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72: Introduzione all'aritmetica dei numeri complessi - Matematica


72: Introduzione all'aritmetica dei numeri complessi - Matematica

Sezione A.3. OPERAZIONI ARITMETICHE SU NUMERI COMPLESSI

Quale delle forme precedenti per C nell'Eq. (A-1) è il migliore da usare? Dipende dall'operazione aritmetica che vogliamo eseguire. Ad esempio, se aggiungiamo due numeri complessi, la forma rettangolare nell'Eq. (A-1) è il più facile da usare. La somma di due numeri complessi, C1 = R1 + jI1 e C2 = R2 + jI2, è semplicemente la somma delle parti reali più j per la somma delle parti immaginarie come

La Figura A-3 è una rappresentazione grafica della somma di due numeri complessi utilizzando il concetto di fasori. Qui la somma dei fasori C1 + C2 nella Figura A-3(a) è il nuovo fasore dall'inizio del fasore C1 alla fine del fasore C2 nella Figura A-3(b). Ricorda, la R e la I possono essere numeri positivi o negativi. Sottrarre un numero complesso dall'altro è semplice finché troviamo separatamente le differenze tra le due parti reali e le due parti immaginarie. così

Equazione A-11

Figura A-3. Rappresentazione geometrica della somma di due numeri complessi.

Un esempio di addizione di numeri complessi è discusso nella Sezione 11.3, dove abbiamo trattato l'argomento della media degli output della trasformata di Fourier veloce.

A.3.2 Moltiplicazione di numeri complessi

Possiamo usare la forma rettangolare per moltiplicare due numeri complessi come

Equazione A-12

Tuttavia, se rappresentiamo i due numeri complessi in forma esponenziale, il loro prodotto assume la forma più semplice

Equazione A-13

perché la moltiplicazione porta alla somma degli esponenti.

Come caso speciale di moltiplicazione di due numeri complessi, la scalatura è la moltiplicazione di un numero complesso per un altro numero complesso la cui parte immaginaria è zero. Possiamo usare le forme rettangolari o esponenziali con uguale facilità come segue:

Equazione A-14

Equazione A-15

A.3.3 Coniugazione di un numero complesso

Il complesso coniugato di un numero complesso si ottiene semplicemente cambiando il segno della parte immaginaria del numero. Quindi, se indichiamo C* come il complesso coniugato del numero C = R + jI = Mejø, allora C* è espresso come

Equazione A-16

Ci sono due caratteristiche dei coniugati che a volte tornano utili. Innanzitutto, il coniugato di un prodotto è uguale al prodotto dei coniugati. Cioè, se C = C1C2, allora dall'Eq. (A-13),

Equazione A-17

In secondo luogo, il prodotto di un numero complesso e il suo coniugato è la magnitudine del numero complesso al quadrato. È facile mostrarlo in forma esponenziale come

Equazione A-18

(Questa proprietà viene spesso utilizzata nell'elaborazione del segnale digitale per determinare la potenza relativa di un fasore sinusoidale complesso rappresentato da Mejwt.)

A.3.4 Divisione di numeri complessi

La divisione di due numeri complessi è anche conveniente usando le forme esponenziale e modulo e angolo, come

Equazione A-19

Equazione A-19'

Sebbene non sia così pratico, possiamo eseguire una divisione complessa in notazione rettangolare moltiplicando il numeratore e il denominatore per il complesso coniugato del denominatore come

Equazione A-20

A.3.5 Inverso di un numero complesso

Una forma speciale di divisione è l'inverso, o reciproco, di un numero complesso. Se C = Mejø, il suo inverso è dato da

Equazione A-21

In forma rettangolare, l'inverso di C = R + jI è dato da

Equazione A-22

Otteniamo l'eq. (A-22) sostituendo R1 = 1, I1 = 0, R2 = R e I2 = I nell'Eq. (A-20).

A.3.6 Numeri complessi elevati a potenza

L'elevazione di un numero complesso a una certa potenza è facilmente eseguibile nella forma esponenziale. Se C = Mejø , allora

Equazione A-23

Ad esempio, se C = 3ej125°, allora C al cubo è

Equazione A-24

Concludiamo questa appendice con quattro complesse operazioni aritmetiche che non sono molto comuni nell'elaborazione del segnale digitale&mdash ma potresti averne bisogno prima o poi.

