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Libro: A Primer of Real Analysis (Sloughter) - Matematica


Questa è una breve introduzione ai fondamenti dell'analisi reale. Sebbene i prerequisiti siano pochi, ho scritto il testo assumendo che il lettore abbia il livello di maturità matematica di chi ha completato la sequenza standard dei corsi di calcolo, ha avuto una certa esposizione alle idee della dimostrazione matematica (inclusa l'induzione) e ha un conoscenza di concetti fondamentali come le relazioni di equivalenza e le proprietà algebriche elementari degli interi.

Miniatura: la spirale logaritmica della conchiglia del Nautilus è un'immagine classica utilizzata per rappresentare la crescita e il cambiamento legati al calcolo. (CC BY-SA 3.0; tramite Wikipedia).


A Primer of Real Analysis di Dan Sloughter

Descrizione:
Questa è una breve introduzione ai fondamenti dell'analisi reale. Sebbene i prerequisiti siano pochi, ho scritto il testo assumendo che il lettore abbia il livello di maturità matematica di chi ha completato la sequenza standard dei corsi di calcolo e ha avuto una certa esposizione alle idee della dimostrazione matematica.

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Aggiornamento di matematica

Gli studenti di ritorno hanno l'ulteriore sfida di cercare di ricordare materiale che potrebbero non aver visto da anni. Negli anni passati, questo di solito creava la necessità di ripetere un corso o di pagare un tutoraggio privato. Ora, lo studente di ritorno o chiunque abbia bisogno di un po' di pratica in più può trovare numerosi materiali da cui imparare online. Possono studiare al proprio ritmo o scegliere gli argomenti che devono rivedere.

Ho incluso il sommario per ciascuno dei libri di testo gratuiti di matematica presenti in The Free Textbook List. Si spera che ciò renda più facile concentrarsi su argomenti specifici che potresti dover rivedere.


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Una guida alle funzioni reali

Si tratta di un'edizione rivista, aggiornata e notevolmente ampliata di una classica Monografia di Carus (un bestseller da oltre 25 anni) sulla teoria delle funzioni di una variabile reale. Le edizioni precedenti di questa classica Monografia di Carus trattavano insiemi, spazi metrici, funzioni continue e funzioni differenziabili. La quarta edizione aggiunge sezioni su insiemi e funzioni misurabili, gli integrali di Lebesgue e Stieltjes e le applicazioni. Il libro mantiene lo stile chiacchierone informale delle edizioni precedenti, rimanendo accessibile ai lettori con una certa sofisticatezza matematica e un background nel calcolo. Il libro è quindi adatto sia per l'autoapprendimento che per la lettura integrativa in un corso di calcolo avanzato o analisi reale. Non inteso come un trattato sistematico, questo libro ha più il carattere di una sequenza di lezioni su una varietà di argomenti interessanti legati a funzioni reali. Molti di questi argomenti non si incontrano comunemente nei libri di testo universitari: ad esempio, l'esistenza di funzioni continue oscillanti ovunque (tramite il teorema della categoria di Baire) il teorema universale dell'accordo due funzioni aventi derivate uguali, ma non differiscono per una costante e applicazione di Stieltjes integrazione alla velocità di convergenza di serie infinite.

Recensioni

È un grande piacere vedere la quarta edizione di questo gioiello, conosciuto in tutto il mondo. Questo è un lavoro importante, soprattutto per gli insegnanti e anche per gli studenti (formati).

Fonte: Acta Sci. Matematica (Szeged)

Consiglio vivamente questa monografia ai laureati in matematica che desiderano rivedere o ampliare la loro conoscenza dell'analisi reale e ai lavoratori di altri campi che desiderano apprendere i principali risultati dell'analisi.


Libri problematici consigliati per gli studenti universitari Real Analysis

Quindi sto frequentando un corso di analisi nella mia università e voglio un libro di problemi per questo.

Gli argomenti inclusi nel piano didattico sono

Numeri Reali: Introduzione al campo dei numeri reali, supremo, minimo, assioma di completezza, proprietà fondamentali dei numeri reali, espansione decimale, costruzione dei numeri reali.

Successioni e serie: Convergenza di una successione, successioni e sottosequenze di Cauchy, convergenza assoluta e condizionale di una serie infinita, teorema di Riemann, vari test di convergenza.

Topologia puntuale di: : Insiemi aperti e chiusi interni, confine e chiusura di un insieme Teorema di Bolzano-Weierstrass definizione sequenziale di compattezza e teorema di Heine-Borel.

Limite di una funzione: Limite di una funzione, proprietà elementari dei limiti.

Continuità: Funzioni continue, proprietà elementari delle funzioni continue, teorema dei valori intermedi, continuità uniforme, proprietà delle funzioni continue definite su insiemi compatti, insieme delle discontinuità.

Sto già seguendo Michael J. Schramm's Introduzione all'analisi reale per la mia teoria

Ma un libro di problemi con varie domande sui concetti mi aiuterebbe molto.

Si prega di consigliare alcuni libri problematici.

P.S: Ho già chiesto al mio professore di consigliare alcuni libri ma lui consiglia sempre il piccolo Rudin e inoltre non fornisce molti incarichi. Non sono compatibile con il libro di Rudin. Anche i suoi test sono molto duri perché vuole che cuciniamo contro esempi e io sono molto povero in questo. Quindi ho bisogno di un buon libro di problemi per padroneggiare l'analisi reale.


Fondamenti

Insiemi e relazioni

I numeri interi

Kronecker una volta disse: "Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo". Prendendo questo come punto di partenza, assumiamo l'esistenza dell'insieme

l'insieme dei numeri interi. Inoltre, assumiamo le proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione di interi, insieme ad altre proprietà elementari come il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, cioè l'affermazione che ogni intero può essere scomposto in un prodotto di numeri primi e questa fattorizzazione è essenzialmente unica.

Adotteremo una visione ingenua degli insiemi: data una qualsiasi proprietà p, possiamo determinare un insieme raccogliendo insieme tutti gli oggetti che hanno la proprietà p. Questo può essere fatto tramite enumerazione esplicita, come p è la proprietà di essere uno di a, b o c, che crea l'insieme, o dichiarando la proprietà desiderata, ad esempio pis la proprietà di essere un intero positivo, che crea l'insieme

La notazione x∈A indica che x è un elemento dell'insiemeA. Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è un sottoinsieme di B, indicato con A⊂B, se dal fatto che x∈A segue necessariamente che x∈B. Diciamo che gli insiemi A e B sono uguali se sia A⊂B che B A.

Dati due insiemiA eB, chiamiamo l'insieme

l'unione di Ae B e l'insieme

l'intersezione di A e B. Chiamiamo il set

Più in generale, se io sono un insieme e è una raccolta di insiemi, uno per

ogni elemento di I, allora abbiamo l'unione

Esempio 1.1.1. Ad esempio, seI=<2,3,4, . . .>e lasciamo

i∈IAi è l'insieme dei numeri primi.

Se A e B sono entrambi insiemi, chiamiamo l'insieme

il prodotto cartesiano di A e B. Se A=B, scriviamo

Z, n∈Z>è l'insieme di tutte le coppie ordinate di interi.

