata dalla parte restante della strada, utilizzando 50 coni cavi in ​​cartone riciclato. Ogni cono ha un diametro di base di 40 cm e un'altezza di 1 m. Se il lato esterno di ciascuno dei coni deve essere verniciato e il costo della verniciatura è di ₹12 al m², quale sarà il costo della verniciatura di tutti questi coni? (Usa π = 3.14 e prendi ( sqrt <104>) = 1.02)
Soluzione:
Diametro della base = 40cm

= Rs. 384,336 = €. 384,34 (circa)
Pertanto, il costo richiesto per la verniciatura è di Rs. 384,34 (circa).

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.4

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Trova l'area della superficie di una sfera di raggio
(i) 10,5 cm
(ii) 5,6 cm
(iii) 14 cm
Soluzione:
(i) Qui, r = 10,5 cm
Area superficiale di una sfera = 4πr 2

(ii) Qui, r = 5,6 cm
Area superficiale di una sfera = 4πr 2

(iii) Qui, r = 14 cm
Area superficiale di una sfera = 4πr 2

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 2.
Trova l'area della superficie di una sfera di diametro
(i) 14 cm
(ii) 21 cm
(iii) 3,5 m
Soluzione:
(i) Qui, diametro = 14 cm

(ii) Qui, diametro = 21 cm

(iii) Qui, diametro = 3,5 m

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Trova l'area della superficie totale di un emisfero di raggio 10 cm. (Usa π = 3,14)
Soluzione:
Qui, raggio (r) = 10 cm
Superficie totale dell'emisfero = 3πr 2
= 3 x 3,14 x 10 x 10 cm 2 = 942 cm 2

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Il raggio di un pallone sferico aumenta da 7 cm a 14 cm man mano che l'aria viene pompata al suo interno. Trova il rapporto tra le superfici del palloncino nei due casi.
Soluzione:
Trova il rapporto tra le superfici del palloncino nei due casi.
BSD Caso I: quando raggio (r1) = 7 cm
Superficie = 4πr1 2 = 4 x (frac < 22 >< 7 >) x (7) cm 2
= 4 x 22 x 7 cm 2 = 616 cm 2

Caso II: Quando raggio (r 2 ) = 14 cm 2
Superficie = 4πr2 2 =4 x (frac < 22 >< 7 >) x (14) 2 cm 2
= 4 x 22 x 14 x 2 cm 2 = 2464 cm 2
∴ Il rapporto richiesto = (frac < 616 >< 2464 >) = (frac < 1 >< 4 >) o 1 : 4

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Una ciotola semisferica in ottone ha un diametro interno di 10,5 cm. Trova il costo della stagnatura interna al tasso di ₹16 per 100 cm².
Soluzione:
Diametro interno della ciotola emisferica = 10,5 cm

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 6.
Trova il raggio di una sfera la cui superficie è 154 cm².
Soluzione:
Sia il raggio della sfera r cm.
Area superficiale di una sfera = 4πr 2
4πr 2 = 154

Pertanto, il raggio richiesto della sfera è 3,5 cm.

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Il diametro della Luna è circa un quarto del diametro della Terra. Trova il rapporto tra le loro superfici.
Soluzione:
Sia r il raggio della terra.
∴ Raggio della luna = (frac < r >< 4 >)
Area superficiale di una sfera = 4πr 2
Poiché, la terra e la luna sono considerate sfera.
Superficie della terra = 4πr 2

Pertanto, il rapporto richiesto = 1 : 16.

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 8.
Una ciotola semisferica è realizzata in acciaio, spesso 0,25 cm. Il raggio interno della ciotola è di 5 cm. Trova la superficie curva esterna della ciotola.
Soluzione:
Raggio interno (r) = 5 cm
Spessore = 0,25 cm

∴ Raggio esterno (R) [5,00 + 0251 cm = 5,25 cm
∴ Superficie curva esterna della vasca = 2πR 2

Ex 13.4 Classe 9 Matematica Domanda 9.
Un cilindro circolare retto racchiude solo una sfera di raggio r (vedi figura). Trova
(i) superficie della sfera,
(ii) superficie curva del cilindro,
(iii) rapporto tra le aree ottenute in (i) e (ii).

Soluzione:
(i) Per la sfera, raggio = r
∴ Area superficiale della sfera = 4πR 2

(ii) Per il cilindro circolare destro,
Raggio del cilindro = Raggio della sfera
∴Raggio del cilindro = r
Altezza del cilindro = Diametro della sfera
∴ Altezza del cilindro (h) 2r
Poiché, superficie curva di un cilindro = 2πrh
= 2πr(2r) = 4πr 2

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.5

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Una scatola di fiammiferi misura 4 cm x 2,5 cm x 1,5 cm. Quale sarà il volume di un pacchetto contenente 12 scatole di questo tipo?
Soluzione:
Dal momento che una scatola di fiammiferi ha la forma di un cuboide.
Qui, lunghezza (l) = 4 cm, larghezza (b) = 2,5 cm
e altezza (h) = 1,5 cm
∴ Volume di una scatola di fiammiferi = l x b x h
= 4 x 25 x 1,5 cm 3
= 4 x (frac < 25 >< 10 >) x (frac < 15 >< 10 >)cm 3
= 15 cm 3
⇒ Volume di 12 scatole di questo tipo = 12 x 15 cm 3
= 180 cm 3

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 2.
Un serbatoio d'acqua cubico è lungo 6 m, largo 5 m e profondo 4,5 m. Quanti litri d'acqua può contenere? ( 1 m 3 = 1000 L)
Soluzione:
Lunghezza (l) =6 m, larghezza (h) =5 m e
profondità (h) = 4,5 m
∴ Capacità =l x b x h = 6 x 5 x 4.5m 3
= 6 x 5 x (frac < 45 >< 10 >)m = 3 x 45 m 3 = 135 m 3
1 m 3 = 1000 litri
135 m 3 = 135000 litri
∴ La quantità d'acqua necessaria nel serbatoio = 135000 litri.

