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Numeri complessi


Consideriamo l'equazione x² - 2x + 5 = 0:

Sappiamo che il numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, poiché non esiste un numero al quadrato -1. Affinché l'equazione di cui sopra abbia una soluzione, dobbiamo estendere l'insieme dei numeri reali per ottenere un nuovo insieme, chiamato insieme di numeri complessi e rappresentato da .
Il numero è stato chiamato l'unità immaginaria e ha creato il numero io, in modo che:

i² = -1

presto,

i =

Quindi le soluzioni dell'equazione x² - 2x + 5 = 0 in sono 1 - 2i e 1 + 2i.

Forma algebrica di un numero complesso

Ogni numero complesso z può essere scritto nel modulo:

z =  a + bicon il, B

Questa forma è chiamata la forma algebrica del numero complesso. Si noti che un numero complesso in questo formato ha due parti:

Indichiamo:
Ri (z) = a
Im (z) = b

Esempi

  • z = 3 + 5i        Ri (z) = 3 e Im (z) = 5
  • z = -7 + 18i            Ri (z) = -7 e Im (z) = 18
  • z = 53 - 25i     Ri (z) = 53 e Im (z) = -25
  • Se la parte reale del numero complesso è nulla, il numero lo è puro immaginario.

Esempio: z = 3i    Ri (z) = 0 e Im (z) = 3

esempio

Determina il valore di k quindi il numero complesso z = (k - 4) + 3i sii puro immaginario:

risoluzione
Perché il numero sia puro immaginario, la parte reale deve essere nulla:

k - 4 = 0  k = 4

  • Se la parte immaginaria del numero complesso è nulla, il numero lo è vero.

Esempio: z = 10   Ri (z) = 10 e Im (z) = 0

esempio

Determina il valore di k quindi il numero complesso z = 3+ (k² - 4) i essere un numero reale:

risoluzione
Perché il numero sia reale, la parte immaginaria deve essere nulla:

k² - 4 = 0 k² = 4 k = -2 o k = 2

Siamo in grado di associare qualsiasi numero complesso z = a + bi fino a un punto sul piano Argand-Gauss. Nell'asse delle ascisse (asse reale) viene rappresentata la parte reale e nell'asse delle ordinate (asse immaginario) la parte di immigrazione del numero complesso. Il punto P è il apporre o immagine geometrica di z.

esempio

Rappresenta nel piano Argand-Gauss i numeri complessi:

risoluzione
Ogni complesso sarà un punto sul piano la cui ascissa è la parte reale e l'ordinata è la parte immaginaria:

Si noti che i numeri reali si trovano sull'asse reale, proprio come i numeri immaginari puri si trovano sull'asse immaginario.

Nota: Il campo di relazione ordine non è definito per il campo di numeri complessi, ovvero non esiste un numero complesso più grande o più piccolo di un altro.

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Video: Numeri Complessi : Introduzione e Rappresentazione (Giugno 2021).