A.3.7 Radici di un numero complesso

La radice k-esima di un numero complesso C è il numero che, moltiplicato per se stesso k volte, dà come risultato C. La forma esponenziale di C è il modo migliore per esplorare questo processo. Quando un numero complesso è rappresentato da C = Mejø, ricorda che può essere rappresentato anche da

Equazione A-25

In questo caso, la variabile ø nell'Eq. (A-25) è in gradi. Ci sono k radici distinte quando troviamo la kesima radice di C. Per distinte intendiamo le radici i cui esponenti sono inferiori a 360°. Troviamo quelle radici usando quanto segue:

Equazione A-26

Successivamente, assegniamo i valori 0, 1, 2, 3, . . ., k&ndash1 a n nell'Eq. (A-26) per ottenere le radici k di C. OK, abbiamo bisogno di un esempio qui! Diciamo che stiamo cercando la radice cubica (terza) di C = 125ej(75°). Procediamo come segue:

Equazione A-27

Quindi assegniamo i valori n = 0, n = 1 e n = 2 all'Eq. (A-27) per ottenere le tre radici di C. Quindi le tre radici distinte sono

A.3.8 Logaritmi naturali di un numero complesso

Prendere il logaritmo naturale di un numero complesso C = Mejø è semplice usando la notazione esponenziale che è

Equazione A-28

dove 0 ø < 2p . A titolo di esempio, se C = 12ejp/4, il logaritmo naturale di C è

Equazione A-29

Ciò significa che e(2.485 + j0.785) = e2.485 &punto medio ej0.785 = 12ejp/4.

A.3.9 Logaritmo in base 10 di un numero complesso

Possiamo calcolare il logaritmo in base 10 del numero complesso C = Mejø usando

Equazione A-30

Ovviamente e è il numero irrazionale, approssimativamente uguale a 2,71828, il cui log in base 10 è approssimativamente 0,43429. Tenendo presente questo, possiamo semplificare l'Eq. (A-30) come

Equazione A-31

Ripetendo l'esempio sopra con C = 12ejp/4 e usando l'Eq. (A-31), il logaritmo in base 10 di C è C

Per il secondo termine del risultato dell'Eq. (A-30) abbiamo usato loga(xn) = n·logax secondo la legge dei logaritmi.

Equazione A-32

Il risultato dell'eq. (A-32) significa che

Equazione A-33

A.3.10 Log in base 10 di un numero complesso utilizzando i logaritmi naturali

Sfortunatamente, alcuni pacchetti software di matematica non hanno una funzione logaritmica in base 10 e possono calcolare solo i logaritmi naturali. In questa situazione, usiamo semplicemente

Equazione A-34

calcolare il logaritmo in base 10 di x. Usando questo cambio di formula di base, possiamo trovare il logaritmo in base 10 di un numero complesso C = Mejø cioè,

Equazione A-35

Poiché log10(e) è approssimativamente uguale a 0,43429, usiamo l'Eq. (A-35) per affermare che

Equazione A-36

Ripetendo, ancora, l'esempio sopra di C = 12ejp/4, l'Eq. L'approssimazione (A-36) ci permette di prendere il logaritmo in base 10 di C usando i logaritmi naturali come


Esempi

In precedenza, ti è stato chiesto come pensare al valore assoluto di un numero complesso. Un buon modo per pensare al valore assoluto per tutti i numeri è definirlo come la distanza da un numero a zero. Nel caso di numeri complessi in cui un singolo numero è in realtà una coordinata su un piano, zero è l'origine.

Calcola manualmente la seguente potenza e usa la calcolatrice per supportare il tuo lavoro.

((sqrt<3>+2 i) cdot(sqrt<3>+2 i) cdot(sqrt<3>+2 i))

Una TI-84 può essere commutata in modalità immaginaria e quindi calcolare esattamente ciò che hai appena fatto. Nota che la calcolatrice fornirà un'approssimazione decimale per (-9 sqrt<3>).

Semplifica la seguente espressione complessa.

Per sommare le frazioni devi trovare un denominatore comune.

Eliminare infine la componente immaginaria dal denominatore utilizzando il coniugato.

Semplifica il seguente numero complesso.

Quando si semplificano i numeri complessi, (i) non dovrebbe avere una potenza maggiore di 1 . Le potenze di (i) si ripetono in un ciclo di quattro parti:

Pertanto, devi solo determinare dove si trova il 2013 nel ciclo. Per fare ciò, determina il resto quando dividi 2013 per 4 . Il resto è 1 quindi (i^<2013>=i).

Traccia il seguente numero complesso sul piano delle coordinate complesse e determina il suo valore assoluto.

I lati del triangolo rettangolo sono 5 e (12,) che dovresti riconoscere come pitagorico

tripla con ipotenusa 13. (|-12+5 i|=13).

Semplifica i seguenti numeri complessi.

