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4.1: Serie di Taylor - Matematica


Una serie che hai incontrato prima è la serie di Taylor,

[f(x) = sum_{n=0}^{infty} f^{(n)}(a)frac{(xa)^n}{n!}, label{eq:IV: sarto}]

dove (f^{(n)}(x)) è la (n)esima derivata di (f). Un esempio è la serie di Taylor del coseno intorno a (x=0) (cioè, (a=0)),

[egin{allineato} &&qquad&cos(0) &= 1, onumber cos'(x) &= -sin(x),&&cos'(0)&=0, nonnumero cos^{(2)}(x) &= -cos(x),&&cos^{(2)}(0)&=-1, cos^{(3)} (x) &= sin(x),&&cos^{(3)}(0)&=0, onumber cos^{(4)}(x) &= cos(x), &&cos^{(4)}(0)&=1.end{allineato}]

Nota che dopo quattro passaggi siamo tornati al punto di partenza. Abbiamo così trovato (usando (m=2n) in ((PageIndex{1}))) )

[cos x = sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m},]

Esercizio (PageIndex{1})

Mostra che [sin x = sum_{m=0}^infty frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}. essun numero]

Risposta

TBA


Usiamo i polinomi perché possono essere calcolati su una macchina solo usando moltiplicazioni e addizioni.

Ne abbiamo già incontrato uno polinomio di Taylor, nella Sezione 3.2 quando stavamo cercando di approssimare una funzione per la sua tangente nel metodo di Newton. L'idea per la serie di Taylor è che abbineremo ogni derivata di un polinomio con la derivata della funzione in un punto particolare (b) (questo si chiama ``interpolazione di Hermite'' nel commercio).

Inizieremo con il caso semplice (b=0) . Proviamo con un polinomio di grado 2 e una funzione arbitraria (f) . Sia [ p_2(x) = a_0+a_1 x +a_2 x^2, ag <5.1>] e vogliamo [egin p_2(0) & = & f(0), p_2^<'>(0) & = & f^<'>(0), < m e> p_2^<& #39'>(0) & = & f^<''>(0). fine] Se poniamo (x=0) nella (5.1) otteniamo [ a_0 = f(0). ] Differenziamo ora (p_2^<'>(x)=a_1+2a_2 x) . Se sostituiamo (x=0) otteniamo [ p_2^<'>(0)=a_1=f^<'>(0). ] Differenziando una seconda volta otteniamo (p_2^<''>(x)=2a_2) . Sostituendo in (x=0) si ottiene [ p_2^<''>(0)=2a_2=f^<''>(0), ] in modo che [ a_2 = (0) su 2>. ] Quindi il nostro polinomio approssimante è [ p_2(x)=f(0)+f^<'>(0) x+(0) su 2>x^2. ag <5.2>]

Esempio 5.1 Proviamo l'idea su una particolare funzione (f(x)=sqrt<1+x>) . Quindi [inizia f(0) & = & sqrt <1>= 1 f'(x) & = & <1 over 2 sqrt<1+x>> Rightarrow f'(0)= <1 over 2> f''(x) & = & -<1 over 4 (sqrt<1+x>)^3> Rightarrow f''(0) = -<1 over 4>. fine] Sostituendo nella (5.2) si ottiene [ P_2(x)=1+ - x^2. ]

Ora vediamo se questa è una buona approssimazione. Usiamo l'ultima equazione per approssimare (sqrt<1.1>=1.0488088) a 7 cifre decimali. La nostra approssimazione è [ P_2(0.1) = 1+ <0.1 over 2>- <(0.1)^2 over 8>= 1.04875. ] Quindi la nostra stima è fuori di circa (0.00005) .

Supponiamo di usare (p_2) per approssimare (sqrt<1.2>=1,0954451) a 7 cifre decimali. La nostra approssimazione è [ P_2(0.2) = 1+ <0.2 over 2>- <(0.2)^2 over 8>= 1.095. ] Quindi la nostra stima è fuori di circa (0,0004) , quindi l'errore è aumentato di quasi 10 volte. Torneremo alle stime degli errori teorici per le serie di Taylor il prossimo semestre.

Possiamo vedere sopra che maggiore è il grado dell'approssimazione polinomiale, migliore diventa. In questo link

puoi fare esempi di approssimazioni in serie di Taylor per una varietà di funzioni e osservare come migliorano man mano che aumenti il ​​grado del polinomio.

Più in generale, possiamo guardare alla serie di Taylor per un punto (b) . Per calcolarlo è più conveniente usare un altro base per i polinomi. Una base è un'idea che vedrai di più nell'algebra lineare. È un insieme di oggetti che usiamo per rappresentare le nostre informazioni. Per il punto (b) vorrei che il mio polinomio fosse scritto nella forma [ p_n(x)=a_0+a_1(xb)+a_2(xb)^2+cdots+a_n(xb)^n = somma_^n a_i(x-b)^i. ] Diventerà chiaro in un secondo perché questa è una buona idea. Troveremo (a_i) confrontando la (i)-esima derivata di (p_n) con la (i)-esima della nostra funzione target (f) , che stiamo cercando di approssimare. Se distinguiamo (p_n) (j) volte otteniamo [ p_n^<(j)>(x) = j! a_j+(j+1)!a_(x-b)+<(j+2)! over 2>(x-b)^2+cdots+a_n(x-b)^. ] Se mettiamo (x=b) in questo vediamo che [ p_n^<(j)>(b) = j! a_j. ] Poiché vogliamo fare (p_n^<(j)>(b)=f^<(j)>(b)) , otteniamo [ a_j = (b) su j!>. ] Se avessimo usato [ p_n (x)=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots+a_nx^n, ] allora tutti i termini maggiori del (j) esimo termine non sarebbero diventati 0 e avremmo avuto un disastro orribile. Quindi abbiamo la seguente definizione di polinomio di Taylor:

Nel prossimo codice tracciamo i polinomi di Taylor di grado 0, 1, 2 e 3.

