Articoli

7.3.5: Distinguere volume e superficie


Lezione

Lavoriamo con superficie e volume nel contesto.

Esercizio (PageIndex{1}): La Fiera della Scienza

L'insegnante di scienze di Mai le ha detto che quando c'è più ghiaccio che tocca l'acqua in un bicchiere, il ghiaccio si scioglie più velocemente. Vuole testare questa affermazione, quindi progetta il suo progetto per la fiera della scienza per determinare se il ghiaccio tritato o i cubetti di ghiaccio si sciolgono più velocemente in una bevanda.

Comincia con due tazze di acqua calda. In una tazza, mette un cubetto di ghiaccio. In una seconda tazza, mette del ghiaccio tritato con lo stesso volume del cubo. Qual è la tua ipotesi? Il cubetto di ghiaccio o il ghiaccio tritato si scioglieranno più velocemente o si scioglieranno alla stessa velocità? Spiega il tuo ragionamento.

Esercizio (PageIndex{2}): Rivisitare la scatola di cioccolatini

L'altro giorno hai calcolato il volume di questa scatola di cioccolatini a forma di cuore.

La profondità della scatola è di 2 pollici. Quanto cartone è necessario per creare la scatola?

Esercizio (PageIndex{3}): Ordinamento schede: superficie o volume

Il tuo insegnante ti darà delle carte con diverse figure e domande su di esse.

  1. Ordina le carte in due gruppi a seconda che abbia più senso pensare alla superficie o al volume della figura quando rispondi alla domanda. Metti in pausa qui in modo che il tuo insegnante possa rivedere il tuo lavoro.
  2. Il tuo insegnante ti assegnerà una scheda da esaminare più da vicino. Di quali informazioni aggiuntive avresti bisogno per essere in grado di rispondere alla domanda sulla tua carta?
  3. Stima misure ragionevoli per la figura sulla tua carta.
  4. Usa le tue misure stimate per calcolare la risposta alla domanda.

Sei pronto per altro?

Una torta ha la forma di un prisma quadrato. La parte superiore è di 20 centimetri per lato e la torta è alta 10 centimetri. Ha la glassa sui lati e sulla parte superiore e una singola candela sulla parte superiore al centro esatto del quadrato. Hai un coltello e un righello da 20 centimetri.

  1. Trova un modo per tagliare la torta in 4 porzioni giuste, in modo che tutte e 4 le porzioni abbiano la stessa quantità di torta e glassa.
  2. Trova un altro modo per tagliare la torta in 4 porzioni giuste.
  3. Trova un modo per tagliare la torta in 5 porzioni giuste.

Esercizio (PageIndex{4}): Una carriola di cemento

Una carriola viene utilizzata per trasportare cemento bagnato. Ecco le sue dimensioni.

  1. Che volume di cemento servirebbe per riempire il vassoio?
  2. Dopo aver scaricato il cemento bagnato, si nota che all'interno del vassoio è rimasta una pellicola sottile. Qual è l'area del cemento che riveste il vassoio? (Ricorda, non c'è la cima.)

Riepilogo

A volte abbiamo bisogno di trovare il volume di un prisma, a volte abbiamo bisogno di trovare l'area della superficie.

Ecco alcuni esempi di grandezze relative al volume:

  • Quanta acqua può contenere un contenitore
  • Quanto materiale è servito per costruire un oggetto solido

Il volume è misurato in unità cubiche, come in3 o m3.

Ecco alcuni esempi di grandezze relative alla superficie:

  • Quanto tessuto è necessario per rivestire una superficie
  • Quanto di un oggetto deve essere dipinto

L'area della superficie è misurata in unità quadrate, come in2 o m2.

Voci di glossario

Definizione: Base (di un prisma o piramide)

La parola base può anche riferirsi a una faccia di un poliedro.

Un prisma ha due basi identiche parallele. Una piramide ha una base.

Un prisma o piramide prende il nome dalla forma della sua base.

Definizione: sezione trasversale

Una sezione trasversale è la nuova faccia che vedi quando tagli una figura tridimensionale.

Ad esempio, se tagli una piramide rettangolare parallelamente alla base, ottieni un rettangolo più piccolo come sezione trasversale.

Definizione: Prisma

Un prisma è un tipo di poliedro che ha due basi che sono copie identiche l'una dell'altra. Le basi sono collegate da rettangoli o parallelogrammi.

Ecco alcuni disegni di prismi.

Definizione: piramide

Una piramide è un tipo di poliedro che ha una base. Tutte le altre facce sono triangoli e si incontrano tutte in un unico vertice.

Ecco alcuni disegni di piramidi.

Definizione: superficie

La superficie di un poliedro è il numero di unità quadrate che copre tutte le facce del poliedro, senza spazi o sovrapposizioni.

Ad esempio, se le facce di un cubo hanno ciascuna un'area di 9 cm2, allora l'area della superficie del cubo è (6cdot 9), o 54 cm2.

Definizione: volume

Il volume è il numero di unità cubiche che riempiono una regione tridimensionale, senza spazi o sovrapposizioni.

Ad esempio, il volume di questo prisma rettangolare è di 60 unità3, perché è composto da 3 strati di 20 unità ciascuno3.

Pratica

Esercizio (PageIndex{5})

Ecco la base di un prisma.