Per ciascuno dei seguenti, tracciare il numero complesso sul piano delle coordinate complesse e


Cenni sui numeri complessi

Basandomi sulla narrativa di Cut-the-Knot, fornisco ai miei studenti una breve storia del sistema numerico che usiamo attualmente. Disegno un diagramma alla lavagna come un diagramma di Venn di numeri complessi per supportare la discussione. Nel presentare la storia, sottolineo che i nomi dati alle varie serie di numeri indicano lo scetticismo che circondava la loro utilità. Penso che questo aiuti i miei studenti a superare il proprio scetticismo sull'utilità dei numeri immaginari.

I miei studenti non hanno ancora abbastanza conoscenze matematiche per capire veramente l'utilità dei numeri complessi, ma cerco di dare loro un'intuizione che i numeri complessi sono utili per rappresentare quantità che hanno due parti. Ad esempio, in un semplice programma per computer, l'aggiunta di un numero complesso potrebbe spostare un oggetto sia a destra che in alto contemporaneamente. Allo stesso modo dico ai miei studenti che, poiché le operazioni con i numeri complessi hanno usi nell'animazione al computer, nella teoria delle onde, nella meccanica quantistica, nell'elettricità e in altri campi, impariamo le basi di queste operazioni in Algebra 2 [MP4].


Groovy non fornisce alcuna funzione incorporata per l'aritmetica complessa. Tuttavia, supporta l'overload di operatori aritmetici. Quindi non è troppo difficile costruire una classe di numeri complessi abbastanza robusta, completa e intuitiva, come la seguente:

Il seguente Categoria complessa classe consente la modifica di regular Numero comportamento quando si interagisce con Complesso.

Notare anche che questa soluzione sfrutta ampiamente il pieno supporto Unicode di Groovy, incluso il supporto per alfabeti non inglesi usati negli identificatori.

Test Program (mescola i metodi ComplexCategory nella classe Number):


Aritmetica con numeri complessi

Ciao, sono nuovo di Java, ho provato ma è qui che sono bloccato. Apprezzerei davvero se potessi aiutarmi con questo! Sto costruendo un progetto, questo sarà un riferimento in futuro se mai dovessi entrare in contatto con un problema che riguarda l'aritmetica. Grazie in anticipo.

Crea una classe chiamata Complex per eseguire calcoli con numeri complessi. I numeri complessi hanno la forma

parte reale + parte immaginaria * i

dove i è radice quadrata di -1

Usa variabili a virgola mobile per rappresentare i dati privati ​​della classe. Fornire un costruttore che consente l'inizializzazione di un oggetto di questa classe quando viene dichiarato.

Crea due oggetti Complessi con valore di (9.5, 7.7) e (1.2, 3.1).

Fornire un costruttore senza argomenti con valori predefiniti nel caso in cui non vengano forniti inizializzatori. Fornire metodi pubblici che eseguono le seguenti operazioni:

a) Aggiungi due numeri complessi: le parti reali vengono sommate e le parti immaginarie vengono sommate. Quindi, se abbiamo (a + bi) + (c + di)), il risultato dovrebbe essere (a + c) + (b + d) i.

b) Sottrai due numeri complessi: la parte reale dell'operando di destra viene sottratta dalla parte reale dell'operando di sinistra e la parte immaginaria dell'operando di destra viene sottratta dalla parte immaginaria dell'operando di sinistra. Quindi, se abbiamo (a + bi) - (c + di)), il risultato dovrebbe essere (a - c) + (b - d) i.

c) Moltiplicare due numeri complessi: la parte reale del risultato è la parte reale dell'operando di destra moltiplica la parte reale dell'operando di sinistra meno la parte immaginaria dell'operando di destra moltiplica la parte immaginaria dell'operando di sinistra. La parte immaginaria del risultato è la parte reale dell'operando sinistro moltiplicare la parte immaginaria dell'operando sinistro più la parte immaginaria dell'operando sinistro moltiplicare la parte reale dell'operando destro. Quindi, se abbiamo (a + bi) * (c + di)), il risultato dovrebbe essere (ac - bd) + (ad + bc) i.

d) Divisione due Numeri complessi: Impostiamo il valore della parte reale del quadrato del denominatore più la parte immaginaria del quadrato del denominatore è A. La parte reale del risultato è la parte reale del numeratore moltiplica la parte reale del denominatore più la parte immaginaria del numeratore moltiplicare la parte immaginaria del denominatore e divisa per A. La parte immaginaria del risultato è la parte reale dell'operando sinistro moltiplicare la parte immaginaria dell'operando sinistro più la parte immaginaria dell'operando sinistro moltiplicare il reale parte dell'operando destro. Quindi, se abbiamo (a + bi) / (c + di)), il risultato dovrebbe essere (ac+bd)+i(bc-ad))/(c2+d2).

e) Stampa Numeri complessi nella forma (a, b), dove a è la parte reale eb è la parte immaginaria.