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Un vaso cuboidale è lungo 10 m e largo 8 m. Quanto deve essere alto per contenere 380 metri cubi di liquido?
Soluzione:
Lunghezza (l) = 10 m, larghezza (b) = S m
Volume (V) = 380 m 3
Sia l'altezza del vaso cuboidale ‘h’.
Ex 13.5 Classe 9 Matematica Volume del recipiente cubico = l x b x h
10 x 8 x h m 3 = 80 h m 3
80h = 380
h = (frac < 380 >< 80 >) = 4,75 m
Pertanto, l'altezza richiesta della nave = 4,75 m

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Calcola il costo per scavare una fossa cubica lunga 8 m, larga 6 m e profonda 3 m al ritmo di 30 per m³.
Soluzione:
Lunghezza (i) = 8 m
Larghezza (b) = 6 m
Profondità (h) = 3 m
∴ Volume della fossa cubica = l x b x h
= 8 x 6 x 3 m 3 = 144 m 3
Quindi, il costo per scavare una fossa = Rs. (144x30)
= Rs. 4320

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 5.
La capacità di un serbatoio cuboidale è di 50000 litri d'acqua. Trova la larghezza della vasca, se la sua lunghezza e profondità sono rispettivamente 2,5 me 10 m.
Soluzione:
ira Lunghezza del serbatoio (l) = 2,5 m
Profondità del serbatoio (h) = 10 m
Sia la larghezza del serbatoio b m.
∴ Volume (capacità) del serbatoio = l x b x h
= 2,5 x b x 10 m 3
= (frac < 25 >< 10 >) x 10 x bm 3
= 25bm 3
Ma la capacità del serbatoio = 50000 litri
= 50 m 3 [ ∵ 1000 litri = 1 m 3 ]
25b = 50 ⇒ b = (frac < 50 >< 25 >) = 2
Quindi, la larghezza del serbatoio = 2 m

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 6.
Un villaggio, con una popolazione di 4000, richiede 150 litri di acqua pro capite al giorno. Ha una vasca di 20 m x 15 m x 6 m. Per quanti giorni durerà l'acqua di questa vasca?
Soluzione:
fcWra Lunghezza del serbatoio (l) = 20 m
Larghezza del serbatoio (b) = 15 m
Altezza del serbatoio (h) = 6m
∴ Volume del serbatoio = l x b x h
= 20 x 15 x 6 m 3 = 1800 m 3
Poiché, 1 m 3 = 1000 litri
∴ Capacità del serbatoio = 1800 x 1000 litri = 1800000 litri
Poiché sono necessari 150 litri di acqua pro capite al giorno.
∴ Quantità di acqua richiesta da 4000 persone al giorno = 150 x 4000 litri
Lascia che il numero di giorni richiesto sia x
4000 x 150 x x = 1800000
⇒ x = (frac < 1800000 >< 4000 imes 150 >) = 3
Pertanto, il numero di giorni richiesto è 3.

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Una discesa misura 40 m x 25 m x 10 m. Trova il numero massimo di casse di legno di 15 m x 125 m x 0,5 m ciascuna che possono essere riposte in discesa.
Soluzione:
Volume della discesa = 40 x 25 x 10 m 3
Volume di una cassa di legno = 1,5 x 1,25 x 0,5 m 3

∴ Numero massimo di casse di legno = 10667.

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 8.
Un cubo solido di lato 12 cm viene tagliato in otto cubi di uguale volume. Quale sarà il lato del nuovo cubo? Inoltre, trova il rapporto tra le loro aree superficiali.
Soluzione:
Lato del cubo dato = 12 cm
Volume del cubo dato = (lato) 3 = (12) 3 cm 3
Sia n . il lato del nuovo cubo
∴ Volume del nuovo cubo = n 3
⇒ Volume di 8 nuovi cubi = 8n 3
Secondo domanda,
8n 3 = (12) 3 = 12 x 12 x 12
⇒ n 3 = (frac < 12 imes 12 imes 12>< 8 >) = 6 x 6 x 6
n3 = 6 3
n = 6
Pertanto, il lato richiesto del nuovo cubo è di 6 cm.
Ora, l'area della superficie del cubo dato = 6 x (lato) 2 = 6 x 12 2 cm 2 = 6 x 12 x 12 cm 2
Area della superficie del nuovo cubo = 6 x 6 2 cm 2
= 6 x 6 x 6 cm 2
Ora,

Quindi, il rapporto richiesto = 4 : 1

Es 13.5 Classe 9 Matematica Domanda 9.
Un fiume profondo 3 m e largo 40 m scorre alla velocità di 2 km all'ora. Quanta acqua cadrà in mare in un minuto?
Soluzione:
L'acqua che scorre in un fiume può essere considerata sotto forma di un cuboide.

Lunghezza (l) = 2 km = 2000 m
Larghezza (b) = 40 m,
profondità (h) = 3 m
∴ Volume d'acqua (volume del parallelepipedo così formato) = l x b x h
= 2000 x 40 x 3 m 3
Ora, volume d'acqua che scorre in 1 ora (60 minuti) = 2000 x 40 x 3 m 3
Volume d'acqua che cadrà in 1 minuto
= [2000 x 40 x 3] + 60 m 3
= 4000m 3

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.6

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 1.
La circonferenza della base di un vaso cilindrico è di 132 cm e la sua altezza è di 25 cm. Quanti litri d'acqua può contenere? (1000cm³ =1 L.)
Soluzione:
Lascia che il raggio di base del vaso cilindrico sia r cm.
∴ Circonferenza della base = 2πr
⇒ 2πr = 132 [Circonferenza = 132 cm, (dato)]
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x r = 132
r = (frac < 132 x 7 >< 2 x 22 >) cm = 21 cm
Poiché, altezza della nave (h) = 25 cm
Volume di un recipiente (h) = πr 2 h
= (frac < 22 >< 7 >) x (21) 2 x 25 cm 3
= (frac < 22 >< 7 >) x 21 x 21 x 25 cm 3
= 22 x 3 x 21 x 25 cm 3
= 34650 cm 3
∵ Capacità della nave = Volume del vsel
∴ Capacità del recipiente cilindrico = 34650 cm 3
Poiché, 1000 cm 3 = 1 litro
34650 cm 3 = (frac < 34650 >< 1000 >) litri = 34,65 litri
Pertanto, la nave può contenere 34,65 litri di acqua.

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 2.
Il diametro interno di un tubo di legno cilindrico è di 24 cm e il suo diametro esterno è di 28 cm. La lunghezza del tubo è di 35 cm. Trova la massa del tubo, se 1 cm3 di legno ha una massa di 0,6 g.
Soluzione:
Diametro interno del tubo cilindrico = 24cm
⇒ Raggio inrr del tubo (r) = (frac < 24 >< 2 >)cm = 12cm
Diametro esterno del tubo = 28 cm
Raggio esterno del tubo (R) = 14 cm
Lunghezza del tubo (h) = 35 cm
∴ Quantità di legno nel tubo = Volume esterno – Volume interno
= πR 2 h – πr 2 h
= h (R + r) (R – r)
[∵ a2 – b2 = (a + b)(a – b)]
= (frac < 22 >< 7 >) x 35 x (14+12) x (14 – 12) cm 3
=22 x 5 x 26 x 2 cm 3
Massa del legno nel tubo = (Massa del legno in 1 cm 3 di legno) x (Volume del legno nel tubo)
= (0,6 g) x (22 x 5 x 26 x 2) cm 3
= (frac < 6 >< 10 >) x 22 x 10 x 26 g = 3432 g
= (frac < 3432 >< 1000 >) kg = 3.432 kg [∵ 1000 g = 1 kg]
Pertanto, la massa richiesta del tubo è di 3,432 kg.

