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16: Reti multiplex


In questo capitolo esamineremo alcuni degli strumenti che gli analisti dei social network hanno utilizzato per affrontare la complessità dell'analisi delle relazioni multiple simultanee tra gli attori. Inizieremo esaminando alcune strutture dati di base per dati multiplex e come possono essere visualizzate. Per essere utili in analisi, tuttavia, le informazioni sulle relazioni multiple tra un insieme di attori devono essere in qualche modo rappresentate in forma sintetica. Esistono due approcci generali: riduzione e combinazione. L'approccio di "riduzione" cerca di combinare le informazioni su più relazioni tra lo stesso insieme di attori in un'unica relazione che indicizza il quantità di legami. Tutti questi problemi sono trattati nella sezione sulle basi dei dati multiplex.

  • 16.1: Introduzione alle reti multiplex
    I sociologi tendono ad assumere, fino a prova contraria, che il comportamento degli attori sia fortemente modellato dalla complessa interazione di molti vincoli e opportunità simultanee derivanti dal modo in cui l'individuo è inserito in molteplici tipi di relazioni. Anche le caratteristiche e il comportamento di intere popolazioni possono dipendere da molteplici dimensioni di integrazione/scissione. La solidarietà può essere stabilita da scambi economici, informazioni condivise, parentela e altri legami che operano contemporaneamente.
  • 16.2: Nozioni di base sui dati multiplex
    I dati multiplex sono dati che descrivono più relazioni tra lo stesso insieme di attori. Le misure dei rapporti possono essere dirette o meno; e le relazioni possono essere registrate come binarie, nominali multivalore o valutate (ordinale o intervallo).
  • 16.3: Algebra dei ruoli per dati multiplex
    La nozione di "algebra dei ruoli" consiste nel comprendere le relazioni tra attori come realizzazioni dei "composti" logicamente possibili di relazioni di lunghezze di percorso selezionate. Molto spesso nelle analisi di rete, ci concentriamo sul percorso di lunghezza uno (due attori sono collegati o meno).
  • 16.S: Reti multiplex (Riepilogo)
    Gli attori nei tipi di reti studiati dagli scienziati sociali sono molto frequentemente collegati da più di un tipo di legame, contemporaneamente. Cioè, la relazione tra due attori qualsiasi può essere multiplex. In questo capitolo, abbiamo introdotto alcuni degli strumenti comunemente usati per aiutare a dare un senso ai complessi modelli di incorporamento che possono emergere quando c'è più di un tipo di legame che opera simultaneamente.

Graphlet in reti multiplex

Sviluppiamo analisi di grafi per reti multiplex e discutiamo come questa analisi può essere estesa a reti multistrato e multilivello, nonché a grafici con attributi categoriali di nodo e/o collegamento. L'analisi è stata adattata per due esempi tipici di multiplex: i dati del commercio economico rappresentati come una rete a 957 plex e 75 social network rappresentati ciascuno come una rete a 12 plex. Mostriamo che i cunei (triadi aperte) si verificano più spesso nelle reti commerciali economiche che nei social network, indicando la tendenza di un paese a produrre/commerciare un prodotto in una struttura locale di triadi non chiuse. Inoltre, la nostra analisi fornisce prove che i paesi con piccola diversità tendono a formare triangoli correlati. I cunei compaiono anche nei social network, tuttavia i grafici dominanti nei social network sono i triangoli (triadi chiuse). Se una struttura multiplex indica un legame forte, l'analisi del graphlet fornisce un'altra prova per i concetti di legami forti/deboli e buchi strutturali. In contrasto con il lavoro seminale di Granovetter sulla forza dei legami deboli, in cui è stato documentato che i cunei con solo legami forti sono assenti, qui mostriamo che per i 75 social network analizzati, i cunei con solo legami forti non sono solo presenti ma anche significativamente correlati.


Un nuovo metodo per costruire reti multiplex utilizzando l'analisi di correlazione canonica per la caratterizzazione del continuum della malattia di Alzheimer

Obbiettivo: Lo scopo di questo studio era risolvere uno degli attuali limiti per la caratterizzazione della rete cerebrale nel continuum della malattia di Alzheimer (AD). Al giorno d'oggi, gli approcci dipendenti dalla frequenza hanno raggiunto risultati contraddittori a seconda della banda di frequenza in studio, ingarbugliando le possibili interpretazioni cliniche.

