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8.4.1: La funzione del passo unitario (esercizi) - Matematica


Q8.4.1

Nel Esercizi 8.4.1-8.4.6 trovare la trasformata di Laplace con il metodo dell'Esempio 8.4.1. Grafico (f) per Esercizi 8.4.3 e 8.4.4.

1. (f(t)=left{egin{array}{cl} {1,}&{0 le t<4,} {t,} & {tge4.} end {array} ight.)

2. (f(t)=left{egin{array}{cl} t,&0 le t<1,[4pt] 1,& tge1.end{array} ight. )

3. (f(t)=left{egin{array}{cl} 2t-1,& 0le t<2,[4pt] t,&tge2.end{array} Giusto.)

4. (f(t)=left{egin{array}{cl}1, &0le t<1,[4pt] t+2,&tge1.end{array} ight .)

5. (f(t)=left{egin{array}{cl} t-1,& 0le t<2,[4pt] 4,&tge2.end{array} Giusto.)

6. (f(t)=left{egin{array}{cl} t^2,& 0le t<1,[4pt] 0,&tge1.end{array} Giusto.)

Q8.4.2

Nel Esercizi 8.4.7-8.4.18 esprimi la funzione data (f) in termini di funzioni a passo unitario e usa il Teorema 8.4.1 per trovare (cal{L} (f)). Grafico (f) per Esercizi 8.4.15-8.4.18.

7. (f(t)=left{egin{array}{cl} 0, &0le t<2,[4pt] t^2+3t,&tge2.end{array} Giusto.)

8. (f(t)=left{egin{array}{cl} t^2+2, &0le t<1,[4pt] t,&tge1.end{array} Giusto.)

9. (f(t)=left{egin{array}{cl} te^t,& 0le t <1,[4pt] e^t,&tge1.end{array }Giusto.)

10. (f(t)=left{egin{array}{cl} e^{phantom{2}-t}, &0le t<1,[4pt] e^{-2t },&tge1.end{array} ight.)

11. (f(t)=left{egin{array}{cl} -t,&0 le t<2,[4pt] t-4,&2le t<3,[ 4pt] 1,&tge3. end{array} ight.)

12. (f(t)=left{egin{array}{cl} 0,&0 le t<1,[4pt] t,&1le t<2,[4pt] 0 ,&tge2.end{array} ight.)

13. (f(t)=left{egin{array}{cl} t,&0 le t<1,[4pt] t^2,&1le t<2,[4pt ] 0,&tge2. end{array} ight.)

14. (f(t)=left{egin{array}{cl} t,&0le t<1,[4pt] 2-t,&1le t<2,[4pt ] 6,&t > 2. end{array} ight.)

15. (f(t)=left{egin{array}{cl} {sin t,}&{0leq t

16. (f(t)=left{egin{array}{cl}phantom{-} 2,&0le t<1,[4pt]-2t+2,&1le t< 3,[4pt]phantom{-}3t,&tge 3.end{array} ight.)

17. (f(t)=left{egin{array}{cl}3,&0le t<2,[4pt]3t+2,&2le t<4,[4pt ]4t,&tge 4.end{array} ight.)

18. (f(t)=left{egin{array}{ll}(t+1)^2,&0le t<1, [4pt](t+2)^2,&t ge1.end{array} ight.)

Q8.4.3

Nel Esercizi 8.4.19-8.4.28 usa il Teorema 8.4.2 per esprimere le trasformate inverse in termini di funzioni a gradino, e poi trova formule distinte per le trasformate inverse sugli intervalli appropriati, come nell'Esempio 8.4.7. Rappresenta graficamente la trasformata inversa per Esercizi 8.4.21, 8.4.22, e 8.4.25.

19. (H(s)={e^{-2s}su s-2})

20. (H(s)={e^{-s}over s(s+1)})

21. (H(s)={e^{-s}over s^3}+ {e^{-2s}over s^2})

22. (H(s)=left({2over s}+{1over s^2} ight) +e^{-s}left({3over s}-{1 sopra s^2}destra)+e^{-3s}sinistra({1sopra s}+{1sopra s^2}destra))

23. (H(s)=left({5over s}-{1over s^2} ight) +e^{-3s}left({6over s}+{7 su s^2}destra)+{3e^{-6s}su s^3})

24. (H(s)={e^{-pi s} (1-2s)su s^2+4s+5})