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Una bibita è disponibile in due confezioni
(i) un barattolo di latta a base rettangolare di lunghezza 5 cm e larghezza 4 cm, avente un'altezza di 15 cm.
(ii) un cilindro di plastica a base circolare di diametro 7 cm e altezza 10 cm. Quale contenitore ha una capacità maggiore e di quanto?
Soluzione:
(i) Per la confezione rettangolare,
Lunghezza (l) = 5 cm,
Larghezza (b) = 4 cm
Altezza (h) = 15 cm
Volume = l x b x h = 5 x 4 x 15 cm 3 = 300 cm 3
∴ Capacità della confezione rettangolare = 300 cm 3

(ii) Per pacco cilindrico,
Diametro base = 7 cm
∴ Raggio della base (r) = (frac < 7 >< 2 >) cm
Altezza (h) = 10 cm
∴ Volume = πr 2 h = (frac < 22 >< 7 >) x ((frac < 7 >< 2 >)) 2 x 10 cm
= (frac < 22 >< 7 >) x (frac < 7 >< 2 >) x (frac < 7 >< 2 >) x 10 cm
= 11 x 7 x 5 cm 3 = 385 cm 3
∴ Capacità del pacco cilindrico = 385 cm 3
Quindi, il pacco cilindrico ha una capacità maggiore
di (385 – 300) cm 3 = 85 cm 3

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Se la superficie laterale di un cilindro è 94,2 cm² e la sua altezza è 5 cm, allora trova
(i) raggio della sua base,
(ii) il suo volume. (Utilizzare π = 3,14)
Soluzione:
Altezza del cilindro (h) = 5 cm
Lascia che il raggio di base del cilindro sia 'r’.

(i) Poiché l'area della superficie laterale del cilindro = 2πrh,
Ma superficie laterale del cilindro 94,2 cm 2 [dato]
2πr = 94,2

Quindi, il raggio del cilindro = 3 cm

(ii) Volume di un cilindro = πr 2 h
Volume di tlw dato cilindro
=3,14 (3) 2 x 5 cm 3
= (frac < 314 >< 100 >) x 3 x 3 x 5 cm 3
= (frac < 1413 >< 10 >) cm = 141,3 cm 3
Quindi, il volume richiesto = 141,3 cm 3

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Costa ₹ 2200 dipingere la superficie curva interna di un vaso cilindrico profondo 10 m. Se il costo della verniciatura è di ₹20 al m², trova
(i) superficie interna curva della nave,
(ii) raggio della base,
(iii) capacità della nave.
Soluzione:
(i) Costo totale della verniciatura = Rs. 2200
Costo della pittura dell'area l m 2 = Rs. 20
Costo totale

∴ Superficie interna curva della nave
= 110 m2

(ii) Sia r il raggio di base del vaso cilindrico.
Superficie curva di un cilindro = 2πrh

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 6.
La capacità di un recipiente cilindrico chiuso di altezza 1 m è di 15,4 litri. Quanti metri quadrati di lamiera servirebbero per realizzarlo?
Soluzione:
Capacità del recipiente cilindrico
= 15,4 litri = 15,4 x 1000 cm 3 [1 litro = 10(x) cm 3 ]

Sia r m il raggio della base del vaso.

Ora, superficie totale del vaso cilindrico

Pertanto, la lamiera richiesta = 0,4708 m 2 .

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Una matita di piombo è costituita da un cilindro di legno con un solido cilindro di grafite riempito all'interno. Il diametro della matita è di 7 mm e il diametro della grafite è di 1 mm. Se la lunghezza di. la matita è di 14 cm, trova il volume del legno e quello della grafite.
Soluzione:
Poiché, 10 mm = 1 cm:
1mm = (frac < 1 >< 10 >) cm
Per cilindro in grafite,

∴ Raggio della matita (R) = (frac < 7 >< 20 >) cm
Altezza della matita (h) = 14 cm
Volume della matita = πR 2 h

∴ Volume del legno = [Volume del pendil] – [Volume della grafite]
= 5,39 cm 3 – 0,11 cm 3
= 5,28 cm 3
Pertanto, il volume richiesto del legno è = 5,28 cm 3 .

Ex 13.6 Classe 9 Matematica Domanda 8.
Un paziente di un ospedale riceve giornalmente una zuppa in una ciotola cilindrica di 7 cm di diametro. Se la ciotola è piena di zuppa fino a un'altezza di 4 cm, quanta zuppa deve preparare giornalmente l'ospedale per servire 250 pazienti?
Soluzione:
∵ La ciotola è cilindrica, dove diametro della base = 7 cm

Pertanto, l'ospedale deve preparare 38,5 litri di zuppa al giorno per 250 pazienti.

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.7

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Trova il volume del cono circolare destro con
(i) raggio 6 cm, altezza 7 cm
(ii) raggio 3,5 cm, altezza 12 cm
Soluzione:
(i) Qui, raggio del cono (r) =6 cm
Altezza (h) = 7 cm

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 2.
Trova la capacità in litri di un recipiente conico con
(i) raggio 7 cm, altezza inclinazione 25 cm
(ii) altezza 12 cm, altezza inclinata 13 cm
Soluzione:
(i) Qui, raggio (r) = 7 cm e altezza inclinazione (l) =25 cm

Pertanto, la capacità richiesta del recipiente conico è di 1.232 litri.

(ii) Qui, altezza (h) = 12 cm e altezza inclinata (l) = 13 cm

∴ Capacità del recipiente conico

Pertanto, la capacità richiesta del recipiente conico è (frac < 11 >< 35 >) litri.

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 3.
L'altezza di un cono è di 15 cm. Se il suo volume è 1570 cm³, trova il raggio della base. (Usa π = 3,14)
Soluzione:
Qui, altezza del cono (h) = 15 cm
Volume del cono = 1570 cm 3
Lascia che il raggio della base sia 'r' cm.

Pertanto, il raggio richiesto della base è di 10 cm.

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Se il volume di un cono circolare retto di altezza 9 cm è 48 cm³, trova il diametro della sua base.
Soluzione:
Volume del cono = 48 it cm 3
Altezza del cono (h) = 9 cm
Sia r cm il suo raggio di base.