  1. Se l'altezza del prisma è 5 cm, qual è la sua superficie? Qual è il suo volume?
  2. Se l'altezza del prisma è 10 cm, qual è la sua superficie? Qual è il suo volume?
  3. Quando l'altezza è raddoppiata, qual è stato l'aumento percentuale della superficie? Per il volume?

Esercizio (PageIndex{6})

Selezionare Tutti le situazioni in cui conoscere il volume di un oggetto sarebbe più utile che conoscerne la superficie.

  1. Determinazione della quantità di vernice necessaria per dipingere un fienile.
  2. Determinazione del valore monetario di un gioiello d'oro.
  3. Riempire un acquario con secchi d'acqua.
  4. Decidere quanta carta da regalo avrà bisogno di un regalo.
  5. Imballaggio di una scatola con angurie per la spedizione.
  6. Ricarica un'azienda per lo spazio pubblicitario sulla tua auto da corsa.
  7. Misurazione della quantità di benzina rimasta nel serbatoio di un trattore.

Esercizio (PageIndex{7})

Han disegna un triangolo con un angolo (50^{circ}), un angolo (40^{circ}) e un lato lungo 4 cm come mostrato. Puoi disegnare un triangolo diverso con le stesse condizioni?

(Dall'Unità 7.2.4)

Esercizio (PageIndex{8})

L'angolo (H) è grande la metà dell'angolo (J). L'angolo (J) è un quarto dell'angolo (K). L'angolo (K) ha una misura di 240 gradi. Qual è la misura dell'angolo (H)?

(Dall'Unità 7.1.3)

Esercizio (PageIndex{9})

La bandiera dello stato del Colorado è composta da tre strisce orizzontali di uguale altezza. Le lunghezze dei lati della bandiera sono nel rapporto (2:3). Il diametro del disco color oro è uguale all'altezza della striscia centrale. Qual è la percentuale della bandiera è oro?

(Dall'Unità 4.2.4)


Rapporto superficie-volume

Il rapporto superficie-volume, chiamato anche il rapporto superficie-volume e variamente denotato sa/vol o SA:V, è la quantità di superficie per unità di volume di un oggetto o raccolta di oggetti. Nelle reazioni chimiche che coinvolgono un materiale solido, il rapporto tra superficie e volume è un fattore importante per la reattività, cioè la velocità con cui procederà la reazione chimica.

Per un dato volume, l'oggetto con superficie minore (e quindi con SA:V minore) è una palla, conseguenza della disuguaglianza isoperimetrica in 3 dimensioni. Al contrario, gli oggetti con punte ad angolo acuto avranno una superficie molto ampia per un dato volume.


Superficie vs Volume

La differenza tra Area superficiale e Volume è che l'Area superficiale misura l'area occupata dallo strato più alto di una superficie o in altre parole è l'area di tutte le forme/piani che compongono le figure/solidi mentre il Volume è la misura del trasporto capacità di una figura/forma o lo spazio racchiuso all'interno della figura.


Puoi utilizzare questo metodo per aggiornare un dispositivo offline, aggiornare molti dispositivi dello stesso dispositivo o se stai creando immagini di sistema per il tuo luogo di lavoro.

Scegli il tuo modello Surface dall'elenco a discesa, quindi seleziona il collegamento allegato per il firmware e i driver più recenti per audio, display, Ethernet e Wi-Fi.

Verrai reindirizzato alla pagina dei dettagli dell'Area download per Surface. Potrebbero essere disponibili più download, a seconda del modello selezionato.

Se non conosci il tuo modello di Surface, seleziona la casella di ricerca sulla barra delle applicazioni e digita Superficie, seleziona il Superficie app dal menu, quindi seleziona La tua superficie . Il tuo modello sarà elencato nella schermata che appare.

Per scoprire quale versione e build di Windows stai utilizzando, seleziona Cominciare > Impostazioni > Sistema > Di , poi guarda sotto Specifiche di Windows per trovare la versione del sistema operativo e il numero di build del sistema operativo. Apri Informazioni sulle impostazioni.

Per aggiornare Surface con i driver e il firmware più recenti dall'Area download, seleziona il nome del file .msi che corrisponde al modello Surface e alla versione di Windows. Ad esempio, per aggiornare un Surface Book 2 con build 15063 di Windows 10, scegli SurfaceBook2_Win10_15063_1702009_2.msi. Per un Surface Book 2 con build 16299 di Windows 10, scegli SurfaceBook2_Win10_16299_1703009_2.msi.

Per altre info sulla convenzione di denominazione MSI di Surface, vedi Distribuire il firmware e i driver più recenti per i dispositivi Surface.

Se non è presente un file .msi che corrisponda alla build di Windows 10 che hai installato, seleziona il file .msi più vicino (ma comunque inferiore) al tuo numero di build.


Usa accessori audio USB o Bluetooth

È possibile collegare altoparlanti USB esterni, cuffie o auricolari a una porta USB di dimensioni standard.

Puoi passare al wireless usando Bluetooth cuffie o altoparlanti con Surface.

Per ottenere il miglior suono da USB o Bluetooth altoparlanti, alza il volume su Surface e nell'app (se dispone di un proprio controllo audio), quindi regola il volume sull'USB esterno o Bluetooth Altoparlanti.

Se hai problemi con il Bluetooth, vai a Risoluzione dei problemi dei dispositivi Bluetooth.