Nota. La selezione di una buona base è una delle abilità matematiche più importanti da sviluppare. Una cattiva scelta della base può rendere il problema quasi impossibile da risolvere. Una buona scelta può renderlo banale.

Esempio 5.3 Calcola la serie di Taylor per (f(x)=<1 over 1+x>) a (x=1) . Quanti termini della serie sono necessari per ottenere 2 cifre decimali di precisione per stimare (f(1.1)) ?


L'espansione si basa sull'identità del liceo: $1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+dots+x^)$ che può essere riscritto come $frac 1<1-x>=1+x+x^2+dots+x^+frac<1-x>.$ Ora sostituisci $-x^2$ con $x$ in questa formula e ottieni esattamente la formula nel libro.

Oltre a questo, puoi anche ottenere lo stesso risultato, non con la divisione lunga, ma con la divisione lungo poteri crescenti di $1$ di $1+x^2$ . Ad esempio, ecco questa divisione fino a $8$ : egin &&phantom<->1-x^2+x^4-x^6 1+x^2&Bigl(&phantom<-> ot1 && - ot1-x^2 && phantom<-1>enspace+x^2 +x^4 && phantom <-1enspace+x^2>-x^4- x^6 && phantom<-1enspace+ x^2 -x^4>+ x^6+x^8 && fantasma<-1enspace+x^2 -x^4+ x^6>+x^8 fine Quindi il resto all'ordine $8$ è $x^8$ e questa divisione significa che $1=(1-x^2+x^4-x^6)(1+x^2)+x^8implica frac 1<1+x^2>=1-x^2+x^4-x^6+frac<1+x^2>.$


Capitolo 4 La funzione esponenziale

Fin dagli albori del commercio gli esseri umani hanno applicato interessi su prestiti e depositi.

Interesse semplice è quando addebiti gli interessi solo sull'importo originale. Quindi su un prestito di £ 200 al 5% di interesse pagheresti solo £ 10 all'anno. Pertanto, senza alcun rimborso, l'importo dovuto sarebbe £ (200+10n) dopo il (n) esimo anno.

Interesse composto è quando l'importo degli interessi dell'anno precedente viene incluso nell'importo sul quale si pagano gli interessi. Quindi, alla fine del primo anno dovresti £ 210 esattamente come con un semplice interesse. Tuttavia, paghi il 5% di interesse su questo, il che dà £ 210 (1 + 0,05) = £ 220,50. Nella tabella sottostante puoi vedere quanto velocemente aumenta l'importo che devi:

Tabella 4.1: Interesse composto.
Anno Interesse
0 200
1 210 = 200(1+0.05)
2 220.50=210(1+0.05)
3 231.525=220.50(1+0.05)
4 243.101=231.525(1+0.05)

Quindi, nel (n) esimo anno dovresti £ (200(1+0.05)^n) .

Supponiamo che il creditore decida di capitalizzare gli interessi mensilmente anziché annualmente. Ad un tasso di interesse di (r) % all'anno su un prestito di (L) dobbiamo quindi [ V_ <12>= L left (1+ ight )^<12>. ] Questo importo sarà più o meno dell'importo che ottieni accumulando una sola volta?

Supponiamo di decidere di comporre settimanalmente, o anche giornalmente. Avremmo quindi rispettivamente [ V_ <52>= L left (1+ ight )^<52>, ] e [ V_ <365>= L left (1+ ight )^<365>. ]

Per investigare questo numericamente consideriamo il caso in cui (L=1) e (r=1) . [V_ = left (1+ <1 over n> ight )^. ]


5.2 Forma polare per numeri complessi

Richard Feynman, il famoso fisico chiamò la seguente equazione il nostro gioiello'' e la formula più notevole in matematica''.

Quindi (exp(i heta)) è un numero complesso con parte reale (cos heta) e parte immaginaria (sin heta) . Se tracciamo questo possiamo vedere che (exp( heta heta)) è un numero complesso di lunghezza 1 all'angolo ( heta) rispetto all'asse reale.

Esempio 5.4 Scrivi (z=2+4i) nella forma (z=rexp(i heta)) .

Il modulo di (z) (r=sqrt<2^2+4^2>=sqrt<20>) . Abbiamo ( heta= < m arg ,>z=arctan(4/2)=1.11) radianti.

In questo codice puoi cambiare le parti reale e immaginaria del numero complesso di input e vedere quali sono il modulo e l'argomento. Il codice è scritto in modo che (-pi< heta le pi) .


2 approssimazioni polinomiali

Molti tipi diversi di funzioni sono utilizzati in matematica e fisica. Considerando che alcune funzioni, come

sono funzioni polinomiali, altri, come

Una funzione P&thinsp(X) è un funzione polinomiale di X (o in X) se può essere espresso nella forma

P&thinsp(X) = un0 + un1X + un2X 2 + un3X 3 + . + unnX &thinspn (7)

in altre parole, come somma di potenze di X, con ogni potenza moltiplicata per a coefficiente (un0, un1, e così via). I poteri di X sono numeri interi non negativi.

Mentre è facile vedere che espressioni come 1 + 2X &meno X 2 &meno X 3 e X 5 + (X &meno 1) 4 sono polinomi in X, non è sempre così facile. Per esempio,

è in realtà un polinomio in X (in effetti &meno4 + X 2), ma potrebbero volerci alcuni istanti per capire perché è così.