Approccio: Per superare questo problema, abbiamo proposto un nuovo metodo per costruire reti multiplex basato sull'analisi di correlazione canonica (CCA). Il nostro metodo determina due vettori di base utilizzando i parametri di rete specifici della frequenza sorgente e livello elettrodo per un gruppo di riferimento, quindi proietta i risultati per il resto dei gruppi in questi iperpiani per renderli comparabili. È stato applicato a: (i) segnali sintetici generati con un modello basato su Kuramoto e (ii) un database EEG in stato di riposo formato da registrazioni di 51 controlli cognitivamente sani, 51 soggetti con deficit cognitivo lieve, 51 pazienti con AD lieve, 50 con AD moderato pazienti e 50 pazienti con AD grave.

Risultati principali: I nostri risultati utilizzando segnali sintetici hanno mostrato che l'interpretazione dei parametri multiplex proposti basati su CCA (grado nodo medio multiplex, lunghezza del percorso caratteristica multiplex e coefficiente di clustering multiplex) può essere analoga alle loro controparti specifiche di frequenza, poiché hanno mostrato comportamenti simili in termini di connettività, integrazione e segregazione nella media. I risultati che utilizzano registrazioni EEG reali hanno rivelato che la demenza dovuta all'AD è caratterizzata da un aumento significativo della connettività media e da una perdita di integrazione e segregazione.

Significato: Possiamo concludere che CCA può essere utilizzato per costruire reti multiplex basate su risultati specifici per frequenza, riassumendo tutte le informazioni disponibili ed evitando le limitazioni di possibili conflitti specifici per frequenza. Inoltre, il nostro metodo suppone un nuovo approccio per la costruzione e l'analisi di reti multiplex durante il continuum AD.

Parole chiave: Malattia di Alzheimer analisi di correlazione canonica connettività elettroencefalografia (EEG) decadimento cognitivo lieve multiplex reti segnali sintetici.


Reti di reazione multiplex

Consideriamo reti multiplex di popolazioni di attivatori e inibitori, in cui le diverse specie occupano nodi di rete separati in strati distinti. Le specie reagiscono attraverso gli strati secondo il meccanismo definito dalla dinamica attivatore-inibitore e si diffondono ad altri nodi nel proprio strato attraverso collegamenti di collegamento (vedi Fig. 1). Tale processo può essere descritto dalle equazioni

Sistema attivatore-inibitore organizzato in rete multiplex.

Le specie attivatrici e inibitorie occupano nodi in strati separati separate G (tu) e G (v), rispettivamente. Reagiscono attraverso i livelli (collegamenti tra livelli blu), mentre migrano all'interno dei propri livelli (collegamenti tra livelli verdi).

dove tuio e vio sono le densità delle specie attivanti e inibitrici nei nodi io (tu) e io (v) di strati G (tu) e G (v), rispettivamente. Gli apici (tu) e (v) si riferiscono ad attivatore e inibitore. I nodi attivatore sono etichettati da indici io = 1, 2…,n in ordine decrescente di connettività. Lo stesso ordinamento dell'indice viene applicato allo strato inibitore. Le funzioni F(tuio,vio) e G(tuio,vio) specificano la dinamica attivatore-inibitore. Le matrici laplacane l (tu) e l (v) descrivono i processi di diffusione nei due strati e le costanti (tu) e (v) sono i corrispondenti tassi di mobilità (vedi dettagli nella sezione Modalità).

Come esempio particolare consideriamo il modello ecologico Mimura-Murray 42 su una rete multiplex costituita da due strati scale-free. In assenza di accoppiamento diffusivo, tale che (tu) = 0 e (v) = 0, il sistema multiplex si rilassa in uno stato uniforme, cioè. (tuio,vio) = (tu0,v0) per tutti io = 1,…,n. Le densità omogenee sono determinate da F (tu0,v0) = G(tu0,v0) = 0 (vedi Metodi). In determinate condizioni, che presentiamo qui, i modelli di Turing possono evolvere da un'instabilità guidata dalla struttura multiplex.