Relazioni

Dati due insiemi A e B, chiamiamo relazione un sottoinsieme R di A×B. Data una relazione R, scriveremo a∼Rb, o semplicemente a∼b se R è chiaro dal contesto,

Esempio 1.1.3. Diciamo che un intero divide e integernifn=mi per alcuni interi. se lasciamo

Consideriamo un insieme A e una relazione R ⊂A2. Per ragioni di concisione, noi

diciamo semplicemente che R è una relazione su A. SeRi è tale che a∼Ra per ogni everyA,

diciamo che R è riflessivo se R è tale cheb ∼R a ogni volta chea ∼R b, diciamo che R è

simmetrico ifa∼Rb eb∼Rc insieme implicanoa∼Rc, diciamo Ristransitivo.

Chiamiamo una relazione che è riflessiva, simmetrica e transitiva una relazione di equivalenza.

Esercizio 1.1.1. Mostra che la relazione RonZdefinito da m∼Rnifmdivides

nis riflessivo e transitivo, ma non simmetrico.

Esercizio 1.1.2. Mostra che la relazione R su Z definita da m∼Rnifm−nis

anche è una relazione di equivalenza.

Data una relazione di equivalenza R su un insiemeA e un elementox∈A, chiamiamo

Esercizio 1.1.3. Data una relazione di equivalenza su un insieme A, mostra che

Come conseguenza dell'esercizio precedente, le classi di equivalenza di una relazione di equivalenza su un insieme A costituiscono una partizione di A (cioè A può essere scritta come l'unione disgiunta delle classi di equivalenza).

Esercizio 1.1.4. Trova le classi di equivalenza per la relazione di equivalenza nell'Esercizio1.1.2.

Funzioni

Se A e B sono insiemi, chiamiamo una relazione R⊂A×B una funzione di dominio A se per ogni a∈A esiste uno, e solo uno, b ∈B tale che (a, b)∈R. Tipicamente indichiamo tale relazione con la notazione f :A →B, e scriviamo f(a) = b per indicare che (a, b) ∈ R. Chiamiamo l'insieme di tutti b ∈ B tale che f(a) = b per alcunia∈Ala gamma di f. Con questa notazione, ci riferiamo spesso a R come thegraph off.

Diciamof :A→Bisone-to-oneif per ogni bin l'intervallo fuori esiste un'univocoa∈Atale chef(a) =b. Diciamof isontoif per ognib∈Besiste almeno unoa∈A tale chef(a) =b. Ad esempio, la funzione f :Z+

definito daf(z) =z2è uno a uno, ma non su, mentre la funzioneF :

Z→Z definito daf(z) =z+ 1 è sia uno a uno che su.

Date due funzioni, g:A→B ef :B→C, definiamo la composizione, indicata conf ◦g:A→C, come la funzione definita daf◦g(a) =f(g(a)).

Se f : A →B è sia uno a uno che su, allora possiamo definire una funzione f−1 : B UNrichiedendo F−1(b) = unse e solo se F(a) =B. Nota che questo

Data ogni raccolta di insiemi non vuoti,,α∈I, assumiamo l'esistenza

α∈IAα, con la proprietà cheφ(α)∈Aα. Noi

chiamare tale funzione una funzione di scelta. L'assunto che le funzioni di scelta esistano sempre è noto come assioma della scelta.

Numeri razionali

Sia P =<(p, q) : p, q ∈Z, q6= 0>. Definiamo una relazione di equivalenza su P dicendo (p, q)∼(s, t) ifpt=qs.

Esercizio 1.3.1. Dimostrare che la relazione appena definita è effettivamente una relazione di equivalenza.

Indicheremo la classe di equivalenza di (p, q)∈P con p/q, o pQ. Chiamiamo l'insieme di tutte le classi di equivalenza di P numeri razionali, che indichiamo conQ. Sep∈Z, indicheremo la classe di equivalenza di (p,1) con byp cioè, poniamo

In questo modo, possiamo pensare aZcome sottoinsieme diQ.

Proprietà del campo

Si vogliono definire operazioni di addizione e moltiplicazione su elementi di Q. Iniziamo definendo le operazioni sugli elementi di P. Vale a dire, dato (p, q)∈P e (s, t)∈P, definisci

Supponiamo ora (p, q)∼ (a, b) e (s, t)∼ (c, d). Ne segue che (p, q)⊕(s, t)∼ (a, b)⊕(c, d), cioè (pt+sq, qt)∼(ad+cb, bd), poiché

(pt+sq)bd=pbtd+sdqb=qatd+tcqb= (ad+cb)qt. (1.3.4)

Inoltre, (p, q)⊗(s, t)∼(a, b)⊗(c, d), cioè (ps, qt)∼(ac, bd), poiché

Ciò mostra che la classe di equivalenza di una somma o di un prodotto dipende solo dalle classi di equivalenza degli elementi che vengono aggiunti o moltiplicati. Quindi possiamo definire addizione e moltiplicazione suQdi

ei risultati non dipenderanno da quali rappresentanti scegliamo per ciascuna classe di equivalenza. Naturalmente, la moltiplicazione è spesso indicata usando la giustapposizione, cioè,

e la moltiplicazione ripetuta può essere indicata con l'elevamento a potenza, cioè an, a∈Qandn∈Z+, rappresenta il prodotto di acon se stesso per i tempi.

Nota che se (p, q)∈P, allora (−p, q)∼(p,−q). Quindi, se a= pQ ∈Q, allora lasciamo

Per anya, b∈Q, scriveremo a−b per denotare a+ (−b). Ifa=pQ Qconp6= 0, quindi lasciamo

Ora è facile dimostrarlo

Prese insieme, queste affermazioni implicano cheQè un campo.

Ordine e proprietà metriche

Diciamo che un numero razionale è positivo se esiste p, q∈Z+ tale che a=pq.

Indichiamo l'insieme di tutti gli elementi positivi diQdiQ+.

Dato a, b∈Q, si dice che è minore di b, o, equivalentemente, bis maggiore di a, indicato con a < bor b > a, se b−a è positivo. In particolare, a > 0 se e solo se a è positivo. Se a < 0, diciamo che a è negativo. Scriviamo a ≤b, o, equivalentemente,b≥a, se siaa < b ora=b.

Esercizio 1.3.2. Mostra che per ogni a∈ Q, deve valere una e una sola delle seguenti: (a)a <0, (b)a= 0, (c)a >0.

Esercizio 1.3.3. Mostra che ifa, b∈Q+, thena+b∈Q+.

Esercizio 1.3.4. Supponiamo, b, c∈Q. Mostra ciascuno dei seguenti: a. Deve valere una, e una sola, delle seguenti condizioni:

Esercizio 1.3.5. Mostra che ifa, b∈Qwitha >0 andb <0, thenab <0.

Esercizio 1.3.6. Mostra che ifa, b, c∈Qcona < b, quindi ac < bcifc >0 e ac > bcifc <0.