Quali dei seguenti sono polinomi in X?

(a) 1 + X + (X &meno 1) 2 , (b) 1 + e X + e 2X , (c) $dfrac<1><1+x+x^2>$, (d) $1 + dfrac<1> + dfrac<1> + dfrac<1>^3$.

✧ Solo (a) è un polinomio in X.

La più alta potenza della variabile in un polinomio è nota come degree_of_a_polinomial degree del polinomio. Ad esempio, nell'espressione sopra per P&thinsp(X) (Equazione 7) il grado è n (supponendo che unn è diverso da zero).

Quali sono i gradi delle funzioni polinomiali F&thinsp(X), G&thinsp(X) e h&thinsp(X), definito nelle equazioni 1, 2 e 3?

$g(x) = 1 + dfrac <2>- dfrac<8>$ (Eqn 2)

h&thinsp(X) = 1 + X (Eqn 3)

F&thinsp(X), G&thinsp(X) e h&thinsp(X) sono rispettivamente di grado 5, 2 e 1.

Ai polinomi di ordine basso vengono spesso dati nomi speciali. I polinomi di grado zero sono semplicemente costanti vengono chiamati polinomi di grado uno lineare quelli di secondo grado sono chiamati quadratica e quelli di terzo grado si chiamano cubic_function cubic. io

Una proprietà importante di qualsiasi polinomio, P&thinsp(X), è che per qualsiasi valore di X, il valore di P&thinsp(X) può essere calcolato semplicemente utilizzando le operazioni aritmetiche di addizione (o sottrazione) e moltiplicazione. Questo non è il caso di molte altre funzioni (ad esempio, tu&thinsp(X), v&thinsp(X) e w&thinsp(X), definito nelle Equazioni 4, 5 e 6)

e può essere molto utile conoscere approssimazioni polinomiali a tali funzioni.

Traccia le funzioni h&thinsp(X) e w&thinsp(X) (definito nelle equazioni 3 e 6)

h&thinsp(X) = 1 + X (Eqn 3)

sullo stesso grafico per 0 &le X &le 0.9. Confronta le due curve. [Suggerimento: non è necessario tracciare queste funzioni &lsquoby hand&rsquo. Se hai accesso a una calcolatrice per grafici o a un programma per computer, usalo!]

Figura 9 Vedi risposta T2.

Le funzioni h&thinsp(X) = 1 + X e w&thinsp(X) = 1/(1 &meno X) sono abbozzati in Figura 9. Possiamo vedere che i due grafici sono approssimativamente gli stessi per piccoli valori di X, ma che la differenza tra i due diventa progressivamente maggiore come X aumenta.

L'esercizio che hai appena completato mostra che, per &lsquopiccoli&rsquo valori di X, la funzione polinomiale h (X) è approssimativamente uguale a the w&thinsp(X), quindi qui abbiamo un esempio di a polinomio approssimazione alla funzione 1/(1 &meno X).

Tuttavia, possiamo vedere dalla Figura 9 che l'approssimazione diventa progressivamente peggiore come X aumenta verso il valore 1.

Figura 1 Grafici delle funzioni = X e = peccato(X). Si noti che in questo modulo l'argomento di qualsiasi funzione trigonometrica è una variabile adimensionale o un angolo in radianti anziché in gradi.

In Figura 1 abbiamo tracciato i grafici di = peccato(X) e = X sugli stessi assi.

Come puoi vedere, i grafici delle due funzioni sono molto simili per piccoli valori di |&thinspX&thinsp|, io ma come |&thinspX&thinsp| aumenta, la discrepanza peggiora progressivamente, cosicché per |&thinspX&thinsp| sopra circa 0.7 è molto evidente, e sopra and &pi/2 (cioè circa 1,57) i due grafici non mostrano alcuna somiglianza.

figura 2 Un semplice pendolo.

Quindi potrebbero esserci circostanze in cui saremmo giustificati nell'approssimare il peccato (X) di X, ma è probabile che tale approssimazione sia utile solo per piccoli valori di |&thinspX&thinsp|.

Ad esempio, un'analisi del moto di un semplice pendolo fornisce l'equazione (apparentemente intrattabile)

dove &theta&thinsp(T) è l'angolo mostrato in Figura 2 e &omega è una costante (detta frequenza angolare ). Per piccole deviazioni del pendolo dalla verticale, &theta&thinsp(T) è piccolo, e siamo giustificati nel fare l'approssimazione sin(&theta) &asimp &theta, dando

che è semplice da risolvere.

mostra che &theta&thinsp(T) = peccato(&omegat) è una soluzione di

$dfrac[ heta(t)] = -omega^2sin[ heta(t)]$ (Eqn 8)

Abbiamo $dfrac

sin(omega t) = omegacos(omega t)$ e $dfrac
cos(omega t) = -omega sin(omega t)$

e quindi $dfrac heta(t) = dfracsin(omega t) = omegadfrac

cos(omega t) = -omega^2 sin(omega t) = omega^2 heta(t)$

il che dimostra che &theta&thinsp(T) = peccato(&omegat) è una soluzione di

D'altra parte, se proviamo &theta&thinsp(T) = peccato(&omegat) come soluzione di

troviamo che il lato sinistro è &meno&omega 2 peccato(&omegat) (come prima) ma il lato destro ora è &meno&omega 2 peccato[peccato(&omegat)], e queste due funzioni di T non sono certo uguali.