Discussione

Al giorno d'oggi, set di dati più grandi e dettagliati che descrivono diversi sistemi naturali e artificiali vengono prodotti a un ritmo sempre più veloce. Questo diluvio di dati ha fornito una quantità senza precedenti di informazioni sui fenomeni sociali, biologici e tecnologici, consentendo una migliore caratterizzazione della struttura di diversi sistemi complessi e una comprensione più approfondita dei meccanismi alla base del loro funzionamento. Da un lato, le reti multistrato rappresentano una cornice naturale per tenere adeguatamente conto di tutti i diversi tipi di relazioni che collegano le unità di un sistema, in modo coerente. D'altro canto, la gestione di grafi multistrato introduce nuove sfide computazionali, che potrebbero limitare l'applicabilità dell'approccio multistrato a sistemi di grandi dimensioni. In effetti, la valutazione della versione multistrato anche dei descrittori di rete più elementari, come la lunghezza media del percorso minimo, il coefficiente di clustering dei nodi, l'interezza dei nodi e i motivi di rete, tendono a scalare in modo esponenziale con il numero di strati del sistema e potrebbe diventare già troppo impegnativo dal punto di vista computazionale per i sistemi di medie dimensioni.

Un'osservazione fondamentale è che non tutti i livelli di interazione disponibili tra i costituenti di un sistema complesso hanno la stessa importanza e alcuni di essi potrebbero essere ridondanti, irrilevanti o non informativi, rispetto alla struttura complessiva del sistema. Da qui l'idea di fornire un modo coerente per aggregare alcuni degli strati di una rete multistrato in base alla loro somiglianza, misurata dalla divergenza quantistica Jensen-Shannon, e di cercare configurazioni di strati che garantiscano la massima distinguibilità possibile dal grafico completamente aggregato e utilizza ancora un numero minimo di livelli. L'approccio proposto consente di ridurre efficacemente la ridondanza di una rete multistrato, come ampiamente mostrato nell'articolo per il caso delle reti di interazione proteina-genetica di diverse specie.

Tuttavia, l'applicabilità di questo metodo non è limitata ai sistemi biologici. A titolo di esempio, lo abbiamo applicato anche ai sistemi sociali 17 ed economici, alle reti di coautorietà 36 , alle reti di trasporto metropolitano 24 e ai sistemi di trasporto aereo continentale 20 (vedi Tabella 1). Un caso particolarmente interessante è quello della rete mondiale di import/export alimentare della FAO (Food and Agriculture Organization of the United Nations), una rete economica in cui gli strati rappresentano i prodotti, i nodi sono i paesi e i bordi ad ogni strato rappresentano le relazioni di import/export di un prodotto alimentare specifico tra i paesi. Abbiamo raccolto i dati da http://www.fao.org e costruito la rete multistrato corrispondente al trading nel 2010. In Fig. 5 mostriamo la matrice delle distanze e la visualizzazione della rete di tre strati rappresentativi. La procedura di clustering gerarchico rivela che fino a 158 dei 340 livelli disponibili possono essere effettivamente ridotti, ottenendo un valore vicino al 50%. Curiosamente, gli strati aggregati nelle fasi precedenti della procedura di clustering corrispondono a prodotti caratterizzati da modelli di import/export simili, come accade ad esempio per gli strati associati a noci, cacao, frutta secca e preparata, caffè tostato e derivati ​​del caffè. prodotti, che riguardano principalmente l'esportazione da Australia, Cina e Africa verso i paesi europei e gli Stati Uniti.

La matrice delle distanze dei tre strati del set di dati FAO sulle importazioni/esportazioni alimentari mondiali, corrispondenti a tre prodotti specifici (cioè "radici e tuberi", "noci preparate" e "frutta secca"), è mostrata in un, mentre la topologia dei tre strati è riportata in B. Gli strati corrispondenti a 'noci preparate' e 'frutta secca', più simili tra loro (cioè più vicini rispetto alla divergenza Jensen–Shannon), sono infatti aggregati dall'algoritmo in un unico cluster, mentre il ' strato di radici e tuberi, che è caratterizzato da una topologia notevolmente diversa come evidente da B, è tenuto separato. Riquadri mappa di Stamen Design, sotto CC BY 3.0. Dati di OpenStreetMap, sotto CC BY SA.