Contenuti

Il corno di Gabriele si forma prendendo il grafico di

con il dominio x ≥ 1 e ruotandolo in tre dimensioni attorno all'asse x. La scoperta è stata fatta utilizzando il principio di Cavalieri prima dell'invenzione del calcolo, ma oggi il calcolo può essere utilizzato per calcolare il volume e la superficie del corno tra X = 1 e X = un , dove un > 1 . Utilizzando l'integrazione (vedi Solido di rivoluzione e Superficie di rivoluzione per i dettagli), è possibile trovare il volume V e l'area della superficie A :

Il valore a può essere grande quanto richiesto, ma dall'equazione si può vedere che il volume della parte del corno tra X = 1 e X = un non supererà mai π tuttavia, si avvicina gradualmente a all'aumentare. Matematicamente, il volume approcci come approcci infinito. Usando la notazione limite del calcolo:

La formula dell'area della superficie sopra fornisce un limite inferiore per l'area pari a 2 volte il logaritmo naturale di a . Non esiste un limite superiore per il logaritmo naturale di a , quando a si avvicina all'infinito. Ciò significa, in questo caso, che il corno ha una superficie infinita. Vale a dire,

Quando furono scoperte le proprietà del corno di Gabriel, il fatto che la rotazione di una sezione infinitamente grande del piano xy attorno all'asse x generasse un oggetto di volume finito era considerato un paradosso. Mentre la sezione che giace nel piano xy ha un'area infinita, qualsiasi altra sezione ad essa parallela ha un'area finita. Quindi il volume, essendo calcolato dalla "somma pesata" delle sezioni, è finito.

L'apparente paradosso faceva parte di una disputa sulla natura dell'infinito che coinvolgeva molti dei pensatori chiave dell'epoca, tra cui Thomas Hobbes, John Wallis e Galileo Galilei. [1]

Il paradosso del pittore Modifica

Il contrario del corno di Gabriele, una superficie di rivoluzione che ha un finito superficie ma an infinito volume: non può verificarsi durante la rotazione di una funzione continua su un insieme chiuso:

Teorema Modifica

Permettere F : [1,∞) → [0,∞) essere una funzione derivabile in modo continuo. Scrivi S per il solido di rivoluzione del grafico = F(X) sull'asse x. Se la superficie di S è finita, allora lo è anche il volume.

Modifica della prova

Poiché l'area della superficie laterale A è finita, il limite superiore:

lim t → ∞ sup x ≥ t f ( x ) 2 − f ( 1 ) 2 = lim sup t → ∞ ∫ 1 t ( f ( x ) 2 ) ′ d x ≤ ∫ 1 ∞ | ( f ( x ) 2 ) | d x = ∫ 1 ∞ 2 f ( x ) | f ′ ( x ) | d x ≤ ∫ 1 ∞ 2 f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x = A π < ∞ . lim_sup_f(x)^

Pertanto, esiste a T0 tale che il supremo sup< F(X) | XT0 > è finito. Quindi,

m = sup< F(X) | X ≥ 1 > deve essere finito poiché f è una funzione continua, il che implica che f è limitato sull'intervallo [1,∞) .

Dunque: se l'area A è finita, allora anche il volume V deve essere finito.


Matematica illustrativa Unità 6.1, Lezione 16: Distinzione tra superficie e volume

Scopri di più sul contrasto tra superficie e volume delle forme tridimensionali e sulle differenze tra misurazioni e unità mono, bi e tridimensionali. Dopo aver provato le domande, fai clic sui pulsanti per visualizzare le risposte e le spiegazioni in testo o video.

Distinzione tra superficie e volume
Mettiamo a confronto superficie e volume.

16.1 - Attributi e loro misure

Per ogni quantità, scegli una o più unità di misura appropriate.

Per le ultime due righe, pensa a una quantità che potrebbe essere adeguatamente misurata con le unità date.

  1. Perimetro di un parcheggio:
  2. Volume di un semirimorchio:
  3. Superficie di un frigorifero:
  4. Lunghezza di un ciglio:
  5. Area di uno stato:
  6. Volume di un oceano:
  7. ______________________________: miglia
  8. ______________________________: metri cubi
  • millimetri (mm)
  • piedi (piedi)
  • metri (m)
  • pollici quadrati (pollici quadrati)
  • piedi quadrati (piedi quadrati)
  • miglia quadrate (miglia quadrate)
  • chilometri cubi (cu km)
  • iarde cubiche (cu yd)
  1. Perimetro di un parcheggio: piedi o metri
  2. Volume di un semirimorchio: iarde cubiche
  3. Superficie di un frigorifero: pollici quadrati
  4. Lunghezza di un ciglio: millimetri
  5. Area di uno stato: miglia quadrate
  6. Volume di un oceano: chilometri cubi
  7. Lunghezza di un'autostrada: miglia
  8. Volume di una piscina: metri cubi

La zona si misura sempre in unità quadrate e volume si misura sempre in unità cubiche.

16.2 - Costruire con 8 Cubi

Apri l'applet. Trascina il punto rosso sul cubo per spostarlo e fai clic sul punto per passare dal movimento verticale a quello orizzontale. Il quadrato grigio ti darà 16 cubi. Costruisci 2 forme diverse usando 8 cubi per ciascuna.

Per ogni forma, determinare le seguenti informazioni e annotarle:
Assegna un nome o un'etichetta (ad esempio, Mae's First Shape o Eric's Steps).
Determina il suo volume.
Determina la sua superficie.