Integrazione complessa

Prima di iniziare questo argomento, gli studenti dovrebbero essere in grado di eseguire l'integrazione di semplici funzioni a valori reali e avere familiarità con le idee di base delle funzioni di una variabile complessa. Gli studenti dovrebbero anche familiarizzare con gli integrali di linea.

L'integrazione complessa è un'estensione intuitiva dell'integrazione reale. Poiché un numero complesso rappresenta un punto su un piano mentre un numero reale è un numero sulla retta reale, l'analogo di un singolo integrale reale nel dominio complesso è sempre un integrale di cammino. Per alcune funzioni e domini speciali, l'integrazione è indipendente dal percorso, ma questo non dovrebbe essere considerato il caso in generale. Data la sensibilità del percorso intrapreso per un dato integrale e il suo risultato, la parametrizzazione è spesso il modo più conveniente per valutare tali integrali. Le tecniche a variabili complesse sono state utilizzate in un'ampia varietà di aree dell'ingegneria. Questo è stato particolarmente vero in aree come la teoria del campo elettromagnetico, la dinamica del fluido, l'aerodinamica e l'elasticità.

Una regione connessa è quella in cui due punti qualsiasi al suo interno possono essere collegati da una curva che giace interamente nella regione.

3.1.2 Regione semplicemente connessa

Una curva che non si incrocia è detta curva chiusa semplice. Una regione in cui ogni curva chiusa al suo interno racchiude solo punti della regione è detta regione semplicemente connessa.

Un integrale lungo una curva chiusa semplice è chiamato integrale di contorno.

3.1.4 Teorema dell'integrale di Cauchy

Se una funzione f(z) è analitica e la sua derivata f 0 (z) è continua at

tutti i punti all'interno e su una curva chiusa semplice c, allora c f(z)dz = 0:

3.1.5 Formula integrale di Cauchy

Se f(z) è analitica all'interno e su una curva chiusa c di una regione R semplicemente connessa e se a è un punto qualsiasi con in c, allora


l'integrazione intorno a c essendo presa nella direzione positiva.

3.1.6 Formula integrale di Cauchy per la derivata

Se una funzione f(z) è analitica all'interno e su una semplice curva chiusa c e a è un qualsiasi punto che giace in essa, allora


3.2 Esempi elaborati




4 Espansione in serie di Taylor e Laurent.

Una funzione f(z), analitica all'interno di un cerchio C con centro in a, può essere espansa nella serie


Siano C 1 C 2 due cerchi concentrici jz aj = R 1 e jz aj = R 2 dove R 2 < R 1 : Sia f(z) analitico su C 1 e C 2 e nella regione anulare R tra di essi. Allora, per ogni punto z in R,


dove gli integrali sono presi in senso antiorario.

4.3 Esempi elaborati

1. Espandi e z in una serie di Taylor su z = 0



5.1.2 Zeri di una funzione analitica:

Se una funzione f(z) analitica in una regione R è zero in un punto z = z 0 in R allora z 0 è detto zero di f(z).

Se f(z 0 ) = 0 e f 0 (z 0 ) 6= 0 allora z = z 0 è detto zero semplice di f(z) o zero del primo ordine.

Si dice che una funzione analitica f(z) ha uno zero di ordine n se f(z) può essere espressa come f(z) = (zz 0 ) m (z) dove (z) è analitica e (z 0 ) 6 = 0

Un punto z = z 0 in cui una funzione f(z) non è analitica è detto punto singolare.

Una funzione f(z) che è analitica ovunque nel piano nito è detta funzione intera.

5.1.7 Funzione meromorfa

Una funzione f(z) che è analitica ovunque nel piano nito tranne che per un numero nito di poli è detta funzione meromorfa.

5.2 Tipi di singolarità

5.2.1. Singolarità isolata

Un punto z = z 0 si dice singolarità isolata di f(z) se

1. f(z) non è analitica in z = z 0

2. Esiste un intorno di z = z 0 che non contiene altre singolarità.

5.2.2. Singolarità removibile:

Se la parte principale di f(z) nello sviluppo in serie di Laurent di f(z) attorno al punto z 0 è zero, allora il punto z = z 0 è detto singolarità rimovibile.

Se riusciamo a trovare un intero positivo n tale che lim z!a (z a) n f(z) 6= 0 allora z = a è detto polo di ordine n per f(z).

5.2.4. Singolarità essenziale:

Se la parte principale di f(z) nello sviluppo in serie di Laurent di f(z) attorno al punto z 0 contiene un numero nito di termini non nulli allora il punto z = z 0 si dice singolarità essenziale.

5.5.3 Esempi risolti


la funzione f(z) non è de nita in z = 0.


Poiché il limite esiste ed è nito, la singolarità in z = 0 è una singolarità rimovibile.

Poiché il limite esiste ed è nito, la singolarità in z = 0 è una singolarità rimovibile.


5.5.4 Problemi dell'esercitazione



6.1.2 Esempi risolti


6.1.3 Problemi dell'esercitazione


6.2 Teorema del residuo di Cauchy

Se f(z) è analitico in tutti i punti interni e su una curva chiusa semplice c,

ad eccezione di un numero nito di singolarità isolate z 1 z 2 z 3 : : : allora


6.2.1 Esempi risolti


6.2.2 Problemi dell'esercitazione


7 Valutazione di integrali de niti reali come integrali di contorno.

7.1 Integrazione Contorno:

L'integrazione complessa lungo la curva scro utilizzata nella valutazione dell'integrale de nito è chiamata integrazione del contorno. Qui vedremo in tre tipi. Loro sono

7.2.1 Esempi risolti



7.2.2 Problemi dell'esercitazione


7.3.1 Esempi risolti


dove c è costituito dal semicerchio : jzj = R e dal diametro limite [ R R].