Diametro = 2 x raggio.
∴ Diametro della base del cono = (2 x 4) cm = 8 cm

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Una fossa conica di diametro superiore 3,5 m è profonda 12 m. Qual è la sua capacità in chilolitri?
Soluzione:
Qui, diametro della fossa conica = 3,5 m
Raggio (r) = (frac < 3.5 >< 2 >) m = (frac < 35 >< 20 >)m,
Profondità (h) = 12m
⇒ Volume (capacità) = (frac < 1 >< 3 >) πr 2 h

Pertanto, la capacità della fossa conica è di 38,5 kl.

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 6.
Il volume di un cono circolare retto è 9856 cm 3 . Se il diametro della base è 28 cm, trova
(i) altezza del cono
(ii) altezza inclinata del cono
(iii) superficie curva del cono
Soluzione:
Volume del cono = 9856 cm 3
Diametro della base 28 cm
Raggio della base (r) = (frac < 28 >< 2 >) = 14 cm

(i) Sia l'altezza del cono h cm.

Pertanto, l'altezza richiesta è di 48 cm.

(ii) Sia l'altezza dell'inclinazione l cm.
l 2 = r 2 +h 2
l 2 = 14 2 + 48 2 = 196 + 2304 = 2500
l = 50
Pertanto, l'altezza dell'inclinazione richiesta = 50 cm.

(iii) L'area della superficie curva di un cono = πrl
∴ Superficie curva = (frac < 22 >< 7 >) x 14 x 50 cm 2
= 2200 cm2
Pertanto, la superficie curva del cono è di 2200 cm 2 .

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Un triangolo rettangolo ABC di lati 5 cm, 12 cm e 13 cm ruota attorno al lato 12 cm. Trova il volume del solido così ottenuto.
Soluzione:
I lati del triangolo rettangolo ABC misurano 5 cm, 12 cm e 13 cm.
Il triangolo rettangolo ruota attorno al lato di 12 cm.

Quindi abbiamo raggio della base del cono così formato (r) = 5 cm
Altezza (h) = 12 cm
∴ Volume del cono così ottenuto = (frac < 1 >< 3 >)πr 2 h
= (frac < 1 >< 3 >) x π x (5) 2 x 12 cm 3
= 100 π cm 3
Pertanto, il volume richiesto del cono è 100πcm 3 .

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 8.
Se il triangolo ABC nella domanda 7 sopra è ruotato attorno al lato di 5 cm, trova il volume del solido così ottenuto. Trova anche il rapporto tra i volumi dei due solidi ottenuti nelle Domande 7 e 8.
Soluzione:
Poiché il triangolo rettangolo ruota attorno al lato 5 cm.
∴ Altezza del cono così ottenuto (h) = 5 cm
Raggio del cono (r) = 12 cm

Pertanto, il rapporto richiesto è 5: 12.

Ex 13.7 Classe 9 Matematica Domanda 9.
Un mucchio di grano ha la forma di un cono il cui diametro è 10,5 m e l'altezza è 3 m. Trova il suo volume. Il mucchio deve essere coperto da una tela per proteggerlo dalla pioggia. Trova l'area della tela richiesta.
Soluzione:
Qui il mucchio di grano ha la forma di un cono con diametro di base = 10,5 m

Quindi, il volume richiesto = 86,625 m 3
Ora, l'area della tela per coprire l'heap deve essere uguale alla superficie curva dell'heap conica.

Quindi l'area richiesta della tela è di 99,825 m 2 .

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.8

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Trova il volume di una sfera il cui raggio è
(i) 7 cm
(ii) 0,63 cm
Soluzione:
(i) Qui, raggio (r) = 7cm

Quindi, il volume richiesto = 1437(frac < 1 >< 3 >)cm 3

(ii) Qui, raggio (r) = 0,63 m

Pertanto, il volume richiesto è 1,05 m 3 (circa)

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 2.
Trova la quantità di acqua spostata da una sfera sferica solida di diametro
(i) 28 cm
(ii) 0,21 m
Soluzione:
(i) Diametro della sfera =28 cm
Raggio della palla (r) cm (frac < 28 >< 2 >)cm = 14cm
Volume della sfera sferica = (frac < 4 >< 3 >)πr 3

(ii) Diametro della sfera = 0,21 m
⇒ Raggio(r) = (frac < 0,21 >< 2 >)m = (frac < 21 >< 200 >)m

Pertanto, la quantità di acqua visualizzata = 0,004851 m 3 .

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Il diametro di una sfera metallica è di 4,2 cm. Qual è la massa della palla, se la densità del metallo è 8,9 g per cm 3 ?
Soluzione:
Diametro dell'esca metallica = 4,2 cm
⇒ Raggio (r) = (frac < 4.2 >< 2 >)cm = 2.1cm

Densità del metallo = 8,9 g per cm 3

∴ Massa della palla = 8,9 x [Volume della palla]

Quindi, la massa della palla è 345,39 g (circa)

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 4.
Il diametro della Luna è circa un quarto del diametro della Terra. Quale frazione del volume della Terra è il volume della Luna?
Soluzione:
Sia il diametro della terra 2r.
⇒ Raggio della terra = (frac < 2r >< 2 >) = r
Poiché, diametro della luna = (frac < 1 >< 4 >) (diametro della terra)
⇒ Raggio della luna = (frac < 1 >< 4 >)(Raggio della terra)
Raggio della luna = (frac < 1 >< 4 >) (r) = (frac < r >< 4 >)
∴ Volume della terra = (frac < 4 >< 3 >)πr 3 e

Es 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 5.
Quanti litri di latte può contenere una ciotola semisferica di diametro 10,5 cm?
Soluzione:
Diametro della ciotola emisferica = 10,5 cm
⇒ Raggio della coppa semisferica (r) = (frac < 10.5 >< 2 >)cm = (frac < 105 >< 20 >)cm


Quindi, la capacità della ciotola = 0,303 litri (circa)

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 6.
Una vasca semisferica è costituita da una lamiera di ferro dello spessore di 1 cm. Se il raggio interno è 1 m, trova il volume del ferro utilizzato per realizzare il serbatoio.
Soluzione:
Raggio interno (r) = 1 m
∵ Spessore = 1 cm = (frac < 1 >< 100 >)m = 0 .01m

∴ Raggio esterno (R) = 1 m + 0,01 m = 1,01 m

Quindi, il volume richiesto del ferro utilizzato
= 0,06348 m 3 (circa)

Es 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 7.
Trova il volume di una sfera la cui superficie è 154 cm 2 .
Soluzione:
Sia 'r' il raggio della sfera.
La sua superficie = 4πr 2
4πr 2 = 154 [Dato]

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 8.
La cupola di un edificio ha la forma di un emisfero. Dall'interno, è stato lavato di bianco al costo di ₹ 498,96. Se il costo del bucato è di ₹2,00 al metro quadrato, trova il
(i) superficie interna della cupola,
(ii) volume dell'aria all'interno della cupola.
Soluzione:
(i) Cct totale di imbiancature = Rs. 498,96
Costo di 1 m² di imbiancatura = Rs. 2
Costo totale 498,96 2
∴ Area = (frac < Totalequad Costo >< Costoquad diquad 1< m >^< 2 >area > =quad frac < 498,96 > < 2 >=quad 249,48< m >^< 2 >)
Pertanto, la superficie richiesta della cupola è di 249,48 m 2 .