Esercizio 1.3.7. Mostra che ifa, b∈Qwitha < b, then

Come conseguenza dell'Esercizio 1.3.4 diciamoQè un campo ordinato. Per qualsiasi ∈Q, Noi chiamiamo

Esercizio 1.3.8. Mostra che per anya∈Q,−|a| ≤a≤ |a|.

Proposizione 1.3.1. Per anya, b∈Q,|a+b| |a|+|b|.

Entrambi i termini a destra sono non negativi per l'Esercizio 1.3.8. Quindi la somma è non negativa e la proposizione segue. Ifa+b <0, allora

Di nuovo, entrambi i termini a destra sono non negativi per l'Esercizio 1.3.8. Quindi la somma è non negativa e segue il teorema. Q.E.D.

Ora è facile dimostrare che il valore assoluto soddisfa

1. |a−b| ≥0 per alla, b∈Q, con|a−b|= 0 se e solo ifa=b,

Si noti che l'ultima affermazione, nota come disuguaglianza triangolare, segue dalla scrittura

e applicando la proposizione precedente. Queste proprietà mostrano che la funzione

è una metrica, e chiameremo|a−b|la distanza da atob. Supponiamo, b ∈Q+ insieme a a < b e lasciap, q, r, s

Se scegliamo n abbastanza grande da essere nps-rq > 0, ne consegue che na-b > 0, cioè na > b. Diciamo che il campo ordinato Qisarchimedeo. Nota che ne consegue anche che possiamo scegliere n abbastanza grande da garantire che b

Limiti superiore e inferiore

Definizione 1.3.1. LetA⊂Q. SesQè tale ches≥aper ognia∈A, allora chiamiamo un limite superiore per A. Se è un limite superiore per A con la proprietà che vale ogni volta che è un limite superiore per A, allora chiamiamo s il massimo, o il minimo limite superiore, di A, denotato = supA. Allo stesso modo, se r∈Qè tale che r≤aper ognia∈A, allora chiamiamoralimitato inferiore perA. Se è un limite inferiore per A con la proprietà che r≥t ogni volta che è un limite inferiore per A, allora chiamiamo r l'infimum, o il massimo limite inferiore, di A, denotato r= ​​infA.

Esercizio 1.3.9. Dimostrare che il supremo di un insiemeA⊂Q, se esiste, è unico, e quindi giustificare l'uso dell'articolo determinativo nella definizione precedente.

Un insieme che non ha un limite superiore non avrà, a fortiori, un supre-mum. Inoltre, anche gli insiemi che hanno limiti superiori non devono necessariamente avere una sovramatura.

Esempio 1.3.1. Q non ha un limite superiore.

Esempio 1.3.2. Considera l'insieme

Q+ con a2>2, quindi è un limite superiore per A. Ad esempio, 4 è un limite superiore per A.

Supponiamo2 <2 e let= 2−s2. Per la proprietà di Archimede di Q, possiamo scegliere∈Z+ tale che

2s+ 1 n < , da cui segue che

n, questo contraddice l'ipotesi

Se lasciamo=s2−2, allora possiamo scegliere∈Z+ in modo che

così-n1 è un limite superiore perAands−1n < s, contraddicendo l'assunto che s= supA.

Quindi dobbiamo avere2= 2. Tuttavia, questo è impossibile alla luce del

seguente proposta. Quindi dobbiamo concludere che Adoes non ha un supremo.

Proposizione 1.3.2. Non esiste un numero razionale con la proprietà che s2= 2.

Prova. Supponiamo che esista∈Qtale che è2= 2. Sceglia, b

Z+così chea e nudo relativamente primi (cioè non hanno altro fattore in comune che 1) es=a

quindi a2 = 2b2. Thusa2, e quindi, è un numero intero pari. Quindi esiste c∈Z+ tale chea= 2c. Quindi

da cui segue che b2 = 2c, e quindi anche b è un intero pari. Ma questo contraddice l'assunto che a e b siano relativamente primi. Q.E.D.

Esercizio 1.3.10. Mostra che non esiste un numero razionale con la proprietà che s2= 3.

Esercizio 1.3.11. Mostra che non esiste un numero razionale con la proprietà che s2= 6.

1. Mostra che ifa ifAandb < a, thenb thenA.

Sequenze

Definizione 1.3.2. Supponiamo∈Z,I=, eAè un insieme. Chiamiamo una funzioneϕ:I→Asequenza con valori inA.

Frequentemente, definiremo una sequenzaϕspecificando i suoi valori con notazioni come, ad esempio, <ϕ(i)>io, io, o <ϕ(i)>i=n. Così, ad esempio, i=1

Zdefinito daϕ(i) =i2. Inoltre, è consuetudine denotare i valori di una sequenza utilizzando la notazione in pedice. Quindi ifai =ϕ(i),

io io, allorai∈I denota la sequenza ϕ. Ad esempio, possiamo definire il

sequenza dell'esempio precedente scrivendoai=i2,i= 1,2,3, . . ..

Definizione 1.3.3. supponiamoi∈I è una successione con valori inQ. Diciamo che i∈I converge, e ha limite L, L ∈ Q, se per ogni ∈ Q+ esiste N ∈Ztale che

Se la sequenzai∈I converge aL, scriviamo

1 i = 0, poiché, per ogni numero razionale >0,

per anyi > N, dove N è un numero intero maggiore di 1 .

Definizione 1.3.4. supponiamo i∈I è una sequenza con valori in Q. Chiamiamo i∈I una successione di Cauchy se per ogni∈Q+ esiste N ∈Z tale che

|ai−ak|< ogni volta che bothi > N ek > N. (1.3.22)

Proposizione 1.3.3. Sei∈I converge, allora i∈I è una sequenza di Cauchy.

per alli > N. Quindi per anyi, k > N, abbiamo

2 =. (1.3.24) Quindii∈I è una sequenza di Cauchy. Q.E.D.

e consideriamo la sequenza costruita come segue: Cominciamo ponendo a1 = 1,

b1= 2, ex1= 32. Se(a1)f(x1)<0, imposta

2 , a2=a1 e b2=x1 altrimenti, imposta

a2=x1, eb2=b1. In generale, dati an,xn e bn, iff(an)f(xn)<0, poniamo

2 , an+1=an, e bn+1=xn altrimenti, imposta

an+1 =xn e bn+1 =bn. Nota che per ogni intero N positivo, f(aN)<0,

per tutti i, k > N. Quindi dato qualsiasi ∈Q+, se scegliamo un interono tale che

per tutti i, k > N, dimostrando che ∞i=1 è una successione di Cauchy. Ora supponiamo

∞i=1 converge as∈Q. Nota che dobbiamo avere

Quindi bN < t, il che implica che f(bN) < 0, contraddicendo la costruzione

di i=1. Quindi dobbiamo avere f(s) >0. Ma se f(s) >0, allora esiste

implicando thatf(aN)>0, contraddicendo la costruzione dii=1. quindi noi

must havef(s) = 0, che non è possibile poiché s∈Q. Quindi dobbiamo concludere che∞i=1 non converge.