Puoi creare prismi o non prismi. Puoi trovare l'area della superficie o il volume di qualsiasi forma che crei con l'applet.

Quando calcoli o conteggi la superficie della tua forma, escogita un sistema per evitare di omettere o contare due volte le facce.

Il volume del prisma rettangolare è 4 × 2 × 1 = 8 unità cubiche. Questo è lo stesso risultato del conteggio del numero di cubi usati per costruire il prisma.

Nel prisma rettangolare, la faccia A ha un'area di 4 × 2 = 8 unità quadrate. La faccia B ha un'area di 2 unità quadrate. La faccia C ha un'area di 4 unità quadrate.
Le facce A, B e C hanno tutte facce opposte congruenti.
Il superficie del prisma rettangolare, compreso il fondo, è quindi 2(8) + 2(2) + 2(4) = 28 unità quadrate.

Il volume della ciambella quadrata, contando il numero di cubi che occupa, è 8 unità cubiche.

Nel prisma rettangolare, le facce D ed E hanno la stessa area di 3 unità quadrate ciascuna.
La faccia F ha un'area di 8 unità quadrate.
Le facce D, E e F hanno tutte facce opposte congruenti.
Ci sono 4 facce nel buco della ciambella, che hanno un'area totale di 4 unità quadrate.
Il superficie della ciambella quadrata è quindi 4(3) + 2(8) + 4 = 32 unità quadrate.

Il volumi di entrambe le forme sono le stesse, perché il volume misura il numero di cubi unitari che possono essere compressi in una figura. Entrambe le forme sono costruite utilizzando lo stesso numero di cubi. Costruire forme con volumi diversi significherebbe utilizzare meno o più cubi.

Forme con il stesso volume come questi due può avere diverse superfici surface. Le forme con aree di superficie maggiori sono più estese e hanno più facce esposte. Le forme con superfici più piccole sono più compatte e hanno più facce nascoste o condivise con altri cubi.

16.3 - Confrontare i prismi senza costruirli

Tre prismi rettangolari hanno ciascuno un'altezza di 1 cm.

Il prisma A ha una base di 1 cm per 11 cm.
Il prisma B ha una base di 2 cm per 7 cm.
Il prisma C ha una base di 3 cm per 5 cm.

1. Trova l'area della superficie e il volume di ciascun prisma. Usa la carta a pois per disegnare i prismi, se necessario.

2. Analizzare i volumi e le superfici dei prismi. Cosa noti? Scrivi 1-2 osservazioni su di loro.

1. A: Volume = 11 cm cubic cubici
Superficie = 4(11) + 2(1) = 46 cmq
B: Volume = 2 × 7 × 1 = 14 cm cubic cubici
Superficie = 2(2 × 7) + 2(7) + 2(2) = 46 cmq
C: Volume = 3 × 5 × 1 = 15 cm cubic cubici
Superficie = 2(3 × 5) + 2(5) + 2(3) = 46 cmq

2. I volumi dei prismi sono tutti diversi, ma le superfici sono le stesse.
Forme con volumi diversi possono avere la stessa superficie.
Il volume è descritto in termini di cubi unitari e la superficie in termini di facce esposte di tali cubi unitari.

Riesci a trovare altri esempi di prismi che hanno la stessa superficie ma volumi diversi? Quanti riesci a trovare?

Questi sono 3 esempi di prismi che hanno tutti una superficie di 54 cmq, ma volumi differenti. Questi non sono necessariamente gli unici prismi che possono essere disegnati per una superficie di 54 cmq.

1. A: Volume = 3 × 3 × 3 = 27 cm cubic
Superficie = 6(3 × 3) = 54 cmq
B: Volume = 3 × 6 × 1 = 18 cm cubic
Superficie = 2(3 × 6) + 2(6) + 2(3) = 54 cmq
C: Volume = 13 × 1 × 1 = 13 cm cubic
Superficie = 4(13) + 2(1) = 54 cmq

Lunghezza è un attributo unidimensionale di una figura geometrica. Misuriamo le lunghezze utilizzando unità come millimetri, centimetri, metri, chilometri, pollici, piedi, iarde e miglia.

La zona è un attributo bidimensionale. Misuriamo l'area in unità quadrate. Ad esempio, un quadrato di 1 centimetro di lato ha un'area di 1 centimetro quadrato.

Volume è un attributo tridimensionale. Misuriamo il volume in unità cubiche. Ad esempio, un cubo di 1 chilometro di lato ha un volume di 1 chilometro cubo.

Superficie e volume sono attributi diversi delle figure tridimensionali. L'area della superficie è una misura bidimensionale, mentre il volume è una misura tridimensionale.

Due figure possono avere lo stesso volume ma diverse superfici. Per esempio:

Un prisma rettangolare con lati di 1 cm, 2 cm e 2 cm ha un volume di 4 cm cubi e una superficie di 16 cm quadrati.
Un prisma rettangolare con lati di 1 cm, 1 cm e 4 cm ha lo stesso volume ma una superficie di 18 cmq.

Allo stesso modo, due figure possono avere la stessa superficie ma volumi diversi.

Un prisma rettangolare con lati di 1 cm, 1 cm e 5 cm ha una superficie di 22 cmq e un volume di 5 cmq.
Un prisma rettangolare con lati di 1 cm, 2 cm e 3 cm ha la stessa superficie ma un volume di 6 cm cu.