Sezione A.2. RAPPRESENTAZIONE ARITMETICA DI NUMERI COMPLESSI

Le equazioni (A-1'') e (A-1''') ci ricordano che il numero complesso C può essere considerato anche la punta di un fasore sul piano complesso, di modulo M, nella direzione di ø gradi rispetto all'asse reale positivo come mostrato nella Figura A-2. (Eviteremo di chiamare il fasore M un vettore perché il termine vettore significa cose diverse in contesti diversi. Nell'algebra lineare, vettore è il termine usato per indicare una matrice unidimensionale. D'altra parte, nell'ingegneria meccanica e nella teoria dei campi, i vettori sono usati per indicare grandezze e direzioni, ma ci sono operazioni vettoriali (prodotto scalare o scalare e vettore o prodotto incrociato) che non si applicano alla nostra definizione di fasore.) Le relazioni tra le variabili in questa figura seguono il trigonometria standard dei triangoli rettangoli. Tieni presente che C è un numero complesso e le variabili R, I, M e ø sono tutti numeri reali. Il modulo di C, a volte chiamato modulo di C, è

Equazione A-2

e, per definizione, l'angolo di fase, o argomento, di C è l'arcotangente di I/R, o

Equazione A-3

La variabile ø nell'eq. (A-3) è un termine angolare generale. Può avere dimensioni di gradi o radianti. Ovviamente, possiamo convertire avanti e indietro tra gradi e radianti usando p radianti = 180°. Quindi, se ør è in radianti e ød è in gradi, allora possiamo convertire ør in gradi con l'espressione

Equazione A-4

Allo stesso modo, possiamo convertire ød in radianti con l'espressione

Equazione A-5

La forma esponenziale di un numero complesso ha una caratteristica interessante che dobbiamo tenere a mente. Mentre solo una singola espressione in forma rettangolare può descrivere un singolo numero complesso, un numero infinito di espressioni esponenziali può descrivere un singolo numero complesso cioè, mentre, nella forma esponenziale, un numero complesso C può essere rappresentato da C = Mejø, esso può essere rappresentato anche da

Equazione A-6

dove n = ±1, ±2, ±3, . . . e ø è in radianti. Quando ø è in gradi, l'Eq. (A-6) è nella forma

Equazione A-7

Le equazioni (A-6) e (A-7) sono quasi autoesplicative. Indicano che il punto sul piano complesso rappresentato dalla punta del fasore C rimane invariato se ruotiamo il fasore di un multiplo intero di 2p radianti o di un multiplo intero di 360°. Quindi, per esempio, se C = Mej(20°), allora

Equazione A-8

Non è necessario che la variabile ø, l'angolo del fasore nella Figura A-2, sia costante. Incontreremo spesso espressioni contenenti una complessa sinusoide che assume la forma

Equazione A-9

L'equazione (A-9) rappresenta un fasore di grandezza M il cui angolo nella Figura A-2 aumenta linearmente con il tempo ad una velocità di w radianti al secondo. Se w = 2p, il fasore descritto dall'Eq. (A-9) sta ruotando in senso antiorario a una velocità di 2p radianti al secondo&mun giro al secondo&mdash, ecco perché w è chiamata frequenza radiante. In termini di frequenza, l'eq. Il fasore (A-9) ruota in senso antiorario a w = 2pf radianti al secondo, dove f è la frequenza ciclica in cicli al secondo (Hz). Se la frequenza ciclica è f = 10 Hz, il fasore ruota di 20 p radianti al secondo. Allo stesso modo, l'espressione

Equazione A-9'

rappresenta un fasore di grandezza M che ruota in senso orario attorno all'origine del piano complesso a una frequenza radiante negativa di &ndashw radianti al secondo.


Matematica (MATEMATICA)

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Gli studenti svilupperanno le abilità computazionali e la comprensione concettuale dell'algebra, delle funzioni e dei grafici necessarie per procedere al pensiero matematico più avanzato. Studieranno equazioni, disuguaglianze, grafici, funzioni, trigonometria ad angolo retto e applicazioni alla risoluzione dei problemi.

Prerequisiti: Livello E1 come definito nella tabella delle alternative matematiche.

Gli studenti svilupperanno la comprensione concettuale e le capacità di calcolo che forniranno una solida base per lo studio del calcolo. Studieranno le funzioni, i loro grafici e le loro applicazioni alla risoluzione dei problemi. In particolare si studieranno funzioni polinomiali, razionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Svilupperanno la loro capacità di usare e comprendere i concetti e il linguaggio della matematica

Prerequisiti: Livello C1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti riassumeranno e visualizzeranno i dati ed eseguiranno inferenze su proporzioni, medie e deviazioni standard per una e due popolazioni. Gli studenti riassumeranno e visualizzeranno i dati, troveranno intervalli di confidenza ed eseguiranno test di ipotesi per proporzioni, medie e deviazioni standard, per una e due popolazioni, sia grandi che piccole. Eseguiranno anche analisi di regressione e determineranno le probabilità.