(ii) Sia 'r' il raggio della cupola emisferica.
∴ Superficie interna della cupola = 2πr 2

Ora, volume d'aria all'interno della cupola = Volume di un emisfero

Pertanto, il volume d'aria richiesto all'interno della cupola è di 523,9 m 3 (circa).

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 9.
Ventisette sfere di ferro solido, ciascuna di raggio r e area superficiale S, vengono fuse per formare una sfera con area superficiale S’. Trovare la
(i) raggio r’ della nuova sfera,
(ii) rapporto tra S e S’.
Soluzione:
(i) Sia r . il raggio di una piccola sfera
∴ Il suo volume = (frac < 4 >< 3 >)πr 3
Volume di 27 piccole sfere 27 x [ (frac < 4 >< 3 >)πr 3 ]
Lascia che il raggio della nuova sfera sia r’
∴ Volume della nuova sfera = (frac < 4 >< 3 >)π(r’) 3

Quindi, il raggio di una nuova sfera è 3r.

(ii) Area superficiale di una sfera = 4πr 2
= S = 4πr 2 e S’ = 4π (3r) 2 [∵ r’ = 3r]

Quindi, S : S’ = 1 : 9

Ex 13.8 Classe 9 Matematica Domanda 10.
Una capsula di medicinale ha la forma di una sfera di diametro 3,5 mm. Quanta medicina (in mm 3 ) è necessaria per riempire questa capsula?
Soluzione:
Diametro della capsula sferica = 3.5mm
⇒ Raggio della capsula sferica (r) = (frac < 3.5 >< 2 >) mm = (frac < 35 >< 20 >)mm
∴ Volume della capsula sferica = 4πr 3

= 22,45833 mm 3
= 22,46 mm 3 (circa)
Pertanto, la quantità di medicinale necessaria = 22,46 mm 3 (circa)

Soluzioni NCERT per la matematica di classe 9 Capitolo 13 Superfici e volumi Ex 13.9

Ex 13.9 Classe 9 Matematica Domanda 1.
Una libreria in legno ha le seguenti dimensioni esterne:
Altezza = 110 cm, Profondità = 25 cm, Larghezza = 85 cm (vedi figura). Lo spessore della tavola è di 5 cm ovunque. Le facce esterne devono essere lucidate e le facce interne devono essere verniciate. Se la velocità di lucidatura è di 20 paise per cm 2 e la velocità di smussatura è di 10 paise per cm 2 , trova le spese totali necessarie per la levigatura e la verniciatura della superficie della libreria.

Soluzione:
Qui, lunghezza (l) = 85 cm,
larghezza (b) = 25 cm e altezza (h) = 110 cm
Superficie esterna = Area delle quattro facce + Area del retro + Area della bordatura anteriore
= [2 (110 + 85) x 25 + 110 x 85 + (110 x 5 x 2) + (75 x 5) x 4] cm2 = 21700 cm2
∴ Costo lucidatura facce esterne = Rs. (21700 x (frac < 20 >< 100 >) ) = Rs. 4340
Superficie interna = Area di cinque facce di 3 parallelepipedi di dimensioni 75 cm x 30 cm x 20 cm ciascuna
= Superficie totale di 3 parallelepipedi di dimensioni 75 cm x 30 cm x 20 cm – Area delle basi di 3 parallelepipedi di dimensioni 75 cm x 30 cm x 20 cm 3(2(75 x 30 + 30 x 20 + 75 x 20)) cm 2 – 3 x (75 x 30) cm 2
= 6(2250 + 600 + 1500) cm2 – 6750 cm2 = 19350 cm2
∴ Costo della verniciatura delle facce interne = Rs. 19350 x (frac < 10 >< 100 >) = Rs. 1935
Hene, spese totali = Rs. (4340 + 1935)
= Rs. 6275

Ex 13.9 Classe 9 Matematica Domanda 2.
La parete frontale composta di una casa è decorata da sfere in legno di diametro 21 cm, poste su piccoli supporti come mostrato in figura. Otto di queste sfere sono usate per questo scopo e devono essere dipinte d'argento. Ogni supporto è un cilindro di raggio 1,5 cm e altezza 7 cm e va dipinto di nero. Trova il costo della vernice richiesta se la vernice argento costa 25 paise per cm 2 e la vernice nera costa 5 paise per cm 2 .

Soluzione:
Qui, diametro di una sfera = 21 cm
Raggio di una sfera (r) = (frac < 21 >< 2 >) cm
Area superficiale di una sfera = 4πr 2
∴ Superficie di 8 sfere
= 8 x 4 x (frac < 22 >< 7 >) x ((frac < 21 >< 2 >)) 2 cm 2

Quindi, il costo della vernice richiesta = Rs. 2784.25

Ex 13.9 Classe 9 Matematica Domanda 3.
Il diametro di una sfera è diminuito del 25%. Di quale percentuale diminuisce la sua superficie curva?
Soluzione:
Sia d il diametro di una sfera.
Dopo aver decrementato, diametro della sfera
= d – (frac < 25 >< 100 >) x d
= d – (frac < 1 >< 4 >)d = (frac < 3 >< 4 >)d
Poiché, area superficiale di una sfera = 4πr 2 o π(2r) 2 o πd 2
Area superficiale di una sfera, quando il diametro della sfera è

Ora, diminuisci la percentuale nell'area della superficie curva


Nella teoria dei fatti e delle possibilità, il teorema di Bayes (indicato anche come regola di Bayes) è un metodo matematico utilizzato per decidere la possibilità condizionata degli eventi. In sostanza, il teorema di Bayes descrive la possibilità di un'occasione principalmente basata totalmente sulla precedente esperienza delle situazioni che è probabilmente applicabile all'occasione.

