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Funzione pari e dispari


Data una funzione f: AB, diciamo che f è paio se e solo se f (x) = f (-x) per tutti x R. Cioè: i valori simmetrici devono avere la stessa immagine. Il diagramma seguente mostra un esempio di una funzione pari:

Ad esempio, la funzione f: IRIR definito da f (x) = x2 è una funzione pari perché f (x) = x2= (- x)2= f (-x). Possiamo notare la parità di questa funzione osservando il suo grafico:

Notiamo nel grafico che esiste una simmetria rispetto all'asse verticale. Gli elementi simmetrici hanno la stessa immagine. Gli elementi 2 e -2, ad esempio, sono simmetrici e hanno l'immagine 4.

D'altra parte, data una funzione f: AB, diciamo che f è dispari se e solo se f (-x) = - f (x) per tutti x R. Cioè: i valori simmetrici hanno immagini simmetriche. Il diagramma seguente mostra un esempio di funzione dispari:

Ad esempio, la funzione f: IRIR definito da f (x) = x3 è una funzione dispari perché f (-x) = (- x)3= -x3= -f (x). Possiamo notare che la funzione è strana guardando il suo grafico:

Notiamo nel grafico che c'è simmetria rispetto all'origine 0. Gli elementi simmetrici hanno immagini simmetriche. Gli elementi 1 e -1, ad esempio, sono simmetrici e presentano immagini 1 e -1 (anch'esse simmetriche).

Nota: viene chiamata una funzione che non è né pari né dispari nessuna funzione di parità.

Esercizio risolto:

Ordinare le seguenti funzioni in parità pari, dispari o nessuna:

a) f (x) = 2x
f (-x) = 2 (-x) = -2x f (-x) = -f (x), quindi f lo è dispari.

b) f (x) = x2-1
f (-x) = (-x)2-1 = x2-1 f (x) = f (-x), quindi f è paio.

c) f (x) = x2-5x + 6
f (-x) = (-x)2-5 (-x) +6 = x2+ 5x + 6
Come f (x)f (-x), quindi f non è pari.
Dobbiamo anche -f (x)f (-x), quindi f non è dispari.
Poiché non è né pari né dispari, concludiamo che f è una funzione Nessuna parità.

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Video: Simmetrie e Periodicità : Funzioni Pari - Funzioni Dispari - Funzioni Periodiche (Giugno 2021).