Al contrario, il numero di strati nelle reti multistrato dei sistemi di trasporto aereo non può essere sostanzialmente ridotto (le poche aggregazioni consentite corrispondono a strati associati a compagnie molto piccole, operanti su una o due sole rotte), in accordo con il fatto che le compagnie aeree tendono ridurre al minimo la sovrapposizione delle rotte con altri operatori, per evitare una forte concorrenza. Questo risultato indica che la connettività tra gli aeroporti non è praticamente ridondante per nessuna compagnia aerea, come previsto per una moderna infrastruttura di trasporto su larga scala. Risultati simili si ottengono per la rete di trasporto metropolitano di Londra, in cui la sovrapposizione tra diverse linee è volutamente evitata per garantire una copertura più efficiente dell'area metropolitana. In questo caso la soluzione ottimale corrisponde alla rete multiplex in cui tutte le linee di trasporto sono mantenute separate, con la sola eccezione della Circle Line e della Hammersmith e della City Line, che, come previsto, vengono aggregate tra loro, in quanto si sovrappongono notevolmente nella Zona 1 e nella Zona 2 (in realtà condividono gli stessi binari e stazioni tra Hammersmith e Liverpool Street).

Si evidenzia chiaramente che quantificando la riducibilità di una rete multistrato si ottengono informazioni sulla ridondanza strutturale dei diversi strati del sistema. Tuttavia, nel caso particolare in cui gli strati di interazione siano funzionalmente simili, come nel caso delle reti di trasporto unimodali o delle reti di collaborazione multidisciplinari (ma non per le reti di interazione gene-proteina), la rete multistrato ottimale risultante dalla procedura di riduzione proposta nella lo studio potrebbe anche essere impiegato, almeno in una certa misura, per caratterizzare il comportamento dinamico del sistema. Siamo fiduciosi che questo aspetto sarà oggetto di ulteriori ricerche sul campo.

Vale la pena notare che sebbene il problema della riduzione del numero di strati di una rete multistrato possa essere affrontato da diverse prospettive e possa in linea di principio essere risolto con tecniche diverse (la maggior parte delle quali ancora da esplorare), il quadro fornito dalla Von L'entropia di Neumann dei grafi permette di formulare questo problema in modo naturale, e di utilizzare un insieme standardizzato di strumenti –presi in prestito dalla fisica quantistica– per definire relazioni di similarità tra strati (in termini di divergenza Jensen–Shannon) e per costruire una funzione di qualità in grado di identificare le configurazioni ottimali dei livelli in termini di distinguibilità dal grafico aggregato. Ci teniamo inoltre a sottolineare che è interessante il problema di ottenere rappresentazioni più compatte di reti multistrato di per sé e ci aspettiamo che il presente lavoro innescherà l'indagine di metodi più sofisticati per la sua soluzione. Al di là della riducibilità strutturale, la riducibilità di una rete multistrato, pur preservandone la dinamica e la funzione, rimane un problema di ricerca in sospeso 37,38,39.

Troviamo piuttosto notevole che l'analogia formale tra i sistemi quantistici e le reti multistrato permetta di formulare il problema della riducibilità degli strati in termini di divergenza dell'entropia quantistica, e crediamo che questa analogia dovrebbe essere ulteriormente sfruttata, in quanto potrebbe effettivamente fornire una nuova prospettiva sulla caratterizzazione della struttura di sistemi complessi multistrato.


Reti multiplex

Autori: Cozzo, E., Arruda, G.F., Rodrigues, FA., Moreno, Y.

  • Contiene le basi di un linguaggio formale completo per il trattamento di reti multiplex
  • Contiene la generalizzazione della rete monoplex standard alle reti multiplex
  • Fornisce una procedura standard per sviluppare metriche strutturali consolidateestablish
  • Stabilisce un quadro per lo studio delle proprietà spettrali delle reti multiplex

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  • ISBN 978-3-319-92255-3
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Questo libro fornisce le basi di un linguaggio formale ed esplora le sue possibilità nella caratterizzazione delle reti multiplex. Armati del formalismo sviluppato, gli autori definiscono le metriche strutturali per le reti multiplex. Viene inoltre presentata una metodologia per generalizzare metriche strutturali monoplex a reti multiplex in modo che il lettore sia in grado di generalizzare altre metriche di interesse in modo sistematico. Pertanto, questo libro servirà come guida per lo sviluppo teorico di nuove metriche multiplex.
Inoltre, questo Brief descrive le proprietà spettrali di queste reti in relazione ai concetti della teoria algebrica dei grafi e della teoria dei polinomi matriciali. Il testo è completato dall'analisi delle diverse transizioni strutturali presenti nei sistemi multiplex nonché da una breve panoramica di alcuni processi dinamici rappresentativi.
Reti multiplex si rivolge a studenti, ricercatori e professionisti nei campi della scienza delle reti, della teoria dei grafi e della scienza dei dati.