Numeri reali

Sia C l'insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali. Definiamo una relazione su C come segue: Se io∈io e j∈J sono successioni di Cauchy in Q, alloraio∈io ∼ j∈J, che scriveremo più semplicemente asai∼bi, se per ogni

numero razionale >0, esiste un intero N tale che

ogni volta che i > N. Questa relazione è chiaramente riflessiva e simmetrica. Per mostrare che è anche transitivo, e quindi una relazione di equivalenza, supponiamoai∼biand

bi ∼ci. Dato∈Q+, scegliN in modo che

per alli > M. SiaL il maggiore diN eM. Allora, per alli > L,

Definizione 1.4.1. Usando la relazione di equivalenza appena definita, chiamiamo l'insieme delle classi di equivalenza di C numeri reali, indicato con R.

Si noti che se a Q, possiamo identificare a con la classe di equivalenza della successione ∞i=1 dove bi = a, i = 1,2,3, . . ., e quindi consideriamo Q un sottoinsieme diR.

Esercizio 1.4.1. supponiamoio∈io ei∈J sono successioni inQcon lim

Proprietà del campo

supponiamo io∈io e j∈J sono entrambe sequenze di Cauchy di numeri razionali.

Sia K = I∩J e definiamo una nuova successione k∈K ponendo sk = ak+bk.

Dato un qualsiasi razionale >0, scegli gli interi N eM tali che |ai−aj|<

per alli, j > M. SeLi è il maggiore di N e M, allora, per alli, j > L, |si−sj|=|(ai−aj) + (bi−bj)| ≤ |ai−aj|+|bi−bj|<

2 =, (1.4.7) che mostra che k∈K è anche una sequenza di Cauchy. Inoltre, supponiamo ai ∼ci

andbi∼di. Dato∈Q+, scegliN in modo che |ai−ci|<

per alli > N e scegli M in modo che

per alli > M. SeLi è il maggiore diN eM, allora, per alli > L, |(ai+bi)−(ci+di)| ≤ |ai−ci|+|bi−di|<

2 =. (1.4.10) Quindi ai+bi∼ci+di. Quindi ifu, v∈R, essendo u la classe di equivalenza di i∈I e v essendo la classe di equivalenza dij∈J, allora potremmo

inequivocabilmente definireu+v essere la classe di equivalenza dii∈K, dove K=I∩J.

supponiamoio∈Iandj∈Jare entrambe le sequenze di Cauchy di numeri razionali.

Sia K=I∩J e definiamo una nuova successione k∈K impostando pk =akbk. Permettere

B >0 essere un limite superiore per l'insieme <|ai|:i∈I>∪ <|bj|:j∈J>. Dato >0,

scegli interi N e M tali che |ai−aj|<

per alli, j > M. SeLi è il maggiore di N e M, allora, per alli, j > L, |pi−pj|=|aibi−ajbj|

Quindik∈K è una sequenza di Cauchy.

Ora supponiamo i∈H e i∈G sono sequenze di Cauchy conai ∼ci e

bi ∼di. SiaB >0 un limite superiore per l'insieme <|bj|:j ∈J>∪ <|ci|:i∈H>.

Dato >0, scegli gli interi N e M tali che

per alli > M. IfLis il maggiore diN eM, quindi, per alli > L,

Thenaibi∼cidi. Quindi ifu, v ∈R, essendo la classe di equivalenza diio∈io

ed essendo la classe di equivalenza dij∈J, allora possiamo definire senza ambiguità

uv essere la classe di equivalenza di i∈K, dove K=I∩J.

se tuR, definiamo −u= (−1)u. Nota che sei∈I è una sequenza di Cauchy

di numeri razionali nella classe di equivalenza di u, allora <−ai>i∈I è un Cauchy

sequenza nella classe di equivalenza di −u.

Diremo che una sequenza i∈I è limitato da 0 se esiste

un numero razionale δ >0 e un interoN tale che|ai|> δ per ogni i > N.

dovrebbe essere chiaro che ogni successione che converge a 0 non è limitata a 0. Inoltre, come conseguenza del prossimo esercizio, ogni successione di Cauchy che non converge a 0 deve essere limitata a 0.

Esercizio 1.4.2. supponiamoi∈I è una sequenza di Cauchy che non è limitata

lontano da 0. Mostra che la successione converge e lim

Esercizio 1.4.3. supponiamoi∈I è una sequenza di Cauchy che è delimitata

da 0 andai∼bi. mostra chej∈J è anche delimitato da 0.

Ora supponiamo i∈I è una successione di Cauchy delimitata da 0

e scegliδ >0 eN in modo che |ai|> δper tutti i > N. Definisci una nuova sequenza

per tutti i, j > M. Sia L il maggiore di N e M. Allora, per tutti i, j > L, abbiamo

Quindi ∞i=N+1 è una successione di Cauchy.

Ora supponiamoj∈J è una sequenza di Cauchy conai ∼bi. Per Esercizio1.4.3

lo sappiamoj∈Jè anche delimitato da 0, quindi scegliγ >0 eKsuch

che |bj|> per allj > K. Dato >0, scegli P in modo che

per tutti i i > P. Sia S il maggiore di N,K e P. Allora, per tutti i, j > S, abbiamo 1 ai −

bi. Quindi ifu6= 0 è un numero reale che è la classe di equivalenza di

i∈I (necessariamente delimitato da 0), allora possiamo definire

essere la classe di equivalenza di

dove N è stato scelto in modo che |ai|> per alli > N e someδ >0.

Ordine e proprietà metriche

Definizione 1.4.2. Dato teR, diciamo che è positivo, scrittou > 0, ifu è la classe di equivalenza di una successione di Cauchy i∈io per cui esiste un

numero razionale > 0 e un interoN tale cheai > per ogni i > N. A

numero realeu∈R si dice positiva se −u >0. lasciamoR+ denotare l'insieme

di tutti i numeri reali positivi.

Esercizio 1.4.4. Mostra che ifu∈R, allora è vera una e una sola delle seguenti: (a)u >0, (b)u <0, o (c)u= 0.

Esercizio 1.4.5. Mostra che ifa, b∈R+, thena+b∈R+.

Definizione 1.4.3. Dati i numeri reali u e v, diciamo che u è maggiore di v, scrittou > v, o, equivalentemente, vislessthanu, scritto,v < u, ifu−v >0. Scriviamo u≥v, o, equivalentemente,v ≤u, per indicare cheui è maggiore o uguale a tov. Diciamo che non è negativo ifu≥0.

Esercizio 1.4.6. Mostra che è un campo ordinato, ovvero verifica quanto segue:

un. Per anya, b∈R, deve valere una e una sola delle seguenti: (i)a < b, (ii) a=b, (iii)a > b.

B. Ifa, b, c∈Rwitha < bandb < c, thena < c.

C. Ifa, b, c∈Rwitha < b, thena+c < b+c.

D. Ifa, b∈Rcona >0 eb >0, poiab >0.

Esercizio 1.4.8. Mostra che se a, b, c∈Rcona < b, quindi ac < bcifc >0 e ac > bcifc <0.