La formula del teorema di Bayes

Il teorema di Bayes è espresso nella seguente formula:

  • P(A|B) – la probabilità che si verifichi l'evento A, dato che l'evento B si è verificato
  • P(B|A) – la probabilità che si verifichi l'evento B, dato che l'evento A si è verificato
  • P(A) – la probabilità dell'evento A
  • P(B) – la probabilità dell'evento B

Si noti che gli eventi A e B sono eventi indipendenti (cioè, la probabilità dell'esito dell'evento A non dipende dalla probabilità dell'esito dell'evento B).

Questo teorema alle istanze è anche chiamato teorema della possibilità inversa.

Ricordiamo ogni occasione 'A' dello spazio modello 'S' (come all'interno della sezione precedente).

Questa occasione potrebbe essersi verificata per cause uniche (o per la prevalenza di una qualsiasi delle occasioni A1, A2, L An).

Ora, permetteteci di dire che si scopre che l'occasione A è capitata e che dobbiamo scoprire la possibilità che sia capitata per la prevalenza delle cause, dice Ai.

In questo modo siamo curiosi di sapere P(Ai/A). Queste forme di problemi vengono risolte con l'aiuto del teorema di Bayes.


Fogli di lavoro di esempio (circonferenza, diametro, raggio, area del cerchio)

Chiave per le cartelle di lavoro sulla geometria

Ecco un modo non intimidatorio per preparare gli studenti alla geometria formale. Chiave della geometria le cartelle di lavoro introducono gli studenti a una vasta gamma di scoperte geometriche mentre eseguono costruzioni passo dopo passo. Usando solo una matita, un compasso e un righello, gli studenti iniziano disegnando linee, bisecando angoli e riproducendo segmenti. Successivamente fanno costruzioni sofisticate che coinvolgono più di una dozzina di passaggi e vengono spinti a formare le proprie generalizzazioni. Al termine, gli studenti saranno stati introdotti a 134 termini geometrici e saranno pronti ad affrontare le prove formali.


Fogli di lavoro di matematica gratuiti per il Grade 2

Questa è una raccolta completa di fogli di lavoro di matematica stampabili gratuiti per il grado 2, organizzati per argomenti come addizione, sottrazione, matematica mentale, raggruppamento, valore posizionale, orologio, denaro, geometria e moltiplicazione. Sono generati casualmente, stampabili dal tuo browser e includono la chiave di risposta. I fogli di lavoro supportano qualsiasi programma di matematica di secondo grado, ma vanno particolarmente bene con il curriculum di matematica di secondo grado di IXL.

I fogli di lavoro vengono generati casualmente ogni volta che si fa clic sui collegamenti sottostanti. Puoi anche ottenerne uno nuovo e diverso semplicemente aggiornando la pagina nel tuo browser (premi F5).

Puoi stamparli direttamente dalla finestra del tuo browser, ma prima controlla come appare nell' "Anteprima di stampa". Se il foglio di lavoro non si adatta alla pagina, regola i margini, l'intestazione e il piè di pagina nelle impostazioni Imposta pagina del browser. Un'altra opzione è regolare la "scala" al 95% o 90% nell'anteprima di stampa. Alcuni browser e stampanti dispongono dell'opzione "Stampa per adattare", che ridimensiona automaticamente il foglio di lavoro per adattarlo all'area stampabile.

Tutti i fogli di lavoro vengono forniti con una chiave di risposta posizionata nella seconda pagina del file.

Aggiunta mentale Men

  • Aggiunta di numeri a una cifra - somma 10 o meno
  • Aggiunta entro 0-10 - addizione mancante
  • Aggiunta entro 10-18 - addizione mancante
  • Tre addendi, una cifra
  • Tre addendi, una cifra, addendi mancanti
  • Quattro addendi, una cifra
  • Quattro addendi, una cifra, addendi mancanti
  • Addendo mancante - somme con 11 e 12
  • Addendo mancante - somme con 13 e 14
  • Addendo mancante - somme con 15 e 16
  • Addendo mancante - somme con 17 e 18
  • Addendo casuale tra 1 e 20 . mancante
  • Sommando decine intere, 2 addendi
  • Addizione di decine intere, 2 addendi, addendi mancanti
  • Aggiunta di decine intere, 3 addendi (stampa in orizzontale)
  • Aggiunta di decine intere, 3 addendi, addizione mancante (stampa in orizzontale)
  • Aggiunta di decine intere, 4 addendi (stampa in orizzontale)
  • Aggiunta di decine intere, 4 addendi, addend mancante (stampa in orizzontale)

Riorganizzarsi in aggiunta

Questo è anche chiamato addizione di colonna: scriviamo i numeri uno sotto l'altro per l'aggiunta. La maggior parte dei fogli di lavoro di seguito comporta il raggruppamento con decine (ovvero portare a decine). Vedi anche questa mia lezione gratuita: Regrouping in Addition.

Sottrazione mentale

Ricorda che puoi semplicemente aggiornare la finestra del browser per ottenere un altro foglio di lavoro dello stesso tipo.

Raggruppamento in sottrazione

La maggior parte dei fogli di lavoro di seguito comporta il raggruppamento (noto anche come prestito), se non diversamente indicato.

Posiziona il valore

L'arrotondamento non è richiesto per la seconda elementare negli standard Common Core negli Stati Uniti, tuttavia fornisco questi collegamenti nel caso in cui l'arrotondamento sia studiato in seconda elementare nel tuo paese/curriculum.

Ricorda che puoi semplicemente aggiornare la finestra del browser per ottenere un altro foglio di lavoro dello stesso tipo.

Orologio (che dice l'ora)

Denaro - contare le monete

Usa queste pagine per creare fogli di lavoro per altre valute:

Geometria

Unità di misura

Anche in questo caso, le conversioni tra le unità di misura non sono incluse negli standard Common Core per la seconda elementare. In seconda elementare, l'enfasi del curriculum dovrebbe essere quella di familiarizzare i bambini con l'atto di misurare e scegliere l'unità di misura appropriata. Inoltre, le conversioni di unità richiedono una buona conoscenza pratica delle tabelline. Se vuoi che il tuo studente si eserciti con le conversioni tra le unità di misura in seconda elementare, controlla la sezione di misurazione nei fogli di lavoro di terza elementare.