Emanuele Cozzo ha conseguito una laurea in Fisica e una laurea magistrale in Fisica Matematica, entrambe presso l'Università "La Sapienza" di Roma. Ha conseguito il dottorato di ricerca in Fisica presso l'Università di Saragozza, lavorando presso l'Istituto BIFI sulla struttura e la dinamica delle reti multiplex. Durante il dottorato ha pubblicato diversi articoli seminali su reti multiplex. Attualmente è ricercatore postdoc presso l'Università di Barcellona e membro dell'Istituto per i sistemi complessi dell'Università di Barcellona (UBICS).

Guilherme Ferraz de Arruda si è laureato in ingegneria elettrica nel 2011 con specializzazione in sistemi digitali e teoria del controllo presso il CESE-Università di San Paolo, Brasile. Ha conseguito il master (2013) e il dottorato di ricerca. (2017) presso ICMC-Università di São Paulo, Brasile, entrambi in reti complesse. Il suo dottorato tesi dal titolo "Modellazione dei processi di diffusione in reti complesse" dove ha studiato i processi di diffusione sia in reti singole che multistrato. Attualmente è ricercatore presso la Fondazione ISI.

Francisco A. Rodrigues è professore associato presso l'Istituto di Matematica e Informatica (ICMC), Università di São Paulo - Brasile. Ha conseguito una laurea in Fisica (2001, laurea triennale) e un master in Fisica Computazionale (2004), entrambi presso l'Università di São Paulo. Nel 2007, ha conseguito il dottorato di ricerca in Fisica presso l'Istituto di Fisica di São Carlos (Università di São Paulo). Dal 2011 è merit Scholar del Consiglio Nazionale Brasiliano delle Ricerche (CNPq). Ha coordinato diversi progetti di ricerca (anche internazionali). Francisco ha pubblicato più di 75 articoli su riviste scientifiche, ricevendo più di 3.600 citazioni. Nel 2018, Francisco è stato professore associato di Leverhulme presso l'Università di Warwick, Mathematics Institute, lavorando presso il Center for Complexity Science. Si occupa di reti complesse dal 2004.

Yamir Moreno è il capo del Laboratorio di Sistemi e Reti Complessi (COSNET) e Professore di Fisica presso il Dipartimento di Fisica Teorica della Facoltà di Scienze dell'Università di Saragozza. È vicedirettore dell'Istituto di Biocomputazione e Fisica dei Sistemi Complessi (BIFI). Il Prof. Moreno ha conseguito il dottorato di ricerca in Fisica (Summa Cum Laude, 2000) presso l'Università di Saragozza e ha pubblicato più di 190 articoli scientifici su riviste internazionali peer-reviewed. I suoi lavori di ricerca hanno raccolto più di 13300 citazioni con h-index=47 (a marzo 2017, ISI WoK, 24300+ e 59, rispettivamente, come fornito da Google Scholar). Attualmente è Divisional Associate Editor di Physical Review Letters, membro dell'Editorial Board di Scientific Reports e Applied Network Science, Editor del Journal of Complex Networks e Academic Editor di PLoS ONE. Il Prof. Moreno è eletto Presidente della Complex Systems Society (CSS) e Vicepresidente della Network Science Society. Il Prof. Moreno è anche Research Leader presso la Fondazione ISI a Torino, Italia e una Facoltà esterna del Complexity Science Hub Vienna, Austria.