Esercizio 1.4.9. Mostra che se a, b∈Rcona < b, allora per ogni numero realeλ con 0< λ <1,a < λa+ (1−λ)b < b.

Definizione 1.4.4. Per qualsiasi ∈R, Noi chiamiamo

Esercizio 1.4.10. Mostra che per anya∈R, −|a| ≤a≤ |a|.

Proposizione 1.4.1. Per anya, b∈R,|a+b| |a|+|b|.

Entrambi i termini a destra sono non negativi per l'Esercizio 1.4.10. Quindi la somma è non negativa e la proposizione segue. Ifa+b <0, allora

Di nuovo, entrambi i termini a destra sono non negativi per l'Esercizio 1.4.10. Quindi la somma è non negativa e la proposizione segue. Q.E.D.

È ora facile dimostrare che la funzione in valore assoluto soddisfa

1. |a−b| ≥0 per alla, b∈R, con|a−b|= 0 se e solo se a=b,

Queste proprietà mostrano che la funzione

è una metrica, e chiameremo|a−b|la distanza da ato b.

Prova. Permettere i∈Io sono una successione di Cauchy nella classe di equivalenza dia. Da

a >0, esiste un razionale > 0 e un intero N tale cheui > per tutti

i > N. Sia r= 2. Quindi ui−r > 2 per ogni i > N, soa−r >0, cioè

Ora scegli un intero M in modo che |ui −uj| < 1 per tutti i, j > M. Let

per alli > M. Quindi > a. Q.E.D.

Proposizione 1.4.3. Ris un campo ordinato di Archimede.

Prova. Dati i numeri reali aeb con 0 < a < b, siano r e s numeri razionali per cui 0< r < a < b < s. Poiché Q è un campo di Archimede, esiste un intero tale che nr > s. Quindi

Proposizione 1.4.4. Dato a, b ∈R con a < b, esiste ∈Q tale che a < r < b.

Prova. Permetterei∈Io sono una successione di Cauchy nella classe di equivalenza diae lascia

j∈J essere nella classe di equivalenza dib. Poichéb−a >0, esiste un razionale

> 0 e un interoN tale che vi−ui > per tutti i > N. Ora scegli an

interoM in modo che|ui−uj|< 4 per alli, j > M. Letr=uM+1+2. Quindi

Limiti superiore e inferiore

Definizione 1.4.5. LetA⊂R. Ses∈Ri è tale che è≥aper ognia∈A, allora chiamiamo un limite superiore per A. Se è un limite superiore per A con la proprietà che vale ogni volta che è un limite superiore per A, allora chiamiamo il limite superiore, o minimo, di A, indicato con s= supA. Allo stesso modo, ifr∈Ri è tale che r≤a per ognia∈A, allora chiamiamora limite inferiore per A. Se è un limite inferiore perA con la proprietà cher≥t ogni volta chet è un limite inferiore perA, allora chiamiamo rtheinfimum, o il massimo limite inferiore, diA, denotator=infA.

Teorema 1.4.5. SupponiamoA ⊂R, A 6=∅, ha un limite superiore. Allora supA esiste.

Prova. Leta∈Ae lascia un limite superiore perA. Definisci sequenzei=1

e∞i=1 come segue: Leta1=aandb1=b. Fori >1, let

Ifc è un limite superiore perA, letai=ai−1 e letbi=c altrimenti, letai=c

fori= 1,2,3, . . .. Ora, fori= 1,2,3, . . ., sia un numero razionale tale che

ai< ri< bi. Dato qualsiasi >0, possiamo scegliere N in modo che

Quindi, ogniqualvoltai > N ej > N,

Quindi ∞i=1 è una successione di Cauchy. Sia s ∈ R la classe di equivalenza di

i=1. Nota che, fori= 1,2,3, . . .,ai≤s≤bi.

Ora se s non è un limite superiore per A, allora esiste a∈A con > s. Siaδ=a−sand scegliamo un interoN tale che

Ma, per costruzione, bN+1 è un limite superiore per A. Così deve essere un superiore

Ora supponiamo che sia un altro limite superiore perA et < s. Siaδ=s−t e scegliamo un interoN tale che

il che implica che aN+1 è un limite superiore perA. Ma, per costruzione, aN+1

non è un limite superiore per A. Quindi s deve essere il limite superiore minimo per A,

Capitolo 2


29 risposte 29

Quando stavo imparando l'analisi introduttiva alla realtà, il testo che ho trovato più utile è stato Understanding Analysis di Stephen Abbott. È scritto sia in modo molto pulito che conciso, dandogli il vantaggio di essere estremamente leggibile, il tutto senza perdere le formalità di analisi che sono al centro di questo livello. Sebbene non sia completo come i Principi di analisi di Rudin o gli Elementi di analisi reale di Bartle, è un ottimo testo per un primo o un secondo passaggio per comprendere veramente l'analisi di una singola variabile reale.

Se stai cercando un libro per lo studio autonomo, probabilmente passerai attraverso questo. A quel punto, tentare una trattazione più completa nel libro di Rudin sarebbe sicuramente avvicinabile (e in ogni caso, quello di Rudin è un ottimo riferimento da avere intorno).

Mi piace Analisi Volume I e II di Terrence Tao. Con il suo modo semplice di spiegare le cose, questo libro deve essere leggibile da solo.

Puoi vedere qui http://terrytao.wordpress.com/books/ tutti i suoi libri insieme ai due che ho menzionato sopra.

Per lo studio autonomo, sono un grande fan del libro di Strichartz "La via dell'analisi". È molto meno austero della maggior parte dei libri, anche se alcune persone pensano che sia un po' troppo discorsivo. Tendo a consigliarlo ai giovani della nostra università che trovano il "Principio di analisi matematica" di Rudin (il gold standard per i corsi di analisi universitaria) troppo conciso, e sembra che a tutti piaccia molto.

EDIT: Rileggendo la tua domanda, potresti aver bisogno di qualcosa di più elementare. Una buona scelta potrebbe essere il libro di Spivak "Calculus", che nonostante il titolo si trova davvero al confine tra calcolo e analisi.

Analisi matematica I e II di Vladimir A Zorich, Universitext - Springer. Ha un buon numero di esempi e le spiegazioni sono lucide.

Bryant [1] sarebbe la mia raccomandazione se sei appena uscito dalla sequenza di calcolo/ODE e studi da solo. Se il tuo background è un po' più forte, allora Bressoud [2] potrebbe essere migliore. Infine, dovresti dare un'occhiata ad Abbott [3] a prescindere, poiché penso che sia il miglior libro di analisi reale introduttivo scritto che sia apparso almeno negli ultimi due decenni.

[1] Victor Bryant, "Ancora un'altra introduzione all'analisi", Cambridge University Press, 1990.

[2] David M. Bressoud, "A Radical Approach to Real Analysis", 2a edizione, Mathematical Association of America, 2006.

[3] Stephen Abbott, "Capire l'analisi", Springer-Verlag, 2001.