dove z = i 2i sono poli semplici giacciono all'interno e z = I 2i sono poli semplici giacciono fuori


il semicerchio diventa molto grande e le parti reale e immaginaria di qualsiasi punto che giace sul semicerchio diventa molto grande in modo che


dove c è la metà superiore del semicerchio T con il diametro limite [ R R].


il semicerchio diventa molto grande e le parti reale e immaginaria di qualsiasi punto che giace sul semicerchio diventa molto grande in modo che


7.4.2 Problemi dell'esercitazione




La figura seguente mostra una sezione trasversale di un cilindro (non necessariamente circolare), il cui confine è C, posto in un flusso stazionario non viscoso di un uid ideale il ow avviene in piani paralleli al piano xy. Il cilindro è fuori dal piano della carta. Il flusso del fluido esercita forze e momenti rotanti sul cilindro. Siano X, Y le componenti, rispettivamente nelle direzioni x e y, della forza sul cilindro e sia M il momento antiorario (sul cilindro) attorno all'origine.



dove Re denota la parte reale, è la densità (costante) dell'uid e w = u + iv è il potenziale complesso per il ow che si presume entrambi noti. Troveremo X Y e M se il cilindro ha una sezione trasversale circolare e il confine è speci cato da jzj = a: Sia la ow un flusso uniforme con velocità U:

Ora, usando un risultato standard, il potenziale complesso che descrive questa situazione è:


Usando di nuovo il punto chiave sopra questo porta a 4 a 2 U 2 i e questo ha parte reale zero. Quindi anche M = 0. L'implicazione è che nessuna forza o momento netto agisce sul cilindro. Non è così in pratica. La discrepanza deriva dal trascurare la viscosità del uid.


6.4 Lavorare con la serie Taylor

Nella sezione precedente abbiamo definito la serie di Taylor e mostrato come trovare la serie di Taylor per diverse funzioni comuni calcolando esplicitamente i coefficienti dei polinomi di Taylor. In questa sezione mostriamo come usare quelle serie di Taylor per derivare serie di Taylor per altre funzioni. Presentiamo poi due applicazioni comuni delle serie di potenze. Innanzitutto, mostriamo come le serie di potenze possono essere utilizzate per risolvere equazioni differenziali. In secondo luogo, mostriamo come le serie di potenze possono essere utilizzate per valutare integrali quando l'antiderivata dell'integrando non può essere espressa in termini di funzioni elementari. In un esempio, consideriamo ∫ e − x 2 d x , ∫ e − x 2 d x , un integrale che ricorre frequentemente nella teoria della probabilità.

La serie binomiale

Le espressioni a destra sono note come espansioni binomiali e i coefficienti sono noti come coefficienti binomiali. Più in generale, per ogni intero non negativo r , r , il coefficiente binomiale di x n x n nello sviluppo binomiale di ( 1 + x ) r ( 1 + x ) r è dato da

Ad esempio, usando questa formula per r = 5 , r = 5 , vediamo che

Concludiamo che i coefficienti nella serie binomiale sono dati da

Notiamo che se r r è un intero non negativo, allora la ( r + 1 ) st ( r + 1 ) st derivata f ( r + 1 ) f ( r + 1 ) è la funzione zero e la serie termina. Inoltre, se r r è un intero non negativo, allora l'equazione 6.8 per i coefficienti concorda con l'equazione 6.6 per i coefficienti e la formula per la serie binomiale concorda con l'equazione 6.7 per l'espansione binomiale finita. Più in generale, per indicare i coefficienti binomiali per qualsiasi numero reale r , r , definiamo

Con questa notazione, possiamo scrivere la serie binomiale per ( 1 + x ) r ( 1 + x ) r come

Dobbiamo ora determinare l'intervallo di convergenza per la serie binomiale Equazione 6.9. Applichiamo il test del rapporto. Di conseguenza, consideriamo


Dimostrazione più semplice del teorema di Taylor

Da tempo giro in Internet alla ricerca di una dimostrazione estetica del teorema di Taylor.

Con ciò intendo questo: ci sono molte prove che introducono qualche costrutto arbitrario: non si fa menzione di dove provenga questa bestia. e puoi logicamente hackerare riga per riga fino a quando la cosa non è risolta. ma questo tipo di prova è brutta. una bella prova dovrebbe sorgere naturalmente da terra.

Ho visto una prova che afferma di farlo dal teorema fondamentale del calcolo. Sembrava disordinato.

Ho visto diversi tentativi di utilizzare l'integrazione per parti ripetutamente. Ma sicuramente sarebbe più ordinato farlo senza introdurre tutti quei macchinari extra.

I due approcci più belli sembrano implicare l'uso del teorema del valore medio e del teorema di Rolle. ma non riesco a trovare una presentazione lucida di entrambi gli approcci.

Forse il mio cervello è insolitamente stupido e gli approcci su Wikipedia ecc. sono abbastanza buoni per tutti gli altri.

Qualcuno ha una comprensione cristallina di questo fenomeno? O un collegamento web a tale comprensione?

*EDIT*: Alla fine un matematico di Cambridge me l'ha spiegato in un modo che potevo capire, e ho scritto la dimostrazione qui. A mio avviso è la prova più istruttiva che ho incontrato, ma mettendola come risposta ha ricevuto per lo più voti negativi. Mi sembra strano che nessun altro sembri essere d'accordo. Ma dovrebbe spettare alle menti matematiche più acute scegliere quale risposta accettare. Non dovrebbe dipendere da me. Pertanto mi inchinerò alla saggezza della comunità e accetterò la risposta attualmente più votata. Ho imparato dall'apprendimento automatico che un "Comitato di esperti" supera qualsiasi esperto e io non sono certamente un esperto.