Reti multiplex: proprietà spettrali

Uno dei compiti più impegnativi nella comprensione delle proprietà dinamiche dei modelli su reti complesse è catturare il ruolo preciso delle topologie multiplex. In un recente articolo, Gómez et al. [Fis. Rev. Lett. 110, 028701 (2013)], alcuni degli autori hanno proposto un framework per lo studio dei processi di diffusione in tali reti. Qui, estendiamo il quadro precedente per trattare le configurazioni generali in più strati di reti e analizzare il comportamento dello spettro del Laplaciano del multiplex completo. Ne deriviamo un interessante disaccoppiamento del problema che ci permette di svelare il ruolo svolto dalle interconnessioni del multiplex nei processi dinamici al di sopra di esse. Sfruttando questo disaccoppiamento eseguiamo un'analisi asintotica che ci consente di derivare espressioni analitiche per l'intero spettro di autovalori. Questo spettro viene utilizzato per ottenere informazioni sui fenomeni fisici oltre al multiplex, in particolare sui processi di diffusione e sincronizzazione.

Rete multiplex con tre livelli collegati come 1-2-3

Gli autovalori (lambda_2) (blu) più piccoli e diversi da zero (lambda_N) (verde) sono mostrati in funzione dell'accoppiamento intercalare (D_x) con le linee teoriche (grigio).

Rete multiplex con tre livelli collegati come 1-2-3-1

Gli autovalori (lambda_2) (blu) più piccoli e diversi da zero (lambda_N) (verde) sono mostrati in funzione dell'accoppiamento intercalare (D_x) con le linee teoriche (grigio).

Eigenratio di una rete multiplex a due strati

L'eigenratio (R)=(lambda_N)/(lambda_2) è mostrato in funzione dell'accoppiamento intercalare (D_x) (cerchi) con le previsioni teoriche per debole (blu) e forte ( rosso) giunto intercalare.

I dettagli per le reti multiplex nonché i calcoli analitici relativi all'analisi delle proprietà spettrali della loro matrice laplaciana (cosiddetta sopra-laplacia) possono essere trovati nei riferimenti citati di seguito.


Teoria delle reti

Che cos'è una rete multistrato??
Una rete multistrato -di cui le reti multiplex e interdipendenti sono casi particolari- è una rete composta da più strati, ognuno dei quali rappresenta una data modalità operativa, circolo sociale o istanza temporale. Si ritiene che questo nuovo paradigma nella Network Science sia il prossimo passo verso una migliore e completa comprensione dei moderni sistemi informatici, sociali e fisici come i social network online, i sistemi di trasporto, le reti metaboliche e regolatorie, ecc. Di seguito, sviluppiamo un po' di più la necessità di studiare queste reti e quali sono le sfide attuali. Descriviamo anche brevemente il nostro lavoro in questa linea di ricerca. Per illustrare le potenzialità di questo quadro, menzioniamo innanzitutto un processo dinamico che potrebbe trarne grande beneficio: la diffusione di una o più malattie o ceppi su una popolazione ospite.

Diffusione dell'epidemia nelle reti multistrato.
Questa è probabilmente una delle applicazioni più immediate delle reti multistrato. In questo caso, il nuovo approccio consente di studiare scenari in cui due o più malattie interagiscono in modo cooperativo -cioè potenziandosi a vicenda- o competitivo-cioè conferendo un certo grado di immunità alla popolazione ospite rispetto alle altre malattie e riducendone così la impatto. Poiché la popolazione ospite è la stessa, si può “spiegare” la sua struttura e considerare che ogni malattia si propaga in uno strato, consentendo quindi diverse reti di contatti per ciascuna di esse. Gli strati sono collegati da collegamenti tra gli stessi nodi, in quanto rappresentano gli stessi individui della popolazione ospite. Vedi il nostro articolo qui sotto sulle malattie interagenti per maggiori dettagli.