Potresti dare un'occhiata a A Problem Text in Advanced Calculus di John Erdman. È gratuito, ben scritto e contiene soluzioni a molti esercizi. Questi attributi, a mio avviso, lo rendono particolarmente adatto allo studio autonomo. Una delle cose che mi piace particolarmente del testo è l'uso da parte dell'autore dei concetti o-O per definire la differenziabilità. Semplifica drasticamente alcune dimostrazioni (ad esempio, la regola della catena) ed è coerente tra spazi unidimensionali e n-dimensionali.

"Principi di analisi matematica" 3a edizione (1974) di Walter Rudin è spesso la prima scelta. Questo libro è bello ed elegante, ma se non hai mai avuto un paio di corsi strutturati Def-Thm-Proof, leggere il libro di Rudin potrebbe essere difficile.

Anche il calcolo di Thomas sembra adattarsi bene alle tue esigenze, poiché io stesso avevo usato quel libro e l'avevo trovato più attraente di quello di Rudin

Raccomando l'analisi matematica di S. C. Malik, Savita Arora per studiare l'analisi reale. Un libro molto dettagliato e adatto agli studenti!

Il libro di Bartle è più sistematico, molto chiaro in tutti i teoremi, begli esempi, sempre da tenere nello studio dell'analisi.

Di recente ho scoperto "Come pensare all'analisi" di Lara Alcock. Non è proprio un libro di testo, è più una guida allo studio su come procedere per l'analisi dell'apprendimento, ma credo che copra anche le idee chiave.

Mi piacciono molto Idee fondamentali di analisi di Reed. È un'introduzione chiara e amichevole all'analisi.

Se hai seguito un buon corso di Calcolo, consiglio vivamente Calcolo avanzato di G.B. Follia. It is well known that Folland's an amazing expositor this book serves well to introduce you to the crucial transition from Calculus to Real analysis. This book should also prepare you sufficiently in terms of maturity for you to then be able to appreciate Baby Rudin.

1) Introduction to Real Analysis by mapa-

The contents are systematically structured with enough attention given to each topic. Some of the topics included in the book are Set Theory, Real numbers, Sets in R, Real Functions, Sequence, Series, Limits, Continuity and Differentiation. The book also contains solved exercises to help the readers understand the basic elements of the topics discussed in the contents

2) Elements of Real Analysis by denlinger

Two best books for self-study. Rudin and bartle are good if you have an instructor or in college but for self understanding these are best.

I read this question a month ago and I decided to go for three of the most suggested books: Abbott "Understanding Analysis", Rudin "Principles of Mathematical Analysis", and Kolmogorov and Fomin "Introductory Real Analysis".

The one I liked most, and I ended up reading entirely, is Rudin's one: I am a PhD student in engineering and I think the level of the book was perfect to me. Two critiques I have are: there is a general lack of comments (a bit too much "Theorem, Proof") and there are no images. However, I found the book very clear and rigorous, especially the first 7 chapters. I definitely suggest it.

I really liked Abbott's approach: he really makes you understand the logic of things, and you never get lost in the proofs. On the other hand the one thing I didn't quite like was the excessive use of exercises: every two pages some kind of proof is "left to the reader." Sometimes also people that are not undergrads are going to read the book! Moreover this book treats only real numbers, and sometimes you lose the "big picture."

I stopped Kolmogorov and Fomin's book almost immediately. It was too much of an encyclopedia for me. But from the look I had, I bet it would be a great read if one has the time!

I was recommended Introduction to Analysis by Mattuck. It was a bit difficult to use as it does not follow the progression other books (like Rudin or Apostol) follow. Maybe others can share more about their experience with this book, if they have used it.

Might not be a textbook but a very good supplement to a textbook would be the following book Yet Another Introduction to Analysis by Victor Bryant.

As a prerequisite the book assumes knowledge of basic calculus and no more.

This book may be a better starting point for some people.

For ones who read German, I strongly recommend Harro Heuser's 'Lehrbuch der Analysis Teil I'. There is also 'Teil II'. I tried couple of other German text books, but gave up continuing due to many errors or lack of completeness, etc. Then a person recommended me this book.

This book is self-contained and proofs are quite error-free as well as well-written for novices, though personally there were couple of proofs which were difficult to grasp, e.g. Cantor's Uncountability Proof and something else. The author tried to give proofs without the need of studying other subjects of mathematics, e.g. explaining compactness without referring to topology, which sometimes is a hard job. The author revised this book many times (lastest version is 17th edition). I feel sorry that the book has not been updated since the author has passed away in 2011. I recommend reading this book from the top to the bottom, even you have studied with another book before because the author builds up earlier proofs for later ones. I once tried to read from the middle, but gave up and re-started from the top.

The book also has good number of excercises and hints/solutions to selected problems at the end of the book, which I found good for self-learning.

This book assumes no prerequisites, but learnig other subjects parallely is always a good thing with math because it is hard to completely isolate a math subject from others.

There are horde of good books in all fields of mathematic. What you need is something you can learn from, not only the best and most glorious of this books. Books with so much problems and exercises with their hints and solutions are very appetizing. But what you really need is a mature and deep grasping of basics and concepts. After all thats all what you need to tackle this exercises with even a surprising ease and fun.

Analysis is among the most reachable field in math after high school, and a fare knowledge is required in most of the other fields for beginners.

I do understand the emphasize on solutions. I do because we all deal with self study, at least sometimes, and solutions and hints are crucial to make an evaluation of your own work. If you are really serious you will soon find out that what you really need are hints not solutions. Needless to say hints or solutions are supposed to be a last resort , when there seems to be no way out. Even then a hint is better taken only partially. And by the way : when tackling problems,It is when there seems be NO WAY OUT that the actual LEARNING process takes place.

I encourage you to take a deep look into The Trillia Groupe funded,and fee, Zakon's books: Mathematical Analysis I which followed by another volume, but to get some basics ,Basic Concepts of Mathematics might be a good place to start. In the third mentioned book , this was mentioned:

Several years’ class testing led the author to these conclusions:

1- The earlier such a course is given, the more time is gained in the
follow- up courses, be it algebra, analysis or geometry. The longer students are taught “vague analysis”, the harder it becomes to get
them used to rigorous proofs and formulations and the harder it is
for them to get rid of the misconception that mathematics is just
memorizing and manipulating some formulas.

2- When teaching the course to freshmen, it is advisable to start with Sec- tions 1–7 of Chapter 2, then pass to Chapter 3, leaving Chapter 1 and Sections 8–10 of Chapter 2 for the end. The students should be urged to preread the material to be taught next. (Freshmen must learn to read mathematics by rereading what initially seems “foggy” to them.) The teacher then may confine himself to a brief summary, and devote most of his time to solving as many problems (similar to those assigned ) as possible. This is absolutely necessary.

3-An early and constant use of logical quantifiers (even in the text) is ex- tremely useful. Quantifiers are there to stay in mathematics.

4- Motivations are necessary and good, provided they are brief and do not use terms that are not yet clear to students.

In the second book , This was mentioned :

Several years’ class testing led us to the following conclusions:

1- Volume I can be (and was) taught even to sophomores, though they only gradually learn to read and state rigorous arguments. A sophomore often does not even know how to start a proof. The main stumbling block remains the ε, δ-procedure. As a remedy, we provide most exercises with explicit hints, sometimes with almost complete solutions, leaving only tiny “whys” to be answered. 2- Motivations are good if they are brief and avoid terms not yet known. Diagrams are good if they are simple and appeal to intuition.