1. Abbina ogni quantità con un'unità di misura appropriata.

  1. La superficie di una scatola di fazzoletti
  2. La quantità di terreno in una fioriera
  3. L'area di un parcheggio
  4. La lunghezza di un campo da calcio
  5. Il volume di un acquario
  1. Metri quadrati
  2. cantieri
  3. Pollici cubici
  4. piedi cubi
  5. Centimetri quadrati
  1. La superficie di una scatola di fazzoletti: Centimetri quadrati
  2. La quantità di terreno in una fioriera: Pollici cubici
  3. L'area di un parcheggio: Metri quadrati
  4. La lunghezza di un campo da calcio: cantieri
  5. Il volume di un acquario: Pollici cubici

2. Ecco una figura costruita con cubi a scatto.

un. Trova il volume della figura in unità cubiche.
B. Trova l'area della superficie della figura in unità quadrate.
C. Vero o falso: se raddoppiamo il numero di cubi impilati, raddoppieranno sia il volume che la superficie. Spiega o mostra come lo sai.

un. Volume della figura = 1 unità × 1 unità × 4 unità = 4 unità cubiche
B. Superficie della figura = 4(4 unità) + 2(1 unità) = 18 unità quadrate
C. falso. Il volume raddoppierà a 8 unità cubiche, ma la nuova superficie sarà 4(8 unità) + 2(1 unità) = 34 unità quadrate, che non equivale a 18 × 2.

3. Lin ha detto: "Due figure con lo stesso volume hanno anche la stessa superficie."

un. Quali due cifre suggeriscono che la sua affermazione è vera?
B. Quali due cifre potrebbero mostrare che la sua affermazione è non vero?

A: Volume = 6 unità cubiche, superficie = 26 unità quadrate
B: Volume = 6 unità cubiche, superficie = 24 unità quadrate
C: Volume = 6 unità cubiche, superficie = 24 unità quadrate
D: Volume = 7 unità cubiche, superficie = 26 unità quadrate
E: Volume = 5 unità cubiche, superficie = 22 unità quadrate

B e C hanno lo stesso volume e la stessa superficie.
A e C hanno lo stesso volume, ma una superficie diversa, il che dimostra che l'affermazione di Lin non è vera.

4. Disegna un pentagono (poligono a cinque lati) che ha un'area di 32 unità quadrate. Etichetta tutti i lati o segmenti rilevanti con le loro misure e mostra che l'area è di 32 unità quadrate.

Questo poligono non deve essere un pentagono regolare, purché abbia 5 lati. Prova un composto di un quadrato e un triangolo e prova aree diverse per il quadrato. Il triangolo dovrebbe avere la stessa lunghezza di base dei lati del quadrato.

Sono possibili altre composizioni.

5. a. Disegna una rete per questo prisma rettangolare.
B. Trova l'area della superficie del prisma rettangolare.

un.

B. La superficie è 2(5 × 10) + 2(2 × 10) + 2(2 × 5) = 160 cmq.

Il curriculum di matematica di Open Up Resources può essere scaricato gratuitamente dal sito Web di Open Up Resources ed è disponibile anche da Illustrative Mathematics.

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Qual è la differenza tra volume e superficie?

Volume e superficie sono due concetti correlati nello studio della matematica. Sono entrambi importanti da capire, ma altrettanto importante è capire come differiscono e cosa significano. Questo è particolarmente vero quando si tratta di calcolare il volume e la superficie di un prisma o di un cilindro.

Se pensi di incartare un regalo in una scatola, puoi avere un'idea di come il volume e la superficie differiscano. Per prima cosa, devi considerare le dimensioni della scatola, quando consideri le dimensioni del regalo. Di quanto spazio interno ha bisogno la tua scatola per far entrare un regalo? La misura della capacità della scatola, quanto terrà, è il suo volume. Quindi devi incartare il regalo. La quantità di carta da imballaggio, che coprirà l'esterno della scatola, è un calcolo molto diverso dalla capacità della scatola. Avrai bisogno di una misurazione separata o di qualche buona ipotesi, per calcolare la somma dei lati di tutte le superfici o dell'area della superficie.

Il volume di una scatola quadrata o rettangolare è abbastanza facile da calcolare. Basta moltiplicare l'altezza per la lunghezza per la larghezza per ottenere la misura. Con un quadrato è ancora più semplice, basta fare un cubo della lunghezza di un lato, poiché misurano tutti allo stesso modo. Se la lunghezza del lato è un, la formula è a x a x a o a 3 . Quando confronti volume e superficie, noterai una formula molto diversa. È necessario ottenere l'area di ciascuna faccia e quindi aggiungere le aree di tutte le facce insieme. Con un prisma quadrato o un cubo, calcoleresti essenzialmente l'area a x a o a 2 , moltiplicata per 6 (6a 2 ). Quando lavori con un prisma rettangolare, dovrai raggiungere l'area di 3 coppie di lati uguali, che devono essere sommati per determinare l'area della superficie.

Il lavoro sul volume e sulla superficie differisce leggermente quando si tenta di calcolare l'area di un cilindro. La formula per un volume di un cilindro è l'area di una faccia circolare moltiplicata per l'altezza del cilindro. Si legge: πr 2 x h, o pi greco per il raggio al quadrato per l'altezza. Ottenere la superficie del cilindro è un po' più complicato poiché la porzione circolare è essenzialmente una faccia continua. Calcolare la superficie di un cilindro significa calcolare la area laterale di questo volto.