Se desideri avere un maggiore controllo sulle opzioni come il numero di problemi o la dimensione del carattere o la spaziatura dei problemi o l'intervallo di numeri, fai clic su questi collegamenti per utilizzare tu stesso i generatori di fogli di lavoro:


Gestione della stenosi spinale lombare attraverso l'uso di esercizi di manipolazione traslatoria e di flessione lombare: una serie di casi

La stenosi spinale lombare è un restringimento del canale spinale o del forame intervertebrale che può produrre lombalgia e dolore e debolezza alle gambe. L'intervento chirurgico viene comunemente eseguito per alleviare questi sintomi. La riduzione dei sintomi e la gestione longitudinale dei deficit funzionali con cure conservative è meno ben documentata. Lo scopo di questa serie di casi era descrivere i risultati di un programma di terapia fisica conservativa costituito da manipolazioni traslazionali a bassa e alta velocità di T1-T9 e L1-L3 e due esercizi di flessione lombare su 6 soggetti con diagnosi di stenosi spinale lombare e claudicatio neurogena. Un test su tapis roulant è stato ripetuto settimanalmente e alla dimissione per ogni paziente. Tutti e sei i soggetti hanno dimostrato miglioramenti nel tempo di camminata sul tapis roulant prima dell'inizio della claudicatio neurogena (intervallo: da 1 min 34 sec a 26 min) nei punteggi dell'Oswestry Low Back Pain Disability Index (intervallo: dal 7,5% al ​​64,7%) e nei punteggi del McGill Pain Questionnaire (intervallo: dal 25% al ​​57%). Cinque soggetti sono stati misurati utilizzando la tecnica Schober e tutti hanno mostrato un miglioramento della mobilità in flessione toracolombare. L'uso combinato della manipolazione traslazionale e degli esercizi di flessione spinale può aver determinato una migliore flessibilità spinale, capacità di deambulazione e dolore e stato funzionale in sei soggetti con stenosi spinale lombare.


Soluzioni NCERT per la matematica di classe 10

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Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 1, NUMERI REALI: Questo capitolo inizia con un'introduzione su numeri reali. Una discussione parziale è stata fatta nella classe 9a sui numeri reali. Approfondendo ulteriormente questo argomento, nelle prime due sezioni vengono discusse due proprietà molto importanti di un numero reale, ovvero:
1. Algoritmo di divisione di Euclide
2. Il teorema fondamentale dell'aritmetica

Algoritmo di divisione di Euclide consiste in una breve descrizione di Lemma della divisione di Euclide. Il prossimo esercizio si basa sull'argomento di rivisitare i numeri irrazionali. Vengono dati vari teoremi per far capire allo studente che come si può dimostrare un numero specifico irrazionale. Diversi esempi sono forniti per lo stesso. L'esercizio 1.3 è un breve esercizio composto da 3 domande. Passando al prossimo esercizio che si basa sull'argomento-rivisitazione dei numeri razionali e il loro espansioni decimali. Sono necessari 3 teoremi per risolvere i quesiti dell'esercizio 1.4. Pertanto, gli studenti devono comprendere a fondo questi teoremi.
Alla fine del capitolo, per la ricapitolazione, viene fornita una sintesi del capitolo.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 2, polinomi il capitolo inizia citando about gradi di polinomio e differenziazione di polinomi in base alla sua livello. La sezione successiva descrive il significato geometrico degli zeri di una polinomio. Vengono mostrati vari grafici per spiegare come tramando di equazioni è fatto. parabole sono introdotti in questa sezione.
Successivamente, vengono forniti esempi risolti per mostrare come è possibile determinare il numero di zeri utilizzando il metodo grafico.
L'esercizio 2.1 si basa sullo stesso concetto. Nella sezione successiva, la relazione tra zeri e coefficienti di una polinomio è spiegato.
L'esercizio 2.2 consiste in domande in cui gli studenti devono trovare il somma e prodotto di zeri del dato polinomio.
Andando oltre, gli studenti impareranno a conoscere algoritmi di divisione per polinomi.
L'esercizio 2.3 si basa sullo stesso.
Inoltre, viene dato un esercizio facoltativo, ma quell'esercizio è solo per la pratica e non dato dal punto di vista dell'esame.
Per una finitura perfetta, vengono dati alcuni punti importanti per dare una sintesi del capitolo.

  • Metodo di sostituzione
  • Metodo di eliminazione
  • Moltiplicazione incrociata
  • fattorizzazione
  • Completare i quadrati
  • Formula quadratica

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 5 Progressioni aritmetiche: Questo capitolo inizia con la spiegazione del progressione aritmetica e come è collegato alla nostra routine quotidiana. Una volta compreso, il passo successivo è studiare i vari termini relativi a related progressione aritmetica.

  • Criterio di somiglianza AAA
  • Criterio di somiglianza AA
  • Criterio di somiglianza SSS
  • Criterio di somiglianza SAS

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 7: Geometria delle coordinate - Per cominciare, una breve descrizione di diversi coordinate sono fornite con riferimento a quanto appreso dagli studenti nella classe IX.
Questo capitolo pone l'accento su come trovare il distanza tra i due punti il cui, di chi coordinate sono dati, e a trova l'area del triangoli formato da tre punti dati. Ultimo, ma non meno importante, gli studenti impareranno anche a trovare il coordinate dei punti che dividono a segmento unendo due punti dati in un dato rapporto.
Nella prima sezione, i lettori impareranno a conoscere il formula distanza. È spiegato in dettaglio con l'aiuto di uno schema. Vengono forniti esempi risolti per rendere il concetto più comprensibile agli studenti.
Andando oltre, formula di sezione è dato e un caso speciale di trovare il punto medio del segmento di linea viene anche spiegato che è importante dal punto di vista dell'esame.
Nell'ultima sezione, area di un triangolo viene discusso seguito da esempio risolto ed esercizio.
Un esercizio facoltativo è dato alla fine del capitolo. Successivamente, il capitolo si conclude in 5 punti per una rapida revisione.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 8: Introduzione alla trigonometria: Per iniziare, vengono forniti alcuni esempi di vita reale per spiegare la necessità di trigonometria. In questo capitolo, gli studenti studieranno il rapporti trigonometrici del angoli. La discussione del trigonometrico rapporti sarà limitato a angoli acuti solo.
Nella sezione 8.2 vari rapporti trigonometrici sono spiegati cioè rapporti dei lati di un triangolo rettangolo rispetto ai suoi angoli acuti. Vengono forniti esempi risolti per spiegare come trovare rapporti trigonometrici e come provare certe relazioni date.
Nella sezione successiva, rapporti trigonometrici di alcuni angoli specifici 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° e 90 ° sono insegnati. La tabella 8.1 contiene tutto il necessario rapporti trigonometrici valore. Gli studenti devono apprendere questi valori in quanto sono la parte più importante di questo capitolo e sono essenziali per risolvere i problemi.
Nella sezione 8.4 trapporti rigonometrici di angoli complementari sono insegnati. L'esercizio 8.3 si basa sullo stesso.
La parte successiva del capitolo riguarda identità trigonometriche. Tre importanti identità sono evidenziati in questa sezione. Alla fine vengono discussi i punti chiave del capitolo.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 9: Alcune applicazioni della trigonometria - In questo capitolo gli studenti studieranno alcuni modi in cui trigonometria viene utilizzato nella vita intorno a noi. Trigonometria è la materia più antica studiata dagli studiosi di tutto il mondo.
Nella sezione 9.2 l'argomento Altezza e distanze è discusso. Vari termini sono spiegati in questa parte del capitolo. In questo capitolo sono inclusi 7 esempi risolti per rendere lo stesso concetto comprensibile agli studenti.
Questo capitolo contiene un solo esercizio. Questo è un vasto esercizio contenente 16 domande. Nelle prime domande, il altezza di vario oggetti è sconosciuto e gli studenti devono calcolare lo stesso. In alcune domande, il larghezza del oggetto è da calcolare. Altre domande richiedono il calcolo del distanza tra due oggetti.
Alla fine viene fatto un breve riassunto del capitolo.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 10- cerchi: Partendo dall'enunciare la definizione di cerchio che è stato studiato nella classe IX, il capitolo passa a spiegare il secante e tangente del cerchio. La prima sezione tratta l'argomento- Tangente a un cerchio. Questa sezione è spiegata con l'aiuto di due attività seguite dal teorema che la tangente in qualsiasi punto di un cerchio è perpendicolare al raggio attraverso il punto di contatto. Alla fine della sezione sono menzionate alcune osservazioni che non dovrebbero essere ignorate.
L'esercizio 10.1 è un breve esercizio contenente 4 domande.
La prossima sezione riguarda il numero di tangenti da un punto su una circonferenza. In questa sezione vengono discussi tre diversi casi e successivamente viene spiegato il teorema relativo alle lunghezze delle tangenti da un punto esterno a un cerchio. L'ultimo esercizio del capitolo è 10.2 in cui le prime tre domande sono domande a scelta multipla insieme a un'opzione corretta. Dopodiché, poche domande si basano sulla dimostrazione dell'affermazione data.
Infine, la conclusione del capitolo è riportata in 3 punti.