Trovo la rispettiva pagina di Wikipedia abbastanza istruttiva. Puoi dire cosa hai ottenuto da esso (o da qualsiasi altra fonte) finora? Cosa hai capito e cosa no? Dove ti sei bloccato? Questo potrebbe fornire risposte più adatte.

In realtà mi piace l'approccio dell'integrazione per parti perché con una piccola modifica produce anche la formula di somma di Eulero-Maclaurin. Lo trovo estetico, anche se artificialmente "cotto".

La chiave della dimostrazione: induzione + Integrazione per parti.

Sono d'accordo con il commento di JMCF125. Se l'OP non può enunciare in modo specifico ciò che è insoddisfacente nelle dimostrazioni standard (idealmente con riferimento diretto ad almeno una dimostrazione standard), allora la domanda non sembra essere molto più di "Per favore dammi prove del teorema di Taylor fino a quando Ne trovo uno che mi piace."

La prova più chiara che si possa trovare, a mio avviso, è la seguente. Nota che è solo un teorema del valore medio generalizzato!

THM Siano $f,g$ funzioni definite su un intervallo chiuso $[a,b]$ che ammettono derivate $n$-esime finite su $(a,b)$ e derivate $n-1$-esime continue su $[ a,b]$. Supponiamo $cin [a,b]$. Allora per ogni $x eq c$ in $[a,b]$ esiste $x_1$ nel segmento che unisce $c$ e $x_1$ tale che $left(f(x)-sum_^frac(c)>(x-c)^k ight) g^<(n)>(x_1)=f^<(n)>(x_1)left(g(x)-sum_^frac(c)>(x-c)^k ight)$

PROVA Per semplicità supponiamo $c<b$ e $x>c$. Mantieni $x$ fisso e considera $F(t)=f(t)+sum_^frac(t)>(x-t)^k$ $G(t)=g(t)+somma_^frac(t)>(x-t)^k$

per ogni $tin[c,x]$. Allora $F,G$ sono continuo su $[c,x]$ e ammetti derivata finita su $(c,x)$. Per il teorema della media possiamo scrivere $F'(x_1)[G(x)-G(c)]=G'(x_1)[F(x)-F(c)]$

per $x_1in (c,x)$. Questo dà che $F'(x_1)[g(x)-G(c)]=G'(x_1)[f(x)-F(c)]$ poiché $F(x)=f(x), G(x)=g(x)$. Ma vediamo, cancellando i termini di segno opposto, che $F'(t)=frac<(x-t)^><(n-1)!>f^<(n)>(t)$ $G'(t)=frac<(x-t)^><(n-1)!>g^<(n)>(t)$ che fornisce la formula desiderata quando si collega $t=x_1$.

Questo è tratto dall'Analisi Matematica di Apostol 2e, pp.113-114.

@RitterSport È corretto. =)

"esiste x1 nel segmento che unisce c e x1 tale che" dovrebbe essere "esiste x1 nel segmento che unisce c e x tale che"

Credo che questo richieda il teorema del valore medio di Cauchy? Altrimenti il ​​primo utilizzo dell'MVT non seguirebbe necessariamente dalla versione solitamente indicata (ovviamente la versione estesa non è molto di più)

Ecco un approccio che sembra piuttosto naturale, basato sull'applicazione del teorema fondamentale del calcolo in successione a $f(x)$, $f'(t_1)$, $f''(t_2)$, ecc.: egin && f(x)=f(a)+int_a^x f'(t_1),dt_1 && = f(a)+ int_a^x f'(a),dt_1 + int_a^x !! int_a^ f''(t_2),dt_2,dt_1 && = f(a)+ int_a^x f'(a),dt_1 + int_a^x !! int_a^ f''(a) ,dt_2,dt_1 +int_a^x !! int_a^ !! int_a^ f'''(t_3) ,dt_3,dt_2,dt_1 end Nota che $ int_a^x f'(a),dt_1=f'(a)int_a^x dt_1=f'(a)(x-a), $$ int_a^x !! int_a^ f''(a),dt_2,dt_1 = f''(a)int_a^x (t_1-a),dt_1 = f''(a)frac<(xa)^2><2> , $$ int_a^x !! int_a^ !! int_a^ f'''(a),dt_3,dt_2,dt_1 = f'''(a)int_a^x frac<(t_1-a)^2><2>,dt_1 = f''' (a)frac<(xa)^3><3!>, $ e in generale $ int_a^x !! int_a^ !ldots int_a^<>> f^<(n)>(a),dt_nldots,dt_2,dt_1 = f^<(n)>(a)frac<(x-a)^>. $

Per induzione, quindi, si dimostra $ f(x) = P_n(x)+ R_n(x) $ dove $P_n$ è il polinomio di Taylor $ P_n(x) = f(a)+f'(a)(xa) +f''(a)frac<(xa)^2><2>+ldots+ f^<(n)>(a) frac<(xa)^n>, $ e il resto $R_n(x)$ è rappresentato da integrali annidati come $R_n (x) = int_a^x !! int_a^ !ldots int_a^<>> f^<(n+1)>(t_) ,dt_ldots,dt_2,dt_1. $