3- Flexibility is a must. One must adapt the course to the level of the class. “Starred” sections are best deferred. (Continuity is not affected.) 4-“Colloquial” language fails here. We try to keep the exposition rigorous and increasingly concise, but readable. 5- It is advisable to make the students preread each topic and prepare ques- tions in advance, to be answered in the context of the next lecture. 6- Some topological ideas (such as compactness in terms of open coverings) are hard on the students. Trial and error led us to emphasize the se- quential approach instead (Chapter 4, §6). “Coverings” are treated in Chapter 4, §7 (“starred”). 7- To students unfamiliar with elements of set theory we recommend our Basic Concepts of Mathematics for supplementary reading. (At Windsor, this text was used for a preparatory first-year one-semester course.) The first two chapters and the first ten sections of Chapter 3 of the present text are actually summaries of the corresponding topics of the author’s Basic Concepts of Mathematics, to which we also relegate such topics as the construction of the real number system, etc.

I did not take this points very seriously, until i started reading and working on it. It is hard to find yourself completely stuck somewhere: It seams that all have been packed for a person who is learning on his own. Hints are provided anywhere whenever needed. In many occasions there are questions like ". Why?" which helps in following the text rigorously.

I think Ross' Elementary Analysis: The Theory of Calculus is a good introductory text. It's very simple and well explained, but not quite at the level of Rudin's Principles of Mathematical Analysis (for example, everything is done using sequences in Ross, versus a general topological setting for open and closed sets in Rudin). But, if you master it, you can pick up the necessary ancillaries from Rudin or similar pretty quickly. FWIW, Rudin is the standard text for undergrad real analysis.

Another good option is Hoffman's Analysis in Euclidean Space. This was the book MIT used before Rudin arrived, and is a Dover book (so very cheap). I found its exposition to be comparable in level to Rudin, but easier to understand.

Finally, another book I can recommend is Hoffman's Elementary Classical Analysis. This is similar in level to Rudin, but has a lot more material worked out for you. Theres also a tiny bit on applications, so if you're an engineering/science student whose taking real analysis, it can be a bit helpful.

I think a good first book is 'A First Course in Mathematical Analysis' by David Alexandar Brannan and can suggest it as well as several that have already been mentioned on this page, but this one has the advantage that it was a byproduct of the Open University and is thus totally designed for self-study. Lots of problems placed near the relevant discussion, good margin notes for a beginner in analysis, and solutions to check your work.

If you still don't feel ready for Rudin after that, then I can recommend Alan Sultan's 'A Primer on Real Analysis' (which I'd recommend anyways because it should be better known) which is very nice and has lots of pictures to help development of intuition and lots of problems too with most solutions in the back of the book.

I'd also strongly recommend 'How to Prove It' by Daniel Velleman. You'll be writing proofs in Analysis and this is my favorite book in the proofs writing category. Very suitable to a beginner.

I found Real analysis by Frank Morgan published by AMS a very nice introduction and Methods of Real analysis by Richard Goldberg a next one.

I recommend Courant and John's 'An introduction to Calculus and Analysis', volumes I and II. The authors give a rigorous treatment of their subject while still telling what motivates the ideas. Unlike many modern textbooks, they are not an sequence of definition-lemmas-theorems. These books emphasize ideas over structure. The authors' distinguished careers in applied mathematics ensures that there are plenty of examples and diagrams to illustrate their point.

Volume I focuses on calculus on the real line while volume II teaches functions of several variables. On their way, they teach exterior differential forms, ODE, PDE and elementary complex analysis.

Those with an 'applied' bent of mind, who want to trace the origin of ideas, not lose touch with the sciences that motivated development of mathematics may find these venerable volumes more rewarding than the modern treatments.

I would recommend "Guide to Analysis" by Hart & Towers which is aimed at those making the transition from high school mathematics to university mathematics and university analysis in particular. This seems like the most sensible choice.

However, the classic text to study real analysis would be "Principles of Mathematical Analysis" by Rudin. If you have not studied much mathematics before it may be tough going.

How "dumb" do you want it? I would say, at a university level at least, Steven R. Lay's book "Analysis - With an Introduction to Proof" is dumb vis-a-vis, say, a B student in an undergraduate honors analysis class:

Check the Amazon "first pages" preview to see the level it's at. Even if you don't get some of the stuff in the video I'm about to recommend I'd pair it with Harvey Mudd's YouTube series here, which you may already know about.

"Calculus" by David Patrick from "The Art of Problem Solving" book series is pretty good, and if your last exposure to the topic was in high school this book is actually much better than what's given in public high school and it comes from a problem solving standpoint, which I like because that is what math is used for, i.e., solving problems:

6 years prior to my submission, so I guess when I say "you(r)" I mean the hypothetical to-be undergraduate mathematics student. $endgroup$ &ndash user435237 Aug 1 '17 at 1:47

I enjoyed Introduction to Analysis by Maxwell Rosenlicht. I consider it a beautiful and elegant work. Some of the problems are rather difficult but analysis is a difficult subject.

I had the pleasure of taking Differential Topology with him as an undergraduate at Berkeley. I thought he was pretty impressive. Also entertaining, with his "I'm getting all 'balled up'" comment from time to time.

It's sad to see that nobody recommends the one I think is the best book ever written on introductory analysis: An Introduction to Classical Real Analysis by Karl Stromberg. I know. It's subjective.

I would recommend "Understanding Analysis" by Stephen Abbott as well. I shall quote one paragraph that I like most.

In the first chapter, we established the Axiom of Completeness (AoC) to be the assertion that nonempty sets bounded above have least upper bounds. We then used this axiom as the crucial step in the proof of the Nested Interval Property (NIP). In this chapter, AoC was the central step in the Monotone Convergence Theorem (MCT), and NIP was the key to proving the Bolzano–Weierstrass Theorem (BW). Finally, we needed BW in our proof of the Cauchy Criterion (CC) for convergent sequences. The list of implications then looks like
AoC ⇒ NIP (&MCT)⇒ BW ⇒ CC.
But this one-directional list is not the whole story. Recall that in our original discussions about completeness, the fundamental problem was that the rational numbers contained “gaps.” The reason for moving from the rational numbers to the real numbers to do analysis is so that when we encounter a sequence that looks as if it is converging to some number—say √ 2—then we can be assured that there is indeed a number there that we can call the limit. The assertion that “nonempty sets bounded above have least upper bounds” is simply one way to mathematically articulate our insistence that there be no “holes” in our ordered field, but it is not the only way. Instead, we could have taken MCT to be our defining axiom and used it to prove NIP and the existence of least upper bounds. This is the content of Exercise 2.4.4. How about NIP? Could this property serve as a starting point for a proper axiomatic treatment of the real numbers? Almost. In Exercise 2.5.4 we showed that NIP implies AoC, but to prevent the argument from making implicit use of AoC we needed an extra assumption that is equivalent to the Archimedean Property (Theorem 1.4.2). This extra hypothesis is unavoidable. Whereas AoC andMCT canbothbeusedtoprove that N is not a bounded subset of R,there is no way to prove this same fact starting from NIP. The upshot is that NIP is a perfectly reasonable candidate to use as the fundamental axiom of the real numbers provided that we also include the Archimedean Property as a second unproven assumption. In fact, if we assume the Archimedean Property holds, then AoC, NIP, MCT, BW, and CC are equivalent in the sense that once we take any one of them to be true, it is possible to derive the other four. However, because we have an example of an ordered field that is not complete—namely, the set of rational numbers—we know it is impossible to prove any of them using only the field and order properties. Just how we decide which should be the axiom and which then become theorems depends largely on preference and context, and in the end is not especially significant. What is important is that we understand all of these results as belonging to the same family, each asserting the completeness of R in its own particular language. One loose end in this conversation is the curious and somewhat unpredictable relationship of the Archimedean Property to these other results. As we have mentioned, the Archimedean Property follows as a consequence of AoC as well as MCT, but not from NIP. Starting from BW, it is possible to prove MCT and thus also the Archimedean Property. On the other hand, the Cauchy Criterion is like NIP in that it cannot be used on its own to prove the Archimedean Property.1