Quali nuove intuizioni si ottengono quando la diffusione di una malattia avviene su una rete multistrato?: Presentiamo una formulazione continua della diffusione epidemica su reti multistrato utilizzando una rappresentazione tensoriale, estendendo i modelli delle reti monoplex a questo contesto. Deriviamo espressioni analitiche per la soglia epidemica delle dinamiche suscettibili-infetti-sensibili (SIS) e suscettibili-infetti-recuperati, nonché i limiti superiore e inferiore per la prevalenza della malattia allo stato stazionario per lo scenario SIS. Utilizzando il metodo dello stato quasistazionario, mostriamo numericamente l'esistenza della localizzazione della malattia e l'emergere di due o più picchi di suscettibilità, che sono caratterizzati analiticamente e numericamente attraverso il rapporto di partecipazione inverso. In contrasto con quanto osservato nelle reti a strato singolo, mostriamo che la localizzazione della malattia avviene sugli strati e non sui nodi di un dato strato. Inoltre, quando si mappa la dinamica critica a un problema agli autovalori, osserviamo una transizione caratteristica negli spettri agli autovalori del tensore sopra-contatto in funzione del rapporto tra due velocità di diffusione: Se la velocità con cui la malattia si diffonde all'interno di uno strato è paragonabile alla velocità di diffusione tra gli strati, gli spettri individuali di ogni strato si fondono con l'accoppiamento tra gli strati. Infine, riportiamo un fenomeno interessante, l'effetto barriera cioè, per una configurazione a tre strati, quando lo strato con l'autovalore più basso si trova al centro della linea, può agire efficacemente da barriera alla malattia. Il formalismo qui introdotto fornisce un approccio matematico unificante al contagio delle malattie nei sistemi multiplex, aprendo nuove possibilità per lo studio dei processi di diffusione.

Una rappresentazione di rete multistrato consente di affrontare sfide come l'interazione di due o più malattie sulla stessa popolazione ospite??: L'attuale modellizzazione delle malattie infettive consente lo studio di scenari complessi e realistici che vanno dalla popolazione al livello di descrizione individuale. Tuttavia, la maggior parte dei modelli epidemici presuppone che il processo di diffusione avvenga su un unico livello (che si tratti di una singola popolazione, di un sistema di metapopolazione o di una rete di contatti). In particolare, i fenomeni di contagio interdipendente possono essere affrontati solo se si va oltre lo schema-uno patogeno-uno rete. In questo lavoro proponiamo un quadro che ci permetta di descrivere le dinamiche di diffusione di due malattie concomitanti. Nello specifico, caratterizziamo analiticamente le soglie epidemiche delle due malattie per diversi scenari e calcoliamo l'evoluzione temporale che caratterizza le dinamiche in atto. I risultati mostrano che ci sono regioni dello spazio dei parametri in cui l'insorgenza di un focolaio di malattia è condizionata dai livelli di prevalenza dell'altra malattia. Inoltre, mostriamo, per lo schema suscettibile-infetto-suscettibile, che in determinate circostanze, si trovano soglie epidemiche finite e non evanescenti anche al limite per le reti scale-free. Per lo scenario suscettibile-infetto-rimosso, la fenomenologia è più ricca e si presentano ulteriori interdipendenze. Troviamo anche che le soglie secondarie per i modelli suscettibili-infetti-suscettibili e suscettibili-infetti-rimossi sono diverse, il che deriva direttamente dall'interazione tra entrambe le malattie. Il nostro lavoro risolve quindi un problema importante e apre la strada a una descrizione più completa delle dinamiche delle malattie interagenti.

Le reti multistrato sono state oggetto di intense ricerche negli ultimi anni, poiché rappresentano meglio la natura interdipendente di molti sistemi del mondo reale. Qui affrontiamo la questione della descrizione delle tre diverse fasi strutturali in cui potrebbe esistere una rete multiplex. Mostriamo che ogni fase può essere caratterizzata dalla presenza di gap nello spettro del sopra-laplaciano della rete multiplex. Sveliamo quindi l'esistenza di diverse scale topologiche nel sistema, la cui relazione caratterizza ciascuna fase. Inoltre, sfruttando la rappresentazione a grana grossa data in termini di grafici dei quozienti, spieghiamo i meccanismi che producono tali lacune e le loro conseguenze dinamiche.

Una prospettiva multistrato per l'analisi dei sistemi di trasporto urbano.
A. Aleta, S. Meloni e Y. Moreno, presentati per la pubblicazione (2017).
I sistemi di mobilità urbana pubblica sono composti da più modalità di trasporto collegate tra loro. La maggior parte degli studi sulla mobilità e sulla pianificazione urbana spesso ignorano la natura multistrato dei sistemi di trasporto considerando solo versioni aggregate di questo complesso scenario. In questo lavoro presentiamo un modello per la rappresentazione del sistema di trasporto di un'intera città come rete multiplex. Utilizzando due diverse prospettive, una in cui ogni linea è uno strato e una in cui sono raggruppate le linee della stessa modalità di trasporto, studiamo la struttura interconnessa di 9 diverse città europee che vanno dalle piccole città alle megalopoli come Londra e Berlino evidenziandone le vulnerabilità e i possibili miglioramenti. Infine, per la città di Saragozza in Spagna, prendiamo in considerazione anche i dati sugli orari del servizio e sui tempi di attesa, che ci consentono di creare un modello semplice ma realistico per la mobilità urbana in grado di riprodurre fatti del mondo reale e di testare miglioramenti della rete.