Possiamo stabilire la forma di Lagrange del resto applicando i teoremi dei valori intermedi ed estremi, usando semplici confronti come segue. Considera prima il caso $x>a$. Sia $m$ il valore minimo di $f^<(n+1)>$ su $[a,x]$ e $M$ il valore massimo. Allora poiché $ mle f^<(n+1)>(t_) le M $ per tutti $t_$ in $[a,x]$, dopo $n+1$ ripetute integrazioni si trova $ m frac<(x-a)^> <(n+1)!>le R_n(x) le M frac<(x-a)^><(n+1)!>. $ Ma ora, nota che la funzione $ tmapsto f^<(n+1)>(t) frac<(x-a)^> <(n+1)!>$ raggiunge i valori estremi $ m frac<(x-a)^> <(n+1)!>quadmbox quad M frac<(x-a)^> <(n+1)!>$ in alcuni punti in $[a,x]$. Per il teorema del valore intermedio, deve esserci un punto $t$ tra questi due punti (quindi $tin[a,x]$) tale che $ R_n(x) = f^<(n+1)>(t ) frac<(xa)^><(n+1)!>. $ Questa è la forma di Lagrange del resto. Se $x<a$ e $n$ sono dispari, la stessa dimostrazione funziona. Se $x<a$ e $n$ è pari, $(x-a)^<0$ e la stessa dimostrazione funziona dopo aver invertito alcune disuguaglianze.

Si può motivare l'intero approccio in un paio di modi diversi. Ad esempio, si può sostenere che $ <(x-a)^n>/ $ diventa piccolo per $n$ grande, quindi i resti $R_n(x)$ diventeranno piccoli se le derivate di $f$ rimangono limitate, diciamo.

Oppure, si può ragionare liberamente come segue: $f(x)approssimativamente f(a)$ per $x$ vicino a $a$. Chiedi, qual è esattamente il resto? Applica il teorema fondamentale come sopra, quindi approssima il primo resto usando l'approssimazione $f'(t_1)approssimativamente f'(a)$. Ripetendo, si producono i polinomi di Taylor secondo lo schema dell'argomento sopra.

Questa è un'ottima spiegazione, grazie.

Con il minimo sforzo puoi arrivare alla formulazione integrale del termine resto, basta applicare la tua formula dopo "e in generale. " per risolvere l'integrale annidato per $R_n$. Penso che l'approccio della tua risposta (con la formulazione integrale del resto) sia molto carino, tra l'altro, perché generalizza a ogni situazione in cui si ha un integrale e la formula dell'integrazione per parti. Si applica ugualmente bene alle funzioni complesse, vettoriali e persino a valori spaziali di Banach, il che è abbastanza utile nella pratica.

Perché $f^(T_)$ limitato tra $m$ e $M$? $f^$ non deve essere continuo, giusto?

Immagino che stiamo assumendo $ f^(t)$ è continuo poiché utilizziamo il teorema dei valori intermedi.

$f^<(n+1)>$ è limitato su qualche intervallo $I$ perché per ipotesi di Taylor, sia $f$ una funzione il cui $n + 1^ extrm$ la derivata esiste su qualche intervallo $I$


STPM Ulteriore Matematica T

Suppongo che tu abbia imparato il capitolo Sequenze e serie di amplificatori in Maths T prima di arrivare a questo capitolo.

UN definizione ricorsiva di una sequenza specifica uno o più termini iniziali e una regola per determinare i termini successivi da quelli che li precedono. UN relazioni di ricorrenza per la sequenza <>n> è un'equazione che esprime unn in termini di uno o più dei termini precedenti della sequenza, vale a dire, un0, un1, , unn-1, per tutti i numeri interi n insieme a n ≥ n0, dove n0 è un numero intero non negativo.

Questa era la definizione formale delle relazioni di ricorrenza. Quando dici che qualcosa è ricorsivo, significa che c'è una ripetizione. quindi un relazione di ricorrenza è fondamentalmente solo un equazione che mette in relazione un termine, con il termine che lo precede. Prendiamo la sequenza aritmetica 1, 2, 3, 4, 5, … fino all'infinito. Quindi il termine 𔃲’ deriva dal termine 𔃱’, aggiungendovi 1. Allo stesso modo, c'è la stessa relazione per tutti i termini, che è quello di aggiungere 1 ad esso. Indicheremo 𔃱’ come un0, qual è termine iniziale. Allora troviamo che il termine un1 che è legato al termine iniziale dall'equazione

Quindi, dopo aver generalizzato la successione, possiamo concludere che la successione aritmetica può essere rappresentata dalle relazioni di ricorrenza

dove n ≥ 0 (numero intero non negativo). Usando questa equazione e data la condizione iniziale un0, puoi scrivere il resto dei termini aggiungendo lentamente fino in fondo (immagina se ti chiedessi di trovare il termine un109!). Quindi ora sai che una relazione di ricorrenza è solo un'equazione che ha unn e almeno un altro termine unn-x. Esempi di relazioni di ricorrenza sono
unn = 6a n-2
unn = 5an+4 - 2an+3 + n

Diciamo che una relazione di ricorrenza è omogeneo quando contiene solo i termini unn-x. Per esempio, unn = 6an-2 è omogeneo, mentre unn = 5an-1 – 2an-2 + 3 non è, come 3 non è un unn-x. termine.

Diciamo che una relazione di ricorrenza è lineare quando la potenza massima del unn-x termini è 1. Ad esempio, unn = 6an-2è lineare, ma unn = 6(an-2) 2 non lo è, poiché la sua potenza massima è 2.

Il ordine / grado di una relazione di ricorrenza ci dice che la quantità massima di termini lontani è il termine unn correlato da se stesso. Per esempio, unn = 6an-1 è una relazione di ricorrenza del primo ordine, mentre unn = 6an-1 + an-3 è una relazione di ricorrenza del terzo ordine. Qualsiasi relazione di ricorrenza con il K-l'ordine richiede K quantità di condizioni iniziali da risolvere. Ad esempio, vediamo che l'equazione unn = 8an-1 + 9an-2needs 2 initial conditions, un0 e un1 to be defined.