I haven't started my first term yet, while I decide to self-study analysis. Initially I read Dexter Chua's lecture notes in "Numbers and Sets", then I read Terence Tao's analysis, but I am quite confused that they start from different initial definitions and starting points. "Understanding Analysis" perfectly solved my confusion and it illustrates concepts clearly.


A Primer of Real Functions: Fourth Edition

This is a revised, updated, and significantly augmented edition of a classic Carus Monograph (a bestseller for over 25 years) on the theory of functions of a real variable. Earlier editions of this classic Carus Monograph covered sets, metric spaces, continuous functions, and differentiable functions.

The fourth edition adds sections on measurable sets and functions, the Lebesgue and Stieltjes integrals, and applications. The book retains the informal chatty style of the previous editions, remaining accessible to readers with some mathematical sophistication and a background in calculus. The book is, thus, suitable either for self-study or for supplemental reading in a course on advanced calculus or real analysis. Not intended as a systematic treatise, this book has more the character of a sequence of lectures on a variety of interesting topics connected with real functions. Many of these topics are not commonly encountered in undergraduate textbooks: e.g., the existence of continuous everywhere-oscillating functions (via the Baire category theorem) the universal chord theorem two functions having equal derivatives, yet not differing by a constant and application of Stieltjes integration to the speed of convergence of infinite series.

This book recaptures the sense of wonder that was associated with the subject in its early days. It is a must for mathematics libraries.

Reviews & Endorsements

The fourth edition of this classic introduction to analysis retains the freshness of the first edition as well as its charming conversational style &hellip This is not in any way a traditional textbook. It is more like a series of informal lectures, wordy, chatty, and not the least bit concise. The author's aim, and the book's great strength, is to bring back a sense of wonder to a subject that, in his opinion, had been lost.


A Primer of Real Analytic Functions

It is a pleasure and a privilege to write this new edition of A Primer 0/ Real Ana­ lytic Functions. The theory of real analytic functions is the wellspring of mathe­ matical analysis. It is remarkable that this is the first book on the subject, and we want to keep it up to date and as correct as possible. With these thoughts in mind, we have utilized helpful remarks and criticisms from many readers and have thereby made numerous emendations. We have also added material. There is a now a treatment of the Weierstrass preparation theorem, a new argument to establish Hensel's lemma and Puiseux's theorem, a new treat­ ment of Faa di Bruno's forrnula, a thorough discussion of topologies on spaces of real analytic functions, and a second independent argument for the implicit func­ tion theorem. We trust that these new topics will make the book more complete, and hence a more useful reference. It is a pleasure to thank our editor, Ann Kostant of Birkhäuser Boston, for mak­ ing the publishing process as smooth and trouble-free as possible. We are grateful for useful communications from the readers of our first edition, and we look for­ ward to further constructive feedback.

"This is the second, improved edition of the only existing monograph devoted to real-analytic functions, whose theory is rightly considered in the preface 'the wellspring of mathematical analysis.' Organized in six parts, [with] a very rich bibliography and an index, this book is both a map of the subject and its history. Proceeding from the most elementary to the most advanced aspects, it is useful for both beginners and advanced researchers. Names such as Cauchy-Kowalewsky (Kovalevskaya), Weierstrass, Borel, Hadamard, Puiseux, Pringsheim, Besicovitch, Bernstein, Denjoy-Carleman, Paley-Wiener, Whitney, Gevrey, Lojasiewicz, Grauert and many others are involved either by their results or by their concepts."

"Bringing together results scattered in various journals or books and presenting them in a clear and systematic manner, the book is of interest first of all for analysts, but also for applied mathematicians and researchers in real algebraic geometry."


I am taking Real Analysis with out background in proofs.

Do any of you recommend a small crash course? My courses start September 13th, and they are not letting me take the pre-requisite for Real analysis.

So any free (or cheap) textbooks? online courses? khanacademy?

You might like Rosenlicht's book, Introduction to Analysis. Google Books will show you the first 2 chapters for free. It's a Dover book, so it's good and also cheap. I believe that it is often used as the text for the first "serious" real analysis course.

Thank you for that link. I'm in the exact same boat as the OP and will be reading those first two chapters for sure

I took a course a few semesters ago that used a book called "An Introduction to Abstract Math" that provides an introduction to the very basics of proof writing. Depending on the level that your analysis book is written at it might not be a bad idea to peruse something like "Understanding Analysis."

Can you audit the prereq course? And by "audit" I mean just show up, if there's no formal way of auditing it.

Try A Primer of Real Analysis by Dan Sloughter? It is a free book, available online. A short description from his page:

This is a short introduction to the fundamentals of real analysis. Although the prerequisites are few, I have written the text assuming the reader has the level of mathematical maturity of one who has completed the standard sequence of calculus courses, has had some exposure to the ideas of mathematical proof (including induction), and has an acquaintance with such basic ideas as equivalence relations and the elementary algebraic properties of the integers.

Edit: yes, I realize this text suggests familiarity with proofs, but it really is very basic. Also, if you learn the ideas first, you can spend more time working out the proofs once you take the class.

Do you know what textbook you'll be using?

Il best prerequisite for first course in analysis is good calculus background I think, despite what courses your school might offer. It will help to have familiarity with basic techniques of proof: induction, contrapostive, argument by contradiction, etc and the language of sets. For this, you could look at many books the Primer of real analysis that dpm1661 suggest looks good, also Nuts and bolts of proofs is very cool.

Try to abandon the online course/khan academy mentality preparing for real analysis. What I mean is this: video lectures and online explanations are pleasing and make you feel like you are learning a lot, but you are not developing problem solving /proof writing skills. You really need to spend most of your time solving problems/writing proofs yourself to develop these skills.


Guarda il video: Analisis Real: Cara Membuktikan Titik Cluster Titik Limit (Settembre 2021).