Prerequisiti: Livello C1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti studieranno la struttura e lo sviluppo della matematica dal punto di vista del non matematico. Studieranno materiale storico sullo sviluppo delle idee matematiche classiche, nonché l'evoluzione e la struttura della matematica più recente, acquisendo un apprezzamento del pensiero matematico storico e contemporaneo. Questo è un corso esplorativo in matematica per studenti con un background matematico minimo e i cui principali interessi si trovano al di fuori delle scienze. Questo corso può essere utilizzato per soddisfare parzialmente il requisito quantitativo della laurea. Non può essere utilizzato come prerequisito per ulteriori corsi di matematica.

Prerequisiti: Livello E1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti studieranno concetti e metodi algebrici, facendone uso nella risoluzione di problemi generali e ambientali. Studieranno la geometria e la trigonometria di base, nonché le funzioni (polinomiale, razionale, esponenziale e logaritmica).

Prerequisiti: Livello E1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti impareranno a differenziare le funzioni algebriche ed elementari trascendentali e ad applicare queste abilità a grafici, massimi e minimi, velocità correlate e moto rettilineo. Verranno introdotti alle curve parametriche e al loro calcolo differenziale. Gli studenti con crediti per MATH 1130 non possono seguire questo corso per ulteriori crediti.

Prerequisiti: Livello A1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti studieranno il calcolo differenziale e le sue applicazioni alle scienze biologiche. In particolare, studieranno limiti e differenziazione di funzioni algebriche ed elementari trascendentali, con applicazioni alla rappresentazione grafica e all'ottimizzazione. Gli studenti con crediti per MATH 1120 non possono prendere MATH 1130 per ulteriori crediti.

Prerequisiti: Livello B1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti svilupperanno abilità nella risoluzione di problemi matematici. Studieranno la logica proposizionale e quantificatrice e applicheranno questa conoscenza alla risoluzione di problemi e alla teoria elementare degli insiemi, comprese le relazioni e le funzioni.

Prerequisiti: Livello C1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti studieranno la differenziazione delle funzioni algebriche ed elementari trascendentali e applicheranno queste abilità alla rappresentazione grafica, alla ricerca di massimi e minimi e alla risoluzione di problemi negli affari, nell'economia e nelle scienze sociali. Gli studenti studieranno anche le derivate parziali del primo e del secondo ordine

Prerequisiti: Livello B1 come definito nella tabella delle alternative matematiche

Gli studenti risolveranno sistemi di equazioni lineari, e studieranno l'algebra di matrici, determinanti, invertibilità, autovalori e autovettori, diagonalizzabilità e sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari (ODE). Studieranno la geometria dello spazio euclideo, i prodotti punto e incrociati, l'aritmetica dei numeri complessi, gli esponenziali dei numeri complessi e il piano complesso. Gli studenti utilizzeranno un Computer Algebra System per risolvere problemi di algebra delle matrici.

Prerequisiti: Uno tra: MATH 1120, MATH 1130 (C+), MATH 1140 (B-), MATH 1230 o MATH 1240

Gli studenti studieranno la teoria e le applicazioni dell'aritmetica, della geometria e dell'analisi dei dati (statistica). Questo corso è progettato per gli studenti che pianificano una carriera come insegnante di scuola elementare.

Prerequisiti: livello E1 come definito nella tabella delle alternative matematiche e 9 crediti da corsi di livello 1100 o superiore.

Gli studenti studieranno i principi matematici, i metodi e le strutture utilizzate nelle arti visive. Studieranno la geometria euclidea e non euclidea, la simmetria, le tassellature nel piano, la geometria frattale e la prospettiva. Nota: questo corso non può essere utilizzato come prerequisito per ulteriori corsi di matematica.

Prerequisiti: Livello E1 come definito nella tabella delle alternative matematiche.

Gli studenti impareranno ad integrare funzioni algebriche ed elementari trascendentali e ad applicare queste abilità a problemi appropriati. Inoltre, apprenderanno il teorema fondamentale del calcolo, il calcolo integrale delle curve parametriche, i polinomi di Taylor, le successioni e le serie e le equazioni differenziali semplici.

Gli studenti studieranno il calcolo integrale e le sue applicazioni alle scienze biologiche. In particolare, studieranno le tecniche di integrazione, compresa l'integrazione per parti e le equazioni differenziali a frazioni parziali, compresi i sistemi di equazioni differenziali lineari ei modelli matematici nelle scienze biologiche.