In STPM, you will only be dealing with lineare e 2nd order recurrence relations, for both omogeneo e non-homogeneous.

Now that you know what a recurrence relation is, I will guide you with some basic modelling. You need to learn how to use recurrence relations in a given situation, or question. Let me start with 2 very famous examples, the Fibonacci Numbers e il Tower of Hanoi.

RABBITS, AND THE FIBONACCI NUMBERS

Leonardo Pisano, conosciuto anche come Fibonacci, came up with this problem in the 13th century. Suppose a young pair of rabbits (one male and one female) is placed on an island. A pair of rabbits does not breed until they are 2 months old. After they are 2 months old, each pair of rabbits produces another pair each month. He wanted to find a recurrence relation for the number of pairs of rabbits on the island after n months, assuming that no rabbits ever die.

Let’s try counting. In the beginning, there were only 2 rabbits. Then in the first and month, there are still 2 rabbits on the island, because they are still not old enough to breed. But in the second month, the pair of rabbits started to breed, and they produce another 2 rabbits on the island, making it 4 rabbits. In the third month, there will be 6, because the old rabbits reproduce, but not the young rabbits. Counting by pairs, we found out that the rabbits grow according to a sequence of 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … and so on. Take a look at the bunny diagram below.

Now, here is the hard part. To solve this problem, you know that there are 2 initial conditions, un0 e un1, which are both 1 (un0 is the starting, which I will call it as month 0, and un1 is for the first month). As we step into month 2, the amount of pair of rabbits will be the number of pairs of rabbits in the previous month (month 1) plus a new line of rabbit which it reproduced (which has the condition of the rabbits in month 0). The progress goes on and every time we reach a new month, we will add up the number of pairs of rabbits in the previous month with the number of pairs of rabbits in the month before the previous month. So in the end, we come up with the famous Fibonacci Sequence, which is represented by the recurrence relation
Fn = fn-1 + f n-2

I bet you got lost somewhere, but this is the best explanation I could come up with. You can try reading the textbooks, and you might not even understand it at all. We see that the Fibonacci sequence is a 2nd order homogeneous linear recurrence relation. This chapter really needs you to think a lot.

Do you know that Fibonacci numbers also exist in sunflower patterns, pinecones, and spiral seashells? Get to know more about Fibonacci Numbers in Nature .

THE TOWER OF HANOI

Have you played this game before?

You are given a chunk of disks of different sizes on the left. Your objective is to transfer all the disks from the left pole to the right pole, only moving one disk at one time, and not stacking a bigger disk onto a smaller disk. At every move, only one disk can be in your hand, and the disk could only be placed in any of the 3 poles. Watch this video to see how others do it:

Interesting? A myth created to accompany the puzzle tells of a tower in Hanoi where monks are transferring 64 gold disks from one peg to another, according to the rules of the puzzle. The myth says that the world will end when they finish the puzzle. Detail calculations show that if they move one disk per second, it will take them more than 500 billion years to complete!

Anyway, enough of fun stuff. Our goal here is to find a recurrence relation for the minimum amount of moves required to move n pegs from the left to the right.

Let’s start from scratch. If there was one disk, you only need one move to solve the problem. If there were 2 disks, you need to take the top disk to the middle peg, transfer the bottom disk to the 3rd peg, and transfer the top disk back on top of the bottom disk on peg 3. So if we have n disks, we can see that we need to move n-1 disks to the middle peg, move the bottom disk to the right, and then move the n-1 disks to the last peg, on top of the bottom disk. The bottom disk only requires one move, but you need 2 moves to transfer the n-1 disks, which is once to the middle peg, then twice to the 3rd peg. So here, we can deduce that the recurrence relation can be represented by
hn = 2Hn-1 + 1

dove hnrepresents the minimum number of moves required to transfer n pegs from the left to the right pole. The initial condition, h0 is 1 move.

I suppose you are terribly confused by now. These are only 2 examples! The hard part of this chapter is to model recurrence relations. The solving part (will be dealt in section 4.2 & 4.3) are actually much easier. Spend more time thinking and try to figure out some of my examples below.

1. A pond with un0 amount of fish will double every month. So for n months, the number of fish can be represented by the relation unn = 2an-1.

2. In the first month, you date 1 girl, the second month 2 girls, and the nth month you dated n girls. So the recurrence relation unn = n + an-1 will be the total amount of girls you have dated in the first n months. How nasty of you…

3. You have a loan of RM un0 from Along Bukit Beruntung. You now pay RM100 every month to the him, who charges you a rate of 10% increment every month. So the balance you owe the loan shark on the nth month can be represented by the relation unn = (1 + 0.1)an-1 – 100.

4. The cash deposit machine in CIMB bank only accepts RM1 coins (if they exist), RM1 notes and RM5 notes. If the order of the deposition matters, the number of ways you deposit RM n into the machine can be represented by the relation unn = 2an-1 + an-5. [5th order recurrence relation!]

5. If you can climb up a flight of stairs by taking either one step or two steps at one time, the recurrence relation for the number of ways to climb n stairs can be represented by the equation unn = an-1 + an-2.

6. You are laying tiles on a walkway in a single line. You can only lay either red, green or blue tiles, in which no 2 red tiles are adjacent to each other, and the tiles of the same color are considered indistinguishable. The recurrence relation for the number of ways to lay out a walkway with n tiles is unn = 2an-1 + 2an-2. [Go think about it. This is hard…]


Guarda il video: Deret Taylor dan Deret Maclaurin. (Ottobre 2021).