  • Per dividere un segmento di linea nel rapporto dato.
  • Per costruire un triangolo simile al triangolo dato secondo il dato fattore di scala.
  • Per costruire la coppia di tangenti da un punto esterno a un cerchio.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 12: Aree relative ai cerchi- Conosciamo tutti i metodi di ricerca perimetri e le zone di semplice figure di aereo ad esempio rettangoli, quadrati, parallelogrammi, triangoli, e cerchi.
La prima sezione riguarda il perimetro e la zona di un cerchio. Il concetto di (torta) π è discusso. Un esempio risolto è discusso in questa sezione. Il primo esercizio 12.1 è un breve esercizio contenente 5 domande.
La seconda sezione si occupa di aree di settore e segmento di cerchio. In questa sezione vengono discussi due esempi per chiarire il concetto agli studenti. Il seguente esercizio 12.2 contiene 14 domande basate sulle stesse.
La prossima sezione riguarda l'argomento- Aree di combinazione di figure piane. Questa particolare sezione contiene 3 esempi risolti e poi viene dato l'ultimo esercizio del capitolo 12.3.
In seguito viene data la sintesi del capitolo.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 13: Superfici e volumi- Gli studenti hanno già imparato a conoscere solidi Piace cuboide, cono, cilindro, e sfera. Hanno anche imparato a trovare il loro superfici e volumi. In questo capitolo, gli studenti vedranno come trovare superfici e volumi di combinazione di solidi. I primi due esercizi di questo capitolo si basano sullo stesso.
Il prossimo argomento riguarda il Conversione di solidi da una forma all'altra. Vengono forniti 4 esempi risolti per rendere più chiaro il concetto.
Il prossimo esercizio 13.3 contiene diverse domande basate sullo stesso concetto. La sezione 13.5 è sull'argomento: Frustino di un cono. In questo capitolo uno studente studierà come trovare il altezza obliqua, superficie curva, superficie totale e volume del tronco di cono. Questo capitolo contiene attività, esempi risolti e domande di esercizi per spiegare meglio questo argomento.
L'esercizio 13.5 è un esercizio facoltativo che non è dato dal punto di vista dell'esame. La conclusione del capitolo è riportata alla fine del capitolo.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 14: Statistiche- Concetto di classificazione di dati dati in non raggruppato così come distribuzioni di frequenza raggruppate è stato spiegato agli studenti della classe IX. Grafici a barre, istogrammi, e poligoni di frequenza sono stati introdotti anche in precedenza. In questo capitolo, lo studio di tre misure e cioè significare, mediano e modalità a partire dal dati non raggruppati a quello di dati raggruppati sarà esteso.
Concetto di frequenza cumulativa, il distribuzione di frequenza (cumulativo) e come disegnare curve di frequenza cumulative (ogive) verrà spiegato anche in questo capitolo.
La primissima sezione tratta l'argomento Media dei dati raggruppati. Limite superiore e il limite inferiore sono spiegati. Ci sono tre metodi per trovare la media:

1. Metodo diretto
2. Metodo della media presunta
3. Metodo di deviazione del passo

La sezione successiva tratta del concetto di Modalità dei dati raggruppati. 3 esempi risolti e un'attività aiuteranno gli studenti a comprendere l'argomento. Dopodiché gli studenti impareranno a conoscere Mediano di dati raggruppati e può praticare lo stesso nel seguente esercizio. L'ultimo argomento del capitolo è Rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza cumulativa seguito da un esercizio. I punti chiave successivi del capitolo sono spiegati in breve.

Matematica NCERT Grado 10, Capitolo 15: Probabilità- All'inizio del capitolo empirico o sperimentale e probabilità teoriche o classiche sono discussi. La prima sezione riguarda Probabilità: un approccio teorico. Uno incontrerà il termine risultati ugualmente probabili in questa sezione.
In questo capitolo, si assume che tutti gli esperimenti abbiano risultati ugualmente probabili. Vengono forniti diversi esempi risolti per spiegare il concetto di probabilità. Vengono fornite alcune osservazioni, che non dovrebbero essere ignorate.
Dopo di che, evento complementare è un altro argomento che richiede attenzione. Impossibile e sicuro o certi eventi sono discussi anche in questo capitolo. Ci sono un totale di 13 esempi risolti in questa sezione di cui gli esempi numero 10 e 11 non sono dal punto di vista dell'esame.
Questo capitolo contiene un solo esercizio, 15.1 che è un vasto esercizio composto da 25 domande.
E' previsto anche un esercizio facoltativo che però non è dal punto di vista dell'esame. E alla fine, gli studenti troveranno un riassunto del capitolo in 7 punti.


Guarda il video: Recensione ed Impressioni Db Technologies Serie Opera 101215 (Ottobre 2021).