Gli studenti studieranno sistemi di equazioni lineari, matrici, determinanti, autovalori e autovettori, prodotti punto, prodotti incrociati, processo di Gram-Schmidt, proiezioni vettoriali e scalari, rette e piani nello spazio euclideo. Gli studenti studieranno anche spazi vettoriali, inclusi spazi vettoriali e sottospazi generali, indipendenza lineare, insiemi di copertura, basi e trasformazioni lineari. Gli studenti scriveranno semplici prove.

Prerequisiti: Uno dei seguenti: MATH 1120 (C) o MATH 1130 (C+) o MATH 1140 (B-) o MATH 1220 (C) o MATH 1230 (C) o MATH 1240 (C)

Gli studenti studieranno la probabilità introduttiva e la statistica utilizzando un background di calcolo. Studieranno concetti tra cui casualità, probabilità, distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete e continue, statistica descrittiva, distribuzioni multivariate, leggi dell'aspettativa, funzioni di variabili casuali, inferenza statistica e test di ipotesi. Le distribuzioni studiate includeranno le distribuzioni binomiale, normale, geometrica, ipergeometrica, esponenziale e di Poisson.

Prerequisiti: Uno tra: MATH 1220, MATH 1230, MATH 1240

Gli studenti studieranno il calcolo delle tre dimensioni. Si studieranno vettori, rette, piani, cilindri e funzioni vettoriali di superfici, curve spaziali e moto nello spazio e calcolo differenziale e integrale di funzioni di più variabili. Gli studenti studieranno l'ottimizzazione, inclusi i moltiplicatori di Lagrange. Studieranno sistemi di coordinate rettangolari, polari, cilindrici e sferici. Gli studenti studieranno problemi applicati e l'uso di un sistema di computer algebra.

Prerequisiti: Uno tra: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-)

Gli studenti studieranno la teoria che sta alla base del calcolo. In particolare studieranno numeri reali, limiti di successioni, limiti di funzioni, continuità, e impareranno a costruire dimostrazioni che coinvolgono questi concetti.

Prerequisiti: uno tra MATH 1220, MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-) o MATH 2232

Gli studenti apprenderanno tecniche statistiche e la loro applicazione alle scienze della vita. Studieranno la statistica descrittiva, la probabilità elementare, le distribuzioni di probabilità, in particolare le distribuzioni binomiale, normale, t e chi-quadrato, gli intervalli di confidenza e la verifica delle ipotesi per le medie e le proporzioni della popolazione, nonché per le differenze nelle medie e nelle proporzioni della popolazione. Gli studenti studieranno anche la regressione lineare e il test di bontà di adattamento chi-quadrato. Gli studenti con crediti per MATH 2341 non possono prendere MATH 2335 per ulteriori crediti.

Gli studenti apprenderanno le tecniche statistiche e la loro applicazione all'economia e all'economia. Studieranno statistica descrittiva, probabilità elementare, variabili casuali, distribuzioni campionarie, regressione lineare, correlazione, stima e verifica di ipotesi. Impareranno anche come applicare il software statistico alla statistica descrittiva e inferenziale. Le distribuzioni studiate includeranno distribuzioni binomiale, normale, t e chi quadrato. Gli studenti con crediti per MATH 2335 non possono prendere MATH 2341 per ulteriori crediti.

Prerequisiti: livello C1 come definito nella tabella delle alternative matematiche e 9 crediti da corsi di livello 1100 o superiore.

Gli studenti studieranno le tecniche di base della matematica discreta, inclusi metodi di logica, ragionamento formale, induzione, ricorsione, conteggio, funzioni e relazioni, aritmetica modulare e strutture come grafici e alberi.

Prerequisiti: CPSC 1103 e uno dei seguenti: MATH 1120, MATH 1130 o MATH 1140

Gli studenti utilizzeranno la riduzione per righe per risolvere sistemi di equazioni lineari. Studieranno gli algoritmi per la moltiplicazione di matrici, l'inversione, la trasposizione, i determinanti, gli autovalori e gli autovettori e la diagonalizzazione, e applicheranno queste abilità a problemi pratici. Studieranno la geometria dello spazio euclideo. Studieranno l'aritmetica, gli esponenziali ei logaritmi di numeri complessi e li useranno per risolvere una varietà di problemi applicati in fisica e ingegneria. Gli studenti utilizzeranno un Computer Algebra System per risolvere problemi di algebra delle matrici.