La formula dell'area laterale è la seguente πr2r o πd (pi per il raggio raddoppiato o pi per il diametro), moltiplicata per l'altezza, πr2r x h. Questa è essenzialmente la circonferenza di un cerchio per l'altezza del cilindro. Per calcolare l'intera formula devi anche aggiungere le aree delle facce circolari superiore e inferiore. Poiché in un cilindro sono uguali, la formula è 2 πr 2 . Questo calcolo viene quindi aggiunto all'area laterale per calcolare l'intera area della superficie nella seguente espressione:

πr2r x h + 2πr 2 = area laterale.

Puoi anche visualizzare la differenza tra volume e cilindro come differenza tra ciò che è all'interno e può essere contenuto e l'esterno di un oggetto tridimensionale. Queste sono differenze preziose da comprendere in molte applicazioni, come l'edilizia, l'ingegneria o persino il presente involucro. Quando i bambini si lamentano che la matematica è inutile al di fuori della lezione di matematica, potresti far loro notare che conoscere la differenza tra volume e superficie significa che hanno ricevuto un regalo molto ben incartato per il loro compleanno.

Tricia ha una laurea in Lettere presso la Sonoma State University ed è stata una frequente collaboratrice di InfoBloom per molti anni. È particolarmente appassionata di lettura e scrittura, sebbene i suoi altri interessi includano medicina, arte, cinema, storia, politica, etica e religione. Tricia vive nel nord della California e sta attualmente lavorando al suo primo romanzo.

Tricia ha una laurea in Lettere presso la Sonoma State University ed è stata una frequente collaboratrice di InfoBloom per molti anni. È particolarmente appassionata di lettura e scrittura, sebbene i suoi altri interessi includano medicina, arte, cinema, storia, politica, etica e religione. Tricia vive nel nord della California e sta attualmente lavorando al suo primo romanzo.


Riepilogo della lezione 15

A volte abbiamo bisogno di trovare il volume di un prisma, a volte abbiamo bisogno di trovare l'area della superficie.

Ecco alcuni esempi di grandezze relative al volume:

  • Quanta acqua può contenere un contenitore
  • Quanto materiale è servito per costruire un oggetto solido

Il volume è misurato in unità cubiche, come in 3 o m 3 .

Ecco alcuni esempi di grandezze relative alla superficie:

  • Quanto tessuto è necessario per rivestire una superficie
  • Quanto di un oggetto deve essere dipinto

La superficie è misurata in unità quadrate, come in 2 o m 2 .




Il volume è la quantificazione dello spazio tridimensionale che occupa una sostanza. L'unità SI per il volume è il metro cubo, o m 3 . Per convenzione, il volume di un contenitore è in genere la sua capacità e quanto fluido è in grado di contenere, piuttosto che la quantità di spazio che il contenitore effettivo sposta. Volumi di molte forme possono essere calcolati utilizzando formule ben definite. In alcuni casi, le forme più complicate possono essere scomposte nelle loro forme aggregate più semplici e la somma dei loro volumi può essere utilizzata per determinare il volume totale. I volumi di altre forme ancora più complicate possono essere calcolati utilizzando il calcolo integrale se esiste una formula per il contorno della forma. Oltre a ciò, le forme che non possono essere descritte da equazioni note possono essere stimate utilizzando metodi matematici, come il metodo degli elementi finiti. In alternativa, se la densità di una sostanza è nota ed è uniforme, il volume può essere calcolato utilizzando il suo peso. Questa calcolatrice calcola i volumi per alcune delle forme semplici più comuni.

Sfera

Una sfera è la controparte tridimensionale del cerchio bidimensionale. È un oggetto geometrico perfettamente rotondo che matematicamente è l'insieme dei punti equidistanti da un dato punto al suo centro, dove la distanza tra il centro e qualsiasi punto sulla sfera è il raggio R. Probabilmente l'oggetto sferico più comunemente conosciuto è una palla perfettamente rotonda. All'interno della matematica, c'è una distinzione tra una palla e una sfera, dove una palla comprende lo spazio delimitato da una sfera. Indipendentemente da questa distinzione, una sfera e una sfera condividono lo stesso raggio, centro e diametro e il calcolo dei loro volumi è lo stesso. Come con un cerchio, il segmento di linea più lungo che collega due punti di una sfera attraverso il suo centro è chiamato diametro, D. L'equazione per calcolare il volume di una sfera è fornita di seguito:

EX: Claire vuole riempire un pallone d'acqua perfettamente sferico con un raggio di 0,15 piedi con aceto da usare nella battaglia di palloncini d'acqua contro la sua nemesi Hilda il prossimo fine settimana. Il volume di aceto necessario può essere calcolato utilizzando l'equazione fornita di seguito:

volume = 4/3 × &pi × 0,15 3 = 0,141 piedi 3

Un cono è una forma tridimensionale che si assottiglia dolcemente dalla sua base tipicamente circolare a un punto comune chiamato apice (o vertice). Matematicamente, un cono è formato in modo simile a un cerchio, da un insieme di segmenti di linea collegati a un punto centrale comune, tranne per il fatto che il punto centrale non è incluso nel piano che contiene il cerchio (o qualche altra base). In questa pagina viene considerato solo il caso di un cono circolare retto finito. I coni composti da semirette, basi non circolari, ecc. che si estendono all'infinito non verranno affrontati. L'equazione per calcolare il volume di un cono è la seguente:

dove R è raggio e h è l'altezza del cono

EX: Bea è determinata a uscire dalla gelateria con i suoi $ 5 guadagnati duramente e ben spesi. Mentre lei preferisce i coni di zucchero regolari, i coni di cialda sono indiscutibilmente più grandi. Determina di avere una preferenza del 15% per i coni di zucchero normali rispetto ai coni di cialda e deve determinare se il volume potenziale del cono di cialda è del 15% superiore a quello del cono di zucchero. Il volume del cono di cialda a base circolare con raggio 1,5 pollici e altezza 5 pollici può essere calcolato utilizzando l'equazione seguente:

volume = 1/3 × &pi × 1,5 2 × 5 = 11,781 in 3

Bea calcola anche il volume del cono di zucchero e trova che la differenza è < 15% e decide di acquistare un cono di zucchero. Ora tutto ciò che deve fare è usare il suo appello angelico e infantile per manipolare il personale in modo che svuoti i contenitori di gelato nel suo cono.

Un cubo è l'analogo tridimensionale di un quadrato ed è un oggetto delimitato da sei facce quadrate, tre delle quali si incontrano in ciascuno dei suoi vertici e tutte perpendicolari alle rispettive facce adiacenti. Il cubo è un caso speciale di molte classificazioni di forme in geometria, tra cui un parallelepipedo quadrato, un cuboide equilatero e un romboedro destro. Di seguito è l'equazione per calcolare il volume di un cubo:

volume = un 3
dove un è la lunghezza del bordo del cubo

ESEMPIO: Bob, che è nato nel Wyoming (e non ha mai lasciato lo stato), ha recentemente visitato la sua patria ancestrale, il Nebraska. Sopraffatto dalla magnificenza del Nebraska e dall'ambiente che non aveva mai visto prima, Bob sapeva che doveva portare a casa un po' del Nebraska. Bob ha una valigia cubica con bordi lunghi 2 piedi e calcola il volume di terra che può portare a casa con sé come segue:

Cilindro

Un cilindro nella sua forma più semplice è definito come la superficie formata da punti ad una distanza fissa da un dato asse rettilineo. Nell'uso comune, tuttavia, "cilindro" si riferisce a un cilindro circolare retto, in cui le basi del cilindro sono cerchi collegati attraverso i loro centri da un asse perpendicolare ai piani delle sue basi, con altezza data h e raggio R. L'equazione per calcolare il volume di un cilindro è mostrata di seguito:

volume = &pir 2 h
dove R è raggio e h è l'altezza del serbatoio

EX: Caelum vuole costruire un castello di sabbia nel soggiorno di casa sua. Poiché è un fermo sostenitore del riciclaggio, ha recuperato tre barili cilindrici da una discarica illegale e ha ripulito i rifiuti chimici dai barili utilizzando detersivo per piatti e acqua. I barili hanno ciascuno un raggio di 3 piedi e un'altezza di 4 piedi e Caelum determina il volume di sabbia che ciascuno può contenere utilizzando l'equazione seguente:

volume = &pi × 3 2 × 4 = 113.097 piedi 3

Costruisce con successo un castello di sabbia nella sua casa e, come bonus aggiuntivo, riesce a risparmiare elettricità sull'illuminazione notturna, poiché il suo castello di sabbia brilla di un verde brillante al buio.

Serbatoio rettangolare

Un serbatoio rettangolare è una forma generalizzata di un cubo, in cui i lati possono avere lunghezze variabili. È delimitato da sei facce, tre delle quali si incontrano ai suoi vertici, e tutte sono perpendicolari alle rispettive facce adiacenti. The equation for calculating the volume of a rectangle is shown below:

volume= length × width × height

EX: Darby likes cake. She goes to the gym for 4 hours a day, every day, to compensate for her love of cake. She plans to hike the Kalalau Trail in Kauai and though extremely fit, Darby worries about her ability to complete the trail due to her lack of cake. She decides to pack only the essentials and wants to stuff her perfectly rectangular pack of length, width, and height 4 ft, 3 ft and 2 ft respectively, with cake. The exact volume of cake she can fit into her pack is calculated below:

Capsule

A capsule is a three-dimensional geometric shape comprised of a cylinder and two hemispherical ends, where a hemisphere is half a sphere. It follows that the volume of a capsule can be calculated by combining the volume equations for a sphere and a right circular cylinder:

dove R is radius and h is height of the cylindrical portion

EX: Given a capsule with a radius of 1.5 ft and a height of 3 ft, determine the volume of melted milk chocolate m&m's that Joe can carry in the time capsule he wants to bury for future generations on his journey of self-discovery through the Himalayas:

volume = &pi × 1.5 2 × 3 + 4/3 ×&pi ࡧ.5 3 = 35.343 ft 3

Spherical Cap

A spherical cap is a portion of a sphere that is separated from the rest of the sphere by a plane. If the plane passes through the center of the sphere, the spherical cap is referred to as a hemisphere. Other distinctions exist including a spherical segment, where a sphere is segmented with two parallel planes and two different radii where the planes pass through the sphere. The equation for calculating the volume of a spherical cap is derived from that of a spherical segment, where the second radius is 0. In reference to the spherical cap shown in the calculator:

Given two values, the calculator provided computes the third value and the volume. The equations for converting between the height and the radii are shown below:

EX: Jack really wants to beat his friend James in a game of golf to impress Jill, and rather than practicing, decides to sabotage James' golf ball. He cuts off a perfect spherical cap from the top of James' golf ball, and needs to calculate the volume of the material necessary to replace the spherical cap and skew the weight of James' golf ball. Given James' golf ball has a radius of 1.68 inches, and the height of the spherical cap that Jack cut off is 0.3 inches, the volume can be calculated as follows:

volume = 1/3 × &pi × 0.3 2 (3 × 1.68 - 0.3) = 0.447 in 3

Unfortunately for Jack, James happened to receive a new shipment of balls the day before their game, and all of Jack's efforts were in vain.

Conical Frustum

A conical frustum is the portion of a solid that remains when a cone is cut by two parallel planes. This calculator calculates the volume for a right circular cone specifically. Typical conical frustums found in everyday life include lampshades, buckets, and some drinking glasses. The volume of a right conical frustum is calculated using the following equation:

dove R e R are the radii of the bases, h is the height of the frustum

EX: Bea has successfully acquired some ice cream in a sugar cone, and has just eaten it in a way that leaves the ice cream packed within the cone, and the ice cream surface level and parallel to the plane of the cone's opening. She is about to start eating her cone and the remaining ice cream when her brother grabs her cone and bites off a section of the bottom of her cone that is perfectly parallel to the previously sole opening. Bea is now left with a right conical frustum leaking ice cream, and has to calculate the volume of ice cream she must quickly consume given a frustum height of 4 inches, with radii 1.5 inches and 0.2 inches:

volume=1/3 × &pi × 4(0.2 2 + 0.2 × 1.5 + 1.5 2 ) = 10.849 in 3

Ellipsoid

An ellipsoid is the three-dimensional counterpart of an ellipse, and is a surface that can be described as the deformation of a sphere through scaling of directional elements. The center of an ellipsoid is the point at which three pairwise perpendicular axes of symmetry intersect, and the line segments delimiting these axes of symmetry are called the principle axes. If all three have different lengths, the ellipsoid is commonly described as tri-axial. The equation for calculating the volume of an ellipsoid is as follows:

dove un, B, e C are the lengths of the axes

EX: Xabat only likes eating meat, but his mother insists that he consumes too much, and only allows him to eat as much meat as he can fit within an ellipsoid shaped bun. As such, Xabat hollows out the bun to maximize the volume of meat that he can fit in his sandwich. Given that his bun has axis lengths of 1.5 inches, 2 inches, and 5 inches, Xabat calculates the volume of meat he can fit in each hollowed bun as follows:

volume = 4/3 × &pi × 1.5 × 2 × 5 = 62.832 in 3

Square Pyramid

A pyramid in geometry is a three-dimensional solid formed by connecting a polygonal base to a point called its apex, where a polygon is a shape in a plane bounded by a finite number of straight line segments. There are many possible polygonal bases for a pyramid, but a square pyramid is a pyramid in which the base is a square. Another distinction involving pyramids involves the location of the apex. Right pyramids have an apex that is directly above the centroid of its base. Regardless of where the apex of the pyramid is, as long as its height is measured as the perpendicular distance from the plane containing the base to its apex, the volume of the pyramid can be written as:

EX: Wan is fascinated by ancient Egypt and particularly enjoys anything related to the pyramids. Being the eldest of his siblings Too, Tree and Fore, he is able to easily corral and deploy them at his will. Taking advantage of this, Wan decides to re-enact ancient Egyptian times and have his siblings act as workers building him a pyramid of mud with edge length 5 feet and height 12 feet, the volume of which can be calculated using the equation for a square pyramid:

volume = 1/3 × 5 2 × 12 = 100 ft 3

Tube Pyramid

A tube, often also referred to as a pipe, is a hollow cylinder that is often used to transfer fluids or gas. Calculating the volume of a tube essentially involves the same formula as a cylinder (volume=pr 2 h), except that in this case the diameter is used rather than the radius, and length is used rather than height. The formula therefore involves measuring the diameters of the inner and outer cylinder, as shown in the figure above, calculating each of their volumes, and subtracting the volume of the inner cylinder from that of the outer one. Considering the use of length and diameter mentioned above, the formula for calculating the volume of a tube is shown below:

dove D1 is outer diameter, D2 is inner diameter, and io is length of the tube

EX: Beulah is dedicated to environmental conservation. Her construction company uses only the most environmentally friendly of materials. She also prides herself on meeting customer needs. One of her customers has a vacation home built in the woods, across a creek. He wants easier access to his house, and requests that Beulah build him a road, while ensuring that the creek can flow freely so as not to disrupt his favorite fishing spot. She decides that the pesky beaver dams would be a good point to build a pipe through the creek. The volume of patented low-impact concrete required to build a pipe of outer diameter 3 feet, inner diameter 2.5 feet, and length of 10 feet, can be calculated as follows:


Surface area of a triangular prism

The surface area formula for a triangular prism is 2 * (height x base / 2) + length x width1 + length x width2 + length x base, as seen in the figure below:

A triangular prism is a stack of triangles, so the usualy triangle solving rules apply when calculating the area of the bases.