Proprietà di ridimensionamento delle reti casuali multistrato.
J. A. Méndez-Bermúdez, G. Ferraz de Arruda, F. A. Rodrigues e Y. Moreno, presentato per la pubblicazione (2017).
Le reti multistrato sono molto diffuse nei sistemi naturali e artificiali. Le proprietà chiave di queste reti sono le loro caratteristiche spettrali e autofunzionali, poiché determinano le proprietà critiche di molte dinamiche che si verificano al di sopra di esse. In questo articolo, dimostriamo numericamente che la lunghezza di localizzazione normalizzata delle autofunzioni delle reti casuali multistrato segue una semplice legge di scala. La legge di scala riportata potrebbe aiutare a comprendere meglio la criticità nelle reti multistrato ea prevedere le proprietà di localizzazione delle autofunzioni di esse.

Lévy random walk su reti multiplex.
Q. Guo, E. Cozzo, Z. Zheng e Y. Moreno, Rapporti scientifici 6:37641 (2016).
Le passeggiate casuali costituiscono un meccanismo fondamentale per molte dinamiche che hanno luogo su reti complesse. Inoltre, come descrizione più realistica della nostra società, le reti multiplex stanno ricevendo un interesse crescente, così come i processi dinamici che si verificano al di sopra di esse. Qui, ispirati da un modello specifico di passeggiate casuali che sembra essere onnipresente in molti campi scientifici, il volo di Lévy, studiamo una nuova strategia di navigazione su reti multiplex. Sfruttando le teorie dei grafi spettrali e delle matrici stocastiche, deriviamo espressioni analitiche per il tempo medio di primo passaggio e il tempo medio per raggiungere un nodo su queste reti. Inoltre, esploriamo anche l'efficienza delle passeggiate casuali di Lévy, che abbiamo trovato molto diverse rispetto allo scenario a strato singolo, tenendo conto della struttura e delle dinamiche inerenti alla rete multiplex. Infine, confrontando con alcuni altri importanti processi di random walk definiti su reti multiplex, troviamo che in alcune regioni dei parametri, un random walk di Lévy è la strategia più efficiente. Our results give us a deeper understanding of Lévy random walks and show the importance of considering the topological structure of multiplex networks when trying to find efficient navigation strategies.

On degree-degree correlations in multilayer networks.
G. Ferraz de Arruda, E. Cozzo, Y. Moreno, and F. A. Rodrigues, Physica D 323-324, 5 (2016).
We propose a generalization of the concept of assortativity based on the tensorial representation of multilayer networks, covering the definitions given in terms of Pearson and Spearman coefficients. Our approach can also be applied to weighted networks and provides information about correlations considering pairs of layers. By analyzing the multilayer representation of the airport transportation network, we show that contrasting results are obtained when the layers are analyzed independently or as an interconnected system. Finally, we study the impact of the level of assortativity and heterogeneity between layers on the spreading of diseases. Our results highlight the need of studying degree–degree correlations on multilayer systems, instead of on aggregated networks.

Multilayer networks: metrics and spectral properties.
E. Cozzo, G. Ferraz de Arruda, F. A. Rodrigues, and Y. Moreno, Chapter contribution to the book “Interconnected networks”, edited by F. Schweitzer and A. Garas. ISBN 978-3-319-23947-7, Springer (2016).
Multilayer networks represent systems in which there are several topological levels each one representing one kind of interaction or interdependency between the systems’ elements. These networks have attracted a lot of attention recently be- cause their study allows considering different dynamical modes concurrently. Here, we revise the main concepts and tools developed up to date. Specifically, we focus on several metrics for multilayer network characterization as well as on the spectral properties of the system, which ultimately enable for the dynamical characterization of several critical phenomena. The theoretical framework is also applied for description of real-world multilayer systems.


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