Gli studenti studieranno i principi del calcolo multivariato e vettoriale. Studieranno superfici, derivate parziali, gradienti e integrali multipli in sistemi di coordinate polari, cilindrici e sferici. Gli studenti studieranno anche derivate di funzioni a valori vettoriali, operatori differenziali, integrali di linea e teorema di Green, integrali di superficie inclusa la divergenza e teoremi di Stokes, campi conservativi e potenziali, con un'enfasi sulle applicazioni.

Gli studenti apprenderanno una varietà di tecniche e metodi utili nella matematica applicata. Studieranno la funzione gamma e le funzioni trigonometriche iperboliche. Gli studenti studieranno i metodi delle serie di potenze e delle serie di Frobenius per risolvere le equazioni differenziali ordinarie, incluse importanti equazioni differenziali selezionate nella fisica matematica. Inoltre, studieranno problemi di Sturm-Liouville e serie ortogonali. Verrà fornita una breve introduzione alle equazioni alle derivate parziali e alla separazione delle variabili.

Gli studenti studieranno e implementeranno teorie relative all'insegnamento della matematica. Esamineranno e analizzeranno le pratiche di insegnamento della matematica attuali e passate. Completeranno un progetto che integra la teoria con la pratica e produrranno un portfolio di lavori scritti. Agli studenti sarà richiesto di applicare la teoria attraverso attività come tutoraggio di matematica, assistenza in classe o sviluppo di materiali curriculari.

Prerequisiti: Uno tra: MATH 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C). Nota: si consiglia EDUC 2220 (C).

Gli studenti progetteranno e implementeranno programmi MATLAB e Maple per risolvere problemi di matematica e applicazioni della matematica. Verranno introdotti all'elaborazione di testi matematici con LaTeX. Gli studenti devono disporre di un computer portatile in grado di eseguire il software designato dal docente.

Prerequisiti: Tutti: (a) CPSC 1103 e MATH 2321 (b) MATH 1152 o 2232 e (c) uno tra MATH 1115, 2315, 2335 o 2341

Gli studenti studieranno la struttura sottostante della matematica, incluso il simbolismo matematico, l'introduzione alla teoria degli insiemi e l'introduzione alla logica. Svilupperanno una comprensione dei metodi di dimostrazione e un apprezzamento per la struttura della matematica.

Prerequisiti: MATH 2232 (C) e uno tra: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+) o MATH 1240 (B-).

Gli studenti studieranno i concetti ei risultati fondamentali della teoria dei gruppi. Studieranno gruppi e sottogruppi, teorema di Lagrange, omomorfismi, sottogruppi normali, gruppi fattoriali, teorema di Cauchy e prodotti diretti.

Prerequisiti: entrambi (a) MATH 1220, MATH 1230 (C+) o MATH 1240 (B-), e (b) MATH 2232.

Gli studenti studieranno numeri complessi, funzioni di numeri complessi, funzioni analitiche, equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni elementari, integrazione dei contorni, teorema e formula integrale di Cauchy, rappresentazioni in serie di funzioni analitiche, poli e residui, con applicazioni alla fisica e all'ingegneria.

Gli studenti studieranno le geometrie euclidee e altre e costruiranno prove e oggetti geometrici. Applicheranno concetti e ragionamenti geometrici a problemi pratici.

Prerequisiti: MATH 2232 (C) e uno dei seguenti: MATH 1220 (C), 1230 (C+) o 1240 (B-)

Gli studenti verranno introdotti alle tecniche standard di analisi di regressione multipla. Studieranno la regressione semplice, l'ANOVA, le distribuzioni multivariabili, l'analisi dei residui e dei modelli lineari generali e il loro ruolo nella ricerca.

Prerequisiti: 15 crediti da corsi di livello 1100 o superiore e uno tra: MATH 1115 , MATH 2335 , MATH 2341 o MATH 2315 .

Gli studenti studieranno il calcolo delle funzioni a valori vettoriali e dei campi vettoriali. Studieranno le derivate di funzioni a valori vettoriali, la regola della catena, Jacobiani e invertibilità, operatori differenziali, integrali di linea e teorema di Green, integrali di superficie inclusa divergenza e teoremi di Stokes, indipendenza dal percorso e campi e potenziali conservativi.

Prerequisiti: MATH 2321 (C) e uno tra: MATH 2232 (C), MATH 1152 (C)

Gli studenti studieranno la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine, equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, trasformate di Laplace, sistemi di equazioni differenziali lineari e applicazioni delle equazioni differenziali. Gli studenti utilizzeranno anche un sistema di computer algebra.

Prerequisiti: [Math 2232 (C) o Math 1152 (C)] e [MATH 1220 (C) o MATH 1230 (C+) o MATH 1240 (B-)]

Gli studenti studieranno l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace e altre equazioni classiche della fisica matematica. Studieranno curve caratteristiche, soluzioni delle equazioni del calore e delle onde sulla linea infinita, semi-infinita e finita, serie di Fourier, trasformate di Laplace e soluzioni numeriche alle differenze finite.