25. (H(s)=left({1over s}-{sover s^2+1} ight)+e^{-{piover 2}s}left({ 3s-1sopra s^2+1}destra))

26. (H(s)= e^{-2s}left[{3(s-3)over(s+1)(s-2)}-{s+1over(s-1) (s-2)}destra])

27. (H(s)={1over s}+{1over s^2}+e^{-s}left({3over s}+{2over s^2} destra) +e^{-3s}sinistra({4sopra s}+{3sopra s^2}destra))

28. (H(s)={1over s}-{2over s^3}+e^{-2s}left({3over s}-{1over s^3} a destra) +{e^{-4s}sopra s^2})

Q8.4.4

29. Trova ({cal L}left(u(t- au) ight)).

30. Sia ({t_m}_{m=0}^infty) una sequenza di punti tale che (t_0=0), (t_{m+1}>t_m), e (lim_{m oinfty}t_m=infty). Per ogni intero non negativo (m), sia (f_m) continuo su ([t_m,infty)), e sia (f) definito su ([0,infty)) di

[f(t)=f_m(t),,t_mle t

Mostra che (f) è continuo a tratti su ([0,infty)) e che ha la rappresentazione della funzione passo

[f(t)=f_0(t)+sum_{m=1}^infty u(t-t_m)left(f_m(t)-f_{m-1}(t) ight), , 0le t

Come facciamo a sapere che la serie a destra converge per ogni (t) in ([0,infty))?

31. Oltre alle ipotesi di Esercizio 8.4.30, supponi che

[|f_m(t)|le Me^{s_0t},,tge t_m,,m=0,1,dots, ag{A}]

e che la serie

[sum_{m=0}^infty e^{- ho t_m} ag{B}]

converge per alcuni ( ho>0). Utilizzando i passaggi elencati di seguito, mostra che ({cal L}(f)) è definito per (s>s_0) e

[{cal L}(f)={cal L}(f_0)+sum_{m=1}^infty e^{-st_m}{cal L}(g_m) ag{C} ]

per (s>s_0+ ho), dove

[g_m(t)=f_m(t+t_m)-f_{m-1}(t+t_m). onnumero]

  1. Usa (A) e il Teorema 8.1.6 per mostrare che [{cal L}(f)=sum_{m=0}^inftyint_{t_m}^{t_{m+1}}e^{ -st}f_m(t),dt ag{D}] è definito per (s>s_0).
  2. Mostra che (D) può essere riscritto come [{cal L}(f)=sum_{m=0}^inftyleft(int_{t_m}^infty e^{-st}f_m(t ),dt -int_{t_{m+1}}^infty e^{-st}f_m(t),dt ight). ag{E}]
  3. Usa (A), la presunta convergenza di (B) e il test di confronto per mostrare che la serie [sum_{m=0}^inftyint_{t_m}^infty e^{-st}f_m( t),dtquad ext{and} quad sum_{m=0}^inftyint_{t_{m+1}}^infty e^{-st}f_m(t),dt onumber] entrambi convergono (assolutamente) se (s>s_0+ ho).
  4. Mostra che (E) può essere riscritto come [{cal L}(f)={cal L}(f_0)+sum_{m=1}^inftyint_{t_m}^infty e^{ -st} left(f_m(t)-f_{m-1}(t) ight),dt onumber ] if (s>s_0+ ho).
  5. Completa la dimostrazione di (C).

32. Supponiamo che ({t_m}_{m=0}^infty) e ({f_m}_{m=0}^infty) soddisfino le ipotesi di Esercizi 8.4.30 e 8.4.31, e c'è una costante positiva (K) tale che (t_mge Km) per (m) sufficientemente grande. Mostra che la serie (B) di Esercizio 8.4.31 converge per ogni ( ho>0), e da ciò concludiamo che (C) di Esercizio 8.4.31 vale per (s>s_0).

Nel Esercizi 8.4.33-8.4.36 trova la rappresentazione della funzione passo di (f) e usa il risultato di result Esercizio 8.4.32 per trovare (cal{L}(f)). SUGGERIMENTO: Avrai bisogno di formule relative alla formula per la somma di una serie geometrica.

33. (f(t)=m+1,,mle t

34. (f(t)=(-1)^m,,mle t

35. (f(t)=(m+1)^2,,mle t

36. (f(t)=(-1)^mm,,mle t


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