Gli studenti studieranno gli aspetti della storia della matematica dai suoi inizi nella risoluzione di problemi concreti attraverso lo sviluppo dell'astrazione e del rigore nel XIX e all'inizio del XX secolo. Esamineranno e analizzeranno sia la crescita delle idee sia il contesto in cui si sono sviluppate, con enfasi sulla matematica insegnata nella scuola secondaria e nei primi due anni di studio universitario.

Prerequisiti: MATH 2232 (C) e uno tra: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-)

Gli studenti esploreranno teorie e tendenze nell'insegnamento della matematica. They will survey significant historical, philosophical, psychological and societal factors influencing the development of mathematics education as a field of inquiry, and will critically examine and discuss current theories and research in mathematics instruction. They will investigate problem solving, reasoning and communication in mathematics.

Prerequisite(s): One of: MATH 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C). Note: EDUC 2220 (C) is recommended.

Students will study the following topics: divisibility, properties of types of integer numbers, primes, congruences, Diophantine equations, primitive roots, and quadratic residues.

Prerequisite(s): Both (a) MATH 1220, MATH 1230 (C+) or MATH 1240 (B-), and (b) MATH 2232.

Students will study the fundamental concepts and results of point-set (general) topology. They will study sets, relations and functions, order, cardinality, Axiom of Choice, topological spaces, bases and subbases, continuity and homeomorphisms, metric spaces, countability and compactness.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and MATH 2331 (C) and one of the following: MATH 1220 (C), 1230 (C+), or 1240 (B-)

Students will study mathematical modelling and data analysis for biological systems. They will focus on developing and analysing dynamic models of biological systems and processes. They will study the mathematics of population dynamics, models of metabolic processes, genomics and epidemiology.

Students will study the theory and practical application of numerical methods for approximating solutions of linear and nonlinear problems. They will study solutions to nonlinear equations, interpolation and splines, numerical differentiation and integration, solution of initial and boundary value problems, and error sources and analysis. Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study the formation, analysis, and interpretation of mathematical models drawn from the physical, biological, economic, and social sciences. They will study continuous and discrete, deterministic and stochastic models. Students will use techniques such as differential and difference equations, matrix analysis, optimization, simple stochastic processes, and numerical methods. NOTE: Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study a particular advanced topic in mathematics, depending upon student interest and faculty availability. Note: Students may take this course multiple times for further credit on different topics.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and one of: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-)

Students will complete a substantial research project under the supervision of an instructor. They will identify relevant sources of information, in the form of a literature search and review, and submit a final paper investigating a research question. Students will present their project and research results.


Quotable Mathematics

"√-1 is take for granted today. No serious mathematician would deny that it is a number. Yet it took centuries for √-1 to be officially admitted to the pantheon of numbers. For almost three centuries, it was controversial mathematicians didn't know what to make of it many of them worked with it successfully without admitting its existence. […] Primarily for cognitive reasons. Mathematicians simply could not make it fit their idea of what a number was supposed to be. A number was supposed to be a magnitude. √-1 is not a magnitude comparable to the magnitudes of real numbers. No tree can be √-1 units high. You cannot owe someone √-1 dollars. Numbers were supposed to be linearly ordered. √-1 is not linearly ordered with respect to other numbers." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"From a formal perspective, much about complex numbers and arithmetic seems arbitrary. From a purely algebraic point of view, i arises as a solution to the equation x^2+1=0. There is nothing geometric about this - no complex plane at all. Yet in the complex plane, the i-axis is 90° from the x-axis. Why? Complex numbers in the complex plane add like vectors. Why? Complex numbers have a weird rule of multiplication […]" (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"[…] i is not a real number-not ordered anywhere relative to the real numbers! In other words, it does not even have the central property of ‘numbers’, indicating a magnitude that can be linearly compared to all other magnitudes. You can see why i has been called imaginary. It has almost none of the properties of the small natural numbers-not subitizability, not groupability, and not even relative magnitude. If i is to be a number, it is a number only by virtue of closure and the laws of arithmetic." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"The complex plane is just the 90° rotation plane-the rotation plane with the structure imposed by the 90° Rotation metaphor added to it. Multiplication by i is "just" rotation by 90°. This is not arbitrary it makes sense. Multiplication by-1 is rotation by 180°. A rotation of 180° is the result of two 90° rotations. Since i times i is -1, it makes sense that multiplication by i should be a rotation by 90°, since two of them yield a rotation by 180°, which is multiplication by -1." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)


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